专题2.2 等边三角形压轴必考题型归纳-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题2.2 等边三角形压轴必考题型归纳 【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型02：平行法法构造全等三角形】 【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】 【方法点拨】 类型一﹑ 平行线法构造全等三角形‌：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形相关的性质时非常有用。 类型三﹑ ‌截长补短法‌：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。 【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【变式1-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． （1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由． （2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？ 【变式1-2】如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由． （2）试说明AE∥BC的理由． （3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． （4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． 【题型02：平行法法构造全等三角形】 【典例2】如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【变式2-1】如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．    (1)求证：； (2)作于点H，设，请用含的式子表示的长度． 【变式2-2】如图所示，在中，，在的延长线上取点E，使得，求证：． 【变式2-3】如图，在中，是边的中点， (1)提出问题： ①请用无刻度的直尺和圆规过点画直线，使，交的延长线于点.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (2)解决问题： ①_______（填“”“=”或“”）. ②若，，则长度的取值范围为_______． (3)拓展应用： 如图②，，分别是和的中线，，直接写出与的数量关系． 【变式2-4】某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【变式2-4】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D 在的延长线上， 且 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系， 请你直接写出结论： （填“>”， “<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与 的大小关系， 请你写出结论： （填“>”，“<”或“=”）； 理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点 E作交于点 F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点 D在线段的延长线上，且 ，若 的边长为2， ，求的长． 【变式2-5】（综合与实践）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，请你直接写出结论，______（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）： (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 【变式2-6】已知：中，点D是的中点．           (1)如图1，，．垂足分别为E、F．求证：； (2)若．点E在的延长线上．且 ①如图2，若点F（恰好在上），求证：； ②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长． 【变式2-7】已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，． (1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系：______（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． (3)如图3，在等边三角形中，点E在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【变式2-8】已知，在等边中，点在射线上，点在边的延长线上，且．    【特殊情况】 （1）如图，当点为边的中点时，线段与线段的数量关系是：_________（填“”“”或“”）； 【特例引路】 （2）如图，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，试确定线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，当点在边的延长线上时，若的边长为，，求的长． 【变式2-9】数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 如图1，边长为6的等边中，点D沿线段方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点D作，连结交射线于点G．求线段与的数量关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况·探索结论 当点D恰好在点B处时，易知线段与的关系是：______（直接写出结论） (2)特例启发·解答题目 猜想：线段与是（1）中的关系，进行证明： 辅助线为“过点D作交于点H”，请你利用全等三角形的相关知识完成解答； (3)拓展结论·设计新题 如果点D运动到了线段的延长线上（如图2），刚才的结论是否仍成立？请你说明理由． 【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】 【典例3】已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程． 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数． 【变式3-1】如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【变式3-2】如图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】 如图①，若点在边上，求证：； 【类比探究】 如图②，若点在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．    【变式3-3】为等边三角形，点为边上一点，点在直线上，连接，在直线右侧作等边三角形，连接．    (1)如图，当点与点重合时，点在边上，与相等吗？说明你的理由； (2)如图，点不与点、重合，点为边上一动点，直接写出，，三条线段的数量关系； (3)若，点为中点，，则的长为______ ． 【变式3-4】如图， 等腰中，，，与 于点 D，P 是延长线上一点， O 是线段上一点，，连接． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 等边三角形压轴必考题型归纳 【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型02：平行法法构造全等三角形】 【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】 【方法点拨】 类型一﹑ 平行线法构造全等三角形‌：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形相关的性质时非常有用。 类型三﹑ ‌截长补短法‌：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。 【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）； （2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分） （3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分） 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°． 【变式1-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． （1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由． （2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？ 【答案】（1）不变，60°，见解答； （2）2秒或6秒． 【解答】解：（1）运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下： 由题意可得，BD＝BC＝AD＝CD＝6，∠BDA＝∠C＝∠CBD＝60°，DE＝DF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE＝∠CBD＝60°； （2）当∠EBF＝60°时，∠EBF＝∠CBD＝60°， ∴∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE， ∴∠DBE＝∠CBF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（ASA）， ∴DE＝CF， 设点E的运动时间为t秒，则DE＝t，DF＝2t，CF＝6﹣2t， 当0≤t≤3时，t＝6﹣2t，解得t＝2， 当3＜t≤6时，t＝2t﹣6，解得t＝6， 综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF＝60°． 【变式1-2】如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由． （2）试说明AE∥BC的理由． （3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． （4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC． 又∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE． ∴在△DBC和△EAC中， ∴△DBC≌△EAC（SAS）． （2）∵△DBC≌△EAC， ∴∠DBC＝∠EAC＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB（等量代换）， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）； （3）结论：AE∥BC 理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形 ∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60° ∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE 在△DBC和△EAC中， ， ∴△DBC≌△EAC（SAS）， ∴∠EAC＝∠B＝60° 又∵∠ACB＝60° ∴∠EAC＝∠ACB ∴AE∥BC （4）成立； ∵同（3）易证△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD（全等三角形的对应角相等）， ∵∠CBD+∠ABC＝180°，∠ABC＝60°， ∴∠CAE＝∠CBD＝120°， ∴∠EAB＝∠EAC﹣∠CBA＝60°， ∴∠EAB＝∠ABC＝60°， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 【题型02：平行法法构造全等三角形】 【典例2】如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作 交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．    (1)求证：； (2)作于点H，设，请用含的式子表示的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及性质， （1）在等边中过点作与交于，先根据平行线的性质得出，，再根据等边三角形的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一得出是的中点，再利用全等三角形的性质得出，然后利用线段的和与差即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，在等边中过点作与交于，    ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ， ； （2）∵于点，且是等边三角形， ∴是的中点， 又∵由（1）知， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式2-2】如图所示，在中，，在的延长线上取点E，使得，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，过D作交于F，由平行线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，再证明，即可得证． 【详解】证明：过D作交于F， ∵， ∴，（平行线的性质）， ∵（已知）， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，在中，是边的中点， (1)提出问题： ①请用无刻度的直尺和圆规过点画直线，使，交的延长线于点.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． (2)解决问题： ①_______（填“”“=”或“”）. ②若，，则长度的取值范围为_______． (3)拓展应用： 如图②，，分别是和的中线，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①作图过程见解析；②猜想：，证明见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用尺规作图，作一个角等于已知角，即，利用内错角相等，两直线平行判定即可. ②证明即可． （2）①根据得到，在中，运用三角形三边关系定理计算即可． ②利用前面的结论计算即可． （3）过点B作，交的延长线于点M，先证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：①利用尺规作图，作 则， 点E即为所求. ②证明：与的数量关系为．理由如下： ∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①解：∵ ∴， ． 在中，， ∴， 故答案为：． ②解：在中，， ∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （3）证明：．理由如下： 过点B作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵ E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，三角形中线的应用，熟练掌握尺规作图，三角形中线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式2-4】某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【详解】（1）解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ （2）证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中                                                    ， ， ， （3）解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 【变式2-4】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D 在的延长线上， 且 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系， 请你直接写出结论： （填“>”， “<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与 的大小关系， 请你写出结论： （填“>”，“<”或“=”）； 理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点 E作交于点 F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点 D在线段的延长线上，且 ，若 的边长为2， ，求的长． 【答案】(1)=，详见解析 (2)=，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识， （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交的延长线于点F，同（2）得是等边三角形，，则，，即可得出答案； 熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点E作，交于点F， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）的长为6；理由如下： 过点E作，交的延长线于点F，如图3所示： 同（2）得：是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：6． 【变式2-5】（综合与实践）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，请你直接写出结论，______（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）： (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形三线合一，结合三角形外角的性质，得到即可； （2）过点E作，交于点F，易得为等边三角形，证明，即可得证； （3）作，易得为等边三角形，证明，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点E为的中点 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在△DBE和△EFC中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）由题意，点在线段的延长线上，作，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-6】已知：中，点D是的中点．           (1)如图1，，．垂足分别为E、F．求证：； (2)若．点E在的延长线上．且 ①如图2，若点F（恰好在上），求证：； ②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质： （1）如图1，由点是的中点． 可得 结合，从而可得答案； （2）①如图2，先证明为等边三角形，过作交于 证明为等边三角形，证明 可得 从而可得结论；②如图3，由①同理可得： 为等边三角形， 可得 再求解 从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接 点是的中点． ， （2）解：①如图2， 为等边三角形， 过作交于 为等边三角形， 点是的中点， ②如图3，由①同理可得： 为等边三角形， 为的中点， 故答案为： 【变式2-7】已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，． (1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系：______（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． (3)如图3，在等边三角形中，点E在线段的延长线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， （2）当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作 交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）过点作 ，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2-8】已知，在等边中，点在射线上，点在边的延长线上，且．    【特殊情况】 （1）如图，当点为边的中点时，线段与线段的数量关系是：_________（填“”“”或“”）； 【特例引路】 （2）如图，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，试确定线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，当点在边的延长线上时，若的边长为，，求的长． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）证为等边三角形，得，再证，得， 即可得出结论； （3）过作，构造全等三角形，再用线段和差，即可得出结论； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为:， （2）为等边三角形， ，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ，即． （3）过点作交于点，如图．    ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2-9】数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 如图1，边长为6的等边中，点D沿线段方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点D作，连结交射线于点G．求线段与的数量关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况·探索结论 当点D恰好在点B处时，易知线段与的关系是：______（直接写出结论） (2)特例启发·解答题目 猜想：线段与是（1）中的关系，进行证明： 辅助线为“过点D作交于点H”，请你利用全等三角形的相关知识完成解答； (3)拓展结论·设计新题 如果点D运动到了线段的延长线上（如图2），刚才的结论是否仍成立？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)仍然成立，，理由见详解 【分析】（1）根据题意画出图形，根据等边三角形的性质即可作答； （2）过点D作交于点H，根据题意有，先证明是等边三角形，再证明，即有，在等边中，根据，即有，问题随之得解； （3）过点D作交于点H，证明方法同（2）． 【详解】（1）根据题意画出图形，如下， 根据题意，有：， 当点D恰好在点B处时，点G恰好在点C处，即， 在等边中，，即有， ∴， ∴， 故答案为：； （2）猜想：， 过点D作交于点H，如图， 根据题意：， 在等边中，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，   在等边中，，即有， ∴， ∴； （3）仍然成立，，理由如下： 过点D作交于点H，如图， 根据题意：， 在等边中，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在等边中，，即有， ∴，   ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，题目难度不大，根据题意，准确画出图形，灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】 【典例3】已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程． 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②会变化， 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，据此可得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，即可得到，然后解题即可； （2）过点A作于点G，可以得到，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点A作于点G， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】 如图①，若点在边上，求证：； 【类比探究】 如图②，若点在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．    【答案】[问题解决]证明见解析；[类比探究] 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． [问题解决]在上截取，连接，可证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； [类比探究]过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出． 【详解】[问题解决] 证明：如图①，在上截取，连接．    是等边三角形， ． 是等边三角形． ． 是等边三角形， ． ． ． 在和中， ∵ ． ． ． 即． [类比探究] 解：；理由见如下： 是等边三角形， ， 过作，交的延长线于点，如图②：    ．． ，， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ∴， ， 在和中， ∵， ， ， ， 即． 【变式3-3】为等边三角形，点为边上一点，点在直线上，连接，在直线右侧作等边三角形，连接．    (1)如图，当点与点重合时，点在边上，与相等吗？说明你的理由； (2)如图，点不与点、重合，点为边上一动点，直接写出，，三条线段的数量关系； (3)若，点为中点，，则的长为______ ． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）在上截取，连接，先证为等边三角形，再证和全等得，据此可得出结论； （2）在上截取，先证为等边三角形，再证和全等得，据此即可得出，，三条线段的数量关系； （3）先由已知得，，再由的结论即可得出的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 在上截取，连接，    和均为等边三角形， ，，， ，， 为等边三角形， ，， ， 点与点重合， ，， 又 ， ， 又，， 即：， 在和中， ， ≌， ， ． （2）解：，，三条线段的数量关系是：． 理由如下： 在上截取，    为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， 又为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 即：． （3）解：，点为的中点， ，    为等边三角形， ， ， ， 由（2）得：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解等边三角形的三条边都相等、三个角都等于；有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；难点是正确的作出辅助线，构造等边三角形和全等三角形． 【变式3-4】如图， 等腰中，，，与 于点 D，P 是延长线上一点， O 是线段上一点，，连接． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，得到，证明且，即可证得是等边三角形； （2）首先证明，则，． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$