第2章 特殊三角形知识归纳与题型训练（12题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第2章 《特殊三角形》知识归纳与题型训练（12题型清单） 一、轴对称图形 定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 这条直线叫做对称轴 要点诠释： （1）轴对称是一个图形的性质； （2）一个图形的对称轴是一条直线，不是线段或射线； （3）轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有无数条，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。 轴对称图形的性质： 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段 二、图形成轴对称 定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 性质：成轴对称的两个图形是全等图形. 要点诠释： 图形成轴对称是两个图形的位置关系. 三、将军饮马模型 问题 作法 图形 原理 四、等腰三角形B A C 顶角 底角 底角 腰 腰 1．等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 要点诠释： （1）等边三角形是特殊的等腰三角形． （2）等腰三角形的对称轴有1条或3条． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 要点诠释： 等边三角形三个角都等于60°，三边均存在“三线合一”． 五、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称“等角对等边” 要点诠释： 等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有领条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的中线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的平分线与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 六、等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形 七、逆命题和逆定理 互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理；这两个定理叫做互逆定理。 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 角平分线的性质定理的逆定理 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 八、直角三角形 1．定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2．性质： （1）直角三角形两锐角互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于斜边的一半 3．判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形 要点诠释： 判定直角三角形的其他方法： （1） 定义法； （2） 一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形； （3） 勾股定理的逆定理；C A B a c b 九、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如图则有：在Rt△ABC中，a2+b2=c2 要点诠释： （1）直角三角形勾股定理使用之前，先要确定谁是斜边； （2）已知斜边和一直角边，求另一直角边时利用公式； （3）要使用勾股定理，首先要有直角三角形，所以当没有直角三角形时，常作辅助线为作垂线 十、勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；C A B a c b 如图：若a2+b2=c2，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 要点诠释： 在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 十一、直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 要点诠释： 使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90°E D F C A B AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 题型一　轴对称图形与轴对称变换 例题：（2024春•康平县期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 2．（2024春•下城区校级月考）下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（　　） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正六边形 3．（2024春•桃源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．（2024•凉州区二模）如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 5．（2023秋•婺城区期末）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）． 6．（2024•西湖区校级模拟）已知∠AOB，请用无刻度的直尺与圆规按照要求作图（保留作图痕迹）； （1）在图1中作∠AOB的角平分线． （2）如图2，P是∠AOB内部一点，分别在边OA，OB上作一点M，N，连结PM，PN，使得四边形PMON是以直线MN为对称轴的轴对称图形． 题型二　等腰三角形的性质 例题：（2024春•湛河区校级期末）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．15 B．20 C．25或20 D．25 巩固训练 1．（2024•鹿城区校级开学）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 2．（2024•海宁市三模）在△ABC中，∠B＝30°，小豪作图过程如下： （1）以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D，连结AD； （2）分别以C，D为圆心，大于作弧交于点E1； （3）作射线AE交CD于点F． 则下列结论正确的是（　　） A．∠B＝∠BAD B．CD＝BD C．AC+CF＝BF D．AF⊥BC 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 4．（2023秋•杭州期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE． 5．（2024•浙江模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BH＝BC． 题型三　等腰三角形的判定与性质的综合 例题：（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 巩固训练 1．（2023秋•开化县期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D，使△ABD为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•云南模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定为等腰三角形 B．△ABF一定为等腰三角形 C．△CFG一定为等腰三角形 D．△GHI一定为等腰三角形 3．（2023秋•龙山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 4．（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 题型四　等边三角形的性质与判定 例题：（2023秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是△ABC内一点，F是BC上一点，∠EBF＝∠E＝60°，AH平分∠BAC分别交EF、BC于点D、H，求∠EDA的度数． 巩固训练 1．（2022秋•滨城区期中）△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝　 　度． 2．（2024•钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　 　． 3．（2023秋•浙江期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 题型五　直角三角形的性质与判定 例题：（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C 巩固训练 1．（2024•柯桥区模拟）在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 　 　． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为 　 　． 3．（2024春•槐荫区期末）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 4．（2023秋•太康县期末）如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 5．（2024•金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE． （1）求证：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 6．（2023秋•下城区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为的中点，连接EF，DF． （1）求证：EF＝DF； （2）若∠A＝60°，BC＝6．求△DEF的周长． 题型六　勾股定理及其证明 例题：（2024春•上虞区期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　）m． A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 巩固训练 1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（2024•滨江区校级三模）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 3．（2023秋•浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝　 　． 5．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 题型七　勾股定理的应用 例题：（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　 　m． 巩固训练 1．（2024春•雨花区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 2．（2022秋•泌阳县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26m，BC＝16m，CD＝12m，且BD＝20m． （1）试说明∠BCD＝90°； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 3．（2023秋•婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆AB的底部（点B）之间的距离为5米． 【问题解决】求旗杆的高度． 题型八　勾股定理的逆定理 例题：（2023秋•绍兴期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝3米，AD＝4米，CD＝13米，BC＝12米，又已知∠A＝90°，求这块四边形ABCD土地的面积． 巩固训练 1．（2023秋•青山区期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10 2．（2024春•路桥区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，， 3．（2024春•椒江区月考）给出下列几组数： ①6，7，8； ③8，15，16； ③7，24，25； ④n2﹣1，2n，n2+1（n＞1）． 其中，能作为直角三角形三条边长的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 4．（2023秋•诸暨市期末）已知三角形三条边长度为m2+n2，m2﹣n2，2mn，其中m＞n＞0，则这个三角形面积为 　 　．（化简结果） 5．（2024春•双峰县期末）如图，在△ABC中，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求DC的长． 6．（2023春•庄浪县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D是线段AB上一点，BD＝6，连接CD且CD＝8． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 题型九　最短路径问题 例题：（2024春•浏阳市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 巩固训练 1．（2024•新昌县一模）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（　　） A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米 2．（2023•东阳市三模）如图，长方体的长、宽、高分别是4cm，2cm，2cm，一只蚂蚁沿着A长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　 　cm． 题型十　逆命题与逆定理 例题：（2023秋•连南县期末）以下命题的逆命题为真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若a＝b，则a2＝b2 D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0 巩固训练 1．（2023秋•肥西县期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．若x2＝1，则x＝1 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝8 2．（2024春•城厢区校级月考）下列命题中，其逆命题成立的个数（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④对顶角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•叙州区期末）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：　 　． 题型十一　直角三角形全等的判定 例题：（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等； ②斜边和一直角边对应相等； ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等． 能使这两个直角三角形全等的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 巩固训练 1．（2023春•秦都区期中）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（　　） A．∠A＝∠B B．AC＝BE C．AD＝BE D．AD＝BF 2．（2020•澜沧县模拟）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF． 3．（2023春•浙江期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 题型十二　角平分线与线段垂直平分线性质定理的逆定理 例题：（2024•禹城市模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 巩固训练 1．（2023秋•衡南县期末）如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋•鄞州区期末）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PE＝4，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为 　 　cm2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《特殊三角形》知识归纳与题型训练（12题型清单） 一、轴对称图形 定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 这条直线叫做对称轴 要点诠释： （1）轴对称是一个图形的性质； （2）一个图形的对称轴是一条直线，不是线段或射线； （3）轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有无数条，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。 轴对称图形的性质： 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段 二、图形成轴对称 定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 性质：成轴对称的两个图形是全等图形. 要点诠释： 图形成轴对称是两个图形的位置关系. 三、将军饮马模型 问题 作法 图形 原理 四、等腰三角形B A C 顶角 底角 底角 腰 腰 1．等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 要点诠释： （1）等边三角形是特殊的等腰三角形． （2）等腰三角形的对称轴有1条或3条． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一． 要点诠释： 等边三角形三个角都等于60°，三边均存在“三线合一”． 五、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称“等角对等边” 要点诠释： 等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有领条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的中线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的平分线与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 六、等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形 七、逆命题和逆定理 互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理；这两个定理叫做互逆定理。 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 角平分线的性质定理的逆定理 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 八、直角三角形 1．定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2．性质： （1）直角三角形两锐角互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于斜边的一半 3．判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形 要点诠释： 判定直角三角形的其他方法： （1） 定义法； （2） 一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形； （3） 勾股定理的逆定理；C A B a c b 九、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如图则有：在Rt△ABC中，a2+b2=c2 要点诠释： （1）直角三角形勾股定理使用之前，先要确定谁是斜边； （2）已知斜边和一直角边，求另一直角边时利用公式； （3）要使用勾股定理，首先要有直角三角形，所以当没有直角三角形时，常作辅助线为作垂线 十、勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；C A B a c b 如图：若a2+b2=c2，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 要点诠释： 在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 十一、直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 要点诠释： 使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90°E D F C A B AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 题型一　轴对称图形与轴对称变换 例题：（2024春•康平县期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 巩固训练 1．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【分析】由轴对称的性质可得∠B＝∠B′＝110°，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°， ∴∠B＝∠B′＝110°， 又∵∠A＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°， 故选：C． 2．（2024春•下城区校级月考）下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（　　） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正六边形 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不一定是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．（2024春•桃源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 4．（2024•凉州区二模）如图，在△ABC中，AB＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】连接AP、AD、AQ，由对称性可得AD＝AQ＝AP，所以点D、P、Q在以点A为圆心、以AP为半径的圆上，进而得PQ＝AP＝AD，所以AD⊥BC时，PQ取得最小值，利用AD＝AB•sin 60°＝，可求PQ． 【解答】解：连接AP、AD、AQ， ∵点D、P关于AB轴对称， ∴AD＝AP， 同理，AD＝AQ， ∴AD＝AQ＝AP， ∴点D、P、Q在以点A为圆心、以AP为半径的圆上， 由对称轴可知：∠PAQ＝2（∠BAD+∠DAC）＝2∠BAC＝90°， ∴△PAQ为等腰直角三角形， ∴PQ＝AP＝AD， ∵点D在BC上， ∴当AD取得最小值，即AD⊥BC时，PQ取得最小值， ∵当AD⊥BC时，AD＝AB•sin 60°＝， ∴PQ的最小值是． 故选：B． 5． （2023秋•婺城区期末）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）． 【分析】根据轴对称的性质画图． 【解答】解：如图， 6．（2024•西湖区校级模拟）已知∠AOB，请用无刻度的直尺与圆规按照要求作图（保留作图痕迹）； （1）在图1中作∠AOB的角平分线． （2）如图2，P是∠AOB内部一点，分别在边OA，OB上作一点M，N，连结PM，PN，使得四边形PMON是以直线MN为对称轴的轴对称图形． 【分析】（1）①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点D，交OB于点E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；③作射线OC．所以射线OC就是所求作∠AOB的角平分线． （2）连接OP，作线段OP的垂直平分线交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN，四边形PMON即为所求． 【解答】解：（1）如图①，射线OC就是所求作∠AOB的角平分线； （2）如图2中，四边形PMON即为所求． 题型二　等腰三角形的性质 例题：（2024春•湛河区校级期末）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．15 B．20 C．25或20 D．25 【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立； 当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25． 故选：D． 巩固训练 1．（2024•鹿城区校级开学）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠AEC的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义得出∠ACE＝∠ACB＝35°，最后根据三角形内角和180°得∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAB＝105°即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAB＝180°﹣35°﹣40°＝105°． 故选：C． 2．（2024•海宁市三模）在△ABC中，∠B＝30°，小豪作图过程如下： （1）以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D，连结AD； （2）分别以C，D为圆心，大于作弧交于点E1； （3）作射线AE交CD于点F． 则下列结论正确的是（　　） A．∠B＝∠BAD B．CD＝BD C．AC+CF＝BF D．AF⊥BC 【分析】根据作图的方法即可得到结论． 【解答】解：由作图知，AF⊥BC，AD＝AC， ∴DF＝CF， 但BD不一定等于AD，CD不一定等于BD， ∴AC+CF＝AD+DF不一定等于BF，故选项A，B，C不符合题意；选项D符合题意， 故选：D． 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝5AB，又S△ABC＝AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABC＝AC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 4．（2023秋•杭州期中）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE． 【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决． 【解答】证明：作AF⊥BC于F， ∵AB＝AC（已知）， ∴BF＝CF（三线合一）， 又∵AD＝AE（已知）， ∴DF＝EF（三线合一）， ∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE（等式的性质）． 5．（2024•浙江模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BH＝BC． 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠ACB＝90°﹣α，再根据角的和差求解即可； （2）延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E，结合邻补角定义求出∠BAC＝∠ABF＝α，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠DAB＝α，∠BAE＝α，BE＝BC，再根据角平分线的性质即可得证． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α， ∵∠ACD+∠BAC＝45°， ∴∠ACD＝45°﹣α， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（45°﹣α）＝45°+； （2）证明：如图2，延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ABD+∠BAC＝180°，∠ABD+∠ABF＝180°， ∴∠BAC＝∠ABF＝α， ∵AB＝BD， ∴∠D＝∠DAB， ∵∠D+∠DAB＝∠ABF， ∴∠D+∠DAB＝∠ABF＝α， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴∠BAE＝∠BAC＝α，BE＝BC， ∴∠DAB＝∠BAE， ∵BH⊥AD，AE⊥BC， ∴BH＝BE， ∴BH＝BC． 题型三　等腰三角形的判定与性质的综合 例题：（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果； （2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72，根据等腰三角形的判定即可证得结论． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 巩固训练 1．（2023秋•开化县期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D，使△ABD为等腰三角形，下列作法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据尺规作图对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，由尺规作图可知：AB＝AD， ∴△ABD为等腰三角形， 故选项A的作法能使△ABD为等腰三角形，不符合题意； 对于选项B，由尺规作图可知：点D在线段AB的垂直平分线上， ∴AB＝BD，则△ABD为等腰三角形， 故选项B的作法能使△ABD为等腰三角形，不符合题意； 对于选项C，由尺规作图可知：点D是线段AB的中点， ∵△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴AD＝BD＝CD，则△ABD为等腰三角形， 故选项C的作法能使△ABD为等腰三角形，不符合题意； 对于选项D，由尺规作图可知：BD是∠ABC的平分线， 只有当AB＝BC时，△ABD是等腰三角形， 故选项D的作法不能使△ABD为等腰三角形，符合题意． 故选：D． 2．（2024•云南模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，作高线CE，角平分线BF，中线AD，三者两两相交于点G，H，I．则下列说法正确的是（　　） A．△ACE一定为等腰三角形 B．△ABF一定为等腰三角形 C．△CFG一定为等腰三角形 D．△GHI一定为等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1，推出∠IGH＝∠GIH，即可判断选项D符合题意． 【解答】解：如图， ∵CE是高线， ∴∠AEC＝90°， 若△ACE为等腰三角形，则EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA＝45°， 而题设中∠BAC并不一定是45°， 故选项A不符合题意； ∵AB＝AC＞BC， 若△ABF 为等腰三角形，则FA＝FB， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠1， ∵角平分线BF， ∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB＝2∠1， ∴5∠1＝180°， ∴∠1＝36°＝∠BAC， 而题设中∠BAC并不一定是36°， 故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意； ∵AB＝AC，中线AD， ∴AD⊥BC， ∵角平分线BF，CE是高线， ∴∠IGH＝∠EGB＝90°﹣∠1，∠GIH＝90°﹣∠2＝90°﹣∠1， 即∠IGH＝∠GIH， ∴IH＝HG， ∴△GHI一定为等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•龙山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　6　． 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案． 【解答】解：∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6， 故答案为：6． 4．（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 题型四　等边三角形的性质与判定 例题：（2023秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是△ABC内一点，F是BC上一点，∠EBF＝∠E＝60°，AH平分∠BAC分别交EF、BC于点D、H，求∠EDA的度数． 【分析】先由AB＝AC，AH平分∠BAC得AH⊥BC，再由∠EBF＝∠E＝60°得△EBC为等边三角形，进而得∠BFE＝60°，由此可求出∠HDF＝30°，进而根据对顶角相等可得出答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AH平分∠BAC， ∴AH⊥BC， 即∠AHC＝90°， ∵∠EBF＝∠E＝60°， ∴△EBC为等边三角形， ∴∠BFE＝60°， ∴∠HDF＝90°﹣∠BFE＝30°， ∴∠EDA＝∠HDF＝30°． 巩固训练 1．（2022秋•滨城区期中）△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝　60　度． 【分析】由已知根据等边三角形的判定方法可得这个三角形是等边三角形，利用等边三角形的性质从而可求得∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC ∴∠B＝∠C ∵∠A＝∠C ∴∠A＝∠C＝∠B＝60° 故填60． 2．（2024•钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　2　． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，由等边三角形的性质得出BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC，即可证得∠EAD＝45°，得出△AED是等腰直角三角形，设CE＝x，根据勾股定理即可求出AE的长，在Rt△AED中根据勾股定理即可求出x的值，从而得出AB的长． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵△ABC是等边三角形， ∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°， ∵∠CAD＝15°， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°+15°＝45°， ∴△AED是等腰直角三角形， 设CE＝x， ∵∠CAE＝30°，AE⊥BC， ∴AC＝2CE＝2x， 由勾股定理得，AE＝， ∴DE＝AE＝， 由勾股定理得，AE2+DE2＝AD2， ∴， 解得x＝1， ∴AC＝2x＝2， ∴AB＝AC＝2， 故答案为：2． 3．（2023秋•娄底期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形； （3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值． 【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 题型五　直角三角形的性质与判定 例题：（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； B、∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C， 设∠A＝x， ∴∠B＝x，∠C＝x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+x＝180°， 解得x＝（）°＞90°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意； D、∵∠A＝∠B＝∠C， 设∠A＝∠B＝x， ∴∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+2x＝180°， 解得x＝45°， ∴∠C＝2x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（2024•柯桥区模拟）在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 　30°　． 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠C即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝2∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴3∠C＝90° ∴∠C＝30°， 故答案为：30°． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为 　60°　． 【分析】依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数． 【解答】解：∵∠ABD＝15°，∠ABC＝90°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣15°＝75°， 由折叠可得∠DBE＝∠DBC＝75°， ∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝75°﹣15°＝60°． 故答案为：60°． 3．（2024春•槐荫区期末）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点， ∴OP＝AB， 即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 4．（2023秋•太康县期末）如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：如图：连接EF、DF， ， ∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB， ∴， ∵G是DE的中点， ∴FG⊥ED，， 在Rt△DGF中，， 故选：B． 5．（2024•金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE． （1）求证：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 【分析】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论； （2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°， 由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°， 在Rt△ACE中，∠AEC＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴AE＝2CE＝6， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝6． 6．（2023秋•下城区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为的中点，连接EF，DF． （1）求证：EF＝DF； （2）若∠A＝60°，BC＝6．求△DEF的周长． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明△DEF是等边三角形即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵BF＝CF， ∴DF＝EF＝BC． （2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD， ∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°， ∴∠EFD＝60°， ∵EF＝DF， ∴△EFD是等边三角形， ∵EF＝BC＝3， ∴△DEF使得周长为9． 题型六　勾股定理及其证明 例题：（2024春•上虞区期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　）m． A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【分析】要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设CD＝x，AB＝DE＝y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在直角△ABC中，根据BC，AC即可求AB． 【解答】解：已知AE＝1.3米，AC＝0.7米，BD＝0.9米， 设CD＝x，AB＝DE＝y， 则BC＝0.9+x， 则在直角△ABC中，y2＝（0.9+x）2+0.72， 在直角△CDE中，y2＝x2+（1.3+0.7）2， 解方程组得：x＝1.5米，y＝2.5米， 故选：B． 巩固训练 1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2． 如图，连接BD， 在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即a+d＝b+c， ∵a＝2，b+c＝12， d＝12﹣2＝10． 故选：B． 2．（2024•滨江区校级三模）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝9， ∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC﹣π×（）2＝9， ∴AC×BC＝18， ∵AC+BC＝10． ∴AB＝＝， 故选：C． 3．（2023秋•浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若AB的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知c＝2a，得出b＝a，再由（b﹣a）2＝9，得出a的值，即可得出b的值，再由最外围的大正方形的边长＝a+b即可得出结果． 【解答】解：由题意可知，（b﹣a）2＝9， 又∵AB的长是小长方形宽的2倍， 即c＝2a， ∴b＝a， ∴（a﹣a）2＝9， ∴a＝（负值舍去）， ∴b＝， ∴最外围的大正方形的边长＝a+b＝＝6+3， 故选：D． 4．（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝　108　． 【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，则S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，先证明S2＝a2+b2＝36，再证明S1+S2+S3＝3（a2+b2）即可得到答案． 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且a＞b， 由题意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， ∵正方形EFGH的边长为6， ∴S2＝a2+b2＝36， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2 ＝3（a2+b2） ＝108， 故答案为：108． 5．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可； （2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可； （3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t； ②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12（cm），易求得t； ③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ＝＝＝2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t＝； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC＝＝10（cm）， ∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE＝＝＝4.8（cm） ∴CE＝＝3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 题型七　勾股定理的应用 例题：（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　4　m． 【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可． 【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m， ∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形， ∴CE＝BF＝1.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m）， ∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， 设秋千的长度为x m， 则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣1）2+32＝x2， 解得：x＝5， 即秋千的长度是5m； （2）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m， ∵DE＝0.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m）， 由（2）可知，AD＝AB＝5m， ∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m）， 即需要将秋千AD往前推送4m， 故答案为：4． 巩固训练 1．（2024春•雨花区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可． 【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD＝＝＝1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 2．（2022秋•泌阳县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26m，BC＝16m，CD＝12m，且BD＝20m． （1）试说明∠BCD＝90°； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 【分析】（1）连接BD，由勾股定理的逆定理证得△BCD是直角三角形，即可求得∠BCD＝90°； （2）过A作AE⊥BD于E，由等腰三角形的性质求得BE，再由勾股定理求得AE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论． 【解答】解：（1）∵△BCD中，BC＝16m，CD＝12m，BD＝20m， ∴BC2+CD2＝162+122＝400，BD2＝202＝400， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°； （2）过点A作AE⊥BD于点E， ∴∠AEB＝90°， ∵AB＝AD， ∴BE＝DE＝BD＝10（m）， 在Rt△ABE中，AB＝26m， ∴AE＝（m）， ∴， ∵， ∴． 3．（2023秋•婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆AB的底部（点B）之间的距离为5米． 【问题解决】求旗杆的高度． 【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米， 在Rt△ABC中，AB＝x米，BC＝5米， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， 即x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：旗杆的高度为12米． 题型八　勾股定理的逆定理 例题：（2023秋•绍兴期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝3米，AD＝4米，CD＝13米，BC＝12米，又已知∠A＝90°，求这块四边形ABCD土地的面积． 【分析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答． 【解答】解：连接BD， ∵∠A＝90° ∴BD2＝AD2+AB2＝25 则BD2+BC2＝25+144＝169＝132＝CD2，因此∠CBD＝90°， S四边形＝S△ADB+S△CBD＝AD•AB+BD•BC＝×12×5+×4×3＝36平方米． 巩固训练 1．（2023秋•青山区期末）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝6，b＝8，c＝10 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c）， ∴b2＝a2﹣c2， ∴c2+b2＝a2， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C， ∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵62+82＝102， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024春•路桥区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，， 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【解答】解：A、1+1＝2，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能构成直角三角形，则此项符合题意； C、42+52＝41≠62，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（2024春•椒江区月考）给出下列几组数： ①6，7，8； ③8，15，16； ③7，24，25； ④n2﹣1，2n，n2+1（n＞1）． 其中，能作为直角三角形三条边长的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【分析】判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【解答】解：①62+72≠82，故不是直角三角形，不符合题意； ②152+82≠162，故不是直角三角形，故错误； ③72+242＝252，故是直角三角形，故符合题意； ④（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，故是直角三角形，符合题意． 故选：C． 4．（2023秋•诸暨市期末）已知三角形三条边长度为m2+n2，m2﹣n2，2mn，其中m＞n＞0，则这个三角形面积为 　m3n﹣mn3　．（化简结果） 【分析】先根据勾股定理的逆定理证得三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4， （m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4， （2mn）2＝4m2n2， ∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2， ∴这个三角形是直角三角形，直角边是m2﹣n2，2mn， ∴三角形的面积为， 故答案为：m3n﹣mn3． 5．（2024春•双峰县期末）如图，在△ABC中，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求DC的长． 【分析】首先根据勾股定理逆定理证明出△ADB是直角三角形，进而得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再利用勾股定理计算出DC的长即可． 【解答】解：∵AB＝10，BD＝6，AD＝8， ∴AD2+BD2＝62+82＝100＝AB2， ∴△ADB是直角三角形， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中：DC2＝AC2﹣AD2， ∴DC＝15． 6．（2023春•庄浪县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D是线段AB上一点，BD＝6，连接CD且CD＝8． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证CD⊥AB； （2）根据勾股定理可得AD2+CD2＝AC2，即AD2+82＝（AD+6）2，解方程求出AD，进而得到AC． 【解答】（1）证明：在△BDC中，BC＝10，BD＝6，CD＝8， ∵BD2+CD2＝62+82＝102＝BC2， ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵CD⊥AB， ∴△ADC是直角三角形， ∴AD2+CD2＝AC2，即AD2+82＝（AD+6）2， 解得AD＝2， ∴AC＝6+2＝8． 题型九　最短路径问题 例题：（2024春•浏阳市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】根据勾股定理得到AB＝10，根据直角三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为2． 【解答】解：如图，连接CM、CN， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， ∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣3＝2． 故选：A． 巩固训练 1．（2024•新昌县一模）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（　　） A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米 【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子上沿的最短距离即可解答． 【解答】解：如图所示：最短距离为PA'的长度，将圆柱展开， PA'＝＝＝10cm， 最短路程为PA'＝10cm． 故选：B． 2．（2023•东阳市三模）如图，长方体的长、宽、高分别是4cm，2cm，2cm，一只蚂蚁沿着A长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　4　cm． 【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程． 【解答】解：如图所示， 如图1，路径一：AB＝＝4（cm）； 如图2，路径二：AB＝＝2（cm）， ∵4， ∴蚂蚁爬行的最短路程为4cm． 故答案为：4． 题型十　逆命题与逆定理 例题：（2020秋•连南县期末）以下命题的逆命题为真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若a＝b，则a2＝b2 D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0 【分析】根据逆命题与原命题的关系，先写出四个命题的逆命题，然后依次利用对顶角的定义、平行线的性质、有理数的性质进行判断． 【解答】解：A、对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故A选项错误； B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故B选项正确； C、若a＝b，则a2＝b2的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此逆命题为假命题，故C选项错误； D、若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0的逆命题为若a2+b2＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，故D选项错误． 故选：B． 巩固训练 1．（2023秋•肥西县期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．若x2＝1，则x＝1 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝8 【分析】先写出逆命题，再根据无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式判断正误即可． 【解答】解：A．若x2＝1，则x＝1的逆命题是若x＝1，则x2＝1，正确，故逆命题是真命题； B．无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，错误，故逆命题是假命题； C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误，故逆命题是假命题； D．若a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝8的逆命题是若a2﹣b2＝8，则a+b＝4，a﹣b＝2，错误，故逆命题是假命题． 故选：A． 2．（2024春•城厢区校级月考）下列命题中，其逆命题成立的个数（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④对顶角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据逆命题的定义，分别求出各命题的逆命题，再根据平行性的性质、平行四边形的性质及对顶角的性质依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 命题①的逆命题为：两直线平行，同位角相等， 根据平行线的性质可知，这是一个真命题． 命题②的逆命题为：平行四边形的对角线互相平分， 根据平行四边形的性质可知，这是一个真命题． 命题③的逆命题为：平行四边形的两组对边分别相等， 根据平行四边形的性质可知，这是一个真命题． 命题④的逆命题为：相等的角是对顶角， 如图所示， ∠A＝∠B， 显然∠A与∠B不是对顶角， 所以这是一个假命题． 综上所述，逆命题为真命题的有3个． 故选：C． 3．（2023秋•叙州区期末）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题：　两个角相等三角形是等腰三角形　． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， ∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”， 故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形． 题型十一　直角三角形全等的判定 例题：（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等； ②斜边和一直角边对应相等； ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等． 能使这两个直角三角形全等的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可． 【解答】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①符合题意； ②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②符合题意； ③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③不符合题意； ④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④不符合题意； 综上分析可知①②正确，故A符合题意． 故选：A． 巩固训练 1．（2023春•秦都区期中）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（　　） A．∠A＝∠B B．AC＝BE C．AD＝BE D．AD＝BF 【分析】由斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得到答案． 【解答】解：CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，还需要添加的条件是AC＝BE． 故选：B． 2．（2020•澜沧县模拟）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF． 【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC＝EF，即CE＝BF． 【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°． 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． ∴BC＝EF． ∴BC﹣BE＝EF﹣BE． 即：CE＝BF． 3．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°． 【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°． 【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC＝∠BCF， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°． 题型十二　角平分线与线段垂直平分线性质定理的逆定理 例题：（2024•禹城市模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案 【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选：C． 巩固训练 1．（2023秋•衡南县期末）如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，根据角平分线性质得出PQ＝PR，即可得出答案． 【解答】解： 过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R， ∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P， ∴PQ＝PW，PW＝PR， ∴PR＝PQ， ∵点P到AC的距离为3， ∴PQ＝PR＝3， 则点P到AB的距离为3， 故选：C． 2．（2023秋•鄞州区期末）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PE＝4，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据角平分线的定义得出∠AOP＝∠BOP＝30°，再由PE＝4，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E可知PD＝4，故可得出OP的长，进而得出结论． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°， ∴∠AOP＝∠BOP＝30°， ∵PE＝4，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴PD＝PE＝4，∠ODP＝90°， ∴OP＝2DP＝8， ∵点M是OP的中点， ∴DM＝OP＝4． 故选：D． 3．（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为 　4　cm2． 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积＝S△ABC． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， ∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2， 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$