第09讲 相似三角形的性质（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第09讲 相似三角形的性质（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点4．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点5．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型强化 题型一．相似三角形的性质 1．（2023秋•谢家集区期末）如果，其面积比为，则它们的周长比为　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•宿松县校级期末）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则　　； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 　　． 3．（2022秋•金安区校级期中）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形中，，，，当时．求证：对角线是四边形的“理想对角线”； （2）如图2，四边形中，平分，，，对角线是四边形的“理想对角线”，求的长． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2024•凤台县三模）如图，点在菱形的边上，，连接交菱形的对角线于点，取的中点，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•瑶海区二模）如图，已知正方形中，点是的中点，于，交于，则　　． 6．（2024•宣州区校级三模）如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求证：． 题型三．相似三角形的应用 7．（2023秋•庐阳区校级月考）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•宣城期末）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足与相交于点，要把这块石头撬起，至少要将杠杆的点向下压 　　． 9．（2023秋•包河区校级月考）小红用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面点处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小红测量出大楼的高度（注：入射角反射角）． 题型四．作图-相似变换 10．（2021秋•大观区校级期中）若是斜边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（海淀区校级月考）如图，已知中，，，在内找一点，使得和相似，小聪的做法是：取边上的中线，作，垂足为，则和相似．小聪同学作图的理论依据是 　． 12．（2023•大观区校级二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． （1）作出关于直线对称的△； （2）画出一个格点，使（相似比不为． 题型五．射影定理 13．（潜山县校级月考）如图，在，，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 14．（2020秋•安庆期中）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则　　． 15．如图，在中，为斜边上的高，如果，，求的值． 分层练习 一、单选题 1．如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，另一个与它相似的直角三角形的两条直角边长分别是6与x，那么x的值（     ） A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个 2．如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（   ） A．6 B．8 C． D．9 3．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（　　） A． B． C． D． 4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 7．如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知：如图，在⊙O中，弦、相交于点P，，，，则 ． 12．如图，在钝角 中，，，动点 从点 出发运动到点 停止，动点 从点 出发运动到点 停止．点 运动的速度为 ，点 运动的速度为 ．如果两点同时运动，那么当以点 ，， 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 秒．    13．如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线（）相交于点，过作轴于点，，在点右侧的双曲线上取一点，作轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标是 ． 14．如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 三、解答题 15．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 16．正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 17．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    18．如图，在中，，点是边上一动点（不与点重合），交于点．    (1)图中共有 对相似三角形； (2)设的长为，则的取值范围是 ． 19．网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 20．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 21．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)画出一个格点，使（相似比不为1）． 22．如图1，四边形中，，平分，若， (1)求的长． (2)如图2，过点作交于，连接交于，求的长． 23．如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 相似三角形的性质（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点4．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点5．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型强化 题型一．相似三角形的性质 1．（2023秋•谢家集区期末）如果，其面积比为，则它们的周长比为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据相似三角形的性质作答即可． 【解答】解：，其面积比为， 相似比为， 它们的周长比为， 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 2．（2022秋•宿松县校级期末）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则　　； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 　　． 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【解答】解：（1）， ，， ，， ， ， ． ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值最小时，的值最小，此时的值最小， ，，， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时， ， 的最小值为， 故答案为：6． 【点评】本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（2022秋•金安区校级期中）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形中，，，，当时．求证：对角线是四边形的“理想对角线”； （2）如图2，四边形中，平分，，，对角线是四边形的“理想对角线”，求的长． 【分析】（1）利用两角对应相等证明，可得结论． （2）如图2中，对角线是四边形的“理想对角线”， ，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是四边形的“理想对角线”． （2）解：对角线是四边形的“理想对角线”． ， ， ， 不符合题意，舍去） ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“理想对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2024•凤台县三模）如图，点在菱形的边上，，连接交菱形的对角线于点，取的中点，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接交于，过作交于，过作于，先求解，，证明，而，可得，，证明，可得，，，再进一步的利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图，连接交于，过作交于，过作于， 菱形，，， ，，，， ，， ， ， ，而， ， ，， ，为的中点， ， ，， ， 而， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，三角形的中位线的判定与性质，化为最简二次根式，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（2024•瑶海区二模）如图，已知正方形中，点是的中点，于，交于，则　　． 【分析】设，则，，，求得，再证明，得，则，由于，得，可证明，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：设， 四边形是正方形，点是的中点， ，，，， ， ， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键． 6．（2024•宣州区校级三模）如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求证：． 【分析】（1）连接，证明和全等，得，，在四边形中，由，得，再根据得，则，进而得，由此即可得出结论； （2）根据，得，进而得，，则，由此得，则，即，然后再根据即可得出结论； （3）过点作，的延长线交于，则四边形为矩形，进而得，根据，得，则，证明得，再证明得，则，即，由此得，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）连接，如图1所示： 四边形为正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， 在四边形中，，， ， 又， ， ， ， ； （2）四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）过点作，的延长线交于，如图2所示： 四边形为正方形， ，，，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 题型三．相似三角形的应用 7．（2023秋•庐阳区校级月考）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：如图所示：作于点， 由题意可得，，， 故， 可得：，， 故， ， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键． 8．（2023秋•宣城期末）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足与相交于点，要把这块石头撬起，至少要将杠杆的点向下压 　27　． 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度． 【解答】解：由题意得，， ， ， ， ， ， 至少要将杠杆的点向下压， 故答案为：27． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键． 9．（2023秋•包河区校级月考）小红用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面点处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米．当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端．已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小红测量出大楼的高度（注：入射角反射角）． 【分析】根据反射定律和垂直定义得到，所以可得，再根据相似三角形的性质解答． 【解答】解：如图， 根据反射定律知：， ； 米，米， ； 大楼的高为12.8米． 【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 题型四．作图-相似变换 10．（2021秋•大观区校级期中）若是斜边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【解答】解：由于是直角三角形， 过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似， 过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共3条直线． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似． 11．（海淀区校级月考）如图，已知中，，，在内找一点，使得和相似，小聪的做法是：取边上的中线，作，垂足为，则和相似．小聪同学作图的理论依据是　两角分别相等的三角形相似　． 【分析】由为斜边上的中线得，即，结合可得答案． 【解答】解：两角分别相等的三角形相似， 中，为斜边上的中线， ， ， 又， ， 故答案为：两角分别相等的三角形相似． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2023•大观区校级二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． （1）作出关于直线对称的△； （2）画出一个格点，使（相似比不为． 【分析】（1）先作出点、、关于直线的对称点，再一次连接即可； （2）连接点和中点，连接，连接，即为，点和点重合． 【解答】解：（1）如图所示：△即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点评】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法，以及相似三角形对应边成比例，对应角相等． 题型五．射影定理 13．（潜山县校级月考）如图，在，，，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出的长． 【解答】解：根据射影定理得：， ． 故选：． 【点评】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 14．（2020秋•安庆期中）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则　　． 【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可． 【解答】解：在中，， 由射影定理得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 15．如图，在中，为斜边上的高，如果，，求的值． 【分析】利用射影定理解答即可． 【解答】解：在中，为斜边上的高， ， ． 【点评】此题主要考查了射影定理，得出的长是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，另一个与它相似的直角三角形的两条直角边长分别是6与x，那么x的值（     ） A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是会运用分类讨论思想进行解答， 根据相似三角形的性质“对应边成比例”，分类讨论即可求解． 【详解】解：两直角三角形相似， 当3和6是对应边，4和x是对应边时，则， 解得， 当3和x是对应边，4和6是对应边时，则， 解得， 则x的值有8或， 故选：B． 2．如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（   ） A．6 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，由题意证明，得出，求出，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比. 【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图， ∵点G为△ABC的重心， ∴AG＝2GH， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝（）2＝， ∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD． 【详解】∵∠BAD=∠C， 而∠ABD=∠CBA， ∴△BAD∽△BCA， ∴AB:BC=BD:AB， ∴AB2=BC⋅BD. 故选C. 【点睛】本题考查三角形中线段的比列关系，解题的关键是应用射影定理. 6．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故选：B． 9．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 点是的中点， ，， ， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 10．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围． 【详解】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN． 在△PAB与△NCA中， ， ∴△PAB∽△NCA， ∴， 设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y， ∴， ∴， ∵-1＜0，≤x≤3， ∴x=时，y有最大值，此时b=1-=-， x=3时，y有最小值0，此时b=1， ∴b的取值范围是-≤b≤1． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 二、填空题 11．已知：如图，在⊙O中，弦、相交于点P，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理及相似三角形判定与性质．利用三角形相似得到，然后把，，代入计算即可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ，，， ∴． 故答案为：4． 12．如图，在钝角 中，，，动点 从点 出发运动到点 停止，动点 从点 出发运动到点 停止．点 运动的速度为 ，点 运动的速度为 ．如果两点同时运动，那么当以点 ，， 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 秒．    【答案】 或 【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则，，． ①当与对应时，有． ， ， ； ②当与对应时，有． ， ， ． 当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒或秒． 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键． 13．如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线（）相交于点，过作轴于点，，在点右侧的双曲线上取一点，作轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标． 【详解】解：直线y=x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 令x=0得y=1，令y=0得x=-2， ∴A（-2，0），B（0，1）． 设点M的坐标为（m，n）， ∵点M在双曲线上， ∴n=． 当△MCH∽△BAO时， 可得， 即， ∴m-2=2n，即m-2=， ∴m2-2m-8=0， 解得：m1=4，m2=-2（舍去）， ∴n==1， ∴M（4，1）； 当△MCH∽△ABO时， 可得， 即 整理得：2m-4=， ∴m2-2m-2=0， 解得：m1=1+，m2=1-（舍去）， ∴n==-2， ∴M（1+，-2）． 综上，M（4，1）或M（1+，-2）． 故答案为（4，1）或（1+，-2）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键． 14．如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 【答案】 【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作， ∵平分，则到的距离相等， 设到的距离为，到的距离为， ∴， ∴； 故答案为：． ∵平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 设，则，，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的周长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 15．如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论． 【详解】解：证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD． 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD． ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB． ∴BC=CE． ∵BE∥CD， ∴， 又∵BC=CE， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质． 16．正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点M运动到的中点时，，此时。 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴要使，必须有， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴当点M运动到的中点时，，此时． 17．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    【答案】经过或后，与相似． 【分析】分两种情况讨论，可得或，求得t的值． 【详解】解：①设经过后，， 根据已知条件，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键. 18．如图，在中，，点是边上一动点（不与点重合），交于点．    (1)图中共有 对相似三角形； (2)设的长为，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用有两个角对应相等的两个三角形相似，可得出：、即可求解； （2）由点是边上一动点（不与点重合）以及垂线段最短求出的取值范围，依据得出：，进而求出的取值范围，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）由勾股定理得：， 点是边上一动点（不与点重合）， ， 垂线段最短， 当时，取得最小值， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 19．网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可 （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示，,，, ∴，， ∴ 【点睛】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 20．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 21．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)画出一个格点，使（相似比不为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作出点A、B、C关于直线的对称点，再一次连接即可； （2）连接点C和中点F，连接，连接，即为，点E和点M重合． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求．    【点睛】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法，以及相似三角形对应边成比例，对应角相等． 22．如图1，四边形中，，平分，若， (1)求的长． (2)如图2，过点作交于，连接交于，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及平行线的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）先证明，由相似三角形的性质得，即可求出答案； （2）由，平分得，，得，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，，由得，可得，即可求出的长． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （2）∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长是． 23．如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$