2.2.3 直线的一般式方程（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3 直线的一般方程 知识点 1 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 知识点 2 直线的方程之间的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 知识点 3 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 1、直线方程过定点问题常用的三种方法 （1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点． （2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标． （3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标． 2、过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程． 题型一 直线一般式方程的应用 【例1】（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·重庆南岸·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·江苏连云港·月考）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（    ） ①直线：过点 ②直线在轴的截距是2 ③直线的图像不经过第四象限 ④直线的倾斜角为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 题型二 一般式方程的图象辨析 【例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）已知直线均不为0，且，则（    ） A．直线不过第一象限 B．直线必过第二象限 C．直线不过第三象限 D．直线必过第四象限 【变式2-2】（23-24高二上·天津·月考）要使直线不通过第二象限，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（23-24高二上·北京·期中）直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（    ） A． B． C． D． 题型三 一般式方程下的平行问题 【例3】（23-24高二下·浙江·月考）已知直线：，：，若，则m的值为（    ） A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3 【变式3-1】（23-24高二上·湖南·月考）若直线：与直线：平行，则（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 【变式3-2】（23-24高二下·四川南充·月考）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型四 一般式方程下的垂直问题 【例4】（23-24高二上·安徽安庆·月考）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【变式4-1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线与直线互相垂直，则m为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】（23-24高二上·广西南宁·月考）过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 题型五 过定点的直线系问题 【例5】（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·广东惠州·期中）直线过定点 . 【变式5-2】（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【变式5-3】（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 题型六 直线的方程在三角形中的应用 【例6】（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 【变式6-1】（23-24高二上·河南新乡·月考）已知的三个顶点分别为．求： (1)边中线所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程． 【变式6-2】（23-24高二上·江苏无锡·月考）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【变式6-3】（23-24高二上·河北沧州·月考）直线过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 直线的一般方程 知识点 1 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 知识点 2 直线的方程之间的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 知识点 3 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 1、直线方程过定点问题常用的三种方法 （1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点． （2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标． （3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标． 2、过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程． 题型一 直线一般式方程的应用 【例1】（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为的纵截距为，所以直线经过， 所以，所以， 所以斜率，故选：D. 【变式1-1】（23-24高二上·重庆南岸·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，即，故选：C 【变式1-2】（23-24高二上·江苏连云港·月考）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（    ） ①直线：过点 ②直线在轴的截距是2 ③直线的图像不经过第四象限 ④直线的倾斜角为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①将代入得，故正确； ②当时，，故在轴的截距是，故错误； ③由得， 故， 故其图像不经过第四象限，故正确； ④的斜率为，故倾斜角为，故正确；故选：C 【变式1-3】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）由点斜式，得直线方程为，即. （2）由斜截式，得直线方程为，即. （3）由两点式，得直线方程为，即. （4）由截距式，得直线方程为，即. 题型二 一般式方程的图象辨析 【例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由，得， 又，，则直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A 【变式2-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）已知直线均不为0，且，则（    ） A．直线不过第一象限 B．直线必过第二象限 C．直线不过第三象限 D．直线必过第四象限 【答案】BCD 【解析】由，得，而，则， 于是直线的横截距，纵截距， 所以直线经过第一、二、四象限，不过第三象限，A错误，BCD正确.故选：BCD 【变式2-2】（23-24高二上·天津·月考）要使直线不通过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 即，联立，解得， 直线经过定点，经过第一象限； ①当时，直线不经过第二象限， ②当时，直线方程化为：， 要使直线不经过第二象限，由于,则，解得：． 综上，要使直线不经过第二象限，则． 【变式2-3】（23-24高二上·北京·期中）直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线：，即，且与轴交于点， 直线：，即，且与轴交于点， 对于A：直线中，，直线中，，且， 则，所以的倾斜角大于的倾斜角，不符合题意，故A错误； 对于B：直线中，，直线中，，且， 则，所以的倾斜角大于的倾斜角，符合题意，故B正确； 对于C：直线中，，直线中，，矛盾，故C错误； 对于D：直线中，，直线中，，矛盾，故D错误；故选：B 题型三 一般式方程下的平行问题 【例3】（23-24高二下·浙江·月考）已知直线：，：，若，则m的值为（    ） A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3 【答案】B 【解析】由题意得，解得或1， 当时，直线：，：，两直线平行，满足要求. 当时，直线：，：，两直线重合，舍去，故选：B 【变式3-1】（23-24高二上·湖南·月考）若直线：与直线：平行，则（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 【答案】B 【解析】因为，所以，解得或． 当时，与重合，不符合题意． 当时，，符合题意．故选：B. 【变式3-2】（23-24高二下·四川南充·月考）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设所求直线方程为， 又过点，则可得，解得， 则所求直线方程为故选：A 【变式3-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设与直线平行的直线方程为， 于是，解得， 所以所求方程为.故选：C 题型四 一般式方程下的垂直问题 【例4】（23-24高二上·安徽安庆·月考）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 【变式4-1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线与直线互相垂直，则m为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】两直线垂直，则有，即，解得.故选：C 【变式4-2】（23-24高二上·广西南宁·月考）过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂直于直线的直线方程为， 又直线过点，所以，解得， 故所求直线的方程为.故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即.故选：. 题型五 过定点的直线系问题 【例5】（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 所以直线恒过定点.故选：C. 【变式5-1】（23-24高二上·广东惠州·期中）直线过定点 . 【答案】 【解析】由可得： ， 所以，解得， 所以定点坐标为. 【变式5-2】（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【解析】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 【变式5-3】（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 题型六 直线的方程在三角形中的应用 【例6】（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 【答案】(1)（答案不唯一）；(2) 【解析】（1）因为，，所以边所在直线的一个方向向量为； （2）设线段的中点为，则点，即， 又，所以边的中垂线的斜率， 则可得中垂线的方程为， 整理得边的中垂线的一般式方程是. 【变式6-1】（23-24高二上·河南新乡·月考）已知的三个顶点分别为．求： (1)边中线所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知的三个顶点分别为， 所以中点为，而， 所以中线方程为． （2）， 所以， 所以为钝角，且， 设的平分线与轴的交点为， 则， 即的平分线所在的直线的倾斜角为， ， 解得（负根舍去）， 所以， 所以的平分线的直线方程为， 即. 【变式6-2】（23-24高二上·江苏无锡·月考）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)，；(2)证明见解析，直线恒过定点. 【解析】（1）设. 由，得，即. ， 当且仅当时取等号. 所以的面积， 当的面积取最大值时，， 直线的方程为：，即. （2） 若直线的斜率不存在，有，又，解得， 即直线的方程为； 若直线的斜率存在，则直线的方程， 化简得， 两边同除，又， 所以，整理得， 得过定点所以直线恒过定点. 【变式6-3】（23-24高二上·河北沧州·月考）直线过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析；定点 【解析】（1）易知直线的斜率为， 设直线的斜率为，由两直线垂直可得，解得； 又过点，所以，即， 所以直线的方程为. （2）证明：设，又，可得； 由可得，解得； 易知，， 所以梯形的面积为，可得梯形的面积为6， 不妨设，可得，即； 当时，直线的方程为， 将代入上式可得， 由可得， 即不论为何值时，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，过点； 综上可知，直线必过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$