专题3.2 整式的加减【10大题型】-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版2024）

专题3.2 整式的加减【10大题型】（北师大版2024） 题组一 去括号与添括号 1 题组二 比较大小 2 题组三 整式的化简 3 题组四 整式加减- -与某个字母无关 4 题组五 整式加减- -看错问题 5 题组六 整式加减- -遮挡问题 6 题组七 整式加减- -不含某项问题 8 题组八 整式加减- -去绝对值符号 10 题组九 整式加减- -实际应用 11 题组十 整式加减- -新定义 15 ( 知识导航 ) 知识点 1 去括号与添括号 （1）去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号与它前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里的各项都变号。此法则可简记为：“－”变“＋”不变。 （2）添括号法则：所添括号前没有“＋”号，括号里的各项都不变号；所添括号前面是“－” 号，括号里的各项都要改变符号。 注意：1、实质是乘法分配率，2、去括号时括号外面的数字因数要与括号里面的每一项相乘，同号得正，异号的负。 知识点 2 整式加减的运算法则: 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 去括号 ，然后再 合并同类项 。注意：整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止。 题组一 去括号与添括号 1．下列去括号正确的是（　　） A．3（2x+3y）＝6x+3y B．﹣0.5（1﹣2x）＝﹣0.5+x C．﹣2（x﹣y）＝﹣x﹣2y D．﹣（2x2﹣x+1）＝﹣2x2+x 2．下列去括号正确的是（　　） A．a+（b+c）＝ab+c B．a2﹣[﹣（﹣a+b）]＝a2﹣a﹣b C．a+2（b﹣c）＝a+2b﹣c D．a﹣（b+c﹣d）＝a﹣b﹣c+d 3．下列变形中，错误的是（　　） A．m3﹣（2m﹣n﹣p）＝m3﹣2m+n+p B．m﹣（n+q﹣p）＝m﹣n+q﹣p C．﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]＝3m﹣5n+2p﹣1 D．（m+1）+（﹣n+p）＝m+1﹣n+p 4．把多项式﹣3x2﹣2x+y﹣xy+y2一次项结合起来，放在前面带有“+”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“﹣”号的括号里，等于（　　） A．（﹣2x+y﹣xy）﹣（3x2﹣y2） B．（2x+y）﹣（3x2﹣xy+y2） C．（﹣2x+y）﹣（﹣3x2﹣xy+y2） D．（﹣2x+y）﹣（3x2+xy﹣y2） 5．下列变形中错误的是（　　） A．m2﹣（2m﹣n﹣p）＝m2﹣2m+n+p B．m﹣n+p﹣q＝m﹣（n+q﹣p） C．3m﹣5n﹣1+2p＝﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）] D．m+1﹣（﹣n+p）＝﹣（﹣1+n﹣m+p） 题组二 比较大小 6．已知M＝2x2+1，N＝x2﹣1，则下列说法正确的是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M、N可能相等 D．M、N大小不能确定 7．若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．P≤Q 8．若M＝a2+a+4，N＝a﹣1，则M，N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N 9．已知M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a﹣1，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．以上都有可能 10．代数式2x﹣3y与2x+y的大小关系（　　） A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x、y有关 D．与x、y无关 题组三 整式的化简 11．化简：5a2b﹣[3ab2﹣2（5ab2﹣3）+4a2b]． 12．化简： （1）2a2+3ab﹣a2﹣4ab；（2）（3m2﹣n2）﹣2（m2﹣2n2）． 13．已知多项式A＝x2+x+3，B＝x2+x﹣2． （1）求A+B；（2）求A﹣B． 14．化简下列各题： （1）（8a2b﹣5ab2）﹣2（3a2b﹣4ab2）；（2）． 15．计算 （1）（2）． 题组四 整式加减- -与某个字母无关 16．已知：关于x、y的多项式x2+ax﹣y+b与多项式bx2﹣3x+6y﹣3的差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣7）﹣（4a2+ab+b2）的值． 17．已知多项式A＝3x2﹣mx+6，B＝2nx2﹣4x﹣1 （1）若与2a3bcn的和为单项式，试求2A﹣B的值． （2）若式子2A+B的值与x无关，求5m﹣2n的值． 18．已知A＝2x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣3x﹣y+xy． （1）求A﹣2B的值； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求A﹣2B的值． 19．已知：A＝2a2﹣5ab+3b，B＝4a2+6ab+8a． （1）化简：2A﹣B； （2）若a＝﹣2，b＝1，求2A﹣B的值； （3）若代数式2A﹣B的值与a无关，求此时b的值． 题组五 整式加减- -看错问题 20．小明在某次测验中计算一个多项式M加上5ab﹣3bc时，不小心看成减去5ab﹣3bc，结果计算出错误答案为2ab+6bc． （1）求多项式M； （2）试求出原题目的正确答案． 21．小文在计算一个多项式减去2a2+3a﹣5时，误认为是加上这个多项式，结果答案是a2+a﹣4． （1）求这个多项式； （2）正确答案是多少？ 22．已知多项式A、B，计算A﹣B，马小虎同学做题时，把A﹣B看成了A+B，得到的结果是3m2﹣2m﹣5，若B＝2m2﹣3m﹣2，请你帮他求出正确的答案，并求出当m＝﹣1时，A﹣B的值． 23．小刚同学做一道题：“已知两个多项式A，B，计算2A+B．”小刚同学误将2A+B看作2A﹣B，求得结果是4xy﹣x﹣4y+1；若多项式A＝x2+xy﹣2y． （1）请你帮助小刚同学求出2A+B的正确答案． （2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值． 24．小刚同学由于粗心，把“M+N”看成了“M﹣N“，算出 M﹣N的结果为﹣7x2+10x+12，其中N＝4x2﹣5x﹣6． （1）求M+N的正确结果； （2）若x＝﹣2，求2M﹣N的值． 题组六 整式加减遮挡问题 25．如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间满足两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． （1）小芳推测B+C＝A，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； （2）根据三个整式的关系，求出被墨水污染的部分． 26．小红做一道数学题“两个整式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+2B的值“．小红误将A+2B看成A﹣2B，结果答案（计算正确）为﹣7x2+10x+12． （1）求整式A； （2）求出当x＝﹣3时，A+2B的值． 27．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下： +3（x2﹣1）＝﹣2x2﹣5x+1． （1）求所挡的多项式； （2）当x＝﹣1时，求代数式的值． 28．已知两个关于x的整式A＝3x2+2x﹣6，B＝□x+2﹣x2，其中系数□被污染． （1）若□是﹣2，化简A+3B； （2）若x＝2时，A+B的值为28，求原题中系数□所表示的数． 29．已知A，B是关于x，y的多项式，某同学在计算多项式A﹣3B的结果时，不小心把表示B的多项式弄脏了，现在只知道A＝3x2+ax﹣3y+2，A﹣3B＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10． （1）试求B表示的多项式． （2）若多项式A﹣3B的值与字母x的取值无关，求9a+b的值． 30．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ﹣3x+2＝x2﹣5x+1． （1）求所捂的二次三项式； （2）当x＝﹣2时，求所捂二次三项式的值． 题组七 整式加减- -不含某项问题 31．已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2（m，n为有理数）． （1）化简2B﹣A； （2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m、n的值． 32．关于多项式x4+（a﹣1）x3+5x2﹣（b+3）x﹣1中不含项x3和x项． （1）求a和b的值； （2）根据（1）的答案代入﹣a2020+b3﹣2ab得多少？ 33．已知多项式A＝3x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+6，A﹣2B中不含有x2项和y项，求（m﹣n）2﹣mn的值． 34．已知代数式A＝3x2﹣4x+2． （1）若B＝x2﹣2x﹣1，求A﹣2B； （2）若B＝ax2﹣x﹣1（a为常数），且A与B的和不含x2页，求整式4a2+5a﹣2的值． 35． 多项式8x2﹣3x+5与多项式2x2+2mx2﹣5x+3相加后不含x2项，求m的值． 题组八 整式加减- -去绝对值符号 36．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示 （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： a+b 　 　0，c﹣a 　 　0，b+2 　 　0； （2）化简：|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|． 37．已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．且|a|＜|b|． （1）①填空：abc 　 　0，a+b 　 　0（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|． 38．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c； （2）化简：|a+b|﹣2|a﹣c|﹣|b+c|． 39．如图，数轴上有a，b，c三点． （1）c﹣b 　 　0，c+1 　 　0，a+c 　 　0；（填“＜“，“＞”，“＝”） （2）化简|c﹣b|+2|c+1|﹣|a+c|． 40．已知a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示． （1）a+b 　 　0，abc 　 　0；（填“＞”或“＜”） （2）如果a，c互为相反数，则＝　 　； （3）化简：|b+c|﹣3|a﹣b|﹣|b﹣c|． 41．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）比较a，|b|，c的大小（用“＜”连接）； （2）化简：|b﹣a|+|c﹣2|+|b+c|； （3）若m＝|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b﹣1|，求1﹣2022（m+c）2023的值． 题组九 整式加减- -实际应用 42．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，其中a+3＝0，则a＝﹣3． （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 （2）7张如图（a）的小长方形，长为a、宽为b，按照图（b）的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，将大长方形中未被覆盖的两个部分涂上阴影，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AD变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 43．（1）计算：＝　 　；＝　 　． （2）设是一个三位数，表示这个三位数每一数位上的数字都是a． 试说明：无论a取何值，的值为定值． 44．在数轴上，A，B两点之间的线段记为AB；若A，B两点分别表示数a，b，那么线段AB的长度计算公式为：AB＝|a﹣b|．已知（a+12）2+|b﹣24|＝0． （1）求AB的值． （2）如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝3BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P，Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（2＜x＜4），若在运动过程中（M处于P，Q之间），MP﹣MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 45．已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0，n为正整数．（1）判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． （2）设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动t秒． ①当AC＝BC时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点C继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数k，使得BC﹣kAC的值与t无关？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 46．在数轴上点A、B分别表示数a、b，且|a+24|+（b﹣10）2＝0． （1）求a、b的值及A、B两点之间的距离； （2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求P、Q之间的距离？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（3＜x＜5），若在运动过程中，2MP﹣MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 47．如图，砚山县某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图1为例，其算法为：步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3＝13； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2＝8； 步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤1”中的a的值为 　 　，“步骤2”中的b的值为 　 　，“步骤3”中的c的值为 　 　，校验码Y的值为 　 　． （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？写出你的思考过程． 题组十 整式加减- -新定义 48．定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数． （1）2与4是关于 　 　的对称数，5﹣x与 　 　是关于3的对称数； （2）若a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数，试求出x的值． 49．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题： （1）下列两位数：30，41，33中，“相异数”为 　 　； （2）如果“相异数”b满足f（b）＝3直接写出所有“相异数”b的值 　 　； （3）如果m，n都是“相异数”，且m﹣n＝98﹣2（n﹣1），请判断f（m）+f（n）﹣10值是否为常数，并说明理由． 50．【探究】（1）设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明：＝100a+10b+c ＝（ 　 　）+（a+b+c） ＝3（ 　 　）+（a+b+c） 显然 　 　能被3整除，因此，如果（a+b+c）能被3整除，那么就能被3整除． 【应用】（2）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 51．对于个位数字不为零的任意三位数A，将其个位数字与百位数字对调得到A′，则称A′与A互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为P（A），例如当A＝765时，． （1）P（906）＝　 　，P（﹣237）＝　 　； （2）求P（132）﹣P（﹣316）的值； （3）对于任意三位数A，其百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，满足：c＞a，求P（A）的值． 52．阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以 43和68与34和86都是“友好数对”． （1）36和84 　 　“友好数对”．（填“是”或“不是”）（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　 　和 　 　． 因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝　 　． 并试求a，b，c，d的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 53．规定一种新运算：（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc．如（2，1）⊗（4，3）＝2×3﹣1×4＝2． （1）求（﹣3，5）⊗（﹣2，1）的值； （2）化简（x+y，﹣1）⊗（x﹣y，3）； （3）若（2，x）⊗（2k，x﹣k）的值与x的取值无关，求k的值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 整式的加减【10大题型】（北师大版2024） 题组一 去括号与添括号 1 题组二 比较大小 3 题组三 整式的化简 4 题组四 整式加减- -与某个字母无关 6 题组五 整式加减- -看错问题 8 题组六 整式加减- -遮挡问题 10 题组七 整式加减- -不含某项问题 14 题组八 整式加减- -去绝对值符号 16 题组九 整式加减- -实际应用 19 题组十 整式加减- -新定义 25 ( 知识导航 ) 知识点 1 去括号与添括号 （1）去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号与它前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里的各项都变号。此法则可简记为：“－”变“＋”不变。 （2）添括号法则：所添括号前没有“＋”号，括号里的各项都不变号；所添括号前面是“－” 号，括号里的各项都要改变符号。 注意：1、实质是乘法分配率，2、去括号时括号外面的数字因数要与括号里面的每一项相乘，同号得正，异号的负。 知识点 2 整式加减的运算法则: 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 去括号 ，然后再 合并同类项 。注意：整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止。 题组一 去括号与添括号 1．下列去括号正确的是（　　） A．3（2x+3y）＝6x+3y B．﹣0.5（1﹣2x）＝﹣0.5+x C．﹣2（x﹣y）＝﹣x﹣2y D．﹣（2x2﹣x+1）＝﹣2x2+x 【解答】解：3（2x+3y）＝6x+9y≠6x+3y，故选项A错误； ﹣0.5（1﹣2x）＝﹣0.5+x，故选项B正确； ﹣2（x﹣y）＝﹣x+2y≠﹣x﹣2y，故选项C错误； ﹣（2x2﹣x+1）＝﹣2x2+x﹣1≠﹣2x2+x，故选项D错误． 故选：B． 2．下列去括号正确的是（　　） A．a+（b+c）＝ab+c B．a2﹣[﹣（﹣a+b）]＝a2﹣a﹣b C．a+2（b﹣c）＝a+2b﹣c D．a﹣（b+c﹣d）＝a﹣b﹣c+d 【解答】解：A．a+（b+c）＝a+b+c，故此选项不合题意； B．a2﹣[﹣（﹣a+b）]＝a2﹣a+b，故此选项不合题意； C．a+2（b﹣c）＝a+2b﹣2c，故此选项不合题意； D．a﹣（b+c﹣d）＝a﹣b﹣c+d，故此选项符合题意． 故选：D． 3．下列变形中，错误的是（　　） A．m3﹣（2m﹣n﹣p）＝m3﹣2m+n+p B．m﹣（n+q﹣p）＝m﹣n+q﹣p C．﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]＝3m﹣5n+2p﹣1 D．（m+1）+（﹣n+p）＝m+1﹣n+p 【解答】解：A、m3﹣（2m﹣n﹣p）＝m3﹣2m+n+p，原式变形正确，不符合题意； B、m﹣（n+q﹣p）＝m﹣n﹣q+p，原式变形错误，符合题意； C、﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）]＝3m﹣5n+2p﹣1，原式变形正确，不符合题意； D、（m+1）+（﹣n+p）＝m+1﹣n+p，原式变形正确，不符合题意； 故选：B． 4．把多项式﹣3x2﹣2x+y﹣xy+y2一次项结合起来，放在前面带有“+”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“﹣”号的括号里，等于（　　） A．（﹣2x+y﹣xy）﹣（3x2﹣y2） B．（2x+y）﹣（3x2﹣xy+y2） C．（﹣2x+y）﹣（﹣3x2﹣xy+y2） D．（﹣2x+y）﹣（3x2+xy﹣y2） 【解答】解：﹣3x2﹣2x+y﹣xy+y2＝﹣3x2+y2﹣xy﹣2x+y＝（﹣2x+y）﹣（3x2+xy﹣y2）， 故选：D． 5．下列变形中错误的是（　　） A．m2﹣（2m﹣n﹣p）＝m2﹣2m+n+p B．m﹣n+p﹣q＝m﹣（n+q﹣p） C．3m﹣5n﹣1+2p＝﹣（﹣3m）﹣[5n﹣（2p﹣1）] D．m+1﹣（﹣n+p）＝﹣（﹣1+n﹣m+p） 【解答】解：原式＝m+1+n﹣p＝﹣（﹣1﹣n﹣m+p），故D不正确 故选：D． 题组二 比较大小 6．已知M＝2x2+1，N＝x2﹣1，则下列说法正确的是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M、N可能相等 D．M、N大小不能确定 【解答】解：M﹣N＝2x2+1﹣（x2﹣1）＝x2+2＞0， ∴M＞N， 故选：A． 7．若，，则P，Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．P≤Q 【解答】解：∵，， ∴P﹣Q ＝ ＝ ＝＞0， ∴P﹣Q＞0， 即P＞Q． 故选：A． 8．若M＝a2+a+4，N＝a﹣1，则M，N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N 【解答】解：∵M﹣N＝a2+a+4﹣（a﹣1） ＝a2+a+4﹣a+1 ＝a2+5＞0， ∴M＞N． 故选：B． 9．已知M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a﹣1，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．以上都有可能 【解答】解：∵M﹣N ＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a﹣1） ＝﹣2a2+4a+1+3a2﹣4a+1 ＝a2+2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 10．代数式2x﹣3y与2x+y的大小关系（　　） A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x、y有关 D．与x、y无关 【解答】解：∵（2x﹣3y）﹣（2x+y） ＝2x﹣3y﹣2x﹣y ＝﹣4y， ∴2x﹣3y与2x+y的大小只与y有关． 故选：B． 题组三 整式的化简 11．化简：5a2b﹣[3ab2﹣2（5ab2﹣3）+4a2b]． 【解答】解：原式＝5a2b﹣3ab2+2（5ab2﹣3）﹣4a2b ＝5a2b﹣3ab2+10ab2﹣6﹣4a2b ＝a2b+7ab2﹣6． 12．化简： （1）2a2+3ab﹣a2﹣4ab； （2）（3m2﹣n2）﹣2（m2﹣2n2）． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣ab； （2）原式＝（3m2﹣n2）﹣（2m2﹣4n2） ＝3m2﹣n2﹣2m2+4n2 ＝m2+3n2． 13．已知多项式A＝x2+x+3，B＝x2+x﹣2． （1）求A+B； （2）求A﹣B． 【解答】解：（1）∵多项式A＝x2+x+3，B＝x2+x﹣2， ∴A+B＝（x2+x+3）+（x2+x﹣2） ＝x2+x+3+x2+x﹣2 ＝2x2+2x+1； （2）∵多项式A＝x2+x+3，B＝x2+x﹣2， ∴A﹣B＝（x2+x+3）﹣（x2+x﹣2） ＝x2+x+3﹣x2﹣x+2 ＝5． 14．化简下列各题： （1）（8a2b﹣5ab2）﹣2（3a2b﹣4ab2）； （2）． 【解答】解：（1）（8a2b﹣5ab2）﹣2（3a2b﹣4ab2） ＝8a2b﹣5ab2﹣6a2b+8ab2 ＝2a2b+3ab2； （2） ＝ ＝ ＝． 15．计算 （1）． （2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣6a2b+3ab2﹣ab2+4a2b ＝﹣2a2b+2ab2； （2）原式＝ ＝ ＝﹣x3y+2x2y． 题组四 整式加减- -与某个字母无关 16．已知：关于x、y的多项式x2+ax﹣y+b与多项式bx2﹣3x+6y﹣3的差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣7）﹣（4a2+ab+b2）的值． 【解答】解：x2+ax﹣y+b﹣（bx2﹣3x+6y﹣3） ＝x2+ax﹣y+b﹣bx2+3x﹣6y+3 ＝（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y+b+3， ∵关于x、y的多项式x2+ax﹣y+b与多项式bx2﹣3x+6y﹣3的差的值与字母x的取值无关， ∴1﹣b＝0，a+3＝0， ∴a＝﹣3，b＝1； 3（a2﹣2ab﹣7）﹣（4a2+ab+b2） ＝3a2﹣6ab﹣21﹣4a2﹣ab﹣b2 ＝﹣a2﹣7ab﹣b2﹣21； 当a＝﹣3，b＝1时， 原式＝﹣（﹣3）2﹣7×（﹣3）×1﹣12﹣21 ＝﹣9+21﹣1﹣21 ＝﹣10． 17．已知多项式A＝3x2﹣mx+6，B＝2nx2﹣4x﹣1 （1）若与2a3bcn的和为单项式，试求2A﹣B的值． （2）若式子2A+B的值与x无关，求5m﹣2n的值． 【解答】解：（1）由题意与2a3bcn的和为单项式， ∴m＝3，n＝2， ∴2A﹣B＝2（3x2﹣3x+6）﹣（4x2﹣4x﹣1） ＝6x2﹣6x+12﹣4x2+4x+1 ＝2x2﹣2x+13． （2）由题意得， 2A+B＝2（3x2﹣mx+6）+（2nx2﹣4x﹣1） ＝6x2﹣2mx+12+2nx2﹣4x﹣1 ＝（6+2n）x2﹣（2m+4）x+11， ∵式子2A+B的值与x无关， ∴6+2n＝0，﹣（2m+4）＝0， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴5m﹣2n＝5×（﹣2）﹣2×（﹣3）＝﹣4． 18．已知A＝2x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣3x﹣y+xy． （1）求A﹣2B的值； （2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求A﹣2B的值． 【解答】解：（1）A﹣2B＝（2x2﹣x+2y﹣4xy）﹣2（x2﹣3x﹣y+xy） ＝2x2﹣x+2y﹣4xy﹣2x2+6x+2y﹣2xy ＝5x+4y﹣6xy； （2）∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴A﹣2B＝5x+4y﹣6xy＝（5﹣6y）x+4y， ∴5﹣6y＝0， 解得：， 即． 19．已知：A＝2a2﹣5ab+3b，B＝4a2+6ab+8a． （1）化简：2A﹣B； （2）若a＝﹣2，b＝1，求2A﹣B的值； （3）若代数式2A﹣B的值与a无关，求此时b的值． 【解答】解：（1）由题意知，2A﹣B＝2（2a2﹣5ab+3b）﹣（4a2+6ab+8a） ＝4a2﹣10ab+6b﹣4a2﹣6ab﹣8a ＝﹣16ab+6b﹣8a， ∴2A﹣B＝﹣16ab+6b﹣8a； （2）将a＝﹣2，b＝1，代入得2A﹣B＝﹣16×（﹣2）×1+6×1﹣8×（﹣2）＝54， ∴2A﹣B的值为54； （3）由题意知，2A﹣B＝﹣16ab+6b﹣8a＝﹣8a（2b+1）+6b， ∵代数式2A﹣B的值与a无关， ∴2b+1＝0，解得， ∴． 题组五 整式加减- -看错问题 20．小明在某次测验中计算一个多项式M加上5ab﹣3bc时，不小心看成减去5ab﹣3bc，结果计算出错误答案为2ab+6bc． （1）求多项式M； （2）试求出原题目的正确答案． 【解答】解：（1）M＝（2ab+6bc）+（5ab﹣3bc） ＝2ab+6bc+5ab﹣3bc ＝7ab+3bc； （2）正确答案为（7ab+3bc）+（5ab﹣3bc） ＝7ab+3bc+5ab﹣3bc ＝12ab． 21．小文在计算一个多项式减去2a2+3a﹣5时，误认为是加上这个多项式，结果答案是a2+a﹣4． （1）求这个多项式； （2）正确答案是多少？ 【解答】解：（1）设这个多项式是A， ∵A+（2a2+3a﹣5）＝a2+a﹣4， ∴A＝（a2+a﹣4）﹣（2a2+3a﹣5） ＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5 ＝﹣a2﹣2a+1； （2）∵A＝﹣a2﹣2a+1， ∴A﹣（2a2+3a﹣5）＝（﹣a2﹣2a+1）﹣（2a2+3a﹣5） ＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5 ＝﹣3a2﹣5a+6． 22．已知多项式A、B，计算A﹣B，马小虎同学做题时，把A﹣B看成了A+B，得到的结果是3m2﹣2m﹣5，若B＝2m2﹣3m﹣2，请你帮他求出正确的答案，并求出当m＝﹣1时，A﹣B的值． 【解答】解：由题意得：A+B＝3m2﹣2m﹣5， ∵B＝2m2﹣3m﹣2， ∴A＝3m2﹣2m﹣5﹣B ＝3m2﹣2m﹣5﹣（2m2﹣3m﹣2） ＝3m2﹣2m﹣5﹣2m2+3m+2 ＝m2+m﹣3， ∴A﹣B ＝m2+m﹣3﹣（2m2﹣3m﹣2） ＝m2+m﹣3﹣2m2+3m+2 ＝﹣m2+4m﹣1， 当m＝﹣1时， 原式＝﹣（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1 ＝﹣1﹣4﹣1 ＝﹣6． 23．小刚同学做一道题：“已知两个多项式A，B，计算2A+B．”小刚同学误将2A+B看作2A﹣B，求得结果是4xy﹣x﹣4y+1；若多项式A＝x2+xy﹣2y． （1）请你帮助小刚同学求出2A+B的正确答案． （2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值． 【解答】解：（1）∵2A﹣B＝4xy﹣x﹣4y+1，A＝x2+xy﹣2y， ∴B＝2（x2+xy﹣2y）﹣（4xy﹣x﹣4y+1） ＝2x2+2xy﹣4y﹣4xy+x+4y﹣1 ＝2x2﹣2xy+x﹣1， ∴2A+B＝2（x2+xy﹣2y）+（2x2﹣2xy+x﹣1） ＝2x2+2xy﹣4y+2x2﹣2xy+x﹣1 ＝4x2﹣4y+x﹣1； （2）若2A﹣B的值与x的取值无关， 即4xy﹣x﹣4y+1的值与x的取值无关， 4xy﹣x﹣4y+1＝（4y﹣1）x﹣4y+1， ∴4y﹣1＝0， 解得：y＝． 24．小刚同学由于粗心，把“M+N”看成了“M﹣N“，算出 M﹣N的结果为﹣7x2+10x+12，其中N＝4x2﹣5x﹣6． （1）求M+N的正确结果； （2）若x＝﹣2，求2M﹣N的值． 【解答】解：（1）∵M﹣N＝﹣7x2+10x+12， ∴M＝﹣7x2+10x+12+4x2﹣5x﹣6 ＝﹣3x2+5x+6． ∴M+N ＝﹣3x2+5x+6+4x2﹣5x﹣6 ＝x2； （2）2M﹣N ＝2（﹣3x2+5x+6）﹣（4x2﹣5x﹣6） ＝﹣6x2+10x+12﹣4x2+5x+6 ＝﹣10x2+15x+18， 当x＝﹣2时， 原式＝﹣10×（﹣2）2+15×（﹣2）+18 ＝﹣40﹣30+18 ＝﹣52． 题组六 整式加减- -遮挡问题 25．如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间满足两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． （1）小芳推测B+C＝A，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； （2）根据三个整式的关系，求出被墨水污染的部分． 【解答】解：（1）小芳的推测正确， 理由：∵B+C＝A， ∴B+4x（2y﹣x）＝（2x+3y）（2x﹣3y）， 解得B＝8x2﹣8xy﹣9y2， 即被墨水污染的部分是8x2﹣8xy时，B+C＝A； （2）当B+C＝A时，由（1）知被墨水污染的部分是8x2﹣8xy； 当B+A＝C时， B＝C﹣A ＝4x（2y﹣x）﹣（2x+3y）（2x﹣3y）， ＝8xy﹣4x2﹣4x2+9y2 ＝﹣8x2+8xy+9y2， 而题干中B中后面的项是﹣9y2，故此种情况不存在； 当A+C＝B时， B＝（2x+3y）（2x﹣3y）+4x（2y﹣x） ＝4x2﹣9y2+8xy﹣4x2 ＝8xy﹣9y2， ∴被墨水污染的部分是8xy； 由上可得，被墨水污染的部分是8x2﹣8xy或8xy． 26．小红做一道数学题“两个整式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+2B的值“．小红误将A+2B看成A﹣2B，结果答案（计算正确）为﹣7x2+10x+12． （1）求整式A； （2）求出当x＝﹣3时，A+2B的值． 【解答】解：（1）∵A﹣2B＝﹣7x2+10x+12，B＝4x2﹣5x﹣6， ∴A＝（﹣7x2+10x+12）+2B ＝﹣7x2+10x+12+2（4x2﹣5x﹣6） ＝﹣7x2+10x+12+8x2﹣10x﹣12 ＝x2； （2）A+2B ＝x2+2（4x2﹣5x﹣6） ＝x2+8x2﹣10x﹣12 ＝9x2﹣10x﹣12； 当x＝﹣3时， A+2B ＝9×（﹣3）2﹣10×（﹣3）﹣12 ＝9×9+30﹣12 ＝81+30﹣12 ＝99． 27．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下： +3（x2﹣1）＝﹣2x2﹣5x+1． （1）求所挡的多项式； （2）当x＝﹣1时，求代数式的值． 【解答】解：（1）由题意得： ﹣2x2﹣5x+1﹣3（x2﹣1） ＝﹣2x2﹣5x+1﹣3x2+3 ＝﹣5x2﹣5x+4； ∴所挡的多项式是﹣5x2﹣5x+4； （2）当x＝﹣1时，﹣2x2﹣5x+1＝﹣2×（﹣1）2﹣5×（﹣1）+1 ＝﹣2×1+5+1 ＝﹣2+5+1 ＝4． 28．已知两个关于x的整式A＝3x2+2x﹣6，B＝□x+2﹣x2，其中系数□被污染． （1）若□是﹣2，化简A+3B； （2）若x＝2时，A+B的值为28，求原题中系数□所表示的数． 【解答】解：（1）因为□是﹣2， 所以 A+3B＝3x2+2x﹣6+3（﹣2x+2﹣x2） ＝3x2+2x﹣6﹣6x+6﹣3x2 ＝﹣4x； （2）设□＝m，当x＝2时， 依题意得：3×22+2×2﹣6+2m+2﹣22＝28， 解得m＝10， 故原题中系数□所表示的数是10． 29．已知A，B是关于x，y的多项式，某同学在计算多项式A﹣3B的结果时，不小心把表示B的多项式弄脏了，现在只知道A＝3x2+ax﹣3y+2，A﹣3B＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10． （1）试求B表示的多项式． （2）若多项式A﹣3B的值与字母x的取值无关，求9a+b的值． 【解答】解：（1）由题意得： ﹣[（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10﹣（3x2+ax﹣3y+2）] ＝﹣[（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10﹣3x2﹣ax+3y﹣2] ＝﹣（﹣3bx2+2x+6y﹣12） ＝bx2﹣x﹣2y+4； （2）∵多项式A﹣3B的值与字母x的取值无关， ∴3﹣3b＝0，a+2＝0， 解得b＝1，a＝﹣2， ∴9a+b ＝9×（﹣2）+1 ＝﹣18+1 ＝﹣17． 30．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ﹣3x+2＝x2﹣5x+1． （1）求所捂的二次三项式； （2）当x＝﹣2时，求所捂二次三项式的值． 【解答】解：（1）（x2﹣5x+1）﹣（﹣3x+2） ＝x2﹣5x+1+3x﹣2 ＝x2﹣2x﹣1； （2）当x＝﹣2时，x2﹣2x﹣1＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1＝7． 题组七 整式加减- -不含某项问题 31．已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2（m，n为有理数）． （1）化简2B﹣A； （2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m、n的值． 【解答】解：（1）2B﹣A＝2（x2﹣nx+2）﹣（mx2+2x﹣1）＝2x2﹣2nx+4﹣mx2﹣2x+1＝2x2﹣mx2﹣2nx﹣2x+5； （2）2B﹣A＝2x2﹣mx2﹣2nx﹣2x+5＝（2﹣m）x2﹣（2n+2）x+5， ∵2B﹣A的结果不含x项和x2项， ∴2﹣m＝0，2n+2＝0， 解得m＝2，n＝﹣1． 32．关于多项式x4+（a﹣1）x3+5x2﹣（b+3）x﹣1中不含项x3和x项． （1）求a和b的值； （2）根据（1）的答案代入﹣a2020+b3﹣2ab得多少？ 【解答】解：（1）由题意得： a﹣1＝0，﹣（b+3）＝0， 解得：a＝1，b＝﹣3， ∴a的值为1，b的值为﹣3； （2）当a＝1，b＝﹣3时，﹣a2020+b3﹣2ab ＝﹣12020+（﹣3）3﹣2×1×（﹣3） ＝﹣1+（﹣27）+6 ＝﹣28+6 ＝﹣22． 33．已知多项式A＝3x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+6，A﹣2B中不含有x2项和y项，求（m﹣n）2﹣mn的值． 【解答】解：A﹣2B＝（3x2﹣xy+my﹣8）﹣2（﹣nx2+xy+y+6） ＝3x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣12 ＝（3+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣20 ∵A﹣2B中不含有x2项和y项 ∴3+2n＝0且m﹣2＝0 ∴n＝﹣且m＝2， ∴原式＝[2﹣（﹣）]2﹣2×（﹣） ＝+3 ＝． 34．已知代数式A＝3x2﹣4x+2． （1）若B＝x2﹣2x﹣1，求A﹣2B； （2）若B＝ax2﹣x﹣1（a为常数），且A与B的和不含x2页，求整式4a2+5a﹣2的值． 【解答】解：（1）A﹣2B＝（3x2﹣4x+2）﹣2（x2﹣2x﹣1） ＝3x2﹣4x+2﹣2x2+4x+2 ＝x2+4； （2）∵A＝3x2﹣4x+2，B＝ax2﹣x﹣1， ∴A+B＝（3x2﹣4x+2）+（ax2﹣x﹣1） ＝3x2﹣4x+2+ax2﹣x﹣1 ＝（3+a）x2﹣5x+1， ∵A与B的和不含x2项， ∴3+a＝0即a＝﹣3， ∴4a2+5a﹣2 ＝4×（﹣3）2+5×（﹣3）﹣2 ＝4×9﹣15﹣2 ＝36﹣15﹣2 ＝19． 35．多项式8x2﹣3x+5与多项式2x2+2mx2﹣5x+3相加后不含x2项，求m的值． 【解答】解：（8x2﹣3x+5）+（2x2+2mx2﹣5x+3） ＝8x2﹣3x+5+2x2+2mx2﹣5x+3 ＝（8+2+2m）x2﹣8x+8， ∵多项式8x2﹣3x+5与多项式2x2+2mx2﹣5x+3相加后不含x2项， ∴8+2+2m＝0， 解得m＝﹣5． 题组八 整式加减- -去绝对值符号 36．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示 （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： a+b 　＞　0，c﹣a 　＜　0，b+2 　＞　0； （2）化简：|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|． 【解答】解：（1）从数轴可知﹣2＜b＜c＜0＜2＜a， ∴a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0； 故答案为：＞，＜，＞； （2）∵a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0， ∴|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2| ＝a+b+2（a﹣c）﹣（b+2） ＝a+b+2a﹣2c﹣b﹣2 ＝3a﹣2c﹣2． 37．已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．且|a|＜|b|． （1）①填空：abc 　＜　0，a+b 　＞　0（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|． 【解答】解：（1）根据数轴上A、B、C三点的位置，可知a＜0＜b＜c，且|c|＞|b|＞|a|， ∴abc＜0，a+b＞0， 故答案为：＜，＞； （2）由题意可知，a﹣b＜0，a+b＞0，b﹣c＜0， ∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c| ＝b﹣a﹣2（a+b）+c﹣b ＝b﹣a﹣2a﹣2b+c﹣b ＝﹣3a﹣2b+c． 38．有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）用“＜”连接这四个数：0，a，b，c； （2）化简：|a+b|﹣2|a﹣c|﹣|b+c|． 【解答】解：（1）由数轴可得：b＜a＜0＜c； （2）∵b＜a＜0＜c，且|a|＝|c|， ∴a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＜0， ∴|a+b|﹣2|a﹣c|﹣|b+c| ＝﹣a﹣b+2（a﹣c）+（b+c） ＝﹣a﹣b+2a﹣2c+b+c ＝a﹣c． 39．如图，数轴上有a，b，c三点． （1）c﹣b 　＜　0，c+1 　＞　0，a+c 　＞　0；（填“＜“，“＞”，“＝”） （2）化简|c﹣b|+2|c+1|﹣|a+c|． 【解答】解：（1）由a，b，c三点在数轴上的位置可知，﹣1＜c＜0，1＜a＜b＜2， ∵c＜0，b＞0，a＞0， ∴c﹣b＜0，c+1＞0，a+c＞0， 故答案为：＜，＞，＞． （2）∵a＞1， ∴a﹣1＞0． ∵c﹣b＜0，c+a＞0，c+1＞0， ∴原式＝b﹣c+2c+2﹣a﹣c ＝b﹣a+2． 40．已知a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示． （1）a+b 　＜　0，abc 　＜　0；（填“＞”或“＜”） （2）如果a，c互为相反数，则＝　﹣1　； （3）化简：|b+c|﹣3|a﹣b|﹣|b﹣c|． 【解答】解：（1）由a，b，c在数轴上的位置可知，a＜0，c＞b＞0，|a|＞b， ∴a+b＜0，abc＜0． 故答案为：＜；＜； （2）∵a，c互为相反数， ∴＝﹣1． 故答案为：﹣1； （3）∵a＜0，c＞b＞0，|a|＞b， ∴b+c＞0，a﹣b＜0，b﹣c＜0， ∴原式＝b+c﹣3（b﹣a）﹣（c﹣b） ＝b+c﹣3b+3a﹣c+b ＝3a﹣b． 41．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）比较a，|b|，c的大小（用“＜”连接）； （2）化简：|b﹣a|+|c﹣2|+|b+c|； （3）若m＝|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b﹣1|，求1﹣2022（m+c）2023的值． 【解答】解：（1）根据数轴上点的位置可知0＜c＜1，b＜a＜﹣1， ∴a＜c＜|b|． （2）∵b﹣a＜0，c﹣2＜0，b+c＜0， ∴原式＝（﹣b+a）+（﹣c+2）+（﹣b﹣c） ＝﹣b+a﹣c+2﹣b﹣c ＝a﹣2b﹣2c+2． （3）∵a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣1＜0， ∴m＝（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（﹣b+1） ﹣a﹣b﹣c+a+b﹣1＝﹣c﹣1． ∴m+c＝﹣1． ∴原式＝1﹣2022×（﹣1）2023＝2023． 题组九 整式加减- -实际应用 42．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，其中a+3＝0，则a＝﹣3． （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 （2）7张如图（a）的小长方形，长为a、宽为b，按照图（b）的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，将大长方形中未被覆盖的两个部分涂上阴影，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AD变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2m﹣3）x﹣3m+2m2， ∵关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， 解得m＝； （2）设AD＝x， 由图可知S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b（x﹣2a）＝2bx﹣4ab， 则S1﹣S2＝ax﹣3ab﹣（2bx﹣4ab） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AD的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2的值与x的值无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 43．（1）计算：＝　37　；＝　37　． （2）设是一个三位数，表示这个三位数每一数位上的数字都是a． 试说明：无论a取何值，的值为定值． 【解答】解：（1）＝＝＝37， ＝＝＝37， 故答案为：37； （2）证明：∵＝＝＝37， ∴无论a取何值，的值为定值37． 44．在数轴上，A，B两点之间的线段记为AB；若A，B两点分别表示数a，b，那么线段AB的长度计算公式为：AB＝|a﹣b|．已知（a+12）2+|b﹣24|＝0． （1）求AB的值． （2）如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝3BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P，Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（2＜x＜4），若在运动过程中（M处于P，Q之间），MP﹣MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 【解答】解：（1）∵（a+12）2+|b﹣24|＝0， ∴a+12＝0，b﹣24＝0， 解得：a＝﹣12，b＝24， ∴AB＝|﹣12﹣24|＝36； （2）设移动时间为t s，分两种情况： ①点P在点B的右侧， ∵BQ＝3BP， ∴2t＝3（4t﹣36）， 2t＝12t﹣108， 10t＝108， t＝10.8， ∴点P所对应的数为：2×10.8﹣12＝9.6； ②点P在点B左侧时， ∵BQ＝3BP， ∴2t＝3（36﹣4t）， 2t＝108﹣12t， 14t＝108， ， ∴点P所对应的数为：2×﹣12＝﹣； 综上可知：点P表示的数为9.6或； （3）由题意可知：点P表示的数为（﹣12+2t），点M表示的数为xt，点Q表示的数为（24+4t）， ∴MP﹣MQ ＝xt﹣（﹣12+2t）﹣（24+4t﹣xt） ＝xt+12﹣2t﹣24﹣4t+xt ＝xt+xt+12﹣24﹣4t﹣2t ＝2xt﹣6t﹣12 ＝2t（x﹣3）﹣12， ∵结果与t无关， ∴x﹣3＝0， 解得：x＝3． 45．已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0，n为正整数．（1）判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． （2）设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动t秒． ①当AC＝BC时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点C继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数k，使得BC﹣kAC的值与t无关？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． 理由：∵|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣5＝0，c﹣nb＝0． ∴a＝﹣5，b＝5，c＝5n， ∴点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）①证明：运动t秒后点C在数轴上所表示的数为5n﹣t， 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数， ∴AC＝BC， ∴点C在数轴上所表示的数为0， ∴5n﹣t＝0，即t＝5n， ∴t+（2n+1）＝5n+5n+＝10n+＝5（2n+）， ∴t+（2n+1）＝5（2n+）． ②解：点C从原点出发，运动t秒后，点C在数轴上表示的数为﹣t， ∴AC＝|﹣t+5|，BC＝5﹣（﹣t）＝5+t， 当点C位于点A的右侧时，AC＝﹣t+5， ∴BC﹣KAC＝5+t﹣k（﹣t+5） ＝5+t+kt﹣5k ＝5+（k+1）t﹣5k， 当k+1＝0，即k＝﹣1时，BC﹣kAC的值与t无关， 当点C位于点A的左侧时，AC＝﹣（﹣t+5）＝t﹣5， ∴BC﹣kAC＝5+t﹣k（t﹣5） ＝5+t﹣kt+5k ＝5+（1﹣k）t+5k， 当1﹣k＝0，即k＝1时，BC﹣kAC的值与无关． 综上所述，当k＝1或k＝﹣1时，BC﹣kAC的值与t无关． 46．在数轴上点A、B分别表示数a、b，且|a+24|+（b﹣10）2＝0． （1）求a、b的值及A、B两点之间的距离； （2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求P、Q之间的距离？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（3＜x＜5），若在运动过程中，2MP﹣MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 【解答】解：（1）∵|a+24|+（b﹣10）2＝0， ∴a+24＝0，b﹣10＝0， ∴a＝﹣24，b＝10． ∴A、B两点之间的距离＝10﹣（﹣24） ＝10+24 ＝34． （2）由题意得：当运动时间为9秒时，点P移动的距离为27，点Q移动的距离为45， ∴点P对应的数字为：﹣24+27＝3， 点Q对应的数字为：10+45＝55， ∴P、Q之间的距离为55﹣3＝52． （3）∵3＜x＜5， ∴在移动过程中，点M始终在P，Q之间． 由题意得：当运动时间为t时，点P移动的距离为3t，点Q移动的距离为5t， ∴点P对应的数字为：﹣24+3t，点Q对应的数字为：10+5t，点M对应的数字为：xt， ∴2MP﹣MQ ＝2（xt﹣3t+24）﹣（10+5t﹣xt） ＝2xt﹣6t+48﹣10﹣5t+xt ＝3xt﹣11t+38 ＝（3x﹣11）t+38． ∵2MP﹣MQ的值与运动的时间t无关， ∴3x﹣11＝0， ∴x＝． 47．如图，砚山县某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”． 其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图1为例，其算法为：步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3＝13； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2＝8； 步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤1”中的a的值为 　17　，“步骤2”中的b的值为 　22　，“步骤3”中的c的值为 　73　，校验码Y的值为 　7　． （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？写出你的思考过程． 【解答】解：（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y， ∴a＝7+7+3＝17， b＝9+8+5＝22， 则“步骤3”中的c的值为3×17+22＝73，校验码Y的值为80﹣73＝7． 故答案为：17，22，73，7； （2）依题意有 a＝m+1+2＝m+3， b＝6+0+0＝6， c＝3a+b＝3（m+3）+6＝3m+15， d＝c+X＝3m+15+6＝3m+21． 题组十 整式加减- -新定义 48．定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数． （1）2与4是关于 　3　的对称数，5﹣x与 　1+x　是关于3的对称数； （2）若a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数，试求出x的值． 【解答】解：（1）∵2+4＝6，， ∴2与4是关于3的对称数； 由题意得：2×3﹣（5﹣x） ＝6﹣5+x ＝1+x， ∴5﹣x与1+x是关于3的对称数； 故答案为：3；1+x； （2）∵a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数， ∴a+b＝﹣1×2， ﹣2x2+3x﹣4﹣5x+2x2+2＝﹣2， ﹣2x﹣2＝﹣2， x＝0． 49．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题： （1）下列两位数：30，41，33中，“相异数”为 　41　； （2）如果“相异数”b满足f（b）＝3直接写出所有“相异数”b的值 　12，21　； （3）如果m，n都是“相异数”，且m﹣n＝98﹣2（n﹣1），请判断f（m）+f（n）﹣10值是否为常数，并说明理由． 【解答】解：（1）解由“相异数”的定义可得，两位数：30，41，33中，“相异数”为41， 故答案为：41． （2）设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足f（b）＝3， ∴， ∴11x+11y＝33， 即x+y＝3， ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零， ∴当x＝1时，y＝2，此时b的值为12； 当x＝2时，y＝1，此时b的值为21． ∴所有“相异数”b的值为12，21， 故答案为：12，21； （3）解：f（m）+f（n）﹣10值为常数；理由如下： ∵m﹣n＝98﹣2（n﹣1）， ∴m+n＝100， ∵m、n都是“相异数”， 设m＝10x+y，则n＝100﹣m＝100﹣10x﹣y＝10（9﹣x）+（10﹣y）， ∴ ＝ ＝ ＝x+y+19﹣x﹣y﹣10 ＝9． ∴f（m）+f（n）﹣10值为常数9． 50．【探究】（1）设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明：＝100a+10b+c ＝（ 　99a+9b　）+（a+b+c） ＝3（ 　33a+3b　）+（a+b+c） 显然 　3（33a+3b）　能被3整除，因此，如果（a+b+c）能被3整除，那么就能被3整除． 【应用】（2）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【解答】解：（1）证明： ＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c）； 显然3（33a+3b）能被3整除，因此，如果（a+b+c）能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：99a+9b，33a+3b，3（33a+3b）； （2）证明： ＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d） ＝9（111a+11b+c）+（a+b+c+d）， ∵9（111a+11b+c）能被9整除， ∴若a+b+c+d可以被9整除，则能被9整除． 51．对于个位数字不为零的任意三位数A，将其个位数字与百位数字对调得到A′，则称A′与A互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为P（A），例如当A＝765时，． （1）P（906）＝　9　，P（﹣237）＝　15　； （2）求P（132）﹣P（﹣316）的值； （3）对于任意三位数A，其百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，满足：c＞a，求P（A）的值． 【解答】解：（1）P（906）＝＝9， P（﹣237）＝＝15； 故答案为：9；15； （2）∵P（132）＝＝3， P（﹣316）＝＝9， ∴P（132）﹣P（﹣316）＝﹣6； （3）P（A）＝＝， ∵c＞a， ∴99a﹣99c＜0，|99a﹣99c|＝99c﹣99a， P（A）＝＝＝3c﹣3a． 52．阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以 43和68与34和86都是“友好数对”． （1）36和84 　是　“友好数对”．（填“是”或“不是”）（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　10b+a　和 　10d+c　． 因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝　（10b+a）（10d+c）　． 并试求a，b，c，d的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【解答】解：（1）∵36×84＝3024，63×48＝3024， ∴36×84＝63×48， ∴36和84是友好数对， 故答案为：是； （2）∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d， ∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c， ∴两个数依次表示为10b+a，10d+c， ∵这两个数是友好数对， ∴（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c）， 化简得：ac＝bd． 故答案为：10b+a；10d+c；（10b+a）（10d+c）；ac＝bd； （3）由（2）得：（x+2）（x+2）＝x（x+8）， 解得：x＝1， ∴两个两位数为：31和39． 53．规定一种新运算：（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc．如（2，1）⊗（4，3）＝2×3﹣1×4＝2． （1）求（﹣3，5）⊗（﹣2，1）的值； （2）化简（x+y，﹣1）⊗（x﹣y，3）； （3）若（2，x）⊗（2k，x﹣k）的值与x的取值无关，求k的值． 【解答】解：（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc， ∴（﹣3，5）⊗（﹣2，1）＝（﹣3）×1﹣5×（﹣2）＝﹣3+10＝7； （2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc， ∴（x+y，﹣1）⊗（x﹣y，3）＝3（x+y）﹣[﹣（x﹣y）]＝3x+3y+x﹣y＝4x+2y； （3）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc， ∴（2，x）⊗（2k，x﹣k）＝2（x﹣k）﹣x•2k＝2x﹣2k﹣2kx＝（2﹣2k）x﹣2k， ∵（2，x）⊗（2k，x﹣k）的值与x的取值无关， ∴2﹣2k＝0， ∴k＝1． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$