第09讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 （7个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第09讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 （7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点4．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点5．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点6．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点7．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数图象与系数的关系 1．（2024•兴化市二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 　． 2．（2024•益阳模拟）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，，则下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2021秋•丰泽区校级期末）设二次函数，其中是常数． （1）用含的代数式表示函数的对称轴； （2）当时，随的增大而增大，求的取值范围． 题型二．二次函数图象上点的坐标特征 4．（2024•西乡塘区校级开学）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 5．（2024•滨江区校级三模）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 　　． 6．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，点 ，，，在抛物线上，其中，． （1）当，时，求的值； （2）直线经过点，，若对于，，都有，求的取值范围． 题型三．二次函数图象与几何变换 7．（2024•广西模拟）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•北碚区校级期中）将抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 　　． 9．（2024•烈山区三模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 题型四．二次函数的最值 10．（2023秋•红桥区期末）二次函数的最小值是　　． 11．（2024•朝阳区校级开学）如果二次函数的最小值为0，那么的值等于　　 A．2 B．4 C． D．8 12．（2024•越秀区校级二模）已知． （1）化简． （2）若为二次函数的最小值，求此时的值． 题型五．待定系数法求二次函数解析式 13．（2024•津南区校级模拟）抛物线的顶点在轴上， 则的值为　 　． 14．（2024•姜堰区二模）二次函数，，为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则的值可能为　　 A．2 B．3 C． D． 15．（2024•益阳模拟）已知二次函数．函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： 0 1 2 3 2 2 （1）若，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值7，求的值； （3）若，求的值． 题型六．二次函数的三种形式 16．（2022秋•宽城县期末）将二次函数化为的形式，结果为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•剑阁县期末）若把二次函数化为的形式，其中，为常数，则　　． 18．（2023秋•青铜峡市期末）已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 题型七．二次函数综合题 19．（2024•田阳区二模）如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 20．（2024•南岗区校级一模）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为　　． 21．（2024•吉安一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，其中，点，点，过边上的动点（不与点，重合）作交于点．设． （Ⅰ）如图①，当时，点的坐标为 　　，点的坐标为 　　； （Ⅱ）沿着折叠该纸片，点的对应点为．设折叠后的△与的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后的△与的重叠部分为四边形，交于点，交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的值（直接写出结果即可）． 分层练习 一、单选题 1．二次函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（    ）    A． B． C．，则 D．若，则 5．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为 ． 12．当时，则二次函数的最小值为 ． 13．二次函数，当 时，y有最小值，最小值是 ． 14．已知的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为 ． 15．已知抛物线经过点，则这个抛物线的顶点坐标是 ． 16．将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ． 17．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ． 18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    三、解答题 19．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … 求这个二次函数的解析式． 20．已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 21．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 22．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为5，则a的值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时． ①若y的最大值为15，则a的值为______； ②若y的最小值为15，则a的值为______； ③若y的最小值为，则a的取值范围为______． 23．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若为抛物线上两点，则；其中正确的是 （填写序号）．    24．已知：二次函数． (1)运用对称性，画出这个二次函数图象； (2)当满足条件________条件时，，不等式的解集为________； (3)当时，求的取值范围是________． 25．(1)抛物线如图所示，点P是抛物线的顶点，将抛物线沿x轴翻折，请将所得的抛物线和点P的对应点在图中画出来； (2)抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为______，关于y轴对称的抛物线的解析式为______，关于原点对称的抛物线的解析式为_____． 26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差； (4)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②直接写出线段与抛物线交点个数及对应的的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 （7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点4．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点5．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点6．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点7．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数图象与系数的关系 1．（2024•兴化市二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 　　． 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而增大，由于时，的值随值的增大而增大，于是得到． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以抛物线开口向下， 所以当时，的值随值的增大而增大， 而时，的值随值的增大而增大， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 2．（2024•益阳模拟）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，，则下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，得出，再求出点坐标，即可得到点的坐标，代入函数解析式，即可判断． 【解答】解：， ， ， ， ，， 代入函数解析式中，得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据，得出，是解题的关键． 3．（2021秋•丰泽区校级期末）设二次函数，其中是常数． （1）用含的代数式表示函数的对称轴； （2）当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【分析】（1）求得抛物线与轴的交点，进而即可求出抛物线的对称轴； （2）根据当时随的增大而增大可得，再结合对称轴列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）， 函数图象与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为； （2）时，随的增大而增大， ， 解得， 的范围为． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质，牢记抛物线的对称轴公式和增减性． 题型二．二次函数图象上点的坐标特征 4．（2024•西乡塘区校级开学）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，再根据，，三点离对称轴的远近即可解决问题． 【解答】解：因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小． 因为，，，且， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2024•滨江区校级三模）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 　　． 【分析】由题意可知，根据的范围即可确定的范围． 【解答】解：， 二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线， 到轴的距离小于2， ， 而， 当，， 当时，， 的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质． 6．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，点 ，，，在抛物线上，其中，． （1）当，时，求的值； （2）直线经过点，，若对于，，都有，求的取值范围． 【分析】（1）求得对称轴，利用抛物线的对称性即可求得的值； （2）由题意可知当，时，，据此得出，即可求得的取值范围． 【解答】解：（1）， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， 点 ，，，关于直线对称， 的值为3； （2）直线经过点，，若对于，，都有， ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性以及一次函数的增减性是解题的关键． 题型三．二次函数图象与几何变换 7．（2024•广西模拟）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据平移规律作答即可． 【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为，即； 故选：． 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 8．（2024春•北碚区校级期中）将抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 　　． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 9．（2024•烈山区三模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 【分析】（1）令，代入解析式求解即可得到答案； （2）设出点的坐标，代入解析式，结合过点列式求解即可得到答案； （3）根据题意，设点，点，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线解析式，再将坐标代入求解即可得到答案． 【解答】解：（1）当时，， 当时，，解得：， ，； （2）设， 点为抛物线的顶点， 抛物线的顶点式为：， 抛物线过点， ， 解得：， ， ，； （3）轴，点在轴上， 设，， 点，分别平移至点，， 点，向下平移的距离相同， ， 解得：， 由（2）得， ，解得：， 抛物线的函数解析式为：， 抛物线过点， ，解得：， 新抛物线的解析式为：，． 【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 题型四．二次函数的最值 10．（2023秋•红桥区期末）二次函数的最小值是　1　． 【分析】将抛物线解析式转换成顶点式，可求得答案． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 当时，有最小值1； 故答案为：1． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 11．（2024•朝阳区校级开学）如果二次函数的最小值为0，那么的值等于　　 A．2 B．4 C． D．8 【分析】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为；根据已知条件可得，据此可求出的值，进而解答． 【解答】解：函数解析式可转化为， 根据该图象开口向上，可知函数的最小值是， 又由已知条件可知函数的最小值是0，可得： ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数最值的求法． 12．（2024•越秀区校级二模）已知． （1）化简． （2）若为二次函数的最小值，求此时的值． 【分析】（1）利用分式的混合运算的法则进行运算后即可； （2）确定的值后代入化简后的式子求得值即可． 【解答】解：（1） ； （2）， 所以当是有最小值， 所以原式． 【点评】本题考查了二次函数的最值及分式化简求值的知识，解题的关键是正确的运算，难度不大． 题型五．待定系数法求二次函数解析式 13．（2024•津南区校级模拟）抛物线的顶点在轴上， 则的值为　 16 　． 【分析】利用顶点公式，进行解答即可 ． 【解答】解：，，顶点在轴上 顶点纵坐标为 0 ，即 解得． 【点评】主要考查了抛物线的顶点坐标公式 ． 此公式要掌握可使计算简便 ． 14．（2024•姜堰区二模）二次函数，，为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则的值可能为　　 A．2 B．3 C． D． 【分析】根据图象开口向下，得出，再将，；，代入函数解析式，得出可能的的值． 【解答】解：图象开口向下， ， 将，；，代入， 得：， ， ， ， 可能的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，通过开口向下和当时，；当时，，得出的取值范围，也可以将选项中的答案代入，排除错误选项． 15．（2024•益阳模拟）已知二次函数．函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： 0 1 2 3 2 2 （1）若，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值7，求的值； （3）若，求的值． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式； （2）根据点距离对称轴的远近，判断出当时，取得最大值7，从而求的值，要注意的分类讨论； （3）将的取值范围进行分类讨论，去掉绝对值得出的值． 【解答】解：（1）将，；，；，代入， 得：，，， ； （2）设， ，；，， 所以对称轴为直线， 当时，，， ， ， 当时，； 当时，，， ， ； 综上所述，或7； （3）设， ，， 当时，， ， （舍去）； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 综上所述，或． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，函数的最值问题，掌握对称点式是解题的关键． 题型六．二次函数的三种形式 16．（2022秋•宽城县期末）将二次函数化为的形式，结果为　　 A． B． C． D． 【分析】把进行配方得到，． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式、、为常数，；顶点式，顶点坐标为；交点式，、为抛物线与轴交点的横坐标． 17．（2023秋•剑阁县期末）若把二次函数化为的形式，其中，为常数，则　　． 【分析】先由二次函数转化成顶点式，即得到，的值，从而求得． 【解答】解：把二次函数化为的形式， 则， 所以，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式，从中得到，的值从而解得，比较简单． 18．（2023秋•青铜峡市期末）已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【解答】解：（1） ； （2）， 顶点坐标为，对称轴方程为． 函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，， 其图象为： 【点评】本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键． 题型七．二次函数综合题 19．（2024•田阳区二模）如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】把直线代入抛物线解析式得到，点的坐标，根据两点之间线段最短，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点的坐标． 【解答】解：如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 当时代入到抛物线解析式得： ， 解得或． 则由图可知点，点， ． 设直线的解析式为：． 代入，求得：， 则该直线与轴的交点为：当时，． 点． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，交点坐标的求法，也灵活地考查了两点之间线段最短，难度中等． 20．（2024•南岗区校级一模）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为　　． 【分析】连接，，有抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用射影定理可求出的长，进而可求出的长． 【解答】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为3， 设，则， 解得：或3， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 21．（2024•吉安一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，其中，点，点，过边上的动点（不与点，重合）作交于点．设． （Ⅰ）如图①，当时，点的坐标为 　　，点的坐标为 　　； （Ⅱ）沿着折叠该纸片，点的对应点为．设折叠后的△与的重叠部分的面积为． ①如图②，若折叠后的△与的重叠部分为四边形，交于点，交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的值（直接写出结果即可）． 【分析】（1）由题意得，，，即可得出，，由得出，由相似三角形的性质得出，即可得解； （2）①设，则，证明，由相似三角形的性质得出，从而得出，由折叠的性质结合平行线的性质证明出，，得出，，推出和，最后根据，即可得出关于的解析式，根据当点位于的中点时，由于，则此时点也位于的中点，折叠之后点恰好落在上，此时重叠的部分为△，不为四边形，即可得出的取值范围； ②由①可得：当时，此时重叠的部分为△，则，再分别在对应的范围中，令，求出对应的值即可． 【解答】解：（1），点，点， ，， 当时，， 故， ， ， ， ， 即， ， 即， 故答案为：，； （2）①，点，点， ，， 设，则， ， ， ， 即， ， ， 由折叠的性质可得：，，，，， ， ，，，， ，， ，， ，， ，， ； 当点位于的中点时，由于，则此时点也位于的中点，折叠之后点恰好落在上，此时重叠的部分为△，不为四边形， 故； ②由①可得：当时，此时重叠的部分为△， 则， 故， 当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当肘，令，则， 解得：或 （不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，的值为或4． 【点评】本题考查了二次函数综合题，坐标与图形，相似三角形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、二次函数综合问题等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 分层练习 一、单选题 1．二次函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的最值，把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【详解】二次函数可化为：，且开口向上， 二次函数的最小值为． 故选：D． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握抛物线开口、对称轴、与x轴y轴交点等与a、b、c的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、B，由时可判断C，由抛物线与x轴交点以及b的范围可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故A正确，不符合题意； 由函数图象得抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴，故选项B错误，符合题意； 由图象可得时， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号，即． 故选：B． 4．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（    ）    A． B． C．，则 D．若，则 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误； B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确； C、根据函数图像可得当，则，故C错误； D、根据函数的对称性得：，则，故D错误； 故选：B． 5．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 6．若关于的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和二次函数的性质，由的一元二次方程没有实数根得，结合配成顶点式即可，熟练掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根是解题的关键. 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 由， ∴顶点坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数的图象的顶点在第一象限， 故选：． 7．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 8．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据二次函数经过，，可得对称轴，再根据二次函数的对称性可设关于的对称性点为，即得，求出为，再将其代入，即可求出． 【详解】解：由表格可得二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为， 又∵二次函数经过， 设的关于的对称性点为， ∴， 解得 ， 即二次函数经过， 将代入中， 可得， 故选． 9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝． 【详解】设A（m，m2），则B（m，m2）， ∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D， ∴C（2m，m2），D（m，m2）， ∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m， . 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的表达式求出点A的坐标为，根据正方形的性质可以求出点C的坐标，进而求出点C的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故A点坐标为， 过点C作交于D，      则， ∴C点坐标为 ∵二次函数的图象经过正方形的顶点C， ∴ ， 解得或（舍去） ∴C点坐标为， ∴平移后抛物线的表达式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是求出b的值． 二、填空题 11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为 ． 【答案】y＝3x2－2或y＝－3x2－2 【分析】根据二次函数的图象特点即可分类求解． 【详解】二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2． 故答案为y＝3x2－2或y＝－3x2－2． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数形状相同，二次项系数的绝对值相等． 12．当时，则二次函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把y=ax2+bx+c化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案． 【详解】解：将二次函数化成顶点式，得： ， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数开口向上， 二次函数顶点的横坐标为， 二次函数顶点的横坐标满足， 当时，二次函数的最小值为， 故答案为：． 13．二次函数，当 时，y有最小值，最小值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据二次函数的顶点坐标进行解答即可． 【详解】解：二次函数，，开口向上， 当时，有最小值，最小值为：， 故答案为：，． 14．已知的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值结合二次函数的对称性可知抛物线的顶点到x轴的距离为3，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：∵的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3， ∴抛物线的顶点到x轴的距离为3， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴顶点一定在x轴下方， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知抛物线经过点，则这个抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为：，其顶点坐标为，解答此题先将代入解析式，求出m的值，从而可得二次函数的顶点坐标． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得：， 二次函数为：， 顶点坐标为． 故答案为：． 16．将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 17．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出点B的坐标，然后把代入抛物线解析式即可求解即可得出答案． 【详解】解：如图：设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m， 且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点B的坐标为：， ∵点B在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴m的值为． 故答案为：． 18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … 求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用对称性确定对称轴，进而得到顶点坐标，写出顶点式即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为：， ∴函数表达式为：． 20．已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 21．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数对称轴，二次函数的平移规律，二次函数与坐标轴的交点情况，二次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握二次函数的图像与性质． （1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）根据题干和函数的平移规律，得到、的值，即可求得抛物线的解析式； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴得到“离对称轴越远，函数值越小，”，根据点的横坐标判断其与对称轴的距离，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：直线与轴交于点， ， 抛物线经过点， ， 抛物线是由抛物线经过平移得到的， ， 抛物线的解析式为； （3）解：，对称轴为， 离对称轴越远，函数值越小， 点，，在抛物线上， 又，，，且， ． 22．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为5，则a的值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时． ①若y的最大值为15，则a的值为______； ②若y的最小值为15，则a的值为______； ③若y的最小值为，则a的取值范围为______． 【答案】(1)；3； (2)①0或6；②或8；③． 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数的增减性求解即可； （2）先判断抛物线开口向上，当时，求出x的值，①②根据二次函数的增减性求解即可；③由y的最小值为可得，解之可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵y的最大值为5，， ∴当时，取得最大值5， ∴， ∴， ∴y的最小值为． 故答案为：；3； （2）， ∵， ∴抛物线开口向上． 当时，有， 解得：，． ①当∵当时，函数有最大值15， ∴或， ∴或； ②∵当时，函数有最小值15， ∴或， ∴或； ③∵y的最小值为， ∴， ∴． 故答案为：①0或6；②或8；③． 23．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若为抛物线上两点，则；其中正确的是 （填写序号）．    【答案】①③④ 【分析】由函数图象可以判断，由对称轴为直线，可以得出，从而判断①；由函数图象过点以及得出，再根据可判断②；根据抛物线对称轴为直线以及a，b，c的关系可得函数的最小值为，由函数的性质可判断③；根据n，到1的距离，由函数的性质可判断④． 【详解】解：由图象可知，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象过点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； 由②知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴对于任意实数m，有， 即， 故③正确； 当时， ∵对称轴为直线， ∴，， ∴． 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．利用数形结合思想解答是答题关键． 24．已知：二次函数． (1)运用对称性，画出这个二次函数图象； (2)当满足条件________条件时，，不等式的解集为________； (3)当时，求的取值范围是________． 【答案】(1)画图见解析； (2)或，； (3)． 【分析】（）首先求得函数顶点坐标和对称轴，以及函数与轴的交点坐标，据此即可作出函数图象； （）根据函数图象即可直接写出x的范围； （）对称轴在和之间，然后确定和哪个离对称轴较远，利用图象确定的范围； 本题考查了二次函数的对称性， 画函数图象，二次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）函数的对称轴是直线， 当 时，，则顶点坐标是， 令，则，解得，， 则函数与轴的交点坐标是和， 画图如下： （2）当或时，； 不等式，即的解集为， 故答案为：或，； （3）当时，，则的取值范围是， 故答案为：． 25．(1)抛物线如图所示，点P是抛物线的顶点，将抛物线沿x轴翻折，请将所得的抛物线和点P的对应点在图中画出来； (2)抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为______，关于y轴对称的抛物线的解析式为______，关于原点对称的抛物线的解析式为_____． 【答案】(1)见解析 (2)；； 【分析】本题考查了作轴对称图形，抛物线变换后的解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握作轴对称图形，抛物线变换后的解析式，二次函数的顶点式是解题的关键 （1）根据翻折的性质作图即可； （2）由题意知，，即顶点坐标为，则抛物线关于x轴对称的顶点坐标为，进而可得关于x轴对称的抛物线的解析式为；抛物线关于y轴对称的顶点坐标为，进而可得关于y轴对称的抛物线的解析式为；抛物线关于原点对称的顶点坐标为，进而可得关于y轴对称的抛物线的解析式为；然后求解作答即可． 【详解】（1）（1）解：由翻折的性质作图，如图1，对应点即为所作； （2）解：由题意知，， ∴顶点坐标为， ∴抛物线关于x轴对称的顶点坐标为， ∴抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为； 抛物线关于y轴对称的顶点坐标为， ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为； 抛物线关于原点对称的顶点坐标为， ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为； 故答案为：；；． 26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差； (4)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②直接写出线段与抛物线交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)9 (4)①；②，与抛物线有一个交点，，与抛物线有两个交点 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出时或，由图可得的取值范围是； （3）先求出抛物线对称轴，根据抛物线对称性及增减性即可解答； （4）①当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案； 由知，先求出点P关于直线对称的点的坐标为，结合函数图象分类讨论即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， 由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是； （3）解：抛物线的解析式为， 抛物线关于直线对称，在处，有最大值，最大值为， ，， 当处，有最小值，最大值为， 当时，直接写出二次函数的最大值与最小值的差为：； （4）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为， 当，即时，与重合； 当，即时，， 此时随的增大而减小，符合题意； 当，即时，， 此时随的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是； 由知， 抛物线关于直线对称，， ， 点P关于直线对称的点的坐标为， 如图，当时， 与抛物线有两个交点， ， ，与抛物线有两个交点， 如图，当时， 与抛物线有一个交点， ，与抛物线有一个交点； 综上，，与抛物线有一个交点，，与抛物线有两个个交点. 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用 学科网（北京）股份有限公司 $$