1.3空间向量及其运算的坐标表示题型专练-2024-2025学年高二数学同步练习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示—题型专练 题型一 空间向量的坐标表示 1. 在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___________，向量的坐标为____________，向量的坐标为____________. 3. 已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 4. 已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 5. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6. 在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7. 在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 8. 在空间直角坐标系中，点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 9. 如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 题型二 空间向量的坐标运算 1. 已知，求下列向量的坐标： (1) ； (2)； (3)． 2. 若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 4. 已知，则_________． 5. 若，，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．15 6. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知向量，向量满足，则（    ） A．22 B．11 C． D． 8. 已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 题型三 空间向量的平行、垂直问题 9. 设空间向量，，若，则_________ . 10. 已知空间向量，且，则（    ） A．10 B．6 C．4 D． 11. 已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则_________. 12. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 13. 设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 14. 已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 15. 向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 16. 由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是_________________（写出一个即可） 17. （多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 18. （多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 19. 已知，若，则向量的坐标为____________． 20. 已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 21. 已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 题型四 空间向量的坐标运算应用 1. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2. 在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（    ） A． B． C． D． 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4. 在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 5. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7. 在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9. 已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 10. 已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 11. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 一、单选题 1. 已知分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 2. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3. 已知空间向量，且，则（    ） A．10 B．6 C．4 D． 4. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 5. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6. 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 7. 若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 10. 已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 11. 已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 12. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线，，为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 13. 如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 14. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 三、填空题 15. 已知空间向量，若，则实数___________. 16. 设，向量，，，且，，则___________． 17. 若、，则线段AB中点的坐标是___________． 18. 如图，长方体中，，点为线段上一点， 则的最大值为___________. 四、解答题 19. 已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 20. 已知，. (1)求取最小值时两点的坐标. (2)求此时的． 21. 已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 22. 已知，，，设，，. (1)判断的形状； (2)若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3空间向量及其运算的坐标表示—题型专练 题型一 空间向量的坐标表示 1. 在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，为的中点， ∴， ∴坐标为. 故选：D 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___________，向量的坐标为____________，向量的坐标为____________. 【答案】 【解析】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 3. 已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 4. 已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 6. 在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 7. 在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为，. 故选：A 8. 在空间直角坐标系中，点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性得出点坐标，进而得出. 【详解】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为， . 故选：A 9. 如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【解析】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 题型二 空间向量的坐标运算 1. 已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1） ． （2） ． （3）. 2. 若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 3. 已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 4. 已知，则_________． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 5. 若，，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】A 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值. 【详解】由题设，则. 故选：A 6. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 7. 已知向量，向量满足，则（    ） A．22 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得. 【详解】因为， 所以， 则． 故选：D 8. 已知平行四边形中的三个顶点的坐标分别为、与，求顶点的坐标. 【解析】设，因为、与， 则，， 因为是平行四边形，所以， 即， 所以，解得，所以. 题型三 空间向量的平行、垂直问题 9. 设空间向量，，若，则_________ . 【答案】9 【解析】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 10. 已知空间向量，且，则（    ） A．10 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算. 【详解】因为，所以, 即，则. 故选：C. 11. 已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则_________. 【答案】 【解析】由题得， 因为是直线的一个方向向量， 所以，所以， 所以. 故答案为： 12. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 13. 设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解. 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 14. 已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 15. 向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 16. 由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】设向量与、垂直，则，取得， 所以，与共线的单位向量的坐标为或. 故答案为：（答案不唯一） 17. （多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 18. （多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 19. 已知，若，则向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据，设，从而表示出，再由，解出，从而得到. 【详解】因为，所以设， 因为所以． 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 20. 已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【详解】（1）， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； （2）， 设，则且， 解得或， 故或； 21. 已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以. （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 题型四 空间向量的坐标运算应用 1. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 2. 在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的坐标，再利用投影公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以在上的投影为. 故选：D. 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 4. 在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，则由题意可得，，计算，即可得出结论. 【详解】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为， 则由题意可得，. 所以， 故，即， 因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点， 即上底面每条棱的中点即为所求点； 同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点， ， 即与正方形切于个点， 即右侧面每条棱的中点即为所求点； 同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个. 故选：C 5. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果. 【详解】平面，，连接，由，可得， 四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系， 则，，设，， 则， 所以 因为，则，则， 所以. 故选：D 6. 已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】若向量，，共面，则，其中， 即， 所以， ∴解得 故选：A. 7. 在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算结合投影向量的定义可求得的值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 由题意可知，， 所以，. 故选：C. 8. 已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】∵， ∴，， ∴在上的投影向量为， 故选：C. 9. 已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析. 【解析】（1）由于为坐标原点，所以 由得： 点N是AB的中点，点M是的中点，； （2）由两点距离公式得：， ； （3）直线与直线不垂直 理由：由（1）中各点坐标得： 与不垂直，所以直线与直线不垂直 10. 已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 11. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可； （2）利用向量夹角运算公式计算的值； 【详解】（1） 如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，． ，∴ ∴． 所以的距离为. （2） 依题意得，，，， ∴，， ，，， ∴． 一、单选题 1. 已知分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】由空间直角坐标系中点的坐标的定义可求点的坐标. 【详解】因为且是坐标原点， 所以由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点的坐标是. 故选：A. 2. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间点关于坐标轴对称的知识确定正确选项. 【详解】由题意可知：点关于轴的对称点的坐标为. 故选：A. 3. 已知空间向量，且，则（    ） A．10 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算. 【详解】因为，所以, 即，则. 故选：C. 4. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 5. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量在方向上的投影，求出与方向相同的单位向量，求出向量在方向上的投影向量. 【详解】向量在方向上的投影为， 与方向相同的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为． 故选：D． 6. 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出的坐标，利用向量夹角公式，即可求出E的坐标． 【详解】设，则，， ∴， ∴，解得， ∴E的坐标为． 故选：B. 7. 若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，，则; 故选：D 8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 9. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A 二、多选题 10. 已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据共面向量定理，设出表达式，由方程组的解的情况确定是否与共面即得. 【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. 11. 已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 12. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线，，为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解． 【详解】根据题意知，点的坐标为，选项A正确，符合题意； B的坐标为，的坐标为， 故点关于点对称的点为，选项B错误，不符合题意； 在长方体中， 所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，选项C正确，符合题意； 点关于平面对称的点为，选项D正确，符合题意； 故选：ACD． 13. 如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系进行运算即可. 【详解】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，. A：，，， ，A正确. B：，B错误. C：，C正确. D：因为，则，所以， ，， 所以的面积，D正确. 故选：ACD. 14. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 【答案】AC 【分析】对于选项A，建立空间直角坐标系，令，根据，建立关于的方程，从而得到动点P的轨迹方程，即可求出点P轨迹长； 对于选项B，根据四点共面，即可判断直线与直线不是异面直线； 对于选项C，直接求出，根据，构造三棱柱，利用即可求解，； 对于选项D，根据直线与，AC均成角，只要过点P作直线与平行即可满足题意. 【详解】对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，, ，因为，所以， 所以，即， 又因为点P在正方形内部（含边界）运动，所以，所以点P的轨迹长为，故A正确； 对于选项B，如图，连接，，由正方体的性质知，， 所以四点共面，平面，故B不正确； 对于选项C，如图，取的中点F，连接，设， 连接，则几何体为斜三棱柱， 从而， 在三棱柱中，, 其中, , ∴, 又，故C正确； 对于选项D，通过平移直线可知，直线与，AC均成角，那么只要过点P作直线与平行即可满足与，AC均成角，这样的直线有无数条，故D不正确, 故选：AC. 三、填空题 15. 已知空间向量，若，则实数___________. 【答案】/ 【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】因为，， 因为，所以，解得： 故答案为： 16. 设，向量，，，且，，则___________． 【答案】3 【分析】由向量的垂直和平行易得和的值，可得的坐标，由模长公式可得． 【详解】解：，，， ， ， 解得：， 又， ， ， ， 故答案为：3． 17. 若、，则线段AB中点的坐标是___________． 【答案】 【分析】运用中点坐标公式求解即可. 【详解】由于、,运用中点坐标公式得到， 线段AB中点为，即. 故答案为：. 18. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为___________. 【答案】3 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题 19. 已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）设向量的夹角为， 由空间三点，，，可得，， ，， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为． （2）因为，所以，其中， 因为，可得，即， 所以， 即或． 20. 已知，. (1)求取最小值时两点的坐标. (2)求此时的． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由空间两点间的距离公式， 得， ， 当时，有最小值， ，. （2）由（1）得， 即此时. 21. 已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 22. 已知，，，设，，. (1)判断的形状； (2)若，求的值. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)2 【详解】（1），， 同理，， ，且， 所以是等腰直角三角形. （2），又， ，解得. 所以的值为2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$