九上数学第一次月考卷-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

2024-2025学年九上数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化为一般形式为（    ）． A． B． C． D． 2．下列命题错误的是（    ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．如图，在矩形中，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 7．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是4，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 9．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 10．如图，中，，点为边的中点，沿直线翻折至所在平面内得，与交于点．若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可) 12．关于x的一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 13．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 14．等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 15．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径圆弧，两弧交于点M、N，直线分别交于点E、F．若，则 ． 16．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为的矩形土地种植玉米，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差，设该矩形土地的长为，则可列方程为 ． 17．定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 18．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．解方程： (1)； (2) 20．如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求此时方程的根． 22．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点为线段上一点且不与，两点重合．分别以，为边向的同侧作锐角为的菱形，连接．若，作出线段的中点； (2)在图②中，四边形是矩形，边所在的直线上有，两点，且，画出该图形的对称轴． 23．星星服装店以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． (1)填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 24．如图1，已知正方形中，E，F分别是边，上的点（点E，F不与端点重合），且交于点P，过点C作交于点H． (1)求证： (2)若，试求线段的长； (3)如图2，连接并延长交于点Q，若点H是的中点，试求的值． 25．如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B停止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒． (1)若点P、Q均以的速度移动，则： 的面积为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动． ①当秒时，判断的形状，并说明理由； ②当t为何值时，为直角三角形． 26．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________． ​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值； （3）运用以上数形结合的方法，求的最大值． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九上数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将一元二次方程化为一般形式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 2．下列命题错误的是（    ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A. 平行四边形的对角相等，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 【详解】解：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：菱形的面积为； 故选C． 5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且， 即k的取值范围是且． 故选：D 6．如图，在矩形中，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据矩形的性质结合等边三角形的判定方法，得到为等边三角形，进而求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选B． 7．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 8．如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是4，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明得到，进而得到四边形的面积等于的面积，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是4， ∴的面积是4， 故选：A． 9．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 10．如图，中，，点为边的中点，沿直线翻折至所在平面内得，与交于点．若，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，先由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到；由折叠的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程得到，解方程求出，则，即可得到，求出，再证明，则点到的距离是． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 由折叠的性质可得 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离是， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可) 【答案】（或或等） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 12．关于x的一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．设方程另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程另一根为， 根据题意得， 解得． 故答案为：4． 13．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 14．等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 【答案】11或13/13或11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的解为或，再分当腰长为3时，当腰长为5时，两种情况根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：解方程得：或， 当腰长为3时，则等腰三角形的三边长为3，3，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个三角形的周长是； 当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为3，5，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长是11或13， 故答案为：11或13． 15．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径圆弧，两弧交于点M、N，直线分别交于点E、F．若，则 ． 【答案】 【分析】由作图可知，垂直平分，得到，设，则，再根据勾股定理即可求解． 本题考查了矩形的性质，垂直平分的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 故答案为：． 16．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为的矩形土地种植玉米，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差，设该矩形土地的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该矩形土地的长为，则宽为，根据“面积为”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该矩形土地的长为，则宽为， 由题意得：， 故答案为：． 17．定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 18．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点是边的中点， 是的中位线， ． 在正方形中，， ， ， ∴ ∴四边形是平行四边形， ， ． 连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小． 将此时的点记为点，由正方形的对称性可知． ∴． 又， 则的面积为． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系的应用和勾股定理，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质和找到最小值． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：移项：， 配方：， 即， 开方：， ∴； （2）解：移项：， 提公因式： ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． 20．如图，在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)242 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 【详解】（1）解：(1)四边形是菱形，理由是 ，， 四边形是平行四边形 平分 ， ， ， 平行四边形是菱形． （2） 四边形是正方形 ， 四边形的面积为∶． 21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求此时方程的根． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的方程，则可求得的取值范围； （2）将代入方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）解：当时，方程为， 即， ，， 解得，． 22．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，点为线段上一点且不与，两点重合．分别以，为边向的同侧作锐角为的菱形，连接．若，作出线段的中点； (2)在图②中，四边形是矩形，边所在的直线上有，两点，且，画出该图形的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图，熟练利用菱形的性质和矩形的性质是解题关键． （1）连接，相交于点O，连接并延长，交于点M，根据两菱形边长相等，角度相等，可证，，得到，通过C为中点可得，根据等腰三角形三线合一，即M是中点； （2）连接，并延长相交于点M，连接相交于点N，根据矩形的性质可得，再由，可得到，从而得到进而得到，继而得到即可． 【详解】（1）解：如图①所示，点即为所求． （2）解：如图②所示，直线即为所求． 23．星星服装店以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． (1)填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【答案】(1)，， (2)第二个月的单价应是70元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出第二个月的单价和相应的销售量； （2）等量关系为：销售额进价利润，据此列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍，即可得解． 【详解】（1）解：设第二个月降价元， 则第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时的销售量为件， 填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）解：若第二个月每件降价元，则第二个月的单价是元， 根据题意，得， 整理，得， 解这个方程得， 当时，，符合题意． 答：第二个月的单价应是70元． 24．如图1，已知正方形中，E，F分别是边，上的点（点E，F不与端点重合），且交于点P，过点C作交于点H． (1)求证： (2)若，试求线段的长； (3)如图2，连接并延长交于点Q，若点H是的中点，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，求出，即可得证； （2）根据三角形的面积得出，证明得出，再根据即可得解； （3）证明出，在四边形中，设，，则，，，再结合勾股定理得出，即可得解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在正方形中，，， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，设，，则，，，， ∵由勾股定理得， ∴， ∴，即， ∴． 25．如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B停止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒． (1)若点P、Q均以的速度移动，则： 的面积为 ；（用含t的代数式表示） (2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动． ①当秒时，判断的形状，并说明理由； ②当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)①为等腰直角三角形，理由见解析；②经过或时，为直角三角形 【分析】（1）由题意得，则，即可得出答案； （2）①过点作于点，证四边形是矩形，得出，由题意得，则，得出四边形是正方形，点是的中点，再由垂直平分线的性质得出，然后由等腰三角形的性质得，求出，即可得出结论； ②为直角三角形分两种情况：当时，过点作于点，证四边形为矩形，得出，再由题意得，则，然后由勾股定理得出，求出；当时，，则，求出；即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ∴边上的高为， 由题意得：， ， ， 故答案为； （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 如图1，过点作于点， ， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， 由题意得：， ， ∴四边形是正方形，， ∴点是的中点， 又∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， 又， ∴为等腰直角三角形； ②∵点不与点重合， ， ∴为直角三角形分两种情况： 当时， 如图，过点作于点， ， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形， ， 由题意得：， 则， ， 解得：； 当时，， ， 解得：； 综上可知：当为或或时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形面积公式、分类讨论等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及勾股定理是解题的关键． 26．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________． ​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值； （3）运用以上数形结合的方法，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用． （1）构造边长为1的正方形，P为边上的动点，设，则，，，，延长至点，使，当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，，即可求得 的最小值； （2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，，设，则，，，点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，过点D作交于点G，，进而求出的最小值； （3），设，点E在上，，过点D作于点F，由勾股定理可知：，，，证明四边形是矩形， ，分情况讨论，若点D不在线段上则，若点D在线段上，则，进而求得的最大值． 【详解】（1）已知图中，构造边长为1的正方形，P为边上的动点， 设，则， 在中， ， 在中， ， ∴， 延长至点，使，则垂直平分线段，上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有， 连接由“两点之间，线段最短”可知： 当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长， 在中，， ∴ ∴的最小值等于， 故答案为：； （2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，， 设，则， 在中， ， 在中， ， ∴， 延长至点，使，则垂直平分线段， 上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有， 连接由“两点之间，线段最短”可知： 点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长， 过点D作交于点G， 在中，， ∴， ∴的最小值等于； （3）， 设，点E在上，，过点D作于点F，如图： 则，由勾股定理可知： ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 若点D不在线段上， 则， ∴， 若点D在线段上，如图， 则， 即， 综上所述，， ∴的最大值为． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$