第09讲 命题与证明（3个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第09讲 命题与证明（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点2．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 知识点3．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型强化 题型一．命题与定理 1．（2022秋•凤阳县期末）已知命题：等边三角形的各个内角都等于．这个命题的逆命题是 　　． 2．（2022秋•砀山县校级期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．（2021秋•利辛县期末）写出下列命题的逆命题，并判断其真假． （1）等边三角形有一个角等于； （2）等腰三角形两腰上的高相等． 题型二．推理与论证 4．（2022•包河区校级二模）某轮船往返于、两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间　　 A．不变 B．增加 C．减少 D．增加，减少都有可能 5．有、、三个学校的足球队参加单循环足球赛，每两队都比赛一场，比赛结果是：队两战两胜，共失球2个；队共进球5个，失球6个；队有一场踢平，共进球3个，失球8个．则队与队之间的比分情况一定是 　　． 6．宝石鉴定师张宝不小心在26颗0.5克拉克拉克）的钻石中混入了1颗外观一样的立方氧化锆仿钻．张宝除了一台非常标准的宝石天平以外没有其他检测设备，他用天平只称了3次，就把这棵仿钻挑出来了，你知道他是怎么做的吗？（立方氧化锆比钻石重 题型三．反证法 7．（2022秋•蚌山区期末）用反证法证明“”时，应假设　　． 8．（桐城市校级期中）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是　　 A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．两个角互为邻补角 9．（2021秋•港南区期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 题型四、判断命题真假 10．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形内角和是 B．如果直线，，那么直线 C．如果，那么 D．三角形任意两边之和大于第三边 12．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型五、写出命题的逆命题 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“对顶角相等．”请写出它的逆命题： ． 14．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）下列定理中，其逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．同角的补角相等 15．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果，那么，． 分层练习 一、单选题 1．下列句子中是命题的是（    ） A．你的暑假作业写完了吗？ B．画直线，并在上取一点 C．请立刻关闭电视去写作业！ D．同旁内角互补 2．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 3．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45° 5．命题：①两点之间线段最短；②对顶角相等；③同旁内角互补；④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列命题：①在同一平面内，已知直线、，若，，则；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线，，如果，，那么，其中正确的命题是（    ） A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 7．下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若，则；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果，那么，其中真命题是（    ） A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 8．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 9．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a=3，b=2 B．a=－3，b=2 C．a=3，b=－1 D．a=－1，b=3 10．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则 D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 二、填空题 11．命题“如果，，那么”的逆命题是 ． 12．命题“若，那么”是一个 命题（填真、假），写出它的逆命题： ． 13．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 14．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 ，那么 ． 三、解答题 15．一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 16．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 17．当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题吗？ 18．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 19．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 20．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 21．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证：． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴．（                   ）    22．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 23．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 命题与证明（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点2．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 知识点3．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型强化 题型一．命题与定理 1．（2022秋•凤阳县期末）已知命题：等边三角形的各个内角都等于．这个命题的逆命题是 　三个角都是的三角形是等边三角形　． 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：命题“等边三角形的每个内角都等于”的逆命题是“三个角都是的三角形是等边三角形”， 故答案为：三个角都是的三角形是等边三角形． 【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（2022秋•砀山县校级期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【分析】根据证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论解答即可． 【解答】解：如图，钝角的三条高的交点在的外部． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．（2021秋•利辛县期末）写出下列命题的逆命题，并判断其真假． （1）等边三角形有一个角等于； （2）等腰三角形两腰上的高相等． 【分析】交换命题的题设和结论后即可写出该命题的逆命题． 【解答】解：（1）逆命题是：有一个角等于的三角形是等边三角形．它是假命题； （2）逆命题是：有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形．它是真命题． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 题型二．推理与论证 4．（2022•包河区校级二模）某轮船往返于、两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间　　 A．不变 B．增加 C．减少 D．增加，减少都有可能 【分析】可设全程，船的静水速度，原来的水流速度，后来的水流速度为未知数，让路程顺水速度路程逆水速度，分别求得两种情况下轮船往返一次所用的时间，进而让得到的两个代数式相减，根据结果可判断相应的时间大小． 【解答】解：设全程为，船在静水中的速度为，水的流速为，往返一次所需时间为，当水的流速度增大时，则不妨设水的流速由，变为，所以，时间差为 ， 当水速增加时，往返一次时间变长． 故选：． 【点评】考查推理与论证；得到两种水速下时间的代数式是解决本题的突破点；比较两个代数式的大小，通常用减法，看得到的结果与0的比较． 5．有、、三个学校的足球队参加单循环足球赛，每两队都比赛一场，比赛结果是：队两战两胜，共失球2个；队共进球5个，失球6个；队有一场踢平，共进球3个，失球8个．则队与队之间的比分情况一定是 　　． 【分析】根据已知条件可知，，，三个足球队各战两场，队两战两胜，队有一场踢平只能是和队，则队和队都是一平移负，根据题意分别得到与，与之间的比分，找出符合题意的答案即可． 【解答】解：根据题意得，，，三个足球队各战两场，队两战两胜，队有一场踢平只能是和队，则队和队都是一平移负， 和平由四种情况：，，，， ①如果是，则为，为； ②如果是，则为，为； ③如果是，则为，为； ④如果是，则为，为， 故只有与之间的比分是符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查了推论与论证，明白足球比赛的规则是解题的关键． 6．宝石鉴定师张宝不小心在26颗0.5克拉克拉克）的钻石中混入了1颗外观一样的立方氧化锆仿钻．张宝除了一台非常标准的宝石天平以外没有其他检测设备，他用天平只称了3次，就把这棵仿钻挑出来了，你知道他是怎么做的吗？（立方氧化锆比钻石重 【分析】首先分成9颗、9颗、8颗3组，首先确定在哪一组，然后再把确定的一组进行分组，依次即可判断． 【解答】解：第一次：首先把26颗平分成9颗、9颗、8颗3组，把9颗的两组分别放在天平的两侧．若正好两边相等，则仿钻一定在8颗的一组，若不相等，则一定在较重的9颗中； 第二次：若仿钻在8颗的一组中：这8颗分成3颗、3颗、2颗3组，然后把3颗的两组放在天平的两侧，若相等，则仿钻一定在2颗的一组，若所称的两组不等，则仿钻一定在较重的3颗中； 第三次：若仿钻在2颗的一组中，分别分别放在天平的两侧，重的一颗是仿钻； 若仿钻在3颗的一组中，再在这3颗中任意取两个分别放在天平的两侧，重的一颗是仿钻，若两颗相等，则剩余的一颗是仿钻． 【点评】本题考查了推理与论证，解答此题的关键是：利用天平的特点，将这些钻石进行合理的分组，并逐步进行下去，从而就能找出那件仿钻． 题型三．反证法 7．（2022秋•蚌山区期末）用反证法证明“”时，应假设　　． 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是的反面有多种情况，需一一否定． 【解答】解：用反证法证明“”时，应先假设． 故答案为：． 【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8．（桐城市校级期中）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是　　 A．，的补角， B．，的补角， C．，的补角， D．两个角互为邻补角 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【解答】解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况； 、的补角，符合假命题的结论，故错误； 、的补角，符合假命题的结论，故错误； 、的补角，与假命题结论相反，故正确； 、由于无法说明两角具体的大小关系，故错误． 故选：． 【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 9．（2021秋•港南区期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于， ， 这与三角形的三内角和为相矛盾． 假设不成立， 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度． 【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 题型四、判断命题真假 10．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、倒数 【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可. 【详解】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 “如果，那么，互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．三角形内角和是 B．如果直线，，那么直线 C．如果，那么 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【知识点】判断命题真假、平行公理的应用、三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据三角形内角和定理即可判断A；根据平行公理即可判断B；根据乘方的计算法则即可判断C；根据三角形三边的关系即可判断D． 【详解】解：A、三角形内角和是，原命题是真命题，不符合题意； B、如果直线，，那么直线，原命题是真命题，不符合题意； C、如果，那么不一定成立，例如满足，但不满足，原命题是假命题，符合题意； D、三角形任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 题型五、写出命题的逆命题 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“对顶角相等．”请写出它的逆命题： ． 【答案】相等的角是对顶角 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考命题及逆命题的理解及运用能力． 将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等； ∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角， 简化后即为：相等的角是对顶角． 故答案为：相等的角是对顶角． 14．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）下列定理中，其逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．同角的补角相等 【答案】B 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，正确把原命题的结论和条件互换，从而写出对应的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行，该逆命题是真命题，不符合题意； B、原命题的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，符合题意； C、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：如果两个角相等，则这两个角是同一角的补角，该逆命题是真命题，不符合题意； 故选B． 15．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题，同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题 (2)假命题，如果，，则，此逆命题为真命题 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题： （1）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质，即可； （2）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法，即可； 【详解】（1）解：两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题； （2）解：如果，那么，为假命题， 其逆命题为：如果，，则，此逆命题为真命题． 分层练习 一、单选题 1．下列句子中是命题的是（    ） A．你的暑假作业写完了吗？ B．画直线，并在上取一点 C．请立刻关闭电视去写作业！ D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】根据命题的定义，即判定事情的句子，包括题设和结论两部分即可求解． 【详解】解：、你的暑假作业写完了吗？不是命题，不符合题意； 、画直线，并在上取一点，不是命题，不符合题意； 、请立刻关闭电视去写作业！不是命题，不符合题意； 、同旁内角互补，能判定真假，是命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的定义，掌握命题的定义，命题包括题设与结论，可以判定真假等知识是解题的关键． 2．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出原命题的逆命题，再根据a、b的值逐项判断即得答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”； A、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意； B、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是假命题，故本选项符合题意； C、a、b的值满足，不符合条件，故本选项不符合题意； D、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了真假命题和逆命题，正确理解题意、写出原命题的逆命题是解题的关键． 3．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当，时，，但是， ∴，但是， ∴，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 4．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45° 【答案】A 【分析】反证法的步骤是假设结论不成立即可． 【详解】用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时， 应先假设钝角三角形中每一个内角都不小于45°， 即每一个内角都大于等于45°， 故选：A． 【点睛】此题考查了反证法，解题的关键是懂得反证法的意义及步骤． 5．命题：①两点之间线段最短；②对顶角相等；③同旁内角互补；④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据两点之间线段最短即可判断①；根据对顶角的性质即可判断②；根据平行线的性质即可判断③④． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②对顶角相等，是真命题； ③两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补如下图中，，故原命题是假命题； ∴真命题有2个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，两点之间线段最短，对顶角的性质，平行线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．下列命题：①在同一平面内，已知直线、，若，，则；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线，，如果，，那么，其中正确的命题是（    ） A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 【答案】A 【分析】根据平面内两直线的位置关系，平行公理，垂线的定义进行求解即可． 【详解】解：①在同一平面内，已知直线、，若，，则，是假命题； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，是真命题； ③同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题； ④已知直线，，如果，，那么，是真命题； 故选A． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平面内两直线的位置关系，平行公理，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 7．下列命题：①在同一平面内，已知直线a、b，若，则；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线a，b，如果，那么，其中真命题是（    ） A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，垂线的性质，平面内直线的位置关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，已知直线a、b，若，则；故①错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；故②正确； ③同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故③错误； ④已知直线a，b，如果，那么，故④正确； 故真命题有②④； 故选B． 8．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系. 9．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a=3，b=2 B．a=－3，b=2 C．a=3，b=－1 D．a=－1，b=3 【答案】B 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 10．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则 D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了真假命题的判断、对顶角相等、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．根据对顶角性质，平行线判定及性质，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对顶角相等，该命题是真命题，故不符合题意； B. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故该命题是假命题，符合题意； C. 在同一平面内有三条直线，，，若，，则，该命题是真命题，故不符合题意； D. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，该命题是真命题，故不符合题意． 故选：B． 二、填空题 11．命题“如果，，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么， 【分析】根据互逆命题概念解答即可． 【详解】解：根据互逆命题概念可知， 命题“如果，，那么”的逆命题是“如果,那么” 故答案为：如果，那么， 【点睛】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12．命题“若，那么”是一个 命题（填真、假），写出它的逆命题： ． 【答案】 假 若，那么． 【分析】根据绝对值的意义即可作答． 【详解】若，则有a=b或者a=-b， 故命题是假命题； 逆命题为：若a=b，那么． 故答案为：假；若a=b，那么． 【点睛】考查了绝对值的意义以及命题与逆命题的知识，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么两个命题叫做互逆命题，其中一个叫命题，那另一个就称之为其逆命题． 13．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题与定理，先写出原命题的逆命题，再判定逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么 “，逆命题是假命题， 故答案为：假． 14．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 它们相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，如果部分是题设，那么部分是结论，准确找出题设部分和结论部分是解决本题的关键． 命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”， 结论是“这两个角相等”， ∴把它改写成“如果••••••，那么••••••”的形式为：如果两个角是对顶角，那么它们相等， 故答案为：两个角是对顶角；它们相等． 三、解答题 15．一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． 16．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 【答案】(1)条件：两个角是一对等角的补角，结论：这两个角相等 (2)条件：，，结论： 【分析】本题主要考查了命题的基本性质，每个命题都有条件和结论，通过条件而得出结论，即为真命题，反之，即为假命题． 根据命题的基本性质，从题目中得出条件和结论分别是什么． 【详解】（1）原命题改写为：如果两个角是一对等角的补角，那么这两个角相等． 条件：两个角是一对等角的补角． 结论：这两个角相等． （2）条件：，． 结论：． 17．当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题吗？ 【答案】不是真命题 【分析】对于命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题，可以举出反例进行判断． 【详解】解：当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11， 当时，代数式=，17是质数； 而对于所有自然数，式子的值不一定是质数 如当时，，25不是质数． 故当时，代数式的值都是质数，对于所有的自然数n,代数式的值不一定是质数． 故命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”不是真命题 【点睛】此题考查了代数式求值，命题的真假．此题难度适中，注意掌握举反例法的应用是解此题的关键． 18．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；正确 (2)对应角相等的三角形全等；不正确 【分析】本题考查了原命题与逆命题，以及判断命题的真假，将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题，继而利用定理判断命题的真假即可． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补， 根据平行线的性质定理即可判断这是真命题； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补，正确； （2）逆命题为：对应角相等的三角形全等， 根据全等三角形的判定定理可知这是假命题， 故答案为：对应角相等的三角形全等，不正确； 19．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)假命题．反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等 (2)真命题 (3)假命题．反例：当时，，不是钝角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例． （1）根据平行线的性质，即可解答； （2）根据等腰三角形的定义，即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等； （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：当，时，，不是钝角． 20．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 21．补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证：． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴．（                   ）    【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行 【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定． 【详解】解：延长交于点，则 ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴，（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理． 22．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断； （2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到. 【详解】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题； ①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题； ②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题； 故答案为2； （2）选择①②③． 证明：在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键. 23．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 学科网（北京）股份有限公司 $$