专题3.5 整式的加减-探寻与表达规律【9大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题3.5 整式的加减--探寻与表达规律【9大题型】 （北师大版2024） 题组一 图形规律--通项最高为一次 1 题组二 图形规律--通项最高为二次 2 题组三 数式规律- -周期性 3 题组四 数式规律- -递进规律 4 题组五 数式规律--特殊结构 5 题组六 数表规律 5 题组七 乘方规律 7 题组八 幻方规律 8 题组九 幻圆规律 9 题组一 图形规律--通项最高为一次 1．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“●”，第②个图案用了11个“●”，第③个图案用了16个“●”，第④个图案用了21个“●”，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的“●”个数是（　　） A．41 B．46 C．51 D．56 2．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．如图所示，用小木棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2个三角形，则需要5根小木棍；如果图形中含有3个三角形，则需要7根小木棍；如果图形中含有4个三角形，则需要9根小木棍…按照此规律，如果图形中含有100个三角形，则需要小木棍根数是（　　） A．300 B．297 C．201 D．197 4．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第2024个图案中正方形的个数为（　　） A．8093 B．8096 C．8097 D．8101 5．下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…，按此规律排列下去，则第⑨个图形中圆的个数是（　　） A．26 B．28 C．31 D．30 题组二 图形规律--通项最高为二次 6．将小圆点按如图所示的规律摆放，前三个图中分别由小圆点6个，10个，16个，依此规律摆放，第10 个图形中的小圆点个数为（　　） A．110 B．118 C．114 D．120 7．观察图形的变化规律，则第10个小房子用石子的颗数为（　　） A．119 B．121 C．140 D．142 8．将小圆圈按如图所示的规律摆放，前三个图中分别有小圆圈6个，10个，16个，依此规律摆放．第10个图形中的小圆圈个数为（　　） A．114 B．118 C．120 D．124 9．如图，图形中都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，第1个图中有1个黑色正方形，第2个图中有3个黑色正方形，第3个图中有5个黑色正方形，第4个图中有8个黑色正方形，…，依此规律，第8个图中黑色正方形的个数是（　　） A．19 B．24 C．29 D．35 10．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（　　） A．52 B．67 C．84 D．101 题组三 数式规律- -周期性 11．观察下列各数的个位数字的变化规律：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…通过观察，你认为22021的个位数字应该是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，通过观察，用你所发现的规律确定整数72023的个位数字是（　　） A．9 B．7 C．3 D．1 13．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 14．有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2021的值为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．2021 15．在一列数a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2022个数是（　　） A．3 B．7 C．1 D．9 题组四 数式规律- -递进规律 16．按一定的规律排列的一组数：，…，，…（其中a，b为整数），则a+b的值为（　　） A．222 B．212 C．232 D．182 17．按一定规律排列的单项式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，⋯第n个单项式是（　　） A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb 18．观察下列数据：﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…，则第12个数是（　　） A．2045 B．﹣2047 C．4095 D．4097 19．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据：，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第10个数据是（　　） A． B． C． D． 20．有一组数据：．记Sn＝a1+a2+a3+⋯+an，则S12＝（　　） ，，，…， A． B． C． D． 题组五 数式规律--特殊结构 21．已知一组均不为1的数；a1，a2，a3，…，an．满足如下关系：，，，．若a1＝2，则a2024的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 22．对于自然数n，将其各位数字之和记为an，如a2019＝2+0+1+9＝12，a2020＝2+0+2+0＝4，则a1+a2+a3+…+a2019+a2020＝（　　） A．28144 B．28134 C．28133 D．28131 23．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝，则f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）的值是（　　） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 24．已知，依此类推，则a2024等于（　　） A． B． C． D．3 25．对于正整数x，我们可以用符号f（x）表示代数式，并规定：若x为奇数，则f（x）＝3x+1；若x为偶数，则f（x）＝0.5x．例如：f（1）＝4，f（10）＝5．设x1＝6，x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，依此规律进行下去，得到一列数：x1，x2，x3，…，xn（n为正整数），则x1﹣x2+x3﹣x4+⋯+x2023﹣x2024的值是（　　） A．16 B．18 C．20 D．2024 题组六 数表规律 26．观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（　　） A．9999 B．10001 C．20199 D．20001 27．把2024个正整数1，2，3，4，5，6，…，2024按如图方式填写在8×253的表格中（图中所示是表格的一部分），用图中阴影所示方式框住表中任意6个数，则这6个数的和不可能是（　　） A．267 B．567 C．1117 D．4863 28．如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝﹣1278，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 29．观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+z的值为（　　） A．10199 B．10201 C．10203 D．10205 30．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式（a+b）n展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近600年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如2＝1+1，10＝4+6．…，若从第三行的“2”开始，按箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则这列数中第24个数是（　　） A．56 B．42 C．28 D．8 题组七 乘方规律 31．我们知道，21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729…，那么，式子22012×32013﹣22014的末尾数字应该是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 32．若a为最大的负整数，则a2020+a2019+a2018+…+a2＝　 　． 33．【阅读】计算1+3+32+33+……+3100的值． 令S＝1+3+32+33+……+3100，则3S＝3+32+33+……+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1， 所以S＝，即S＝1+3+32+33+……+3100＝． 依照以上推理，计算：1﹣5+52﹣53+54﹣55+……+52018﹣52019+＝　 　． 34．对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是 　 　． 35．观察如下式子中的规律： 13+23＝32＝（1+2）2 13+23+33＝62＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝102＝（1+2+3+4）2 根据所得规律，计算：＝　 　．（结果中允许保留乘方） 题组八 幻方规律 36．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是 　 　． 37．九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为 　 　（用含a的式子表示） 38．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则x﹣y＝　 　． 39．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则x+y﹣3＝　 　． 40．我国古老的幻方如图1，就是将1～9的9个整数分别填入在3×3的网格中，使每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的3个数的和相等．如图2，现将1～25的25个整数分别填入5×5的网格中，也能满足上述类似要求，使每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的5个数的和相等，但其中有未完成的空格，则空格中m+n的值为 　 　． 题组九 幻圆规律 41．现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8将它们填入图1（3个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为　 　． 42．“幻方”是一种中国传统游戏，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将7，6，4，3，2，﹣1，﹣2，﹣4填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（c+d﹣a）b的值为 　 　． 43．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则a+b的值为 　 　． 44．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方． （1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，n＝7，则m＝　 　；A处的数值为 　 　； （2）x的值为 　 　． 45．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x﹣y的值是 　 　，m﹣n的值是 　 　． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 整式的加减--探寻与表达规律【9大题型】 （北师大版2024） 题组一 图形规律--通项最高为一次 1 题组二 图形规律--通项最高为二次 4 题组三 数式规律- -周期性 6 题组四 数式规律- -递进规律 8 题组五 数式规律--特殊结构 10 题组六 数表规律 14 题组七 乘方规律 17 题组八 幻方规律 20 题组九 幻圆规律 22 题组一 图形规律--通项最高为一次 1．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“●”，第②个图案用了11个“●”，第③个图案用了16个“●”，第④个图案用了21个“●”，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的“●”个数是（　　） A．41 B．46 C．51 D．56 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中“●”的个数为：6＝1×5+1； 第②个图案中“●”的个数为：11＝2×5+1； 第③个图案中“●”的个数为：16＝3×5+1； 第④个图案中“●”的个数为：21＝4×5+1； …， 所以第n个图案中“●”的个数为（5n+1）个， 当n＝10时， 5n+1＝5×10+1＝51（个）， 即第⑩个图案中“●”的个数为51个． 故选：C． 2．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1， 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1， 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1， …， 按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：3×674+1＝2023（个）． 故选：B． 3．如图所示，用小木棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2个三角形，则需要5根小木棍；如果图形中含有3个三角形，则需要7根小木棍；如果图形中含有4个三角形，则需要9根小木棍…按照此规律，如果图形中含有100个三角形，则需要小木棍根数是（　　） A．300 B．297 C．201 D．197 【解答】解：根据题意得：第一个三角形需要3根小木棍； 第二个三角形共需要5根小木棍； 第三个图形共需要7根小木棍； ……， 则第n个三角形共需要（2n+1）根小木棍． ∴100个三角形，需要201根小木棍． 故选：C． 4．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第2024个图案中正方形的个数为（　　） A．8093 B．8096 C．8097 D．8101 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中正方形的个数为：5＝1×4+1； 第②个图案中正方形的个数为：9＝2×4+1； 第③个图案中正方形的个数为：13＝3×4+1； 第④个图案中正方形的个数为：17＝4×4+1； …， 所以第n个图案中正方形的个数为（4n+1）个， 当n＝2024时， 4n+1＝4×2024+1＝8097（个）， 即第2024个图案中正方形的个数为8097个． 故选：C． 5．下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…，按此规律排列下去，则第⑨个图形中圆的个数是（　　） A．26 B．28 C．31 D．30 【解答】解：∵第①个图形中圆的个数为：4＝1+2+1＝3×1+1， 第②个图形中圆的个数为：7＝2+3+2＝3×2+1， 第③个图形中圆的个数为：10＝3+4+3＝3×3+1， …， ∴第n个图形中圆的个数为：3n+1， ∴第⑨个图形中圆的个数为：3×9+1＝28． 故选：B． 题组二 图形规律--通项最高为二次 6．将小圆点按如图所示的规律摆放，前三个图中分别由小圆点6个，10个，16个，依此规律摆放，第10 个图形中的小圆点个数为（　　） A．110 B．118 C．114 D．120 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中的小圆点个数为：6＝2×3+0×1； 第②个图形中的小圆点个数为：10＝2×4+1×2； 第③个图形中的小圆点个数为：16＝2×5+2×3； …， 所以第n个图形中的小圆点个数为：2（n+2）+n（n﹣1）， 当n＝10时， 2（n+2）+n（n﹣1）＝2×12+10×9＝114（个）， 即第10个图形中的小圆点个数为114个． 故选：C． 7．观察图形的变化规律，则第10个小房子用石子的颗数为（　　） A．119 B．121 C．140 D．142 【解答】解：第1个小房子用的石子的数量是：1+22， 第2个小房子用的石子的数量是：3+32， 第3个小房子用的石子的数量是：5+42， …， ∴第n个小房子用的石子的数量是：2n﹣1+（n+1）2， ∴第10个小房子用的石子的数量是：19+112＝19+121＝140． 故选：C． 8．将小圆圈按如图所示的规律摆放，前三个图中分别有小圆圈6个，10个，16个，依此规律摆放．第10个图形中的小圆圈个数为（　　） A．114 B．118 C．120 D．124 【解答】解：∵第1个图中有小圆圈（1×2+4）个， 第2个图中有小圆圈（2×3+4）个， 第3个图中有小圆圈（3×4+4）个， 第4个图中有小圆圈（4×5+4）个， 第n个图中有小圆圈[n（n+1）+4]个； 第10个图形中，小圆圈有：10×11+4 ＝110+4 ＝114（个）， 故选：A． 9．如图，图形中都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，第1个图中有1个黑色正方形，第2个图中有3个黑色正方形，第3个图中有5个黑色正方形，第4个图中有8个黑色正方形，…，依此规律，第8个图中黑色正方形的个数是（　　） A．19 B．24 C．29 D．35 【解答】解：由所给图形可知， 第2个图中黑色正方形的个数是：3＝22﹣1； 第4个图中黑色正方形的个数是：8＝32﹣1； 第6个图中黑色正方形的个数是：15＝42﹣1； …， 所以第2n个图中黑色正方形的个数是：（n+1）2﹣1， 当2n＝8时，n＝4， 所以（n+1）2﹣1＝24（个）， 即第8个图中黑色正方形的个数是24个． 故选：B． 10．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（　　） A．52 B．67 C．84 D．101 【解答】解：第①个图形中，棋子数量为4＝2×2+02； 第②个图形中，棋子数量为7＝2×3+12； 第③个图形中，棋子数量为12＝2×4+22； 以此类推， 第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是2×10+82＝84， 故选：C． 题组三 数式规律- -周期性 11．观察下列各数的个位数字的变化规律：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…通过观察，你认为22021的个位数字应该是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴尾数每4个一循环， ∵2021÷4＝505……1， ∴22021的个位数字应该是：2． 故选：A． 12．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，通过观察，用你所发现的规律确定整数72023的个位数字是（　　） A．9 B．7 C．3 D．1 【解答】解：∵71＝7， 72＝49， 73＝343， 74＝2401， 75＝16807， …， ∴这列数的个位数字依次以7，9，3，1循环出现， ∵2023÷4＝505…3， ∴72023的个位数字是3， 故选：C． 13．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 【解答】解：由题意可得， a1＝7， a2＝1， a3＝7， a4＝7， a5＝9， a6＝3， a7＝7， a8＝1， …， ∵2021÷6＝336…5， ∴这一列数中的第2021个数是9， 故选：D． 14．有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2021的值为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．2021 【解答】解：依题意得：a1＝2，a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2； 周期为3； 2021÷3＝673…2， 所以a2021＝a2＝． 故选：C． 15．在一列数a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2022个数是（　　） A．3 B．7 C．1 D．9 【解答】解：∵a1＝3，a2＝7， ∴a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，a8＝7，a9＝1，a10＝7，……， ∴从第一个数开始，每6个数的个位数字循环出现一次， ∵2022÷6＝337， ∴第2022个数与第6个数的个位数相同， ∴第2022个数是9， 故选：D． 题组四 数式规律- -递进规律 16．按一定的规律排列的一组数：，…，，…（其中a，b为整数），则a+b的值为（　　） A．222 B．212 C．232 D．182 【解答】解：由已知可知，＝，＝，＝，＝，…，，＝，，… ∴a＝9×10＝90，b＝11×12＝132， ∴a+b＝90+132＝222， 故选：A． 17．按一定规律排列的单项式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，⋯第n个单项式是（　　） A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb 【解答】解：∵a﹣b＝12a1+（﹣1）1b， 4a2+b＝22a2+（﹣1）2b， 9a3﹣b＝32a3+（﹣1）3b， 16a4+b＝42a4+（﹣1）4b， 25a5﹣b＝52a5+（﹣1）5b， ⋯， ∴第n个单项式是：n2an+（﹣1）nb． 故选：B． 18．观察下列数据：﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…，则第12个数是（　　） A．2045 B．﹣2047 C．4095 D．4097 【解答】解：∵﹣1＝（﹣2）1+1， 5＝（﹣2）2+1， ﹣7＝（﹣2）3+1， 17＝（﹣2）4+1， ﹣31＝（﹣2）5+1， …， ∴第n个数为：（﹣2）n+1， ∴第12个数是：（﹣2）n+1＝（﹣2）12+1＝4097． 故选：D． 19．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据：，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第10个数据是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵，…， ∴（﹣1）1•，（﹣1）2•，（﹣1）3•，（﹣1）4•，（﹣1）5•，...， ∴第10个数是（﹣1）10•＝， 故选：C． 20．有一组数据：．记Sn＝a1+a2+a3+⋯+an，则S12＝（　　） ，，，…， A． B． C． D． 【解答】解：an＝ ＝ ＝+ ＝+（）， ∴S12＝S1+S2+S3+⋯+S12 ＝+××+⋯×） ＝+×） ＝× ＝+ ＝， 故选：A． 题组五 数式规律--特殊结构 21．已知一组均不为1的数；a1，a2，a3，…，an．满足如下关系：，，，．若a1＝2，则a2024的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 【解答】解：由题知， 因为a1＝2， 则， ， ， ， …， 由此可见， 这一列数按2，﹣3，，循环出现， 且2024÷4＝506， 所以． 故选：B． 22．对于自然数n，将其各位数字之和记为an，如a2019＝2+0+1+9＝12，a2020＝2+0+2+0＝4，则a1+a2+a3+…+a2019+a2020＝（　　） A．28144 B．28134 C．28133 D．28131 【解答】解：由题意可得， 1＝0+0+0+1， 2＝0+0+0+2， …， 2020＝2+0+2+0＝4， ∴1在千位上出现1000次，在百位上出现200次，在十位上出现210次，个位上出现202次， 2在千位上出现21次，在百位上出现200次，在十位上出现201次，个位上出现202次， 3在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次， 4在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次， … 9在百位上出现200次，在十位上出现200次，个位上出现202次， ∴a1+a2+a3+…+a2019+a2020 ＝（1000+200+210+202）×1+（21+200+201+202）×2+（200+200+202）×3+…+（200+200+202）×9 ＝1612×1+624×2+602×（3+4+5+6+7+8+9）＝28144． 故选：A． 23．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝，则f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）的值是（　　） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【解答】解：∵f（2）＝，f（）＝， f（3）＝，f（）＝， ∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1， ∴f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9） ＝+…+ ＝ ＝8+0.5 ＝8.5． 故选：B． 24．已知，依此类推，则a2024等于（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：∵a1＝3， ∴， ， ， ， ⋯， ∴按照上面代数式呈现的规律可知，an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，， ∵2024＝3×674+2， ∴， 故选：A． 25．对于正整数x，我们可以用符号f（x）表示代数式，并规定：若x为奇数，则f（x）＝3x+1；若x为偶数，则f（x）＝0.5x．例如：f（1）＝4，f（10）＝5．设x1＝6，x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，依此规律进行下去，得到一列数：x1，x2，x3，…，xn（n为正整数），则x1﹣x2+x3﹣x4+⋯+x2023﹣x2024的值是（　　） A．16 B．18 C．20 D．2024 【解答】解：由题知， 因为x1＝6， 所以x2＝f（x1）＝0.5×6＝3， x3＝f（x2）＝3×3+1＝10， x4＝f（x3）＝0.5×10＝5， x5＝f（x4）＝3×5+1＝16， x6＝f（x5）＝0.5×16＝8， x7＝f（x6）＝0.5×8＝4， x8＝f（x7）＝0.5×4＝2， x9＝f（x8）＝0.5×2＝1， x10＝f（x9）＝3×1+1＝4， x11＝f（x10）＝0.5×4＝2， …， 所以这列数从第7个数开始按4，2，1循环出现， 又因为（2024﹣6）÷12＝168余2， 所以x1﹣x2+x3﹣x4+⋯+x2023﹣x2024＝6﹣3+10﹣5+16﹣8+168×0+4﹣2＝18． 故选：B． 题组六 数表规律 26．观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（　　） A．9999 B．10001 C．20199 D．20001 【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、… ∴第100个数为100×2＝200， 即x＝200， 观察第②行：3、5、7、9、11、13、… ∴第100个数为100×2+1＝201， 观察第③行：1、4、9、16、25、36、… ∴第100个数是1002＝10000， 即x＝200、y＝201、z＝10000， ∴2x﹣y+2z＝20199， 故选：C． 27．把2024个正整数1，2，3，4，5，6，…，2024按如图方式填写在8×253的表格中（图中所示是表格的一部分），用图中阴影所示方式框住表中任意6个数，则这6个数的和不可能是（　　） A．267 B．567 C．1117 D．4863 【解答】解：观察图表，这6个数的和应是3的倍数，且左右相邻的数相差1； 267÷3＝89，89＝44+45，A不符合题意； 567÷3＝189，189＝94+95，B不符合题意； 1117÷3＝372……1，有余数，C符合题意； 4863÷3＝1621，1621＝810+811，D不符合题意． 故选：C． 28．如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝﹣1278，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 【解答】解：观察所给图形可知， 图形中左上角的数字依次为：﹣2，4，﹣8，16，…， 所以第n个图的左上角数字可表示为：（﹣1）n•2n； 图形中右上角的数字比左上角的数字大2， 所以第n个图的右上角的数字可表示为：（﹣1）n•2n+2； 图形中左下角的数字依次为：﹣1，2，﹣4，8，…， 所以第n个图的左下角的数字可表示为：（﹣1）n•2n﹣1； 又因为每个图形中右下角的数字为其余三个数字的和， 所以第n个图的右下角的数字可表示为：（﹣1）n•2n+（﹣1）n•2n+2+（﹣1）n•2n﹣1＝（﹣1）n•2n﹣1×5+2； 由题知， （﹣1）n•2n﹣1×5+2＝﹣1278， 解得n＝9， 所以n的值为9． 故选：C． 29．观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+z的值为（　　） A．10199 B．10201 C．10203 D．10205 【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、…2n， ∴第100个数＝2×100＝200， ∴x＝200； 观察第②行：3、5、7、9、11、13、…（2n+1）， ∴第100个数＝2×100+1＝201， ∴y＝201； 观察第③行：1、4、9、16、25、36、…n2， ∴第100个数＝1002＝10000， ∴z＝201； ∴2x﹣y+z＝2×200﹣201+10000＝10199， 故选：A． 30．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式（a+b）n展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近600年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如2＝1+1，10＝4+6．…，若从第三行的“2”开始，按箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则这列数中第24个数是（　　） A．56 B．42 C．28 D．8 【解答】解：一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6、…， 根据表中的数，第24个数是56， 故选：A． 题组七 乘方规律 31．我们知道，21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729…，那么，式子22012×32013﹣22014的末尾数字应该是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…， ∴每4次运算结果的尾数循环一次， ∵2012÷4＝503， ∴22012的尾数与24的尾数相同， ∴22012的尾数是6， ∵2014÷4＝503……2， ∵22014的尾数与22的尾数相同， ∴22014的尾数是4， ∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729…， ∴每4次运算结果的尾数循环一次， ∵2013÷4＝503……1， ∴32013的尾数与31的尾数相同， ∴32013的尾数是3， ∴22012×32013﹣22014的尾数是4， 故选：C． 32．若a为最大的负整数，则a2020+a2019+a2018+…+a2＝　1　． 【解答】解：∵a为最大的负整数， ∴a＝﹣1， ∴a2020+a2019+a2018+…+a2＝（﹣1）2020+（﹣1）2019+（﹣1）2018+...+（﹣1）2＝1﹣1+1+....+1＝1， ∵从2到2020一共有2019个数，其中奇数有1009个，偶数有1010个， ∴﹣1×1009+1×1010＝1， 故答案为：1． 33．【阅读】计算1+3+32+33+……+3100的值． 令S＝1+3+32+33+……+3100，则3S＝3+32+33+……+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1， 所以S＝，即S＝1+3+32+33+……+3100＝． 依照以上推理，计算：1﹣5+52﹣53+54﹣55+……+52018﹣52019+＝　　． 【解答】解：令S＝1﹣5+52﹣53+54﹣55+……+52018﹣52019， 则5S＝5﹣52+53﹣54+55+……﹣52018+52019﹣52020， 因此5S+S＝1﹣52020， 所以S＝ 所以1﹣5+52﹣53+54﹣55+……+52018﹣52019+ ＝+ ＝． 故答案为． 34．对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是 　4035　． 【解答】解：自然数n2的分裂数中最大的奇数是2n﹣1． 20182分裂的数中最大的奇数是2×2018﹣1＝4035， 故答案为：4035． 35．观察如下式子中的规律： 13+23＝32＝（1+2）2 13+23+33＝62＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝102＝（1+2+3+4）2 根据所得规律，计算：＝　　．（结果中允许保留乘方） 【解答】解：∵13+23＝32＝（1+2）2， 13+23+33＝62＝（1+2+3）2， 13+23+33+43＝102＝（1+2+3+4）2， ...， ∴13+23+33+...+n3＝（1+2+3+...+n）2， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 题组八 幻方规律 36．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是 　4　． 【解答】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， ∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8， ∴m＝15﹣8﹣3＝4． 故答案为：4 37．九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为 　9a﹣　（用含a的式子表示） 【解答】解：如图所示： a+a﹣5+x＝3a+5﹣2x+2a﹣x+a﹣5 解得x＝a+， 所以3（2a+x﹣5）＝9a﹣． 故答案为：9a﹣． 38．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则x﹣y＝　6　． 【解答】解：根据题意得：x﹣2+0＝﹣2+y+6， ∴x﹣y＝6． 故答案为：6． 39．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则x+y﹣3＝　﹣4　． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴x+y﹣3＝﹣2+1﹣3＝﹣4， 故答案为：﹣4． 40．我国古老的幻方如图1，就是将1～9的9个整数分别填入在3×3的网格中，使每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的3个数的和相等．如图2，现将1～25的25个整数分别填入5×5的网格中，也能满足上述类似要求，使每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的5个数的和相等，但其中有未完成的空格，则空格中m+n的值为 　26　． 【解答】解：设最左侧一列最下面的空格为a，根据题意可得：17+23+10+a＝6+13+20+22， 解得：a＝11， ∴5个数的和为：11+18+25+2+9＝65， ∴n＝65﹣10﹣12﹣19﹣3＝21， ∴m＝65﹣17﹣13﹣21﹣9＝5， ∴m+n＝21+5＝36． 故答案为：26． 题组九 幻圆规律 41．现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8将它们填入图1（3个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为　256　． 【解答】解：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，如图 ∴m＝（﹣8）×（﹣8）×（﹣1）×（﹣4）＝256 42．“幻方”是一种中国传统游戏，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将7，6，4，3，2，﹣1，﹣2，﹣4填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（c+d﹣a）b的值为 　1或64　． 【解答】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等． ∵7+6+4+3+2+（﹣1）+（﹣2）+（﹣4）＝15， ∴每个三角形的三个顶点上的数字之和＝15÷3＝5． ∴a+c+（﹣4）＝5，a+d+4＝5，a+b+4+（﹣4）＝5． ∴a+c＝9，a+d＝1，a+b＝5． ∵所给的数剩下7，6，3，2，﹣1，﹣2， ∴a＝3，b＝2，c＝6，d＝﹣2或a＝2，b＝3，c＝7，d＝﹣1． ∴c+d﹣a＝6﹣2﹣3＝1或7﹣1﹣2＝4． ∴（c+d﹣a）b＝12＝1或43＝64． 故答案为：1或64． 43．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则a+b的值为 　5　． 【解答】解：如图2， 由题意得，a+c﹣4＝a+d+4，即d﹣c＝﹣8， ∵﹣4﹣2﹣1+2+3+4+6+7＝15， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴a+b+4﹣4＝＝5，即a+b＝5． 故答案为：5． 44．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方． （1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，n＝7，则m＝　12　；A处的数值为 　1　； （2）x的值为 　﹣10　． 【解答】解：（1）由题意，得：m+n﹣4＝15，A+2+m＝15， ∵n＝7， ∴m＝15+4﹣7＝12， ∴A＝15﹣2﹣12＝1； 故答案为：12，1； （2）∵2+m+A＝﹣4+m+n， ∴A＝n﹣6， ∵﹣4+A+B＝﹣4+m+n， ∴B＝m+n﹣A＝m+n﹣n+6＝m+6， ∵n+B+x＝m+n﹣4， ∴x＝m﹣4﹣B＝m﹣4﹣m﹣6＝﹣10； 故答案为：﹣10． 45．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x﹣y的值是 　﹣3　，m﹣n的值是 　3　． 【解答】解：根据题意得：x+1＝y+（﹣2），m+（﹣2）＝n+1， ∴x﹣y＝﹣3，m﹣n＝3， 故答案为：﹣3，3． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$