专题3.1 用一元一次不等式解决实际问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.1 用一元一次不等式解决实际问题 · 思想方法 解决一元一次不等式实际问题的步骤： 1. 找出实际问题中所有的不等关系和相等关系（有时用不等式和方程综合来解决）； 2. 设未知数； 3. 列不等式； 4. 解不等式； 5. 从不等式的解集中求出符合题意的答案。 · 知识点总结 一、一元一次不等式 1.不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解. 2.解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1. · 典例分析 【典例1】某学校计划租用客车接送251名学生和5名教师去博物馆，每辆车至少有1名教师，现有甲、乙、丙三种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲客车 乙客车 丙客车 载客量（单位：人/辆） 43 49 55 租金（单位：元/辆） 1350 1500 1600 请写出一个满足乘坐需求的租车方案 ，若需要租车总费用最少，则租车方案为 . 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键．由题意可知，最多租5辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可；按租丙客车的数量讨论，设甲客车租辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案． 【解题过程】 解：每辆车至少有1名教师， 最多租5辆客车， 总人数为（人）， 若全租丙客车，，符合题意， 则满足乘坐需求的租车方案为5辆丙客车； 故答案为：5辆丙客车（答案不唯一）； ①若租丙客车5辆，则甲、乙客车没有租， 此时乘坐人数为，满足题意， 租车总费用为：元； ②若租丙客车4辆，设甲客车租辆，则乙客车租辆，其中， 此时， 解得：， 的取值为或， 当时，即租丙客车4辆，甲客车1辆，租车总费用为：元； 当时，即租丙客车4辆，乙客车1辆，租车总费用为：元； ③若租丙客车3辆，设甲客车租辆，则乙客车租辆，其中， 此时， 解得：， 的取值为或， 当时，即租丙客车3辆，甲客车1辆，乙客车1辆，租车总费用为：元； 当时，即租丙客车3辆，乙客车2辆，租车总费用为元； 租丙客车少于3辆时，均不满足需求， 则租车总费用最少的租车方案为3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车， 故答案为：3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车． · 学霸必刷 1．（2023下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）四美超市销售某品牌纸杯，商家按照进价的提价销售，随着合肥“限塑令”颁布，该纸杯的进价增加了，现商家为增加获利，且使利润率不低于，应把售价在原售价的基础上至少提高（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 令原进价为“1”，设售价在原售价的基础上至少提高，依题意得，，计算求解即可． 【解题过程】 解：令原进价为“1”，设售价在原售价的基础上至少提高， 依题意得，， 解得，， 故选：B． 2．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）小明用20元钱去买笔，一支钢笔5元钱，一支铅笔1元钱，如果将这20元恰好花完，则购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【思路点拨】 设小明买了x支钢笔，y支铅笔，建立二元一次方程，得到，解不等式得，从而得到，最终得到答案． 【解题过程】 解：设小明买了x支钢笔，y支铅笔， 根据题意得：， ∴， ∵，且x、y是整数， ∴， 解得， ∴， ∴有5种购买方案， 故选：C． 3．（2023下·广西河池·七年级统考期末）某超市从水果生产基地购进一批水果，运输过程中将会有的损耗，假如不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键，要抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”等．设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克，根据题意列不等式求解即可． 【解题过程】 解：设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克， 根据题意得：购进这批水果用去元，但在售出时，水果只剩下千克， 售货款为元， 根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款可列出不等式： ，解得． 故选：A． 4．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）有一根长的金属棒，欲将其截成x根长的小段和y根长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】 根据金属棒的长度是，则可以得到，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定． 【解题过程】 解：根据题意，得， ∴， ∵且y为正整数， ∴y的值可以是1或2或3或4， 当时，，则，此时剩余的废料为：， 当时，，则，此时剩余的废料为：， 当时，，则，此时剩余的废料为：， 当时，，则，不合题意，舍去． 综上所述，要使剩余废料最少，则，． 故选：B 5．（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队挂号，开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【思路点拨】 根据题意，构造关于M，N的方程组，表示M，N，K的关系，进而由10分钟后不出现排队现象，可得不等式，由此可得结论． 【解题过程】 解：由题意可得：，解得， ∴设若要求8分钟后不出现排队现象， 则需要同时开放的窗口应有n个，则， 即， 解得， 故至少同时开放4个窗口才能满足要求． 故选：A． 6．（2023下·四川德阳·七年级统考期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果大小和形状都一样的2只饭碗摞起来的高度为，7只饭碗摞起来的高度为．李老师家的碗柜每格的高度为，则李老师一摞碗最多能放的只数是（    ）    A．11 B．12 C．13 D．14 【思路点拨】 一只碗的高度是，每摞起来一只碗增加，由碗的高度和碗的个数的关系式为高度=一只碗的高度+个数×一个碗增加的高度，依题意列出方程组，求出x，y，再根据碗橱每格的高度为，列不等式求解． 【解题过程】 解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， 则； 解得：， 设李老师一摞碗最多能放的只数是n， ∴， 解得：， ∴李老师一摞碗最多只能放只， 故选：B． 7．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【思路点拨】 图形中有3个“田”字形，其中重叠的有两个小格，设对应的数为a、b，则a与b均被加了两次，根据“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为，根据3个“田”字形所填数的总和为，列出不等式，求整数解即可． 【解题过程】 解：设每个“田”字格四个数的和为m， 共12个数的和为， 有两数重复， 设这两数分别为a，b， 所以3个“田”字形所填数的总和为： ， 则有， 要m最大，必须a、b最大， 而a+b最大值为， 则， 则， 则m最大整数值为24． 故选B． 8．（2023上·浙江湖州·八年级长兴县古城中学校联考阶段练习）某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 【思路点拨】 本题考查了不等式组的应用，设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元，从而得出日这四种食物的平均售价为元，设总销售量为份，其中烤肠份，从而表示出，再由得出，即，推出，再代入值进行计算即可，正确列出不等式进行计算是解此题的关键． 【解题过程】 解：设烤肠单价为元，则汉堡单价为元，可乐为元，盒饭为元， 当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍， 当日这四种食物的平均售价为元， 设总销售量为份，其中烤肠份， 由题意可得： ， 整理得：， ，可知，当不变时，随的增大而增大， ， ， ，即， ∵， ∴, ，，为整数，且是的倍数， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 综上所述，销售量最大为， 故选：D． 9．（2024·全国·八年级竞赛）已知甲、乙、丙三人中，甲的年龄不超过乙的年龄的两倍，丙比乙大11岁，三人年龄之和为83岁，则甲的年龄最大是 岁． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程和不等式的性质，设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据“三人年龄之和为83岁”建立方程，再结合“甲的年龄不超过乙的年龄的两倍”建立的不等式进行代换，即可求解． 【解题过程】 解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则丙的年龄为岁， 根据题意得，，则， 又，则，即，解得， 则甲的年龄最大是岁， 故答案为：． 10．（2024上·浙江舟山·八年级统考期末）小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高，枫树高．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高，枫树的平均生长速度是每年长高．请问小明现在的年龄应该超过 岁． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设现在距离小明4岁那年已经过了年，根据“现在枫树已经比山毛榉高了”建立不等式，解不等式即可得． 【解题过程】 解：设现在距离小明4岁那年已经过了年， 由题意得：， 解得， 则， 即小明现在的年龄应该超过12岁， 故答案为：12． 11．（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，得分超过分可以获一等奖．小明同学参加了这次竞赛，并且获得了一等奖，则小明同学在本次竞赛中，最少答对了 道题． 【思路点拨】 设小明答对了x道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错题目数，结合得分不少于85分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可求出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解题过程】 解：设小明答对了x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 的最小值为18， 小明至少答对了18道题． 故答案为：18． 12．（2023下·七年级课时练习）定西市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量 电费价格（单位：元/度） 不超过160度的部分 0.51 超过160度且不超过240度的部分 0.56 超过240度的部分 0.81 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过256元，则李叔家七月份最多可用电的度数是 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设李叔家七月份用电的度数是度，根据李叔计划七月份电费支出不超过256元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其最大值，即可得出答案． 【解题过程】 解：由题意可知，当用电量为时，电费为元元， 设李叔家七月份用电的度数是度， 则， 解得：， 即李叔家七月份最多可用电的度数是度， 故答案为：度． 13．（2023上·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）又到年末，某公司决定采购整箱的苹果、脐橙和柚子来奖励员工以及回馈客户，其中每箱苹果元，每箱脐橙元，每箱柚子元．公司采购的所有水果的箱数之和不超过箱，购买的苹果不低于箱，且购买脐橙的费用是购买苹果费用的倍，购买柚子的费用是购买苹果费用的倍．公司把采购的所有水果均用于奖励员工和回馈客户，最后发现奖励给员工与回馈给客户的同种类型的水果的数量之差不超过箱，且奖励给员工的所有水果的总费用与回馈给客户的所有水果的总费用相同，则公司奖励员工的所有水果的箱数总和最多为 箱． 【思路点拨】 设购买苹果的箱数为，根据题意可得脐橙的箱数为，柚子的箱数为，根据总箱数不超过箱，确定的值，设公司奖励员工的苹果、脐橙和柚子分别为箱，根据题意列不等式，求解即可． 【解题过程】 解：设购买苹果的箱数为，苹果的费用为元， 则脐橙和柚子的费用分别为、元， 则脐橙和柚子的箱数分别为，， 由题意可得：，， 解得 又∵，，为整数 ∴为的倍数， ∴ 脐橙和柚子的箱数分别为，， 设公司奖励员工的苹果、脐橙和柚子分别为箱，则回馈给客户的苹果、脐橙和柚子分别为、、箱， 由题意可得： 化简可得： 由题意可得：，， ∴，， 又∵为整数 ∴或或，或或，或或或 根据可得：，，或，， 或，，或，， 的值为或 最大值为 故答案为：． 14．（2023下·江苏盐城·七年级统考期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 【思路点拨】 根据题意可以写出原两位数与新两位数，根据原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，分析求得，根据小旭年龄超过12岁，判断符合题意，从而可以计算求解． 【解题过程】 解：根据题意可得原两位数为， 将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数为， 故小旭年龄为， ∵年龄为整数， 故为4的倍数， 即或或或， 即或或或， 又∵十位上的数字为， ∴， ∴， ∵小旭年龄超过12岁， 即， 解得：， 与不矛盾， 当时，小旭年龄为（岁）， 故小旭年龄为岁． 15．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元． （1）求A，B两种树木每棵各多少元？ （2）布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，恰逢该供应商对两种树木的售价进行调价，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售．如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？ 【思路点拨】 本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，正确列出方程组与不等式． （1）设A种树木每棵需要x元，B种树木每棵需要y元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购进B种树木m棵，则A种树木为棵，根据题意列出不等式，即可求解． 【解题过程】 （1）解：设A种树木每棵需要x元，B种树木每棵需要y元，由题意可得： 由可得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 答：A种树木每棵需要50元，B种树木每棵需要80元； （2）解：设购进B种树木m棵，则A种树木为棵，由题意可得：， 解得：， ∴该校最多可以购进B种树木31棵． 答：该校最多可以购进B种树木31棵． 16．（2023下·河南洛阳·七年级校考阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共本．已知购买本《北上》和本《牵风记》需元；购买本《北上》与购买本《牵风记》的价格相同． （1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？ （2）若学校购买《北上》的数量多于本，且购买两种书的总价不超过元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． （1）设《北上》每本的价格为元，《牵风记》每本的价格为元，根据题意列方程组即可求解； （2）设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本，根据购买两种书的总价不超过元，列不等式，求出的取值范围，即可求解． 【解题过程】 （1）解：设《北上》每本的价格为元，《牵风记》每本的价格为元． 根据题意，得， 解得：， 答：《北上》和《牵风记》每本的价格分别为元和元； （2）设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本， 根据题意，得， 解得， 学校购买《北上》的数量多于本， ， 为整数， 可以取，，， 有种购买方案， 方案一：当时，．此时购买费用为（元）； 方案二：当时，．此时购买费用为（元）； 方案三：当时，．此时购买费用为（元）． ， 最低费用为元． 答：共有种购买方案，最低费用为元． 17．（2023下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）为确保学生进出校园安全，学校安装了人脸识别系统，设立了若干个验证通道供学生通行．七年级学生中午放学时间为，学校在分时打开验证通道，此时已有60位同学在排队等候，此后每分钟又有30位同学到达，已知每人通过时间为5秒（其它时间忽略）且每个通道通行人数相同． （1）若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为______人． （2）若同时打开两个验证通道，几分钟后正在排队人数恰为96人？ （3）请用不等式的知识说明至少同时打开几个通道，能够让以后到达的同学无需排队？ 【思路点拨】 （1）根据，计算求解即可； （2）设分钟后正在排队人数恰为96人，依题意得，，计算求解即可； （3）由题意知，从到，共5分钟，设至少同时打开个通道，能够让以后到达的同学无需排队，依题意得，，计算求解并根据为正整数，求值即可． 【解题过程】 （1）解：由题意知， ， ∴若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为114人， 故答案为：114； （2）解：设分钟后正在排队人数恰为96人， 依题意得，， 解得，， ∴若同时打开两个验证通道，6分钟后正在排队人数恰为96人； （3）解：由题意知，从到，共5分钟， 设至少同时打开个通道，能够让以后到达的同学无需排队， 依题意得，， 解得，， ∵为正整数， ∴的最小值为4， ∴至少同时打开4个通道，能够让以后到达的同学无需排队． 18．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）为庆祝泉州五中建校120周年，泉州五中校友组织开展了“毅行两校区，同作少年游”徒步活动． （1）学校准备给校友提供300瓶矿泉水．团委安排了10个同学把这些矿泉水从学校超市搬到校门口．有2个同学已经搬走了60瓶，这时发现有2个同学请假不能来．问另外6名同学平均每人至少要搬几瓶？ （2）学校超市以2元瓶的价格购进这批矿泉水，原本标价3.2元件出售，现自愿为徒步活动搞打折优惠，为了保证利润率不低于，问：每瓶矿泉水最多可打几折？ （3）徒步活动的队伍要从桂坛校区走向城东校区，若每分钟走千米，则11点到达，若每分钟走千米，则时距离城东校区还有1千米；如果改变出发时间，若每分钟走千米，则11点到达，若每分钟走千米，则时已经到达城东新校区并多参观行走了3千米．问新老两校区之间的路程是多少千米？（题目设计需要，数据可能与实际测量不符） 【思路点拨】 （1）设另外6名同学平均每人至少要搬x瓶，根据不等关系列出不等式，解不等式即可； （2）设每瓶矿泉水最多可打x折，根据利润成本价利润率列出不等式，解不等式即可； （3）设新老两校区之间的路程是x千米，第一次出发时间为m，第二次出发时间为n，根据等量关系，列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：设另外6名同学平均每人至少要搬x瓶，根据题意得： ， 解得：， 答：另外6名同学平均每人至少要搬40瓶． （2）解：设每瓶矿泉水最多可打x折，根据题意得： ， 解得：， 答：每瓶矿泉水最多可打七五折． （3）解：设新老两校区之间的路程是x千米，第一次出发时间为m，第二次出发时间为n，根据题意得： ， ， ， ， 由①②消去m得：， 由③④消去n得：， ∴， 即， 解得：． 答：新老两校区之间的路程是5.4千米． 19．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品． （1）当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元． （2）顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程． （3）B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围 【思路点拨】 （1）根据A、B两商店的优惠方案进行解答即可； （2）列出在A、B两商店的花费列出的不等式，分情况讨论，求出顾客到哪家商店购物花费更少； （3）当时，由题意列出一元一次不等式，可求解． 【解题过程】 （1）解：在A商店购买的优惠价（元）， 在B商店购买的优惠价（元） 故答案为：，， （2）解：在A商店购买的优惠价（元）， 在B商店购买的优惠价（元）， 当顾客在A商店购物花费少时，， 解得：； ②当顾客在B商店购物花费少时，则， 解得：； ③当顾客在A，B商场购物花费相等时，则， 解得：； ∴当时，顾客在A商店购物花费少， 当时，顾客在A，B商店购物花费相等， 当时，顾客在B商店购物花费少． （3）解：当时， 由题意可得：， 解得：， ∴当时，顾客在B商店购物花费少， 又∵当时，顾客在B商店购物花费少， 综上所述，顾客选择B商场购物花费少时x的取值范围为或， 故答案为：或． 20．（2022下·福建泉州·七年级统考期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表： “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 90 60 售价（元/个） 120 80 请列方程（组）、不等式解答下列各题； （1）2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？ （2）2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值． （3）2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？ 【思路点拨】 （1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可； （2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可； （3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，列出不等式求解即可． 【解题过程】 （1）解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个， 由题意得：， 解得， ∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个 ， ∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元， 答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元； （2）解：由题意得： 解得； （3）解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”， 由题意得：， ∴， 解得， 又∵m是正整数， ∴m的最小值为70， ∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具， 答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 用一元一次不等式解决实际问题 · 思想方法 解决一元一次不等式实际问题的步骤： 1. 找出实际问题中所有的不等关系和相等关系（有时用不等式和方程综合来解决）； 2. 设未知数； 3. 列不等式； 4. 解不等式； 5. 从不等式的解集中求出符合题意的答案。 · 知识点总结 一、一元一次不等式 1.不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解. 2.解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1. · 典例分析 【典例1】某学校计划租用客车接送251名学生和5名教师去博物馆，每辆车至少有1名教师，现有甲、乙、丙三种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲客车 乙客车 丙客车 载客量（单位：人/辆） 43 49 55 租金（单位：元/辆） 1350 1500 1600 请写出一个满足乘坐需求的租车方案 ，若需要租车总费用最少，则租车方案为 . 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键．由题意可知，最多租5辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可；按租丙客车的数量讨论，设甲客车租辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案． 【解题过程】 解：每辆车至少有1名教师， 最多租5辆客车， 总人数为（人）， 若全租丙客车，，符合题意， 则满足乘坐需求的租车方案为5辆丙客车； 故答案为：5辆丙客车（答案不唯一）； ①若租丙客车5辆，则甲、乙客车没有租， 此时乘坐人数为，满足题意， 租车总费用为：元； ②若租丙客车4辆，设甲客车租辆，则乙客车租辆，其中， 此时， 解得：， 的取值为或， 当时，即租丙客车4辆，甲客车1辆，租车总费用为：元； 当时，即租丙客车4辆，乙客车1辆，租车总费用为：元； ③若租丙客车3辆，设甲客车租辆，则乙客车租辆，其中， 此时， 解得：， 的取值为或， 当时，即租丙客车3辆，甲客车1辆，乙客车1辆，租车总费用为：元； 当时，即租丙客车3辆，乙客车2辆，租车总费用为元； 租丙客车少于3辆时，均不满足需求， 则租车总费用最少的租车方案为3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车， 故答案为：3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车． · 学霸必刷 1．（2023下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）四美超市销售某品牌纸杯，商家按照进价的提价销售，随着合肥“限塑令”颁布，该纸杯的进价增加了，现商家为增加获利，且使利润率不低于，应把售价在原售价的基础上至少提高（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）小明用20元钱去买笔，一支钢笔5元钱，一支铅笔1元钱，如果将这20元恰好花完，则购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．（2023下·广西河池·七年级统考期末）某超市从水果生产基地购进一批水果，运输过程中将会有的损耗，假如不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　） A． B． C． D． 4．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）有一根长的金属棒，欲将其截成x根长的小段和y根长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队挂号，开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．（2023下·四川德阳·七年级统考期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果大小和形状都一样的2只饭碗摞起来的高度为，7只饭碗摞起来的高度为．李老师家的碗柜每格的高度为，则李老师一摞碗最多能放的只数是（    ）    A．11 B．12 C．13 D．14 7．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 8．（2023上·浙江湖州·八年级长兴县古城中学校联考阶段练习）某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，其中，汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价高，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日，烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份．当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的倍，则四种食物当日销售总量的最大值为（    ） A．504 B．506 C．534 D．536 9．（2024·全国·八年级竞赛）已知甲、乙、丙三人中，甲的年龄不超过乙的年龄的两倍，丙比乙大11岁，三人年龄之和为83岁，则甲的年龄最大是 岁． 10．（2024上·浙江舟山·八年级统考期末）小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高，枫树高．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高，枫树的平均生长速度是每年长高．请问小明现在的年龄应该超过 岁． 12．（2023下·七年级课时练习）定西市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量 电费价格（单位：元/度） 不超过160度的部分 0.51 超过160度且不超过240度的部分 0.56 超过240度的部分 0.81 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过256元，则李叔家七月份最多可用电的度数是 ． 13．（2023上·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）又到年末，某公司决定采购整箱的苹果、脐橙和柚子来奖励员工以及回馈客户，其中每箱苹果元，每箱脐橙元，每箱柚子元．公司采购的所有水果的箱数之和不超过箱，购买的苹果不低于箱，且购买脐橙的费用是购买苹果费用的倍，购买柚子的费用是购买苹果费用的倍．公司把采购的所有水果均用于奖励员工和回馈客户，最后发现奖励给员工与回馈给客户的同种类型的水果的数量之差不超过箱，且奖励给员工的所有水果的总费用与回馈给客户的所有水果的总费用相同，则公司奖励员工的所有水果的箱数总和最多为 箱． 14．（2023下·江苏盐城·七年级统考期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 15．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元． （1）求A，B两种树木每棵各多少元？ （2）布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，恰逢该供应商对两种树木的售价进行调价，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售．如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？ 16．（2023下·河南洛阳·七年级校考阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共本．已知购买本《北上》和本《牵风记》需元；购买本《北上》与购买本《牵风记》的价格相同． （1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？ （2）若学校购买《北上》的数量多于本，且购买两种书的总价不超过元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？ 17．（2023下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）为确保学生进出校园安全，学校安装了人脸识别系统，设立了若干个验证通道供学生通行．七年级学生中午放学时间为，学校在分时打开验证通道，此时已有60位同学在排队等候，此后每分钟又有30位同学到达，已知每人通过时间为5秒（其它时间忽略）且每个通道通行人数相同． （1）若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为______人． （2）若同时打开两个验证通道，几分钟后正在排队人数恰为96人？ （3）请用不等式的知识说明至少同时打开几个通道，能够让以后到达的同学无需排队？ 18．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）为庆祝泉州五中建校120周年，泉州五中校友组织开展了“毅行两校区，同作少年游”徒步活动． （1）学校准备给校友提供300瓶矿泉水．团委安排了10个同学把这些矿泉水从学校超市搬到校门口．有2个同学已经搬走了60瓶，这时发现有2个同学请假不能来．问另外6名同学平均每人至少要搬几瓶？ （2）学校超市以2元瓶的价格购进这批矿泉水，原本标价3.2元件出售，现自愿为徒步活动搞打折优惠，为了保证利润率不低于，问：每瓶矿泉水最多可打几折？ （3）徒步活动的队伍要从桂坛校区走向城东校区，若每分钟走千米，则11点到达，若每分钟走千米，则时距离城东校区还有1千米；如果改变出发时间，若每分钟走千米，则11点到达，若每分钟走千米，则时已经到达城东新校区并多参观行走了3千米．问新老两校区之间的路程是多少千米？（题目设计需要，数据可能与实际测量不符） 19．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品． （1）当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元． （2）顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程． （3）B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围 ． 20．（2022下·福建泉州·七年级统考期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表： “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 90 60 售价（元/个） 120 80 请列方程（组）、不等式解答下列各题； （1）2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？ （2）2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值． （3）2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$