第09讲 画轴对称图形（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第09讲 画轴对称图形（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点2．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点3．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 题型强化 题型一．关于x轴、y轴对称的点的坐标 1．（2023秋•历下区期末）点关于轴对称的点的坐标是　　． 2．（2023秋•文峰区期末）如果点和点关于轴对称，则的值是　　 A． B．1 C． D．5 3．（2023秋•左权县期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1．请回答下列问题： （1）点在第 　四　象限，它的坐标是 　　； （2）点在第 　　象限，它的坐标是 　　； （3）将的每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以，再顺次连接这些点，在图中画出所得图形，所得图形与有怎样的位置关系？ 题型二．坐标与图形变化-对称 4．（2023秋•九江月考）在平面直角坐标系中，点和点关于 　　轴对称． 5．（2023秋•浑南区期末）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 6．（2023秋•驿城区期末）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1． （1）方格纸中格点、的坐标分别为、，则格点的坐标为 　　． （2）在方格纸中找出点，使、关于对称． （3）则点到的最短距离是 　　． 题型三．作图-轴对称变换 7．（2021秋•泰山区期末）如图，保持的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 8．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 　　个格点三角形与成轴对称． 9．（2023秋•南山区校级期末）如图，解答下列问题： （1）写出，，三点的坐标． （2）若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点，所得的△与有怎样的位置关系？ （3）找一点，使得点到，两点距离相等且直线垂直于． 分层练习 一、单选题 1．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 2．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（　　） A． B． C． D． 3．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 4．点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．小逸和小乐下棋，小逸执圆形棋子，小乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，小逸将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则小逸放的位置可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）    A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 8．如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 9．如图，是线段的中点，，是线段外的两点，若是线段上的一个动点，且的周长随点的运动逐渐增大，则点的运动路径可能是（　　） A．从点运动到点 B．从点运动到点 C．从点运动到点 D．从点运动到点 10．如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为 ． 12．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    13．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ． 14．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示） ．    15．如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 16．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ． 17．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    18．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为边的中点．若E，F为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点F的坐标为    三、解答题 19．利用如图设计出一个轴对称图案． 20．如图，在所给网格图每小格均为边长是的正方形中完成下列各题： (1)画出格点顶点均在格点上关于直线对称的． (2)在上画出点，使的值最小． 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)将向右平移6个单位，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 22．在平面直角坐标系中，有点，点． (1)当、两点关于直线对称时，求的面积． (2)当线段轴，且时，求的值． 23．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在直线上求作一点P，使最小． 24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 25．已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形． (1)画出； (2)画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ； (3)试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹） 26．（）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，已知点的坐标是． 点的坐标是 ； 画出关于轴对称的，其中点的对应点分别为点． 若点在轴上，求周长的最小值． （）某商场购进商品后，加价作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和八折，共付款元，两种商品原销售价之和为元．两种商品进价分别为多少元？   学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 画轴对称图形（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点2．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点3．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 题型强化 题型一．关于x轴、y轴对称的点的坐标 1．（2023秋•历下区期末）点关于轴对称的点的坐标是　　． 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特点：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．（2023秋•文峰区期末）如果点和点关于轴对称，则的值是　　 A． B．1 C． D．5 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：点和点关于轴对称， ，， 则的值是：5． 故选：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 3．（2023秋•左权县期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1．请回答下列问题： （1）点在第 　四　象限，它的坐标是 　　； （2）点在第 　　象限，它的坐标是 　　； （3）将的每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以，再顺次连接这些点，在图中画出所得图形，所得图形与有怎样的位置关系？ 【分析】（1）根据平面坐标系内点到坐标特征进行判定即可得出答案； （2）根据平面坐标系内点到坐标特征进行判定即可得出答案； （3）根据关于轴、轴对称的点的坐标的特征进行判定即可得出答案． 【解答】解：（1）点在第四象限，它的坐标是； 故答案为：四，； （2）点在第二象限，它的坐标是； 故答案为：二，； （3）将的每个顶点的横坐标保持不变，点纵坐标都乘以，坐标为，点纵坐标都乘以，坐标为，再顺次连接这些点，所得的图形如图所示， 所得图形与关于轴对称． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的变化对称，熟练掌握坐标与图形的变化对称的性质进行求解是解决本题的关键． 题型二．坐标与图形变化-对称 4．（2023秋•九江月考）在平面直角坐标系中，点和点关于 　　轴对称． 【分析】关于轴对称两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．根据点、的坐标特征，即可求解． 【解答】解：点与点 点和点关于轴对称． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形变化对称，解题的关键是掌握轴对称变换的坐标特征． 5．（2023秋•浑南区期末）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可． 【解答】解：点与点的位置关系是关于直线对称， 故选：． 【点评】本题考查轴对称，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2023秋•驿城区期末）如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1． （1）方格纸中格点、的坐标分别为、，则格点的坐标为 　　． （2）在方格纸中找出点，使、关于对称． （3）则点到的最短距离是 　　． 【分析】（1）根据、建立坐标系，由点在坐标系中的位置即可得出其坐标； （2）根据、、的位置关系找出点的坐标即可； （3）设点到的最短距离是，利用勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出的值． 【解答】解：（1）如图，． 故答案为：； （2）如图，点即为所求； （3）设点到的最短距离是，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化对称，根据题意找出点关于直线的对称点是解题的关键． 题型三．作图-轴对称变换 7．（2021秋•泰山区期末）如图，保持的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于轴对称． 【解答】解：纵坐标乘以， 变化前后纵坐标互为相反数， 又横坐标不变， 所得三角形与原三角形关于轴对称． 故选：． 【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 8．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 　6　个格点三角形与成轴对称． 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 9．（2023秋•南山区校级期末）如图，解答下列问题： （1）写出，，三点的坐标． （2）若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点，所得的△与有怎样的位置关系？ （3）找一点，使得点到，两点距离相等且直线垂直于． 【分析】（1）根据题意观察得知，，三点的坐标； （2）根据题意将，，三点横坐标均乘以得到，，，依次连接并观察图形即可得到本题答案； （3）根据题意分析到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，且直线垂直于可知，过点做一条的垂线，两线的交点即为本题答案． 【解答】解：（1）根据题意可知：，，； （2）各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，，，， ，，， 将点坐标在平面直角坐标系中画图，如图所示： 通过观察得知△与关于轴对称； （3）点到，两点距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 又直线垂直于， 过点做垂直于， 点即为线段的垂直平分线与线的交点． 【点评】本题考查作图轴对称变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 分层练习 一、单选题 1．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 2．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称和对称轴，把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，掌握轴对称的定义是解题关键．先确定各图形的对称轴数量，然后比较即可得出答案． 【详解】解：A、有4条对称轴； B、有6条对称轴； C、有4条对称轴； D、有2条对称轴； 综上分析可知，对称轴条数小于3的是D选项中的图形． 故选：D． 3．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】解：镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称． 注意镜子的5实际应为2，电子表的实际时刻是10：21． 故选C． 【点睛】本题主要考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反． 4．点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，解答即可 本题考查了关于x轴对称，熟练掌握对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：B． 5．如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：如图所示： ， 可得这样的白色的小正方形有4个． 故选：A． 6．小逸和小乐下棋，小逸执圆形棋子，小乐执方形棋子，如图，棋盘中心的方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，小逸将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有的棋子构成轴对称图形，则小逸放的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与轴对称．根据已有的点的坐标，确定原点的位置，建立坐标系，再根据轴对称的性质，确定小逸放的位置，即可． 【详解】解：由题意，符合题意的棋子的位置如图所示： 坐标为， 故选A． 7．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）    A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：    这样的格点C共有10个， 故选：D． 8．如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可求得镜面与中的影像一致． 【详解】解：根据题意得： 在处可以看到镜面上的字母在镜面与中的影像都是“”， 镜面与中的影像一致． 故选：C． 9．如图，是线段的中点，，是线段外的两点，若是线段上的一个动点，且的周长随点的运动逐渐增大，则点的运动路径可能是（　　） A．从点运动到点 B．从点运动到点 C．从点运动到点 D．从点运动到点 【答案】D 【分析】本题主要考查点关于线的对称和三角形三边的关系，作点B关于的对称点，连接、、和，可知，由于线段为定长，则要逐渐增大，点M运动要逐渐远离线段，即可求得答案． 【详解】解：连接、和，作点B关于的对称点，连接，如图， 由点的对称性可得，， ∵线段为定长，随点的运动逐渐增大， ∴要逐渐增大， ∴点M运动要逐渐远离线段（此时周长最短），只有D符合题意． 故选：D． 10．如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，该图形关于直线对称． 故选：C 二、填空题 11．点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于第一、三象限角平分线对称的点，横坐标和纵坐标互换，即两点关于第一、三象限角平分线对称，据此可得答案． 【详解】解：点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， 故答案为：． 12．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 13．小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质．由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， ∴电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 14．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示） ．    【答案】见解析 【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示；    【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 15．如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称的定义，画出图中的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 该轴对称图形有4条对称轴． 故答案为：4． 16．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ． 【答案】数学 【分析】本题考查镜面对称，平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形．掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称， 英文单词的中文意思是：数学． 故答案为：数学． 17．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形 ．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    18．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为边的中点．若E，F为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点F的坐标为    【答案】 【分析】本题考查的是利用轴对称的性质求解图形周长的最小值，掌握图形周长取最小值时点的位置是解本题的关键，如图，作点D关于x轴的对称点，在边上截取，连接与x轴交于点E，在上截取，此时得到的点E、F使四边形的周长最小．再结合等面积法可得答案． 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点，在边上截取，连接与x轴交于点E，在上截取，    而，， 结合平移的性质可得，     又、EF的长为定值， 此时得到的点E、F使四边形的周长最小． ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19．利用如图设计出一个轴对称图案． 【答案】见解析 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据定义去设计即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，可设计如下图形： ． 20．如图，在所给网格图每小格均为边长是的正方形中完成下列各题： (1)画出格点顶点均在格点上关于直线对称的． (2)在上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确作出图形，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，都是对应点，，即可； （2）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图点即为所求． 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)将向右平移6个单位，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3)是，对称轴见解析 【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． （1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）根据对称轴的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴，，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示， 22．在平面直角坐标系中，有点，点． (1)当、两点关于直线对称时，求的面积． (2)当线段轴，且时，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）根据轴对称的性质求出的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）根据平行于轴的直线横坐标相等可得，再根据两点间距离公式可得，求出的值即可求解； 本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵、两点关于直线对称，点，点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵线段轴，点，点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 23．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在直线上求作一点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可． （2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可． （3）先找出点关于直线的对称点，连接与直线相交于点，即的最小值就是线段的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． （3）解：如图，点P即为所求． ，故最小为． 24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P即为所求 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形． （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得周长最小． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）如图，点P即为所求． 25．已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形． (1)画出； (2)画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ； (3)试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，、、 (3)见解析 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． （1）根据、、三点坐标作图可得； （2）分别作出点、、关于轴对称轴的点，然后顺次连接； （3）连接，与轴的交点就是点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是， 故答案为：、、； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 26．（）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，已知点的坐标是． 点的坐标是 ； 画出关于轴对称的，其中点的对应点分别为点． 若点在轴上，求周长的最小值． （）某商场购进商品后，加价作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和八折，共付款元，两种商品原销售价之和为元．两种商品进价分别为多少元？    【答案】（）；作图见解析；；（）甲商品进价为元，乙商品进价为元． 【分析】（）由图即可求解；根据轴对称的性质作图即可；连接，与轴的交点即为点，利用勾股定理即可求解； （）设甲商品进价为元，乙商品进价为元，根据题意，可列出方程组，解方程组即可求解； 本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称最短路线问题，二元一次方程组的应用，勾股定理，掌握轴对称的性质和找到等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：（）由图可得，点的坐标为， 故答案为：； 如图，即为所求；    如图，连接，与轴交于点， ∵点关于轴对称， ∴， ∴的周长， ∵的长是固定的，根据两点之间线段最短，此时为最小值， 即的周长最小， ∵，， ∴△ACD的周长最小值；    （）设甲商品进价为元，乙商品进价为元， 由题意可得，， 解得， 答：甲商品进价为元，乙商品进价为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$