3.1.2 椭圆的简单几何性质12题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得到一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 椭圆的简单几何性质 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 题型1：研究椭圆的简单几何性质 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距为4，则m的值为 ． 1-2．（2024高二上·浙江湖州·期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等 题型2：由几何性质求标准方程 2-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（    ） A． B． C．或 D． 2-2．（2024高三·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 题型3：点和椭圆的位置关系 3-1．（2024高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 3-2．【多选】（2024高二上·全国·课后作业）已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高二上·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-4．【多选】（2024高二上·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． （二） 求椭圆的离心率 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：求椭圆的离心率 4-1．（2024高二下·浙江温州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 . 4-2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024·海南海口·模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024·辽宁辽阳·二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型5：求椭圆的离心率的取值范围 5-1．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 5-2．（2024高二下·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024·甘肃定西·模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ． 5-4．（2024高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：由椭圆的离心率求参数 6-1．（2024高二上·重庆沙坪坝·期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 6-2．（2024·全国）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高三下·上海松江·阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 . 6-4．（2024高二上·全国·专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是 （三） 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． 题型7：判断直线与椭圆的位置关系 7-1．（2024高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024·四川南充·一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 7-4．（2024高三·全国·对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． （四） 求相交弦长问题 1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2.求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：． 题型8：求直线与椭圆的相交弦长 8-1．（2024高二上·青海西宁·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求椭圆E的方程： (2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长． 8-2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值． 8-3．（2024高三·全国·对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ． 8-4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，过左焦点的斜率为1的直线与椭圆分别交于A，B两点，求． （五） 椭圆的中点弦问题 1、椭圆的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有. 2、椭圆的中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型9：求解椭圆的中点弦问题 9-1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024高二·全国·课后作业）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 9-3．（2024高二下·新疆塔城·开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 . （六） 与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 题型10：与椭圆有关的最值问题 10-1．（2024高三·全国·对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 10-2．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 10-3．（2024高三上·四川内江·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 10-4．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ． 10-5．（2024高二上·江苏苏州·期末）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　） A． B． C． D． （七） 1.求解直线或曲线过定点问题的策略 2.求定值问题的策略 题型11：椭圆的定点、定值问题 11-1．（2024·广西·模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 11-2．（2024高二下·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 11-3．（2024高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 11-4．（2024高三上·江西萍乡·期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. （八） 椭圆的实际应用 解决椭圆的实际问题的基本步骤 (1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系． (2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系． (3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　 题型12：椭圆的实际应用 12-1．（2024高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 12-2．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12-3．（2024高二下·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 12-4．（2024高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高三·全国·对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 2．（2024高二上·全国·课前预习）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2024高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线是（    ） A．焦点为点与，离心率为的椭圆 B．焦点为点与，离心率为的椭圆 C．焦点为点与，离心率为的椭圆 D．焦点为点与，离心率为的椭圆 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西·一模）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·江西萍乡·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ）    A． B． C． D． 7．（2024高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 8．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线与椭圆相切，则实数m的值等于（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·山东济南·期末）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 11．（2024高二·全国·课后作业）直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·广东茂名·期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（2024高二上·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二下·云南昆明·期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二·全国·课后作业）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二下·广西河池·期末）已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·全国·课后作业）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·重庆万州·模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（    ） A．±1 B．± C． D．± 21．（2024高二下·贵州遵义·期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2024·陕西西安·二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二上·浙江·期中）已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 26．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（    ） A．（0，） B．（，] C． D． 27．（2024高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题28．（2024高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18 29．（2024高三·全国·专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等 C． D．与小椭圆相切 三、填空题 30．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 . 31．（2024高三上·江苏泰州·期末）若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 . 32．（2024高三·全国·专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 33．（2024高三·全国·对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ． 34．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 35．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 . 36．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为 ． 37．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 . 38．（2024高二上·全国·课后作业）过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ． 39．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 . 四、解答题 40．（2024高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 41．（2024高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 42．（2024高二下·北京·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 43．（2024高二上·全国·课后作业）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积． 44．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程. 45．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 46．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点. (1)求线段 AB的中点坐标； (2)求△OAB的面积. 47．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 48．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， (1)求椭圆的方程； (2)椭圆左焦点为，求的面积. 49．（2024高二下·陕西商洛·期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围． 50．（2024·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，. (1)求证： (2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围. 51．（2024高二上·山东滨州·期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 52．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得到一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 椭圆的简单几何性质 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 题型1：研究椭圆的简单几何性质 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距为4，则m的值为 ． 【答案】10或2 【分析】讨论椭圆中的的取值，结合之间的关系，即可求得答案. 【详解】椭圆的焦距为4，即 当时，； 当时，； 故m的值为10或2， 故答案为：10或2 1-2．（2024高二上·浙江湖州·期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程化为标准方程后得，从而可得长轴长、短轴长、离心率． 【详解】由已知，可得椭圆标准方程为， 则，，， 所以长轴长为、短轴长为、离心率为. 故选：D. 1-3．（2024高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断． 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 题型2：由几何性质求标准方程 2-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果. 【详解】由题意知，，，所以，， ∴， 又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上. ∴椭圆方程：或 故选：C 2-2．（2024高三·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆化为标准方程，故焦点为，由题意可得，解方程即可得解. 【详解】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故选：C 2-3．（2024高二·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将方程化为标准式，即可求出焦点坐标，设所求椭圆方程为，由焦点的坐标和点在椭圆上建立关于、的方程组，解之即可得到、的值，从而得到所求椭圆的方程． 【详解】解：因为椭圆，即， ，，可得，椭圆的焦点为， 设椭圆方程是，则，解得 所求椭圆的方程为. 故选：A． 2-4．（2024高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 题型3：点和椭圆的位置关系 3-1．（2024高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 3-2．【多选】（2024高二上·全国·课后作业）已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的对称性求得结果. 【详解】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上． 故选：ABC. 3-3．（2024高二上·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果. 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 3-4．【多选】（2024高二上·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值. 【详解】由题意知，解得． 故选：BC （二） 求椭圆的离心率 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：求椭圆的离心率 4-1．（2024高二下·浙江温州·期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由三角形面积相等得到，结合，得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得， 故， 又，将代入可得，即， 又，故，离心率.    故答案为： 4-2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，得到，由椭圆的方程，得到，结合，即可求解. 【详解】由题意，椭圆的左顶点为， 因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则， 所以，可得， 又因为，即， 代入可得，所以离心率为. 故选：D.    4-3．（2024·海南海口·模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可. 【详解】在中，， 设，由题意知,， 由余弦定理得,， 由椭圆定义知，则离心率. 故选:C. 4-4．（2024高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，所以， 由，得， 又，所以， 在中，由， 得，即，所以， 即的离心率为. 故选：A.    4-5．（2024·辽宁辽阳·二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义结合题意可得出，再由余弦定理求解即可得出答案. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形． 设，则． 因为，所以， 又因为，所以，所以． 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以． 故选：B. 题型5：求椭圆的离心率的取值范围 5-1．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过几何性质表达出该椭圆的离心率的函数，即可得出该椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意， 在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， 由椭圆的定义得， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 5-2．（2024高二下·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 5-3．（2024·甘肃定西·模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别讨论直线的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率e的取值范围. 【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点    若，则，即， 所以，即 所以椭圆的离心率； 当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则， 设，则，所以①，    若，则②， 联立①②，结合可得， 由，，所以，且， 所以，则，故， 所以，即，故 综上，椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 5-4．（2024高二下·上海青浦·期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 题型6：由椭圆的离心率求参数 6-1．（2024高二上·重庆沙坪坝·期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 【答案】C 【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答. 【详解】椭圆的离心率， 当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得， 当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得， 所以的值可能是3或. 故选：C 6-2．（2024·全国）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6-3．（2024高三下·上海松江·阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由结合求解可得. 【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： 6-4．（2024高二上·全国·专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是 【答案】 【分析】设,利用三角形内切圆面积计算可得，化简得，由离心率范围求得，再利用弦长公式即可求得答案. 【详解】如图示，由椭圆定义可得 , 则的周长为4a,设， 设内切圆半径为，的内切圆的周长是， 故 ， 由题意得 ，    得，由于，故， 所以由可得， 故答案为： （三） 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． 题型7：判断直线与椭圆的位置关系 7-1．（2024高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程. 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题. 7-2．（2024·四川南充·一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线所过定点以及方程表示椭圆来求得的取值范围. 【详解】直线过定点， 所以，解得①. 由于方程表示椭圆，所以且②. 由①②得的取值范围是. 故选：C 7-3．（2024高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 7-4．（2024高三·全国·对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，将直线方程与椭圆方程联立，由可求得实数的值. 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则， 将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得， 则，解得. 故选：C. （四） 求相交弦长问题 1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2.求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：． 题型8：求直线与椭圆的相交弦长 8-1．（2024高二上·青海西宁·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求椭圆E的方程： (2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率得到，再由直线的斜率求出，即可求出、，从而得解； （2）首先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得. 【详解】（1）解：由离心率，则，右焦点， 直线的斜率，解得，， 所以， 椭圆的方程为； （2）解：由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为， 由，解得或，不妨令、， 所以. 8-2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值． 【答案】 【分析】利用韦达定理结合弦长公式即可求解. 【详解】设直线与椭圆的交点为， 联立消去整理得， 解得， 所以弦长， 整理得即解得，. 8-3．（2024高三·全国·对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】 设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值. 【详解】在椭圆中，，，则，故点， 设点、，由题意可知，直线的方程为，即， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 所以，. 故答案为：. 8-4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，过左焦点的斜率为1的直线与椭圆分别交于A，B两点，求． 【答案】 【分析】根据题意，联立直线与椭圆方程，再结合弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为椭圆方程为，则左焦点， 因为直线过椭圆左焦点且斜率为1，所以直线方程为，即， 设， 联立直线与椭圆方程可得，化简可得， 且， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得 . （五） 椭圆的中点弦问题 1、椭圆的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有. 2、椭圆的中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型9：求解椭圆的中点弦问题 9-1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解. 【详解】设，，则，， 且，， 作差得，所以， 即直线l的斜率是． 故选：C． 9-2．（2024高二·全国·课后作业）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出及其表达式，求出弦的中点坐标和的值，即可求出椭圆的方程. 【详解】由题意， 在椭圆中，一个焦点为， 设椭圆的方程为, ∴， 设直线与椭圆的交点为,弦中点为 ∵直线截得弦的中点的横坐标为， ∴，， ∴ 即 ∴. ∴，解得： ∴椭圆的方程为：， 故答案为：. 故答案为：.    9-3．（2024高二下·新疆塔城·开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 . 【答案】 【分析】用点差法即可求出直线的斜率，再用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】设，，根据中点坐标公式，，， 且，，两式相减，化简可得， 所以，即直线的斜率为， 根据点斜式，得到直线的方程为，即. 故答案为： （六） 与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 题型10：与椭圆有关的最值问题 10-1．（2024高三·全国·对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】设，由数量积的运算及点在椭圆上，可把表示成为的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设，， 则， 则， 因为点为椭圆上，所以有：，即， 所以， 又因为， 所以当时，的最大值为6. 故选：A. 10-2．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】求出与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点到直线的最大值． 【详解】解：设直线与椭圆相切 联解消去，得 ，解得或 与直线平行且与椭圆相切的直线方程为 其中与直线距离较远的是，且距离为， 到直线的最大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题． 10-3．（2024高三上·四川内江·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，即可求解； （2）分析出，直线的斜率不存在时，，直线的斜率存在时，可通过设而不求的方法求得，令后可得，根据的范围即可求出的范围，进而可求其最大值. 【详解】（1）由题意可知， 所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆， 则，所以， 因此动点的轨迹的方程是. （2）如图：    不妨设点在轴上方，连接， 因为分别为有中点，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，其方程为，则，， 此时； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 设，，显然直线不与轴重合，即， 联立，得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以，令， 则， 因为，所以， 所以，所以. 综上，，即的最大值为. 10-4．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线AB的方程为，设与AB平行且与椭圆相切的直线为，联立椭圆方程，利用判别式可求得t的值，再根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【详解】由椭圆，可得， 故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为， 代入椭圆方程整理，得， 则，解得， 当时，与之间的距离为； 当时，与间的距离为， 故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为， 故答案为： 10-5．（2024高二上·江苏苏州·期末）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可. 【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则 所以 所以椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A （七） 1.求解直线或曲线过定点问题的策略 2.求定值问题的策略 题型11：椭圆的定点、定值问题 11-1．（2024·广西·模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）由以及即可求解的值， （2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解. 【详解】（1） 由，可得，解得， 又因为，所以， 因为点在椭圆上，所以， 解得，，，所以椭圆的标准方程为． （2） 证明：当与轴重合时，，所以 当不与轴重合时，设，直线的方程为， 由整理得， 则， 故 圆心到直线的距离为，则， 所以，即为定值． 11-2．（2024高二下·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 11-3．（2024高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 11-4．（2024高三上·江西萍乡·期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】 （1）根据椭圆定义直接求解即可； （2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，求出点S、T的坐标，写出直线 方程即可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上， 所以设椭圆方程为 ，焦距为， 所以周长为 ，即 ， ， 因为左焦点，所以，， 所以 ， 所以椭圆E的标准方程为 . （2） 由题意知， , ，直线斜率均存在， 所以直线，与椭圆方程联立得 ， 对恒成立， 则 ，即 ，则 ， 同理 ， ， 所以 ， 所以直线 方程为： ， 所以直线过定点，定点坐标为 . （八） 椭圆的实际应用 解决椭圆的实际问题的基本步骤 (1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系． (2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系． (3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　 题型12：椭圆的实际应用 12-1．（2024高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 12-2．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 12-3．（2024高二下·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 【答案】D 【分析】 根据椭圆方程表示近日点距离与远日点距离，再根据条件得到两个方程求解即可. 【详解】 根据椭圆方程，得长半轴，半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，则. 故选：D. 12-4．（2024高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解. 【详解】由题设知，解得， 所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为． 故选：C. 一、单选题 1．（2024高三·全国·对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长. 【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于. 故选：B 2．（2024高二上·全国·课前预习）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可. 【详解】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 3．（2024高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线是（    ） A．焦点为点与，离心率为的椭圆 B．焦点为点与，离心率为的椭圆 C．焦点为点与，离心率为的椭圆 D．焦点为点与，离心率为的椭圆 【答案】A 【分析】由方程判断曲线为椭圆，再确定椭圆的焦点位置，再确定长半轴和短半轴，半焦距的大小，由此可得焦点坐标，离心率，并判断结论. 【详解】方程表示的曲线为焦点在轴上，中心为原点的椭圆， 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，所以其焦点坐标为与，离心率为 故选：A. 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得和的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得半焦距得到和的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得和，则椭圆的长轴可得． 【详解】设椭圆方程为， 直线代入椭圆方程，消得：， ，整理，得 又，由焦点在轴上， 所以，联立解得：，,故椭圆方程为，则长轴长为； 故选：C 5．（2024·广西·一模）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用椭圆的性质直接对原式进行减少变量处理，得到，看成以为变量的函数的最值问题，可利用换元法求解. 【详解】， 因为∴． 设，则 ∴当，即时，取最大值，此时离心率. 故选：C 6．（2024高二上·江西萍乡·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答. 【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形， 腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即， 而椭圆的短轴长，即， 所以椭圆的离心率 故选：D 7．（2024高二上·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 8．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线与椭圆相切，则实数m的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线与椭圆联立，根据判别式为0求解即可. 【详解】将直线与椭圆联立，得，由题意可知. 故选：B 9．（2024高二下·山东济南·期末）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在轴上即可. 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，， 故选：C. 10．（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解． 【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为； 当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为． 故选：D． 11．（2024高二·全国·课后作业）直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程，消去，根据即可求解. 【详解】由，消去并整理得， 因为直线与椭圆只有一个交点， 所以，得． 故选:C. 12．（2024高二下·广东茂名·期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 13．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点且与椭圆恒有公共点，结合椭圆的性质判定的范围即可求离心率. 【详解】   因为椭圆焦点在x轴上，所以b2<4，又因为b>0，所以0<b<2； 易知直线y=kx-1过定点且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上， 即，解之得，所以b≥1，综上1≤b<2， 故 故选：D. 14．（2024高二上·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解. 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 15．（2024高二下·云南昆明·期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点关系可得轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解. 【详解】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴， ，，所以， 由椭圆定义可得， 故选：A    16．（2024高二·全国·课后作业）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 17．（2024高二下·广西河池·期末）已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解. 【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形， 则椭圆的离心率为. 故选：A.    18．（2024高二·全国·课后作业）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出 【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 , ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是， 故选：C 19．（2024·重庆万州·模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，因为，为椭圆上的两点，再有点差法可得，两式相减化简可得，再由，求解即可. 【详解】因为，则， 所以，即， ， 又因为点，为椭圆上的两点， 所以，两式相减可得：，即， 所以， 因为，所以， 所以，即，即， 因为，所以， 又因为，为椭圆上的两点，所以， 所以，解得：，即. 故选：C. 20．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（    ） A．±1 B．± C． D．± 【答案】A 【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式解出m即可. 【详解】由，消去y并整理， 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0． 设， 则，． 由题意，得， 解得． 故选:A 21．（2024高二下·贵州遵义·期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，再通过得，从而建立方程，再化归转化，即可求解． 【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限， 联立，可解得， ，，又， ，， 又，， ， ， ， ， ，又， 该椭圆的离心率． 故选：C． 22．（2024高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点. 故选：B 23．（2024·陕西西安·二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率求出值，再同蒙日圆的定义，利用特殊位置求出蒙日圆上的一点，即可求出椭圆的蒙日圆方程. 【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为， 于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，， 则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上， 圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径， 所以椭圆的蒙日圆方程为. 故选：B 24．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解. 【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得 ，因为线段AB的中点为，所以，， 所以，由，得，又因为，解得，， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 25．（2024高二上·浙江·期中）已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义得，计算得离心率. 【详解】设的中点为，由题意得：，， 由椭圆定义得：，所以， 故选：B． 26．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是（    ） A．（0，） B．（，] C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，由得到a的范围，然后利用离心率又，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上， ∴，解得：， 又， ∴它的离心率的取值范围为， 故选：C. 27．（2024高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设出点的坐标，求出长，再利用给定的正切值列式计算作答. 【详解】设，则直线：，由，得，即，    而，，由，得，即， 有，又，因此， 所以E的离心率为. 故选：A 二、多选题 28．（2024高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知椭圆方程为:, 所以, 故选项A正确; 因为长方形R的四边均与椭圆相切, 所以点,即在蒙日圆上, 故半径为, 可得椭圆C的蒙日圆方程为; 故选项B错误,选项C正确; 设长方形R的边长为m,n, 则有, 所以长方形R的面积等于, 当且仅当时取等, 故选项D正确. 故选:ACD 29．（2024高三·全国·专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等 C． D．与小椭圆相切 【答案】BC 【分析】根据题意转化为解析几何模型，设出小椭圆标准方程，表示出大椭圆标准方程，易判断两焦距的长和离心率，从而判断A和B；通过联立直线与小椭圆的方程，得到点横坐标，通过联立直线与大椭圆方程，得到横坐标之和，判断出是线段的中点，得到，从而判断C；通过解出点坐标写出方程判断直线与小椭圆的位置关系. 【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为， 设点、、， 以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为， 则大椭圆的方程为， 对于A，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，A错； 对于B，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，B对； 对于C，当直线与坐标轴垂直时，则点关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立可得， ，可得， 此时，， 联立， 可得， 由韦达定理可得， 即点为线段的中点，所以，，C对； 对于D，当点的坐标为时，将代入可得，不妨取点、，则，若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，D错. 故选：BC 三、填空题 30．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】通过焦点到直线的距离建立a,b,c关系，解方程即可求解. 【详解】由题知，，且，即， ∴，∴，∴，∴. 故答案为：    31．（2024高三上·江苏泰州·期末）若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得椭圆：的离心率，进而可以得到椭圆的一个标准方程. 【详解】椭圆：的离心率为. 则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：. 故答案为： 32．（2024高三·全国·专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围. 【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 33．（2024高三·全国·对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意利用点差法分析运算即可. 【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即 所以. 故答案为：. 34．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意， 此时，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：或. 35．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 . 【答案】 【分析】先写出点、的坐标，再利用求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率的关系，从而得到实数λ取值范围. 【详解】根据题意知，由得， 不妨设点在第一象限，则点的坐标为. 由知，且， 从而得到点的坐标为. 将点的坐标代入椭圆C方程得， 整理得，即， 所以. 又因为，所以，即实数λ取值范围为. 故答案为：. 36．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化为圆关于直线对称的圆与椭圆有交点，再根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值大于等于半径，最小值小于等于半径列式可得结果. 【详解】圆关于直线对称的圆为：， 依题意可得圆与椭圆有交点， 又椭圆的右焦点是圆的圆心， 所以，且，又，所以，. 故答案为：. 37．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理可得，求出的范围则可求得离心率的取值范围. 【详解】过点且与直线垂直的直线为， 两直线的交点，从而点. 点在椭圆上， 则，即 则. 由于，则，， 故答案为： 38．（2024高二上·全国·课后作业）过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ． 【答案】/ 【分析】设点、，写出直线的方程，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合韦达定理可求得的值. 【详解】设点、， 在椭圆中，，，， 所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为， 联立，可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，. 故答案为：. 39．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设，，，则， 两式相减得，即， 所以，因为是垂直平分线，有， 所以，即，化简得， ∵，∴. 故答案为： 四、解答题 40．（2024高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果; （2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以． 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而． 所以椭圆的标准方程． （2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为． 联立直线的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 41．（2024高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程； （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数. 【详解】（1）由题意得，，，， ，， 椭圆的标准方程为． （2）依题意，知，设，． 联立消去，可得． ，即，， ，． ，． ， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 直线的方程为． 42．（2024高二下·北京·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率以及焦点坐标即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解面积. 【详解】（1）由已知有 解得 所以椭圆的方程为. （2）由 消去，整理得. 设，则 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为 43．（2024高二上·全国·课后作业）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积． 【答案】的周长为，面积为． 【分析】利用椭圆定义和焦点三角形性质即可求得的周长为，写出直线的方程并与椭圆联立利用韦达定理，写出面积表达式即可求得面积为. 【详解】如下图所示：    由椭圆方程可知， 根据椭圆定义可知， 所以的周长为， 即的周长为； 易知， 又直线的倾斜角为，则， 所以直线的方程为，设 联立整理可得， 由韦达定理可知； 由图可知的面积为； 所以的周长为，面积为 44．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，得到，再由求解； （2）当直线与轴垂直，容易判断；当直线与轴不垂直，设直线的方程是，与椭圆的方程联立，根据以为直径的圆过点，由，即结合韦达定理求解. 【详解】（1）解：因为， 所以椭圆的左焦点的坐标是， 所以 解得 所以椭圆的方程为. （2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，， 以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是； 若直线与轴不垂直，设直线的方程是， 与椭圆的方程联立，消去并整理，得. 设，，则， ，， . 因为以为直径的圆过点， 所以，即，， 所以，， ，解得. 显然满足， 所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即. 综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或. 45．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；. （2）是在定直线上，理由如下： 当时，此时椭圆，设点与直线l联立得， ，且， 所以 易知，则， 两式作商得是定值， 故G在定直线上.    46．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点. (1)求线段 AB的中点坐标； (2)求△OAB的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件可得椭圆的标准方程是，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案 （2）结合（1）的韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而， ∴椭圆的标准方程是：， 设，，线段的中点为， 联立方程组，消去得，. ，由韦达定理可得，， ，， 即线段中点坐标为. （2）点O到直线的距离， 由韦达定理知， 所以. 47．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）分析可知曲线是以点、为焦点的椭圆，确定、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出曲线的轨迹方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题意可得，且为线段的垂直平分线，所以，， 因为， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆， 设椭圆的标准方程为， 则，，则， 因此，曲线的轨迹方程为. （2）解：若直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意. 设直线的方程为，联立可得， 则， 设点、，则，， 则， 所以，， 解得或， 故直线的方程为或或. 48．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， (1)求椭圆的方程； (2)椭圆左焦点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率以及距离之和即可求解，得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆的方程，得到交点坐标，计算弦长结合点到直线的距离公式即可求解面积. 【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为. （2） 消去，整理得，解得，， 如图    则，，则， 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为. 49．（2024高二下·陕西商洛·期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C过点，再代入求解作答. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答. 【详解】（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得， 所以椭圆的方程为． （2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为， 由消去整理得，则， 的面积 ，令，对勾函数在上单调递增， 则，即，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 50．（2024·江苏南通·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，. (1)求证： (2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过椭圆的焦点和顶点求出双曲线方程，然后联立方程，韦达定理，利用化简即可证明； （2）联立直线与椭圆方程，韦达定理，代入弦长公式，利用换元法求解函数的值域即可求解弦长范围. 【详解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为，双曲线渐近线方程为， 所以，解得，所以的方程为， 由，消y得， 所以得， 设，，则， 所以 ， 化简得，得证； （2）由消x，得， 所以，即， 结合，及，可得， 设，，则， 所以， 所以， 设，由，得，所以， 所以， 所以.    51．（2024高二上·山东滨州·期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将代入椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程；解法二：由椭圆定义求出，结合焦点坐标，求出，得到答案； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，求出最大值和直线方程. 【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为． 由题意知，， 解得． 所以，椭圆C的标准方程为． 解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为． 根据椭圆定义得， 即． 又因为，所以， 所以，椭圆C的标准方程为． （2）由，消去y，得， 因为直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 解得． 设，， 则，， 所以 当时，取最大值，此时直线l的方程为 52．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值； （3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而． （3）由（1）知，设，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为， 所以点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$