1.1 集合的概念与表示（7大题型）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

1.1集合的概念与表示 【考点归纳】 考点一:集合的概念 考点二:元素与集合的关系 考点三:根据元素和集合的关系求参数 考点四:集合的互异性求参数问题 考点五:集合的表示方法 考点六:同一集合的判断 考点七:集合的基本知识综合问题 【知识梳理】 知识点一:元素与集合的概念 1.元素:一般地,把研究对象统称为元素(element),常用小写的拉丁字母a,b,c…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set),(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C…表示. 3.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. 4.集合中元素的特性:给定的集合,它的元素必须是确定的、互不相同的. 知识点二:元素与集合的关系 1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A. 2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A. 知识点三:常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 知识点四:集合的表示 (1)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. (2)描述法:一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 【题型归纳】 题型一:集合的概念 1.(23-24高一上 天津南开 期中)下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2023年入学的全体高一年级新生;②的所有近似值; ③某个班级中学习成绩较好的所有学生;④不等式的所有正整数解 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2023高一上 江苏 专题练习)下列各组对象不能构成集合的是( ) A.参加杭州亚运会的全体电竞选手 B.小于的正整数 C.2023年高考数学难题 D.所有无理数 3.(22-23高一上 安徽六安 期中)下列四组对象能构成集合的是( ) A.高一年级跑步很快的同学 B.晓天中学足球队的同学 C.晓天镇的大河 D.著名的数学家 题型二:元素与集合的关系 4.(23-24高一上 江苏无锡 期中)下列关系中正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2022高一上 全国 专题练习)下列关系中,正确的个数为( ) ①;②;③;④;⑤;⑥. A.6 B.5 C.4 D.3 6.(23-24高一上 吉林长春 阶段练习)已知集合,则必有( ) A. B. C. D. 题型三:根据元素和集合的关系求参数 7.(22-23高一上 天津滨海新)已知集合,若,则实数a的值为( ) A. B. C.或 D.5 8.(22-23高一上 江苏盐城 期中)集合,若,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.(22-23高一上 重庆沙坪坝 阶段练习)已知集合,若,则实数a=( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-1或-2 题型四:集合的互异性求参数问题 10.(22-23高一上 陕西西安)已知且,则由的值构成的集合是( ) A. B. C. D. 11.(22-23高一上 重庆万州 阶段练习)已知,,若集合,则的值为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 12.(21-22高一上 江苏常州 期中)已知集合,若,则实数的值为( ). A. B. C.或 D.或 题型五:集合的表示方法 13.(23-24高一上 四川乐山 期中)集合用列举法表示为( ) A. B. C. D. 14.(24-25高一上 上海 随堂练习)集合是指( ). A.第一象限内的所有点 B.第三象限内的所有点 C.第一象限和第三象限内的所有点 D.不在第二象限、第四象限内的所有点 15.(23-24高一上 甘肃白银 阶段练习)集合 “正偶数的全体”,用描述法表示,正确的为( ) A.} B. C. D. 题型六:同一集合的判断 16.(2024高一上 全国 专题练习)下列四组集合中表示同一集合的为( ) A., B., C., D., 17.(23-24高一上 辽宁沈阳 阶段练习)下列关于集合相等的说法正确的有( ) ①; ②; ③; ④ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 18.(21-22高三上 河北保定 阶段练习)下列集合中表示同一集合的是( ) A., B., C., D., 题型七:集合的基本知识综合问题 19.(24-25高一上 上海)已知集合,,且,求集合. 20.(25-26高一上 全国 课前预习)选择适当方法表示下列集合: (1)由小于8的所有自然数组成的集合A; (2)自然数的平方组成的集合B; (3)方程组的解组成的集合C; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D. 21.(24-25高一上 上海 课后作业)设集合,,且满足,则. (1)求出只含2个元素的集合; (2)满足题设条件的集合共有几个?列举出来. 【高分演练】 一、单选题 22.(24-25高一上 上海)下列命题中正确的有( ). ①很小的实数可以构成集合; ②R表示一切实数组成的集合; ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集; ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 23.(24-25高一上 上海 课后作业)集合,、为实数是指( ) A.第一象限内的所有点组成的集合 B.第三象限内的所有点组成的集合 C.第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D.不在第二、四象限的所有点组成的集合 24.(24-25高一上 全国 课后作业)将集合用列举法表示,正确的是( ) A. B. C. D. 25.(24-25高一上 全国 课后作业)给出下列6个关系:①,②,③,④,⑤,⑥.其中正确命题的个数为( ) A.4 B.2 C.3 D.5 26.(23-24高三下 四川雅安 阶段练习)若集合,,则B中元素的最小值为( ) A. B. C. D.32 27.(2024 贵州贵阳 模拟预测)若集合,其中且,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 28.(23-24高一上 新疆昌吉 阶段练习)已知a,b均为非零实数,集合,则集合的真子集的个数为( ) A.2 B.4 C.3 D.8 29.(23-24高一上 湖南常德 期末)集合,又则( ) A. B. C. D.任一个 二、多选题 30.(2024高三 全国 专题练习)下列说法正确的是( ) A.由组成的集合可表示为或 B.与是同一个集合 C.集合与集合是同一个集合 D.集合与集合是同一个集合 31.(23-24高一上 重庆云阳 阶段练习)下列集合中,与集合相等的是( ) A. B. C. D. 32.(23-24高一上 四川绵阳)给出下列说法,其中不正确的是( ) A.集合用列举法表示为 B.实数集可以表示为为所有实数}或 C.方程组的解组成的集合为 D.集合与是同一个集合 33.(23-24高一上 海南省直辖县级单位 期中)若,则实数的可能取值为( ) A.3 B. C.1 D. 34.(23-24高一上 新疆伊犁 阶段练习)若集合具有以下三个条件,则称集合为一个“封闭集合”, ①若,则;②若,则;③若,则;据此判断下列集合是封闭集合的有( ) A.R B. C. D.Q 三、填空题 35.(24-25高一上 上海 随堂练习)用列举法表示所有不大于的正整数组成的集合为 . 36.(24-25高一上 上海 课后作业)用符号“”或“”填空: (1) ;(2) ; (3) ;(4) . 37.(24-25高一上 上海 单元测试)(1)已知集合,则集合中元素的个数为 . (2)若,则 . 38.(24-25高一上 上海 课堂例题)已知集合,在下列集合中: (1); (2); (3); (4); 与相同的集合有 .(填序号) 四、解答题 39.(24-25高一上 上海 课堂例题)判断下列各组对象是否能组成集合.若能组成集合,判断组成的集合是有限集、无限集还是空集;如果不能组成集合,请说明理由. (1)接近于0的数的全体; (2)平面上到点的距离等于2的点的全体; (3)方程在实数范围内的解; (4)720的所有正约数; (5)所有大于小于1的实数. 40.(24-25高一上 上海)已知集合,若,求实数的值. 41.(24-25高一上 全国)选择适当方法表示下列集合: (1)方程的解构成的集合; (2)在自然数集内,小于的奇数构成的集合; (3)不等式的解构成的集合; (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合; (5)方程组的解构成的集合. 42.(24-25高一上 上海)已知集合. (1)若为整数,试判断是否为集合中的元素; (2)求证:若,则. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 1.1集合的概念与表示 【考点归纳】 · 考点一：集合的概念 · 考点二：元素与集合的关系 · 考点三：根据元素和集合的关系求参数 · 考点四：集合的互异性求参数问题 · 考点五：集合的表示方法 · 考点六：同一集合的判断 · 考点七：集合的基本知识综合问题 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 2．（2023高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 3．（22-23高一上·安徽六安·期中）下列四组对象能构成集合的是（    ） A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学 C．晓天镇的大河 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合元素的确定性判断出正确答案. 【详解】集合元素具有确定性， 高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合. “晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性， 所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合. 故选：B 题型二：元素与集合的关系 4．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 5．（2022高一上·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 6．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再逐个分析判断 【详解】因为， 因为，，，， 所以C正确，ABD错误， 故选：C 题型三：根据元素和集合的关系求参数 7．（22-23高一上·天津滨海新）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 8．（22-23高一上·江苏盐城·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合的关系列出不等式，解之即可求解. 【详解】因为集合，， 所以，即 故选：A. 9．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合，若，则实数a＝（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．－1或－2 【答案】B 【分析】根据，便有或，对于每种情况求出的值，代入集合中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数的值． 【详解】， 或． ①当时，，此时，与集合的互异性矛盾，舍去； ②当时，或，时，满足条件，时，，与集合的互异性矛盾，舍去， 综上可知． 故选：． 题型四：集合的互异性求参数问题 10．（22-23高一上·陕西西安）已知且，则由的值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可. 【详解】， 当，即时，，集合中有相同元素，舍去； 当，即（舍）或时，，符合题意， 故由的值构成的集合是. 故选：D 11．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【详解】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 12．（21-22高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，且，或 ⑴、当即或， ①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； ②、当时，，，此时，符合题意； ⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 综上所述：实数的值为1. 故选：B 题型五：集合的表示方法 13．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 15．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 【答案】A 【分析】由正偶数定义，应用描述法写出对应集合“正偶数的全体”. 【详解】正偶数的全体为，故集合 “正偶数的全体”可描述为. 故选：A 题型六：同一集合的判断 16．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 18．（21-22高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 题型七：集合的基本知识综合问题 19．（24-25高一上·上海）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 20．（25-26高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】(1)或； (2)； (3)或； (4) 【分析】（1）（3）利用列举法、描述法表示给定集合. （2）（4）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 21．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【答案】(1)，， (2)7个，，，，，，， 【分析】（1）根据的形式，先确定的取值，再代入验证； （2）根据（1）的结果，列举满足条件的集合. 【详解】（1）∵只有2个元素，且且， ∴可取2或3或4或5或7或13，代入， 当代入，得13，将13再代入，得2，满足双元素集合， 当代入，得7，将7再代入，得3，满足双元素集合， 当代入，得5，将5再代入，得4，满足双元素集合， 都是对应上述双元素集合中的元素，不需再代入，不合要求， 所以双元素集，，． （2）满足题设条件的集合共有（个），分别是，，，，，，． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高一上·上海）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 23．（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 【答案】C 【分析】由已知判断出同号，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】解：集合，、为实数， ， 同号， 当时，集合指第一象限内的所有点组成的集合， 当时，集合指第三象限内的所有点组成的集合， 故是指第一和第三象限内的所有点组成的集合． 故选：C． 24．（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 25．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 26．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，， 所以B中元素的最小值为. 故选：A 27．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 28．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】CC 【分析】通过对、正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，从而求出集合A的元素，由此得解. 【详解】因为， 当，时，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 故的所有值构成的集合为，则集合A的真子集的个数为3个. 故选：C. 29．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 二、多选题 30．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 31．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 32．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 33．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】ABD 【分析】分，，，求出实数，利用元素的互异性检验，得到答案. 【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意. 故选：ABD. 34．（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）若集合具有以下三个条件，则称集合为一个“封闭集合”， ①若，则；②若，则；③若，则；据此判断下列集合是封闭集合的有（    ） A．R B． C． D．Q 【答案】ABD 【分析】根据新定义逐个选项检验即可得解. 【详解】对A，任意两个实数的和、差、积仍是实数，故R是封闭集合，故A正确； 对B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故是封闭集合，故B正确； 对C，取，则，故不是封闭集合，故C错误； 对D，任意两个有理数的和、差、积仍是有理数，故是封闭集合，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）用列举法表示所有不大于的正整数组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据列举法的定义直接写出集合. 【详解】所有不大于的正整数组成的集合为， 故答案为：. 36．（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据集合定义，确定元素与集合关系. 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 37．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 【答案】 5 【分析】（1）通过分论讨论求解，然后再根据元素的互异性即可求解； （2）通过分两类或进行求解，求解出值后代入集合里面，看元素是否满足互异性即可． 【详解】解析：（1）①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， （2）由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：;． 38．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 四、解答题 39．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 40．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据，分三种情况进行讨论，计算出的值，然后代入集合中，需要留意是否满足集合中元素的互异性． 【详解】解：①当，即时，而，， 不满足集合中元素的互异性，舍去； ②当，即时，而，，符合题意； ③当时，，而，，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数的值为． 41．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) (5)或 【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可. 【详解】（1）由，解得或， 所以方程的解构成的集合可表示为； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且； （3）由，解得， 则不等式的解构成的集合可表示为； （4）大于且不大于的自然数有，，，，，， 所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为； （5）由，解得， 所以方程组的解构成的集合可表示为或； 42．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$