专题03 图形的初步认识（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

专题03图形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、截一个几何体 【解惑】一个平面去截下列几何体中，不能得到三角形截面的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．正方体形状的软木，用刀去切，切面会形成多边形，多边形形状可能是下面形状中的（    ）种． ①五边形  ②正方形  ③等腰三角形  ④等腰梯形  ⑤六边形 A．2 B．3 C．4 D．5 2．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 3．将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是 ． 类型二、含图案的正方体的展开图 【解惑】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ． 3．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    类型三、用七巧板拼图形 【解惑】如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 2．如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 ． 类型四、已知三视图求最多或最少的小立方体的个数 【解惑】由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示． (1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体； (3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个． 【融会贯通】 1．用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： (1)a，d、f各表示几？ (2)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ (3)当，时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 2．如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是 （包含底部）； (3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体． 3．如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在下面方格中分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求该几何体的表面积（包括底部）； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看到的视图和从左面看到的视图不变，最多可以再添加___________块小正方体，请在备用图中画出来． 类型五、直线相交的交点个数 【解惑】按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 【融会贯通】 1．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求： (1)这n条直线共有多少个交点？ (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？ 2．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 3．（1）直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 ___个交点； （2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 ___个交点． （3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，n（n＞1）条直线最多有 ___个交点． 类型六、线段n等分点的计算 【解惑】如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【融会贯通】 1．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 2．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 3．如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型七、线段中的动点问题 【解惑】如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【融会贯通】 1．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 2．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 3．知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    类型八、角度的四则运算 【解惑】（1）； （2）． 【融会贯通】 1．角度计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) 类型九、角n等分线的有关计算 【解惑】（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 【融会贯通】 1．【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    2．解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．    (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．    (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．    3．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 类型十、旋转角求t 【解惑】已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【融会贯通】 1．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 2．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 3．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点О处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边在射线上，则________；（直接写出结果） (2)如图2，将三角板绕点О逆时针方向旋转，若恰好平分，则所在射线是的平分线吗？如是，请说明理由． (3)如图3，将三角板绕点О逆时针转动到使时，求的度数； (4)将图1中的三角板绕点О以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，所在的直线恰好平分，则t的值为_________．（直接写出结果） 【一览众山小】 1．如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 3．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 4．如图，有两条线段， ， ，在数轴上，点A 表示的数是， 点 D在数轴上表示的数是15．若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为 中点， 则线段的长为 ．    5．如图，C为射线上一点，，比的多5，两点分别从两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为（s），M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 6．如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有 ．(填序号)      7．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 8．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图点A，点B，点C． (1)作直线； (2)作线段； (3)作射线，并在射线上截取． (4)确定点P的位置，使P点到点A、点B、点C、点D四个点的距离和最短。 9．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (1)请在下图的方格中画出该几何体的主视图和左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，涂该几何体的油漆价格为2元，求该几何体表面涂满油漆所需费用． 10．综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03图形的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、截一个几何体 【解惑】一个平面去截下列几何体中，不能得到三角形截面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了截一个几何体，用一个平面截圆柱，所得的截面一个会有弧形，即不能是三角形，而圆锥，四棱锥，长方体的截面都可以是三角形，据此可得答案． 【详解】解：用一个平面去截圆锥、三棱柱、四棱柱，可以得到三角形截面， 用一个平面去截圆柱不可能得到三角形截面， 故选：A． 【融会贯通】 1．正方体形状的软木，用刀去切，切面会形成多边形，多边形形状可能是下面形状中的（    ）种． ①五边形  ②正方形  ③等腰三角形  ④等腰梯形  ⑤六边形 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查认识立体图形，关键是根据正方体形状的软木用刀去切的切面的可能性解答．根据正方体形状的软木用刀去切的切面的可能性解答即可． 【详解】解：如图，正方体形状的软木，用刀去切，切面会形成五边形，等腰三角形，等腰梯形，正方形、六边形 ； 故选：D． 2．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， 故能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个． 故答案为：3． 3．将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查截一个几何体．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．解题的关键是根据棱柱的定义进行分析． 【详解】解：如图，如图所示的长方体用过的平面切割，得到两个几何体的两个底面都是三角形，三个侧面都是长方形， ∴得到的两个几何体都是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 类型二、含图案的正方体的展开图 【解惑】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点，利用排除法解题． 【详解】解：图2中阴影四边形与三角形相邻，四边形在三角形的左侧， B选项和D选项中，阴影四边形与三角形相对，不合题意， C选项中，阴影四边形与三角形相邻，但四边形在三角形的右侧，不合题意， 选项A中阴影四边形与三角形的位置符合题意． 故选A． 【融会贯通】 1．如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到展开后的图形，解题的关键是要善于想象其侧面展开图的形状． 【详解】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合， 故选：A． 2．如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，熟练掌握其展开图的特点是解决此题的关键． 【详解】将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒， 则和重合，和重合，和重合， 故答案为：． 3．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 类型三、用七巧板拼图形 【解惑】如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面图形的认识．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分面积占正方形面积的． 故选：A． 【融会贯通】 1．（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 【详解】如图： 答：阴影部分的面积为 故选： B． 2．如图是由一副面积为100平方厘米的七巧板（图②）拼成，那么长方形的面积是 平方厘米?（要求计算过程） 【答案】 【分析】本题考查割补法求面积，熟练掌握割补法求面积是解题的关键； 根据题意利用割补法求面积即可求解； 【详解】解：从七巧板知正方形面积等于平方厘米， 按下图分割可知，长方形等于个正方形的面积， 平方厘米 故答案为： 3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板，由题意得，图1中，大正方形的边长为4，图2中，根据“空白部分的面积等于矩形的面积减去正方形的面积的一半”求解即可． 【详解】解：由题意得，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，， 故答案为：． 类型四、已知三视图求最多或最少的小立方体的个数 【解惑】由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示． (1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体； (3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个． 【答案】(1)见解析 (2)9，14 (3)2 【分析】考查了作图-三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数． （1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可； （2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可； （3）根据题意可得其中两面涂色的小立方体有2个． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有个小立方块； 最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有个小立方块． 故答案为：9，14； （3）将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有2个． 故答案为：2． 【融会贯通】 1．用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．试回答下列问题： (1)a，d、f各表示几？ (2)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ (3)当，时，画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)，， (2)最少9块，最多13块 (3)见解析 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的视图． （1）根据主视图得出第1列小立方块的块数为2，第3列小立方块的块数为1，即可得解； （2）根据第2列小立方块的块数最多为，最少为，计算即可得出答案； （3）根据左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，3，画出图形即可． 【详解】（1）解：由主视图可得，第1列小立方块的块数为2，第3列小立方块的块数为1， 故，， （2）解：这个几何体最少由块小立方块搭成， 这个几何体最多由块小立方块搭成； （3）解：如图所示： 2．如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是 （包含底部）； (3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画法是解题的关键． （1）根据三视图的概念求解即可； （2）直接利用三视图分别乘以2求解即可； （3）根据俯视图和左视图求解即可； （4）根据主视图，俯视图和左视图求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵小正方体的棱长是， ∴ 这个几何体的表面积是； （3）解：要使俯视图和左视图不变， 即在主视图的的上面加放小立方体， 故最多可加4个； （4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变， 只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体 故最多可加1个． 3．如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在下面方格中分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求该几何体的表面积（包括底部）； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看到的视图和从左面看到的视图不变，最多可以再添加___________块小正方体，请在备用图中画出来． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6，图见解析 【分析】本题考查了作图三视图，用到的知识点为：计算几何体的表面积应有顺序的分为相对的面进行计算不易出差错；三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． （1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，1；从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，1，1；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；依此画出图形即可； （2）有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）根据保持这个几何体的左视图和俯视图不变，可知添加小正方体的个数． 【详解】（1）如图所示： 从正面看       从左面看         从上面看 （2） ． 故该几何体的表面积（包括底部）是． （3）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看到的视图和从左面看到的视图不变，最多可以再添加6块小正方体． 如图： 故答案为：6； 类型五、直线相交的交点个数 【解惑】按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 【答案】(1)点M在直线l外 (2)见解析 (3)见解析 (4)9 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据射线的定义即可画射线； （3）根据直线的定义即可画直线； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域． 【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外； 故答案为：M在直线l外； （2）解：如图1，射线即为所求； （3）解：如图1，直线即为所求； （4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 【融会贯通】 1．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求： (1)这n条直线共有多少个交点？ (2)这n条直线把平面分割为多少块区域？ 【答案】(1)n条直线，共有个交点 (2)n条直线，将平面分成个区域 【分析】（1）1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，个交点，4条直线，个交点，故n条直线，个交点； （2）1条直线，将平面分成2个区域，2条直线，将平面分成个区域，3条直线，将平面分成个区域，4条直线，将平面分成个区域，故n条直线，将平面分成个区域． 【详解】（1）解：1条直线，0个交点 2条直线，1个交点 3条直线，个交点 4条直线，个交点 5条直线，个交点 故n条直线，个交点 ∴n条直线，共有个交点； （2）解：1条直线，将平面分成2个区域 2条直线，将平面分成个区域 3条直线，将平面分成个区域 4条直线，将平面分成个区域 5条直线，将平面分成个区域 故n条直线，将平面分成个区域 ∴n条直线，将平面分成个区域． 【点睛】本题考查平行线和相交线，解题的关键是找出规律． 2．【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点． 故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 3．（1）直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 ___个交点； （2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 ___个交点． （3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，n（n＞1）条直线最多有 ___个交点． 【答案】（1）3； （2）6； （3）； 【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第三条直线时，应尽量和前面两条直线再产生2个，即有1+2＝3个交点,依此类推即可找到规律． 【详解】解：（1）1+2＝3； （2）3+3＝6； （3）1+2+3+4+5＝15；1+2+3+…+n． 【点睛】在画图的时候，尽量让每两条直线相交产生不同的交点． 类型六、线段n等分点的计算 【解惑】如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 根据，，将未知线段都转化成已知线段，代入数值即可求出的长． 【详解】解：， ， 而是线段的中点， ， 又， ， ， ， 故线段的长为cm． 【融会贯通】 1．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 2．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 3．如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 类型七、线段中的动点问题 【解惑】如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 【融会贯通】 1．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 2．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 3．知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 类型八、角度的四则运算 【解惑】（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【融会贯通】 1．角度计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，按照有理数的运算顺序进行计算即可，注意，是解决问题的关键 （1）两个度数减，度与度，分与分，秒与秒对应相减，若分，秒的结果不够减，则借位后再减； （2）进行角度的乘法运算，将度分秒分别与3相乘，然后依次进位． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的运算，按照实数的运算顺序“先算乘除，后算加减”进行运算，注意，是解题的关键． 【详解】（1）解： = =； （2）解： = =． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查角的运算，掌握角的运算法则是解题的关键 类型九、角n等分线的有关计算 【解惑】（1）如图，点是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长． （2）如图，已知点为直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的三等分线，平角的定义，根据图形确定所求角与已知角的关系是解题的关键．本题考查了线段的中点及三等分点，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差及中点和三等分点，可得答案； （2）根据角平分线的性质得到，再根据角的三等分线定义得到，再由平角的定义得到，即可解答． 【详解】解：（1）， ， 是的中点， ， 则：， 又是的三等分点靠近， ， ． （2），平分， ， ， ， 又， ， ， ． 【融会贯通】 1．【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    【答案】【特例感知】21；【知识迁移】①；②，理由见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差； 【特例感知】欲求，需求．则需求．根据点C和点D分别是，的中点，得，进而解决此题． 【知识迁移】①欲求，需求．已知，需求．由射线和射线分别平分和，可求出，进而解决此题．②与①同理可证． 【类比探究】由，可得，，从而得到，再根据，即可求解． 【特例感知】∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴， ∴． ∴． 故答案为：21． 【知识迁移】①∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ； ②．理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴， ； 【类比探究】∵， ∵， ∴， ， ． 2．解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．    (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）． (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．    (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．    【答案】(1)是 (2)30°，20°或40° (3)或或 【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答； (2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可； (3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1：∵平分， ∴, ∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”． 故答案为：是．    （2）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为． （3）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为．    【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键． 3．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 类型十、旋转角求t 【解惑】已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，由题意得， ∴ ， ∴； ②当时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，，． 【融会贯通】 1．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 【答案】(1) (2)①，②③t为5秒或秒 【分析】（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案； （2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可； ②根据角平分线平分角，结合平角的定义，列出方程，解方程即可得到答案； ③分与相遇前和相遇后两种情况分析解答即可； 【详解】（1）解：当时，旋转的角度为， ∴边经过的量角器刻度线对应的度数是； （2）①当旋转时间为时，则，； 故答案为：，； ②如图， 由旋转可得，， 平分，， ， ， ， ， ， 解得：， 当秒时，边平分； ③在三角尺和三角尺旋转前，， 而， 分两种情况：与相遇前， 则： ， 解得：， 与相遇后，则： ， 解得：， ∴当t为5秒或秒时，． 2．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100 (2) (3)①或30或48；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 3．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点О处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边在射线上，则________；（直接写出结果） (2)如图2，将三角板绕点О逆时针方向旋转，若恰好平分，则所在射线是的平分线吗？如是，请说明理由． (3)如图3，将三角板绕点О逆时针转动到使时，求的度数； (4)将图1中的三角板绕点О以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，所在的直线恰好平分，则t的值为_________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线，见解析 (3) (4)7或43 【分析】本题考查了角的平分线，角的和差，余角， (1)根据题意，计算即可． (2)根据角的平分线的定义，结合题意，计算即可． (3)根据，设，根据题意，列出方程计算即可． (4)根据角的平分线的定义，分OE在角的平分线上和平分线的反向延长线上，计算即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故答案为：． （2）所在射线是的平分线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所在射线是的平分线． （3）∵， 设， 根据题意，得 ∴ 解得， ∵， ∴． （4）当与重合时，根据题意，得, 此时，； 当与重合时，根据题意，得, 此时，； 故当或时，所在的直线恰好平分， 故答案为：或． 【一览众山小】 1．如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 2．如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确； ∵， ∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时， ∵， ∴， ∴； 当点在点左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时， ； 在点的运动过程中，当点在点左边时， ； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误； ∴正确结论有， 故选：． 3．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 4．如图，有两条线段， ， ，在数轴上，点A 表示的数是， 点 D在数轴上表示的数是15．若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为 中点， 则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，找出运动时间为秒时, 点在数轴上表示的数，进而即可找出点在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段的长． 【详解】 解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为， ∵ ∴点一直在点的右侧. ∵为中点, 为中点, ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，， 故答案为： ． 5．如图，C为射线上一点，，比的多5，两点分别从两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线上沿方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为（s），M为的中点，N为的中点，以下结论：①；②；③当时；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 【详解】解：∵，比的多5， ∴，， ∴；故①正确； ∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度， ∴，， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，，， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，解得：，故③正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值与t无关是定值， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想． 6．如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有 ．(填序号)      【答案】①③/③① 【分析】①根据线段的中点的定义以及点D、E可确定点C、F表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点E在点D的右侧时以及点E在点D的左侧时，可得到点E表示的数，由点F为线段的中点可得点F表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到的长，从而确定点P、Q，即可得到的长；④当时，可得到的长，从而确定点P、Q，进而判断． 【详解】解：①若点E表示的数是3， ∵点F为线段的中点，D表示的数是1， ∴，即F表示的数是2， ∵数轴上点A、B表示的数分别是 −9 ， −1 ，点C为线段的中点， ∴点C表示的数为， ∴，故①正确； ②若， 当点E在点D的右侧时，则点E表示的数是4， ∵点F为线段的中点， ∴，即F表示的数是， ∴， 当点E在点D的左侧时，则点E表示的数是， ∵点F为线段的中点， ∴，即F表示的数是， ∴， 综上，或，故②不正确； ③当时，， ∵B、D表示的数分别是，1， ∴P、Q表示的数分别是， ∴，故③正确； ④当时，，， ∴P、Q表示的数分别是，， ∵点P在D、Q的左侧，不可能是线段的中点， 故④不正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差： （1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7； （2）由题意，得：， ∵D点在线段上运动， ∴，， ∴； （3）当时，，， ∵， ∴点在点的左侧， 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 综上：或11． 8．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图点A，点B，点C． (1)作直线； (2)作线段； (3)作射线，并在射线上截取． (4)确定点P的位置，使P点到点A、点B、点C、点D四个点的距离和最短。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】（1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据线段的定义画出图形即可； （3）根据射线，线段的定义画出图形即可． （4）与的交点所在，即为点P 本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段的等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）如图射线，线段即为所求． （4）解：点P如图所示： 9．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (1)请在下图的方格中画出该几何体的主视图和左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，涂该几何体的油漆价格为2元，求该几何体表面涂满油漆所需费用． 【答案】(1)见解析； (2)元． 【分析】本题考查了从不同方向看，几何体表面积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键． （1）根据从正面看，从左面看的定义，画出即可； （2）表面积等于上下面的个数即从上面看的图形正方形个数的倍；左右看的正方形面数，前后看的正方形面数，其和乘以一个正方形的面积即可，进而利用表面积乘以单价即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵小正方体的棱长为， ∴每个小正方形的面积为， ∵  ， ∴几何体的上下面的个数为个，前后面的个数为个，左右面的个数为个， ∴几何体表面涂满油漆所需费用为：（元）． 10．综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$