上海高二上学期第一次月考模拟卷01 （测试范围：空间直线与平面、简单几何体）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

2024年秋季上海高二上学期第一次月考模拟卷01 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围: 空间直线与平面、简单几何体） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用集合符号表示直线在平面上 　　． 【分析】直线在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可． 【解答】解：直线在平面上，即直线包含于平面，利用集合与集合的关系表示为． 故答案为：． 【点评】本题考查线面位置关系的符号表示法，属于基础题． 2．请写出公理2及其三个推论中的一条：　两条相交直线（答案不唯一）　确定一个平面． 【分析】根据公理的内容即可求解． 【解答】解：公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面， 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面． 故答案为：两条相交直线（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题． 3．圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积为 　　． 【分析】利用圆柱的体积公式求解． 【解答】解：圆柱的底面半径为1，高为2， 其体积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式，属于基础题． 4．正方体中，直线和直线所成角的大小为 　　． 【分析】由，得是直线和所成角，由此能求出直线和所成角的大小． 【解答】解：如图示： 连结， ，是线和所成角， ， ， 直线和所成角的大小为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与直线所成角的大小的求法，考查数形结合思想，是基础题． 5．空间中两条异面直线所成角为，直线与平面所成角为，若的取值集合为，的取值集合为，则 　　．（填“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 【分析】根据异面直线所成角的范围和直线与平面所成角的范围求出集合，，进而判断集合，的关系． 【解答】解：由题意可知，，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了异面直线所成角的范围，以及直线与平面所成角的范围，属于基础题． 6．在正方体中，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是 　相交　（从相交，平行，异面中选填） 【分析】连接，，与交于点，易得是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线与直线的位置关系． 【解答】解：如图所示： 连接，，与交于点， 由题意，易得四边形是平行四边形， 在平行四边形中，，分别是线段，的中点， ，又且，，，共面， 则直线与直线相交． 故答案为：相交． 【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 7．如图，某人沿山坡的直行道向上行走，直行道与坡脚（直线成角，山坡与地平面所成二面角的大小为．若此人沿直行道向上行走了200米，那么此时离地平面的高度为 　　米． 【分析】根据三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形，即可求解． 【解答】解：如图，若此人沿直行道向上行走了200米到达点， 过作平面于点，则即为所求， 再过作于点，连接， 则根据三垂线定理可得， 二面角的平面角为， 又，，， 又，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查二面角的概念，三垂线定理的应用，属中档题． 8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与至少含有三个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 　44　． 【分析】由题意分类讨论确定“正交线面对”的个数即可 【解答】解：对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”， 这样的“正交线面对”有个； 对于每一条面对角线都可以与一个对角面构成“正交线面对”， 这样的“正交线面对”有12个； 对于每一条体对角线都可以与有两个面与其构成“正交线面对”， 这样的“正交线面对”有个， 所以共为个， 故答案为：44． 【点评】本题主要考查组合计数问题，分类讨论的数学思想，加法原理的应用等知识，属于中等题． 9．如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为 　　． 【分析】设，连接，，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与直线的方向向量，利用向量法可求直线与直线所成角的余弦值． 【解答】解：设，连接，，直线即为直线． 易证得，由，为的中点，得， 以为坐标原点，．，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则得：，0，，，0，，，0，，，6，， ，0，，，6，， 所以得：，， 故直线与直线 所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与直线的夹角，考查直观想象、数学运算的核心素养，属中档题． 10．在平面内，，是平面的斜线，，点是上一点，且，则线段在平面上的射影长为 　　． 【分析】首先推得在平面上的射影为的平分线，在空间的三余弦定理，可得，即可得到所求射影长． 【解答】解：由是平面的斜线，， 可得在平面上的射影为的平分线， 又，可得， 由空间的三余弦定理可得， 即， 解得， 则线段在平面上的射影长为． 故答案为：． 【点评】本题考查空间的三余弦定理和射影的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 11．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是 　　． 【分析】先用二面角的平角概念，确定为侧面与底面所成的二面角的平面角，再用解直角三角法求解． 【解答】解：因为底面是边长为1的正方形，所以， 又因为底面，底面，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 于是为侧面与底面所成的二面角的平面角， 因为底面，底面，， 又因为，，所以，于是侧面与底面所成的二面角的大小为． 故答案为． 【点评】本题考查了二面角的平面角概念及用解直角三角形法求二面角问题，考查直线与平面的位置关系，属于中档题． 12．如图，在正方体中，、、分别是、和的中点，则下列关系： ①； ②平面； ③； ④和平面， 正确的编号为　①②④　． 【分析】①，由面，面，得，； ②，取的中点，可得面； ③，若，可得面，与已知矛盾； ④，取中点，可得面，，即可得平面 【解答】解：对于①，面，面，，故正确； 对于②，如图1，取的中点，可得面，故正确； 对于③，若，可得面，与已知矛盾，故错； 对于④，如图2，取中点，可得面，，又面，， 平面，故正确． 故答案为：①②④ 图1 图2 【点评】本题考查了空间位置关系的判定，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知直线与平面平行，且它们的距离为，则到直线与到平面的距离都等于的点的集合是　　 A．空集 B．二条平行直线 C．一条直线 D．一个平面 【分析】求出与平面距离为定值的点的集合，再求出在平面内与直线距离为定值的点的集合即可． 【解答】解：依题意，与平面的距离为的点的集合是平行于平面，且到平面的距离为的两个平行平面， 由于平行于平面的直线与平面的距离为， 因此直线只在上述两个平行平面中的一个中， 在此平面内到直线的距离为的点的集合是平行于直线且到直线的距离为的两条平行直线， 所以到直线与到平面的距离都等于的点的集合是：两条平行直线． 故选：． 【点评】本题考查直线到平面和平面到平面的距离，属于中档题． 14．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，，且，是异面直线，则，所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方体的8个顶点构成的异面直线中，先确定它们可能的大小，然后进行排除． 【解答】解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况： ①若两异面直线为和，此时两直线所成的角为． ②若两异面直线为和，此时两直线所成的角为． ③若两异面直线为和，此时两直线所成的角为． ④若两异面直线为和，此时两直线所成的角为，． 故选：． 【点评】本题主要考查异面直线所成角的大小求法，属于中档题．． 15．已知平面，，，且，且，则下列叙述错误的有　　个． ①直线与是异面直线； ②直线在上的投影可能与平行； ③过有且只有一个平面与垂直； ④过有且只有一个平面与平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由公理3结合反证法思想判断①；举例说明②正确；由异面直线垂直及线面关系判断③；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断④． 【解答】解：对于①，若直线与是共面直线，设与共面， 不共线的三点，，均在与内，与重合， 又不共线的三点，，均在与内，与重合， 则与重合，与矛盾， 故直线与是异面直线，①正确； 对于②，当，，且二面角为锐二面角时， 直线在上的射影与平行，②正确； 对于③，只有当与异面垂直时，过有且只有一个平面与垂直， 否则，不存在过与垂直的平面，故③错误． 对于④，在上任取一点，过该点作的平行线，则由与确定一个平面，该平面与平行， 若过另外有平面与平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线外的一点有两条直线与平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故④正确； 故错误命题有1个． 故选：． 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 16．如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，，并分别取它们的中点，，，连接，，，，，，，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱为直三棱柱，由体积公式求解即可． 【解答】解：如图，连接，，，并分别取它们的中点，，，连接，，，，，，， 则，，，且，，， 连接，可得， 因为平面，又平面， 则， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 同理可得，， 又， 则平面， 所以平面，平面，平面， 则三棱柱为直三棱柱， 由正方体的棱长为1，可得，， 故． 故选：． 【点评】本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，已知平面，． （1）求证：平面平面； （2）若，，求该几何体的全面积． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质，面面垂直的判定定理，即可证明； （2）由（1）可知，，，都是直角三角形．再计算即可求解． 【解答】解：（1）证明：平面，平面， ，又，， 平面，又平面， 平面平面； （2）由（1）可知，，，都是直角三角形， 该几何体的全面积为： ． 【点评】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的全面积的求解，属基础题． 18．如图，在正方体中，，求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案； （2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为． 【解答】解：（1），即为异面直线与所成角， ，由勾股定理得，， 故， ； （2）连接交于，则， 平面，平面， ， 又，，，平面， 面， 线段为所求距离，则点到平面的距离为． 【点评】本题考查空间角及空间距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 19．如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小（用反三角表示）． 【分析】（1）先证平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论． （2）由平面得为二面角的平面角，直线与平面所成角为，解三角形即可求出结果． 【解答】（1）证明：因为平面所在平面，平面所在平面，，所以所在平面， 又所在平面，所以，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）解：因为平面，在平面上的投影为，故直线与平面所成角为， 因为二面角的大小为，，，所以，又因为， 所以，，，所以，． 故直线与平面所成角为． 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、二面角、直线与平面所成角，考查运算求解能力，是中档题． 20．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足． （1）求证：； （2）求将绕旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比； 如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线与平面所成的角． 【分析】（1）结合圆的性质，利用线面垂直的判定定理及性质定理，可得答案； （2）根据圆锥的表面积公式和圆柱表面积公式计算，能求出结果； （3）根据线面角的定义，结合面面垂直的性质，利用几何法，可得答案． 【解答】解：（1）证明：根据圆柱的性质，平面，平面，， 是圆柱底面的直径，点在圆周上，， ，平面， 平面，， ，且，平面， 平面，． （2）将绕旋转一周所得几何体为圆锥，其母线为，半径为， 设，则， 该圆锥的表面积为， 圆柱表面积为， 将绕旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比为： ． （3）平面平面，过作， 由平面平面，平面，则平面， 为与平面所成角， 设圆柱的底半径为， 圆柱的轴截面是正方形，， 圆柱的体积，的面积， 三棱锥的体积为， 圆柱与三棱锥的体积比为，， 解得，点为圆柱底面圆的圆心， ． 直线与平面所成角为． 【点评】本题考查线面垂直、线线垂直、旋转体体积、表面积、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．已知矩形的长为2，宽为1．（如图（1）、（2）所示） （1）若为的中点，将矩形沿折起，使得平面平面，分别求到和的距离． （2）在矩形中，点是的中点、点是的三等分点（靠近点）．沿折痕将翻折成△，使平面平面．又点，分别在线段，上，若沿折痕将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长． 【分析】（1）取中点，过作，，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理计算即得． （2）过作于，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合勾股定理计算即得． 【解答】解：（1）取中点，过作，，垂足分别为，，连接，，， 由，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面， 又平面，即有， 又，，平面， 所以平面，而平面， 所以，即的长是点到直线的距离， 同理长是点到直线的距离， 显然，，四边形是矩形， ，，又， 因此， ， 所以到和的距离分别为，． （2）作于，于，连接，，，， 如图，在中，，，则， ，， 于是， ， ， 设，则， ，， 翻折后，平面平面，平面平面，，平面， 则平面，而平面，于是， ，由点与重合，得， 因此，整理得， 解得， 所以线段的长为． 【点评】此题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断，考查了翻折问题，考查了点到直线的距离及线段长的求法，考查了转化思想、数形结合思想，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季上海高二上学期第一次月考模拟卷01 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围: 空间直线与平面、简单几何体） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用集合符号表示直线在平面上 　　． 2．请写出公理2及其三个推论中的一条：　　确定一个平面． 3．圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积为 　　． 4．正方体中，直线和直线所成角的大小为 　　． 5．空间中两条异面直线所成角为，直线与平面所成角为，若的取值集合为，的取值集合为，则 　　．（填“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 6．在正方体中，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是 　　（从相交，平行，异面中选填） 7．如图，某人沿山坡的直行道向上行走，直行道与坡脚（直线成角，山坡与地平面所成二面角的大小为．若此人沿直行道向上行走了200米，那么此时离地平面的高度为 　　米． 8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与至少含有三个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 　　． 9．如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为 　　． 10．在平面内，，是平面的斜线，，点是上一点，且，则线段在平面上的射影长为 　　． 11．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是 　　． 12．如图，在正方体中，、、分别是、和的中点，则下列关系： ①； ②平面； ③； ④和平面， 正确的编号为　　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知直线与平面平行，且它们的距离为，则到直线与到平面的距离都等于的点的集合是　　 A．空集 B．二条平行直线 C．一条直线 D．一个平面 14．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，，且，是异面直线，则，所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是　　 A． B． C． D． 15．已知平面，，，且，且，则下列叙述错误的有　　个． ①直线与是异面直线； ②直线在上的投影可能与平行； ③过有且只有一个平面与垂直； ④过有且只有一个平面与平行． A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，已知平面，． （1）求证：平面平面； （2）若，，求该几何体的全面积． 18．如图，在正方体中，，求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 19．如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小（用反三角表示）． 20．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足． （1）求证：； （2）求将绕旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比； 如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线与平面所成的角． 21．已知矩形的长为2，宽为1．（如图（1）、（2）所示） （1）若为的中点，将矩形沿折起，使得平面平面，分别求到和的距离． （2）在矩形中，点是的中点、点是的三等分点（靠近点）．沿折痕将翻折成△，使平面平面．又点，分别在线段，上，若沿折痕将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$