专题01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型） 【题型01求一个数的绝对值】 【题型02 绝对值的意义】 【题型03 求一个数的相反数】 【题型04 化简多重符号】 【题型05 判断是否互为相反数】 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 【题型07 化简绝对值】 【题型08 绝对值非负性的应用】 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 【题型10 绝对值的其他应用】 【题型11解绝对值的方程】 【题型01求一个数的绝对值】 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D．2024 2．下列四个数中，绝对值等于2的数是（    ） A． B．1 C． D． 3．的绝对值是 【题型02 绝对值的意义】 4．下列数据，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，下列成立的是（    ） A． B． C．或 D．或 6．绝对值大于3且小于6的整数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 7．若，且，则 ． 8．绝对值不小于4且小于7的所有整数的和是 ． 9．，则x的取值范围是 ． 10．的最小值为 ． 【题型03 求一个数的相反数】 11．3的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 12．如果a的相反数是8，则a的值为（    ） A． B．8 C． D． 【题型04 化简多重符号】 13．化简的结果是（　　） A．7 B． C． D． 14．化简得（    ） A． B． C． D． 15．已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且．则 ． 16．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 17．若x是最大负整数，则 ． 【题型05 判断是否互为相反数】 18．下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 19．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 20．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与B．与 C．与 D．与 21．数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 22．若a与互为相反数，则a 的值 ． 23．已知与互为相反数，则x等于 ． 24．已知与互为相反数，则 【题型07 化简绝对值】 25．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 26．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 27．若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 28．有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【题型08 绝对值非负性的应用】 29.若，则等于（    ） A． B． C．1 D．不能确定 30．已知，则 ． 31．若，则 ． 32．若，则 ． 33．若，则 ． 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 34．有理数，，，中，绝对值最大的数是 . 35．绝对值不大于6的整数有 个． 36．用“”或“”连接 ． 37．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 38．比较大小： ． 39．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 【题型10 绝对值的其他应用】 40．如图所示，观察数轴，请回答：    (1)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ； (2)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ；发现：在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为 （用，表示） 41．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 42．若规定这样一种运算：，例如：. (1)计算：； (2)记，，请探究与的大小关系. 43．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 44．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    45．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 46．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【题型11解绝对值的方程】 47．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 48．若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 49．若，则 ． 50．已知，则 51．若，则 ． 52．方程的解是 ． 53．解方程：． 54．已知：，求x的值． 55．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：，，．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题： (1)的零点值是__________． (2)化简代数式； (3)解方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型） 【题型01求一个数的绝对值】 【题型02 绝对值的意义】 【题型03 求一个数的相反数】 【题型04 化简多重符号】 【题型05 判断是否互为相反数】 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 【题型07 化简绝对值】 【题型08 绝对值非负性的应用】 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 【题型10 绝对值的其他应用】 【题型11解绝对值的方程】 【题型01求一个数的绝对值】 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列四个数中，绝对值等于2的数是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．求出各数的绝对值即可求解． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，符合题意； D．，故不符合题意； 故选C． 3．的绝对值是 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键． 利用绝对值的定义解题即可． 【详解】， 3的绝对值是3． 故答案为：3． 【题型02 绝对值的意义】 4．下列数据，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，求出每个数的绝对值是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵，，，，且， ∴的绝对值最大． 故选：A 5．如果，下列成立的是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．据此进行解答即可． 【详解】解：如果，即一个数的绝对值等于它的相反数，则或． 故选：D． 6．绝对值大于3且小于6的整数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值，根据绝对值的概念得到绝对值大于3小于6的整数即可 【详解】解：绝对值大于3且小于6的整数有，共4个， 故选：A 7．若，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得b的值是解题的关键． 由绝对值的性质先求得b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：1． 8．绝对值不小于4且小于7的所有整数的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．先列举出符合条件的数，再求出各数的和即可． 【详解】解：∵绝对值不小于4但小于7的所有整数是：， ∴． 故答案为：0． 9．，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离，可看作数轴到表示2与的点的距离等于6的点的集合． 【详解】解：由绝对值的意义可知：表示数轴上某点到表示2与的点的距离等于6的点的集合． 故此x的取值范围是：． 故答案为：． 10．的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为， 故答案为：． 【题型03 求一个数的相反数】 11．3的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的知识，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数互为相反数．正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义，即可获得答案． 【详解】解：3的相反数是． 故选：B． 12．如果a的相反数是8，则a的值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【题型04 化简多重符号】 13．化简的结果是（　　） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题已考察相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】解：， 故选：A． 14．化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如的相反数是，的相反数是，这时是一个整体，在整体前面添负号时，要用括号．解题的关键是理解相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解： ， 故选：B． 15．已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解题关键是由相反数的含义得到和数轴上两点之间的距离．先根据m，n互为相反数，可得：，然后根据，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6，可得：，求出的值即可． 【详解】解：∵m，n互为相反数， ∴， ∵，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【分析】本题主要考查了正负号的化简，熟练掌握相反数的定义，是解决问题的关键． 根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，逐步化简正负号，即得（方法不唯一）． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 17．若x是最大负整数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的相反数，多重括号的化简，结果正负与“”号的个数有关，当负号“”个数为奇数个时，结果为负；当“”号个数为偶数个时，结果为正，据此解答即可． 【详解】解：， 为最大负整数， 因此原式， 故答案为：1． 【题型05 判断是否互为相反数】 18．下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，掌握多重符号的化简是解题的关键． 根据相反数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、不互为相反数，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 19．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先化简A、B、D三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； B．6和互为相反数，故本选项符合题意； C．和不互为相反数，故本选项不符合题意； D．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 20．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 21．数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 22．若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 23．已知与互为相反数，则x等于 ． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 24．已知与互为相反数，则 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数和为0，列出方程，解法方程即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了相反数的意义，根据题意列出方程是解题的关键． 【题型07 化简绝对值】 25．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、根据数轴化简绝对值，从数轴上确定、、的符号和大小（绝对值大小）是解答本题的关键． 由数轴确定、、的符号和大小，根据绝对值的知识点进行辨别即可． 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 26．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上数的表示特征，绝对值的性质．根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，判断出，然后去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴上数的表示可知，， ∴， ∴原式， 故选：C． 27．若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 28．有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数，，，中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 【详解】解： ， 有理数，，，中负数为奇数个． ①若有理数，，，有一个负三个正， 则； ②若有理数，，，有三个负一个正， 则； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【题型08 绝对值非负性的应用】 29．若，则等于（    ） A． B． C．1 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值是解题的关键． 30．已知，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值具有非负性可得，，解出a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键 31．若，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0这两个非负数的值都为0”列出二元一次方程组，从而求出x、y的值即可求解． 【详解】解：由题意得：，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，根据这个结论可以求解这类题目． 32．若，则 ． 【答案】 【分析】由绝对值和偶次方可知：，，因为，所以得到和，从而得到和的值，代入算式中即可得到结果． 【详解】∵，，， ∴，， 解得：， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了两个非负数和为零的问题，理解两个非负数和为零时两个非负数同时为零是解题的关键． 33．若，则 ． 【答案】4 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 34．有理数，，，中，绝对值最大的数是 . 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握绝对值的意义及正数比较大小的方法是解决本题的关键．先计算给出数的绝对值，再比较绝对值得结论． 【详解】解：，，的绝对值为，， ∵， ∴绝对值最大的数为， 故答案为：． 35．绝对值不大于6的整数有 个． 【答案】13 【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键． 依次列出绝对值不大于6的整数即可解答． 【详解】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0． 绝对值不大于6的整数有13个． 故答案为：13． 36．用“”或“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 37．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了比较有理数大小，把两数化简后，根据正数大于负数即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： 38．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得． 【详解】解：因为，，， 所以， 故答案为：． 39．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求绝对值，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 先求出绝对值，再根据有理数大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵， 而，， 又∵， ∴． 故答案为：＜． 【题型10 绝对值的其他应用】 40．如图所示，观察数轴，请回答：    (1)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ； (2)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ；发现：在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为 （用，表示） 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离进行计算即可． （2）根据数轴上两点间的距离进行计算，再进行规律总结，即可得到答案． 【详解】（1）解：点与点的距离为， 点与点的距离为， 故答案为：，； （2）解：点与点的距离为，点与点的距离为， 在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为， 故答案为：4，7，． 41．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 【答案】(1)3；4 (2) (3)4 (4)1，5 【分析】本题主要考查了学生对绝对值的综合运用能力，解答时注意运用数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据x的取值范围，分别判断与的正负，然后根据绝对值的性质求解即可； （4）设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，则，画出数轴，根据两点间的距离公式解答． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3；4； （2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 故答案为：； （3）当时，， 则， 故答案为：4； （4）由题意可知表示数轴上x和1的两点之间的距离，表示数轴上x和2的两点之间的距离，表示数轴上x和的两点之间的距离， 设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为， 则， 如图，当点与点重合时，，，， 则，此时， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点左侧时，，， 则， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点右侧时，，， 则， 综上所述，当时，有最小值5， 故答案为：1，5． 42．若规定这样一种运算：，例如：. (1)计算：； (2)记，，请探究与的大小关系. 【答案】(1)3 (2)M=N 【分析】（1）利用公式代入计算即可； （2）根据公式分别求出M及N，根据绝对值的性质判断M与N的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴==3； （2）∵， ∴M=，=， ∵， ∴M=N． 【点睛】此题考查了新定义计算，绝对值的性质，正确理解新定义的计算公式是解题的关键． 43．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 【答案】(1)5，6 (2)，2或 (3)0 (4)2 【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用． （1）根据题目所举例子进行计算即可； （2）仿照题干所举例子进行解答即可； （3）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质进行解答即可； （4）根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：5，6； （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ，则或， 即或． 故答案为：，2或； （3）解：由数轴可知，，，， 则| ； （4）解：代数式的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和， 显然只有当时，距离之和才是最小， 则取最小值时，x的值为2； 故答案为：2． 44．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【答案】（1）x，4；（2）6；（3）或5；（4） 【分析】（1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （3）结合（2）中的讨论过程，且，即可作答 （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）结合（2）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即即 所以，则或5； （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，， 那么． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 45．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 46．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)与4分别为与的零点值 (2)答案见解析 (3)有，6 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 求得，， 与4分别为与的零点值． （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：有，理由如下： 由（2）得出：对于任意有理数，有最小值，最小值为6． 【题型11解绝对值的方程】 47．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的代数意义是解题的关键，忘记考虑绝对值符号内的原代数式为负是本题的易错点． 利用绝对值的代数意义化解已知方程，转化两个一元一次方程，求出方程的解后即可解题． 【详解】 或 解得或． 故选：D． 48．若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是注意互为相反数的两个数的绝对值相同． 49．若，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值方程的求解是解题的关键．根据绝对值方程的求解方法可进行求解． 【详解】解：， 或， 解得：或， 故答案为：1或． 50．已知，则 【答案】或 【分析】本题考查绝对值方程，根据绝对值的意义去绝对值符符号，解方程即可． 【详解】解：由可得或 解可得， 解可得， 故答案为：或． 51．若，则 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了解绝对值方程的知识，根据绝对值的意义作答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或者． 52．方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 53．解方程：． 【答案】或． 【分析】本题主要考查解绝对值方程，分、、三种情况去绝对值，解一元一次方程即可． 【详解】解：（1）当时，有，得； （2）当时，有，无解； （3）当时，有，得． 所以方程的解为或． 54．已知：，求x的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，解绝对值方程即可． 【详解】解：， ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 55．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：，，．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题： (1)的零点值是__________． (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)3和-4 (2) (3) 【分析】（1）根据零点值得概念令 和，即可得到答案． （2）仿照材料例题，令，，三种情况，结合绝对值的意义化简即可得到答案． （3）由（２）可得的化简式，根据，，三种情况下的化简式解方程，结合 的范围可得方程的解． 【详解】（1）解： 根据题意可得，令 和 ，解得 或 的零点值是 或-4 （2）解：化简代数式时， 令 和 ，解得 和 当 时，原式 ； 当时，原式 ； 当 时，原式 ； 综上， （3）解：由（2）可得： 当时，可化简为： ，得 （与矛盾，不符合题意）； 当时，（不符合题意）； 当 时，可化简为： ，得 （符合的条件，符合题意）； 综上，可得的解为 【点睛】此题考查绝对值的意义，理解绝对值的几何意义，利用分类讨论思想是解题的关键． $$