专题03 概率的进一步认识（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题03概率的进一步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、求某事件的频率 【解惑】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【融会贯通】 1．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断： ①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 2．小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 3．党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 类型二、由频率估计概率 【解惑】抛掷一枚质地均匀的图钉，图钉落地后，可能针尖朝上，也可能针尖朝下数学小组的同学进行抛掷图钉实验，得到如表实验数据，下列说法错误的（    ） 实验次数 针尖朝上次数 针尖朝上频率 A．投掷次针尖朝上的次数是 B．投掷次的针尖朝上的频率是 C．任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是 D．投掷次图钉，针尖朝上的次数大约有次 【融会贯通】 1．某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（   ） A．投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B．当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是05. C．随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是 0.5 D．如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 2．某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 3．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：估计这批青稞发芽的概率是 结果保留到 每次试验粒数 发芽频数 类型三、几何概率 【解惑】如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 类型四、列举法求概率 【解惑】为提高课外探究性学习效率，数学老师将全班名同学分成人组或人组，则分组方案有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【融会贯通】 1．小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（    ） A． B． C． D． 2．某企业进行产品内部探伤，现有3件产品中，含有1件次品，2件良品，从中任取两件产品，求取出的两件产品中含有次品的概率 ． 3．甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率是 ． 类型五、用频率估计概率的应用 【解惑】【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【融会贯通】 1．某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 2．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 3．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 类型六、列表法或树状图法求概率 【解惑】某社区组织志愿者参加公益活动．活动有A——清理社区绿化带垃圾，B——社区敬老院服务，C——公益知识宣讲，每位志愿者从中任选一项参加即可．小明和小刚两位同学也参加了这次活动． (1)小明选择参加公益知识宣讲的概率是 ． (2)用列表或画树状图的方法求小明和小刚选择参加不同公益活动的概率． 【融会贯通】 1．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某中学开展“机国在我心中”征文比赛，随机调查了n 名学 生的比赛成绩（成绩满分100分）作为样本进行整理、并绘制统计图表，部分信息如下： 被抽查学生的比窦成绩统计表 组别 分数 人数 A 4 B C 10 D E 14 被抽查学生的比赛成绩扇形统计图    请根据以上信息，完成下列问题 (1)填空： ，C组所在扇形的因心角为 °； (2)该校共有1800名学生参赛、若90分以上为优秀，估计参赛学生的优秀人数； (3)已知E组中有2名女生和3名男生获得满分、从中任意抽取两人代表学校参加市级比赛，求抽取的两人恰好是一男一女的概率． 2．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，淮安市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格，某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A（古琴艺术）、B（装裱技艺）、C（刺绣）、D（草编）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． (1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：古琴艺术传承人的概率是______； (2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（装裱技艺）和C（刺绣）传承人的概率． 3．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为了了解社区居民每天的沟通方式，居委会在小区内随机选取50位成年人进行统计（每人选择一种最常用的沟通方式），得出相关统计表和条形统计图（不完整）． 沟通方式 电话 微信 短信 人数人 m 30 n 5 请根据图表所提供的信息，解答下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全条形统计图； (2)若该小区有位成年居民，请据此估计该小区最常用电话和微信沟通的人数； (3)张大妈和李大爷恰好都是随机选取的最常用电话沟通中的两个人，现从最常用电话沟通的几个人中随机选择2位进行采访，求张大妈和李大爷同时被选中的概率． 类型七、游戏的公平性 【解惑】小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图是两个分布均匀且可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，甲、乙两人分别转动一个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字(若指针指向等分线，则重转一次)，用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题： (1)乙转动转盘B一次，求指针指向偶数的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由． 2．周末，小军与小凯出去游玩，小军选择海滨公园，小凯选择海上游乐场．为统一意见，他俩决定通过游戏选择游玩目的地．游戏方法是：把除了标号不同，其他完全相同的标有1、2、3、4、5、6数字的六张卡片分成两组，数字朝下扣在桌面上，两组标号分别为1、3、4和2、5、6．然后小军从任意一组抽取一张，小凯从另外一组中抽取一张，如果两张卡片数字之和能被3整除，按小军意见选择，如果两张卡片数字之和能被2整除，则按小凯意见选择．请用树状图或表格法分析这个游戏是否公平？说明理由． 3．如图，一个均匀的转盘被等分成份，分别标有,这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选择一种： (1)“猜是奇数”或“猜偶数”的概率； (2)猜“是的倍数”或“不是的倍数”的概率； (3)猜“是大于等于的数”或“小于等于的数”的概率；如果轮到你猜数，那么尽可能的获胜，你将选择哪一种猜数方法？说明理由． 类型八、概率的其他应用 【解惑】一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【融会贯通】 1．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 2．为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 3．福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒． (1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______； (2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好． 【一览众山小】 1．如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是（ ） A． B． C． D． 2．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 3．有四张正面分别标有数字， ， ， 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个正数的概率是 ． 4．如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 5．某数学兴趣小组编制了一道游戏试题：将“知必言，言必尽”6个字写在六张完全相同的卡片上，卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后，背面朝上，甲随机抽出一张（不放回），乙再随机抽出一张，若甲、乙两人抽出的字相同，便称为“好朋友”．则一次试验中，甲、乙被称为“好朋友”的概率是 ． 6．大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，属中国国家一级保护动物．大熊猫的主要栖息地是中国四川、陕西和甘肃的山区，它们生性孤僻，常分散独栖于茂密的竹丛中，故得雅号“竹林隐士”．菲菲非常喜爱大熊猫，她购买了四张分别印有大熊猫A．七仔、B．萌兰、C．花花、D．秦韵图案的海报，这四张海报除正面图案不同外其他均相同，她将四张海报背面朝上洗匀，从中随机抽取一张贴在她的卧室里，再从剩下的三张中随机抽取一张贴在她家客厅里，剩下的两张她打算送给好朋友． (1)菲菲在卧室里贴的是萌兰海报的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求菲菲家里贴有七仔海报的概率． 7．初中生安全教育包括以下5种：①交通安全，包括不良的交通习惯，骑自行车的问题，交通事故等知识；②校内外活动安全，包括体育活动安全，学校集会与集体活动安全．校内劳动安全，学生实验安全等知识；③消防安全，包括中学生的消防知识，火灾的预防等知识；④卫生防病安全，包括常见传染病的传播途径与预防等知识；⑤饮食家居安全，包括安全用电，健康饮食等知识．为了解学生安全知识掌握的具体情况，某初中学校开展了一次全校性竞赛活动，抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图和统计表． 参赛成绩 人数 8 12 m 32 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： (1)共抽取了　　　名学生的参赛成绩； (2)将条形统计图补充完整； (3)在本次竞赛中，学生从A，B，C，D四套试卷中任选一套作答．请用列表或面树状图的方法求出甲同学和乙同学选中同一套试卷的概率． 8．在过去的几十年中，中国航天业的跨越式发展，不仅彰显了国家的科技实力和探索精神，更为全人类的宇宙探索事业贡献了重要力量．从东方红一号卫星的成功发射到嫦娥、天问探月火星，再到建设自主的空间站，中国航天不断突破深空的边界，挑战科技的极限．某中学举办以此为主题的知识竞赛，在七、八年级中分别抽取了50名学生的分数进行整理分析，分数分为五个等级，分别是，并给出了部分信息： ①八年级D等级的学生人数占八年级抽取人数的； 七年级C等级中最低的10个分数分别为：； ②七、八年级学生航空知识竞赛分数统计图如图： ③七、八年级学生知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下表格： 平均数 中位数 众数 七年级 76 72 八年级 76 75 73 (1)填空：的值为_____，补全条形统计图 (2)若分数不低于90分表示该生对航空知识的了解程度为优秀，且该校七年级有800人，八年级有1000人，请估计该校七、八年级所有学生中，对了解程度为优秀的学生约有多少人？ (3)学校准备从八年级2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加上级举行的决赛，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03概率的进一步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、求某事件的频率 【解惑】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【融会贯通】 1．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断： ①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据概率公式和摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理符合题意； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球个，故本选项推理符合题意； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率也还是0.35，故本选项推理不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，根据概率求数量等，解题的关键是要明确大量反复试验下频率稳定值即概率． 2．小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 3．党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知， 估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 类型二、由频率估计概率 【解惑】抛掷一枚质地均匀的图钉，图钉落地后，可能针尖朝上，也可能针尖朝下数学小组的同学进行抛掷图钉实验，得到如表实验数据，下列说法错误的（    ） 实验次数 针尖朝上次数 针尖朝上频率 A．投掷次针尖朝上的次数是 B．投掷次的针尖朝上的频率是 C．任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是 D．投掷次图钉，针尖朝上的次数大约有次 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．分别由频率频数试验次数，频率估计概率判断即可． 【详解】解：A、投掷次针尖朝上的次数是，原说法正确，不符合题意； B、投掷次的针尖朝上的频率是，原说法正确，不符合题意； C、任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是，原说法错误，符合题意； D、投掷次图钉，针尖朝上的次数大约有次，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（   ） A．投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B．当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是05. C．随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是 0.5 D．如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答． 【详解】解：A、进行多次试验频率才能反映其概率，故选项不符合题意； B、当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率接近0.5，但不一定是0.5，故选项不符合题意； C、随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是0.5，故选项符合题意； D、如果实验次数超过10000000时，频率接近0.5，故选项不符合题意． 故选：C． 2．某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润． 故答案为：． 3．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如表：估计这批青稞发芽的概率是 结果保留到 每次试验粒数 发芽频数 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．根据表格中的数据，可以估算出这批青稞发芽的概率． 【详解】解：由表格中的数据可得， ，，，，， 由上可得，估计这批青稞发芽的概率是， 故答案为：． 类型三、几何概率 【解惑】如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比=几何概率．击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=， 故选B 【融会贯通】 1．如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，矩形的性质．根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论． 【详解】解：四边形为矩形， ， 在与中， ， ， 阴影部分的面积， 与同底且的高是高的， ． 矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是， 故选：B． 2．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和概率公式及菱形的性质．由题意可证，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：，， ，， 、分别是的三等分点， ，， ， ， 同理可得，， 小球最终停在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设总面积为16， 则其中阴影部分面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 类型四、列举法求概率 【解惑】为提高课外探究性学习效率，数学老师将全班名同学分成人组或人组，则分组方案有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，二元一次方程的解，准确理解题意是解题的关键．先列举，再利用二元一次方程的解得到两种情况，即可求解． 【详解】①全是3人组，共有组； ②全是4人组，共有组； ③设3人组有x组，也有4人组有y组， 则， 解得或 综上，共有4种分组方案， 故选：C． 【融会贯通】 1．小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排序的结果是解题的关键． 【详解】解：因为后位是三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是：；；；；；；共种情况，而正确的只有种，所以第一次就拨通电话的概率是， 故选：． 2．某企业进行产品内部探伤，现有3件产品中，含有1件次品，2件良品，从中任取两件产品，求取出的两件产品中含有次品的概率 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用例举法求解随机事件的概率，先例举所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：3件产品，含有1件次品，2件良品，用表示良品，用表示次品； 从中任取两件产品，所有可能结果有，，，，，， ∴取出的两件产品中含有次品的概率为， 故答案为： 3．甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，先根据题意将所有的情况列出来，再得到符合题意的情况，即可求得概率，列出所有情况是解题的关键． 【详解】解：根据题意可列表如下： 红球 红球 白球 红球 都是红球 都是红球 1红1白 白球 1红1白 1红1白 都是白球 共有6种等可能结果，符合题意的有2种， ∴摸出的两个球的颜色都是红色的概率是， 故答案为：． 类型五、用频率估计概率的应用 【解惑】【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【融会贯通】 1．某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 【答案】(1)63； (2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是 【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可． （1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可； （2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是． 2．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 【答案】(1) (2) (3)频率的变化稳定在附近 (4) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数，计算即可得出答案； （2）由频数乘以频率即可得到答案； （3）利用频率估计概率求解即可． （4）由稳定的频率可得概率 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近； （4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是 3．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)0.905 (2) (3)估计还要移植8000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率的综合应用： （1）根据成活率等于成活数除以移植棵数，进行计算即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式求数量即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.905； （2）由题意，估计该种苹果树苗成活的概率是； 故答案为：； （3）； 答：估计还要移植8000棵这种苹果树苗． 类型六、列表法或树状图法求概率 【解惑】某社区组织志愿者参加公益活动．活动有A——清理社区绿化带垃圾，B——社区敬老院服务，C——公益知识宣讲，每位志愿者从中任选一项参加即可．小明和小刚两位同学也参加了这次活动． (1)小明选择参加公益知识宣讲的概率是 ． (2)用列表或画树状图的方法求小明和小刚选择参加不同公益活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小明选择参加公益知识宣讲的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小刚选择参加不同公益活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小明选择参加公益知识宣讲的结果有1种， ∴小明选择参加公益知识宣讲的概率是． （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小刚选择参加不同公益活动的结果有：，，，，，，共6种， ∴小明和小刚选择参加不同公益活动的概率为． 【融会贯通】 1．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某中学开展“机国在我心中”征文比赛，随机调查了n 名学 生的比赛成绩（成绩满分100分）作为样本进行整理、并绘制统计图表，部分信息如下： 被抽查学生的比窦成绩统计表 组别 分数 人数 A 4 B C 10 D E 14 被抽查学生的比赛成绩扇形统计图    请根据以上信息，完成下列问题 (1)填空： ，C组所在扇形的因心角为 °； (2)该校共有1800名学生参赛、若90分以上为优秀，估计参赛学生的优秀人数； (3)已知E组中有2名女生和3名男生获得满分、从中任意抽取两人代表学校参加市级比赛，求抽取的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50，72； (2)估计参赛学生的优秀人数为1080人 (3) 【分析】（1）用组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数；用乘以组人数所占的百分比得到组的圆心角的度数； （2）先计算出组的人数，然后用1800乘以样本中组和组人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出恰好抽到一男一女的结果数12，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． 【详解】（1）解：本次共调查的学生人数为（人）； 组的圆心角为， 故答案为：50、72； （2）解：组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 则估计优秀的人数为（人）． （3）解：依题意，记E组中有2名女生和3名男生分别为 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果数为12， ∴恰好抽到一男一女的概率为． 2．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，淮安市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格，某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A（古琴艺术）、B（装裱技艺）、C（刺绣）、D（草编）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． (1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：古琴艺术传承人的概率是______； (2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（装裱技艺）和C（刺绣）传承人的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案. （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【详解】（1）解：由题意得，选中（古琴艺术）传承人的概率是； 故答案为： ； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中琴书和香包的相关传承人的结果有种， ∴选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的概率为． 3．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为了了解社区居民每天的沟通方式，居委会在小区内随机选取50位成年人进行统计（每人选择一种最常用的沟通方式），得出相关统计表和条形统计图（不完整）． 沟通方式 电话 微信 短信 人数人 m 30 n 5 请根据图表所提供的信息，解答下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全条形统计图； (2)若该小区有位成年居民，请据此估计该小区最常用电话和微信沟通的人数； (3)张大妈和李大爷恰好都是随机选取的最常用电话沟通中的两个人，现从最常用电话沟通的几个人中随机选择2位进行采访，求张大妈和李大爷同时被选中的概率． 【答案】(1)5，10，图见解析 (2)人 (3) 【分析】此题考查树状图或列表法求概率、样本估计总体、求条形统计图的相关数据和补全条形统计图． （1）利用条形统计图的数据和调查总人数即可求出m和n的值，据此补全条形统计图即可； （2）用小区总人数乘以抽取人数中最常用电话和微信沟通的人数的占比即可； （3）列表法列出所有等可能情况数，用符合要求的情况数除以总的情况数即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可得，， ， 故答案为：5，10； 补全条形统计图如图所示： （2）（人） ∴估计该小区最常用电话和微信沟通的人数约3500人． （3）将最常用电话沟通的另外三个人分别记为A，B，C，列表如下： A B C 张大妈 李大爷 A （张大妈） （李大爷） B （张大妈） （B，李大爷） C （C，张大妈） （C，李大爷） 张大妈 （张大妈，A） （张大妈，B） （张大妈，C） （张大妈，李大爷） 李大爷 （李大爷，A） （李大爷，B） （李大爷，C） （李大爷，张大妈） 共有20种等可能的结果，其中张大妈和李大爷同时被选中的结果有：（张大妈，李大爷），（李大爷，张大妈），共2种，故张大妈和李大爷同时被选中的概率为． 类型七、游戏的公平性 【解惑】小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【答案】(1)； (2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析． 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）分别求出和为奇数和偶数的概率即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中和为的结果有种， ∴这两数和为的概率为； （2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 由表可得，，， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 【融会贯通】 1．如图是两个分布均匀且可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，甲、乙两人分别转动一个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字(若指针指向等分线，则重转一次)，用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题： (1)乙转动转盘B一次，求指针指向偶数的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再计算出甲获胜的概率和乙获胜的概率，然后通过比较两概率的大小判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：指针指向偶数的概率． （2）解：这个游戏不公平． 理由：画树状图如图所示． 　 ∴共有12种等可能的结果，其中积是奇数的结果数为4，积是偶数的结果数为8， ∴甲获胜的概率==，乙获胜的概率． ∵， ∴这个游戏不公平． 2．周末，小军与小凯出去游玩，小军选择海滨公园，小凯选择海上游乐场．为统一意见，他俩决定通过游戏选择游玩目的地．游戏方法是：把除了标号不同，其他完全相同的标有1、2、3、4、5、6数字的六张卡片分成两组，数字朝下扣在桌面上，两组标号分别为1、3、4和2、5、6．然后小军从任意一组抽取一张，小凯从另外一组中抽取一张，如果两张卡片数字之和能被3整除，按小军意见选择，如果两张卡片数字之和能被2整除，则按小凯意见选择．请用树状图或表格法分析这个游戏是否公平？说明理由． 【答案】游戏不公平 【分析】本题考查是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：列树状图为： 由树状图可得共有种等可能结果，和能被整除的有种，能被整除的有8种， 选择小军意见的概率为，选择小凯意见的概率为， ∵， ∴ 游戏不公平． 3．如图，一个均匀的转盘被等分成份，分别标有,这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选择一种： (1)“猜是奇数”或“猜偶数”的概率； (2)猜“是的倍数”或“不是的倍数”的概率； (3)猜“是大于等于的数”或“小于等于的数”的概率；如果轮到你猜数，那么尽可能的获胜，你将选择哪一种猜数方法？说明理由． 【答案】(1)“猜是奇数”或“猜偶数”的概率都是 (2)“是的倍数”的概率是，“不是的倍数”的概率是 (3)选择“不是的倍数”，见解析 【分析】（1）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答； （2）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答； （3）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答．本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种， ∴“是奇数”或“猜偶数”的概率都是， ∴“猜是奇数”或“猜偶数”的概率都是； （2）解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“是的倍数”的有种，“不是的倍数”的种， ∴“是的倍数”的概率是，“不是的倍数”的概率是； （3）解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“是大于等于的数”的有种，“小于等于的数”的有种， ∴“是大于等于的数”的概率是，“小于等于的数”的概率是， ∴选择“不是的倍数”，这样获胜的概率为，获胜的可能性最大． 类型八、概率的其他应用 【解惑】一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【答案】(1) (2)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了随机事件的可能性，掌握可能性的计算公式是解题的关键． （1）先确定所有等可能结果数、翻到“手机”的结果数，然后运用概率公式计算即可； （2）设计一个有等可能结果数为9，翻到“球拍”的结果数为4的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：． （2）解：设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一） 【融会贯通】 1．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 2．为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析 (2)九年级的获奖率高，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． （1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可； （2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 3．福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒． (1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______； (2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好． 【答案】(1) (2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析 【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解； （2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断． 【详解】（1）解：列表得： 4 2 1 1 4 / 2 / 1 / 1 / 共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况， ∴． 故答案为：． （2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元， 则可兑换4元的概率为，兑换2元的概率为，兑换1元的概率为， 因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）； 若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元， 由（1）可知， 可兑换6元的概率为， 可兑换5元的概率为， 可兑换3元的概率为， 可兑换2元的概率为， 因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：（元）； ∵， ∴李同学应该买一个小盲盒好． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，用红色区域所占的面积除以转盘的总面积即可． 【详解】解：自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是， 故选：C． 2．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 3．有四张正面分别标有数字， ， ， 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个正数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为正数的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是， 故答案为：． 4．如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个， ∴假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是． 故答案为： 5．某数学兴趣小组编制了一道游戏试题：将“知必言，言必尽”6个字写在六张完全相同的卡片上，卡片的背面完全相同，将卡片洗匀后，背面朝上，甲随机抽出一张（不放回），乙再随机抽出一张，若甲、乙两人抽出的字相同，便称为“好朋友”．则一次试验中，甲、乙被称为“好朋友”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图求概率，熟练掌握列表法与树状图是解题的关键．根据题意列表求出所有等可能的结果即可得到答案． 【详解】解：列表如下： 知 必 言 言 必 尽 知 （必，知） （言，知） （言，知） （必，知） （尽，知） 必 （知，必） （言，必） （言，必） （必，必） （尽，必） 言 （知，言） （必，言） （言，言） （必，言） （尽，言） 言 （知，言） （必，言） （言，言） （必，言） （尽，言） 必 （知，必） （必，必） （言，必） （言，必） （尽，必） 尽 （知，尽） （必，尽） （言，尽） （言，尽） （必，尽） 共有种等可能的情况，其中甲、乙两人抽出的字相同有种， 故甲、乙被称为“好朋友”的概率是． 故答案为：． 6．大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，属中国国家一级保护动物．大熊猫的主要栖息地是中国四川、陕西和甘肃的山区，它们生性孤僻，常分散独栖于茂密的竹丛中，故得雅号“竹林隐士”．菲菲非常喜爱大熊猫，她购买了四张分别印有大熊猫A．七仔、B．萌兰、C．花花、D．秦韵图案的海报，这四张海报除正面图案不同外其他均相同，她将四张海报背面朝上洗匀，从中随机抽取一张贴在她的卧室里，再从剩下的三张中随机抽取一张贴在她家客厅里，剩下的两张她打算送给好朋友． (1)菲菲在卧室里贴的是萌兰海报的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求菲菲家里贴有七仔海报的概率． 【答案】(1) (2)菲菲家里贴有七仔海报的概率为 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到菲菲家里贴有七仔海报的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有4张海报，每张海报被抽取的概率相同， ∴菲菲在卧室里贴的是萌兰海报的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，菲菲家里贴有七仔海报的结果数为6种， ∴菲菲家里贴有七仔海报的概率为． 7．初中生安全教育包括以下5种：①交通安全，包括不良的交通习惯，骑自行车的问题，交通事故等知识；②校内外活动安全，包括体育活动安全，学校集会与集体活动安全．校内劳动安全，学生实验安全等知识；③消防安全，包括中学生的消防知识，火灾的预防等知识；④卫生防病安全，包括常见传染病的传播途径与预防等知识；⑤饮食家居安全，包括安全用电，健康饮食等知识．为了解学生安全知识掌握的具体情况，某初中学校开展了一次全校性竞赛活动，抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图和统计表． 参赛成绩 人数 8 12 m 32 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： (1)共抽取了　　　名学生的参赛成绩； (2)将条形统计图补充完整； (3)在本次竞赛中，学生从A，B，C，D四套试卷中任选一套作答．请用列表或面树状图的方法求出甲同学和乙同学选中同一套试卷的概率． 【答案】(1)80 (2)见解析 (3)甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的概率是． 【分析】（1）根据“优秀”等次人数及所占百分数可得抽取学生的总数； （2）先求出“中等”“良好”等次人数，再补充条形统计图； （3）利用列表法或画树状图法求解． 【详解】（1）解：由所给的统计图、表，可知“优秀”等次有32人，占比为， 因此抽取学生总数为：（人）， 故答案为：80； （2）解：“良好”等次人数为：（人）， 条形统计图补充完整后如下所示： ； （3）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的情况，其中甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的情况有4种， ， 即甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的概率是． 【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、列表法或画树状图法求概率等知识点，解题的关键是将所给统计图、表中的信息进行关联． 8．在过去的几十年中，中国航天业的跨越式发展，不仅彰显了国家的科技实力和探索精神，更为全人类的宇宙探索事业贡献了重要力量．从东方红一号卫星的成功发射到嫦娥、天问探月火星，再到建设自主的空间站，中国航天不断突破深空的边界，挑战科技的极限．某中学举办以此为主题的知识竞赛，在七、八年级中分别抽取了50名学生的分数进行整理分析，分数分为五个等级，分别是，并给出了部分信息： ①八年级D等级的学生人数占八年级抽取人数的； 七年级C等级中最低的10个分数分别为：； ②七、八年级学生航空知识竞赛分数统计图如图： ③七、八年级学生知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下表格： 平均数 中位数 众数 七年级 76 72 八年级 76 75 73 (1)填空：的值为_____，补全条形统计图 (2)若分数不低于90分表示该生对航空知识的了解程度为优秀，且该校七年级有800人，八年级有1000人，请估计该校七、八年级所有学生中，对了解程度为优秀的学生约有多少人？ (3)学校准备从八年级2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加上级举行的决赛，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)74，补全条形统计图见详解 (2)估计该校七、八年级所有学生中，对了解程度为优秀的学生约有328人 (3)恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 【分析】（1）由扇形统计图的信息可求出m的值，然后根据中位数的定义求出a即可，用总人数乘以八年级D等级人数的占比即可求出D组的人数，进而可求出E等级的人数，然后补全条形统计图即可． （2）分别用样本估计出七八年级优秀等级的人数，然后相加即可． （3）列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知：， ∴， ∴按从小到大排列，a的值在C等级中第25位和26位数的平均数为：， 故， 八年级D等级的人数有：（人）， 则E等级的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： （2）， 故估计该校七、八年级所有学生中，对了解程度为优秀的学生约有328人 （3）根据题意列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 一共有12种情况，其中一名男生和一名女生的情况有8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图相关信息，用样本估计总体，中位数，用树状图或列表法求概率等知识，读懂统计图是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$