特训01 二次函数 压轴题（八大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训01 二次函数 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题 题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数的代数（综合）应用 题型1：存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值； (3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如下图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．连接，过点作交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如下图，点为直线下方抛物线上一点，连接交于，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位，点为平移后的抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，说明理由． 3．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标； (3)如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：最值问题 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求a，b的值； (2)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N． （ⅰ）如图1，当时，求线段的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，当线段的长度最小时，求点M的横坐标m的值． 5．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 7．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值． 题型3：定值问题 8．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 题型4：定点问题 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标； (3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线经过一个定点． 11．已知二次函数图象交x轴于点和两点； (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向上平移n个单位得抛物线，点P为抛物线的顶点，，过C点作x轴的平行线交抛物线于点A，点B为y轴上的一动点，若存在有且只有一种情况，求此时n的值； (3)如图2，恒过定点的直线交抛物线于点Q,N两点，过Q点的直线的直线交抛物线于M点，作直线，求恒过的定点坐标． 题型5：动点问题综合 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为． 如图，当时，请直接写出的值； 请直接写出关于的函数关系式． 13．如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． (4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，过点的直线与该抛物线的另一个交点的横坐标为，是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，在该垂线的点上方取一点，使，以为边作矩形，设点的横坐标为． (1)写出抛物线的顶点坐标______． (2)当点与点重合时，求点的坐标； (3)当点在该抛物线上时，求抛物线的顶点到的距离； (4)当矩形的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 15．如图1，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：是直角三角形； ②求出的最大面积及此时P点的坐标； ③如图2，过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 题型6：对称问题 16．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 17．如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求，的值及直线的解析式； (2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点， (ⅰ)若，求点P的坐标， (ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 题型7：新定义题 18．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有 （填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值． (3)若关于x的函数是函数，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 19．以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为．因为恒成立．所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立． (1)已知函数与函数相交于点、． ①此时，的值分别为：______，______； ②求此时函数与的“相关函数”； (2)已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围； (3)已知以为自变量的函数与（为常数且，）．点，点，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围． 题型8：二次函数的代数（综合）应用 20．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 22．已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点． (1)求点A，坐标； (2)若为直角三角形； ①求实数的值； ②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 二次函数 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题 题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数的代数（综合）应用 题型1：存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值； (3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由求解即可； （3）分类讨论，当四边形为菱形时，此时，当四边形为菱形时，此时，当四边形为菱形时，此时，利用菱形性质求解即可． 【解析】（1）∵抛物线经过， ∴，解得 ∴该抛物线所对应的函数解析式为 （2）设直线的解析式为 把，代入得：，解得： ∴直线的解析式为 设，则 当时，； （3）存在； ∵抛物线与x轴交于A、两点 当时，解得：或5 ∵ ∴ ∵ 当四边形为菱形时，此时 ∴垂直平分 ∴点P与点E关于x轴对称 由（2）得：， ，即 解得：（舍） ∵点M与点B关于对称 ∴； 当四边形为菱形时，此时 ∴点P与点A重合 ； 当四边形为菱形时，此时 由（2）得： 解得：（舍） 综上，点M的坐标为或或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 2．如下图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．连接，过点作交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如下图，点为直线下方抛物线上一点，连接交于，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位，点为平移后的抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为15，此时点M的坐标为 (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）运用待定系数法，将点A，B的坐标代入抛物线解析式，即可求解； （2）在中，得到，从而直线的解析式为， 根据，且直线过点，求得直线解析式为，进而可得．过点M作轴，交于点K，设，则，可得，由得到，进而，根据二次函数的性质即可解答； （3）把抛物线沿抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移6个单位，再向下平移4个单位，因此可得平移后抛物线解析式为，设，则，，，分三种情况讨论： ①，②，③，代入得到方程，求解即可． 【解析】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，得， ∴， 设过点的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴设直线解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 解方程组得或， ∴， 过点M作轴，交于点K， 设，则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为15，此时， ∴面积的最大值为15，此时点M的坐标为； （3）解：存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵把抛物线沿抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移6个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后抛物线解析式为： ∴新抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ， ∴， ， ， ①若，则， 解得， ∴； ②若，则， 化简为 ∴方程无实数解，不成立； ③若，则 解得或， ∴或， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的图形及性质，待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 3．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标； (3)如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)0或3 (3)存在点，坐标 【分析】（1）代入、坐标可求答案； （2）用等面积法求出的解析式，再和抛物线联立即可； （3）通过平移将点移到原点，让整个图象的解析式变得简单，再用代数法表示的长度，配方即可． 【解析】（1）解：把和代入， 得：， 解方程组：， 此抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 把两点坐标代入，得， 解得：， 直线的解析式为：； （2）过点作交轴于点， 由，两点坐标得：， ， ， 与面积相等， ， ， ， 直线的解析式为：，与轴交点为， 点坐标为， 点坐标为， 直线， 直线的关系式为：， 联立方程组：， 解得：或， 点坐标为或， 点横坐标为0或3； （3）存在点，坐标，理由如下： ， 对称轴为直线， 代入解析式求出 点坐标为， 将整个图象整体平移，向左平移1个单位，向下平移个单位，使为原点， 则平移后解析式为， 此时，， ， 时，最小， 或（舍去）， 平移后的， 平移之前的，即， 故存在点，坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用平移将复杂的代数计算变得简单化，是解决本题的关键． 题型2：最值问题 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求a，b的值； (2)点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N． （ⅰ）如图1，当时，求线段的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，当线段的长度最小时，求点M的横坐标m的值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ）m的值为或 【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）（ⅰ）先计算的解析式，然后设，则，，根据题意得到方程求出m值，即可求出的长； （ⅱ）作于点R，由（ⅰ）可得，，，然后分为点Q在PN的左侧和点Q在PN的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可． 【解析】（1）由题意得，解得； （2）（ⅰ）当时，， ∴， 设直线为， ∵点， ∴，解得， ∴直线为， 设，则，， ∵， ∴，解得，经检验符合题意， 当时，， ∴，， ∴； （ⅱ）作于点R， 由（ⅰ）可得，，， 的面积为，的面积为， ∴，解得； 当点Q在PN的左侧时，如图1， Q点的横坐标为，纵坐标为， ∴R点的坐标为， ∵N点坐标为，∴， ∴， ∴当时，NQ取最小值； 当点Q在PN的右侧时，如图2， Q点的横坐标为，纵坐标为， ∴R点的坐标为， ∵N点的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，NQ取最小值． 综上，m的值为或． 5．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【解析】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ，， 将代入得：， 解得：， ， 点的横坐标为3， 当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：， ； （2）解：由（1）得：，， 设点的坐标为， ， 为的中点， 在轴上， ， ， 在中，当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：； （3）解：由（1）知：，，， ， 在中，当时，， ， ， 设， ， ， 当时，的值最大，此时． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析 (2)或，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； （4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解． 【解析】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， ∴的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； （4）解：设交于点， 当点在轴上方时， 过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则， ， 则， ， ， 则， 则， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：，代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上， 或． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 7．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合： （1）把抛物线设为顶点式即可得到答案； （2）先求出，进而求出直线解析式为；如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，可得；进而得到，据此可得答案； （3）利用勾股定理得到，，，则，可得，利用三角形外角的性质证明，进而证明，得到，设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为1，即点F的横坐标的最大值为． 【解析】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点D作轴，交于E， 设，则， ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， ∴点F的横坐标的最大值为． 题型3：定值问题 8．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为，， (4)存在，定点，的值为 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案； （3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【解析】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）∵抛物线的表达式为：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 设其中，则， ∴ ∵，， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∴的周长 ， ∴当时，的周长有最大值，． （3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴， ②当为对角线时，， 解得：， ∴， ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，． （4）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 9．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1)定点坐标为 (2)①；②面积为定值，面积为4． 【分析】（1）本题考查的是含参数的函数过定点问题，找到函数中的参数，确定参数的系数，令系数为零即可解决． （2）① 本题考查了求两条线段之差的最大值问题，解决问题的关键在于找到何时取得最大值，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，、为定点，为动点，于是有，即当、、三点在一条直线上时取得最大值，利用待定系数法求出过点、的直线解析式，然后求出直线与轴交点即为所求的最大值时的位置，的距离可求，坐标已求，根据三角形面积公式可得面积． ② 由于，是抛物线上异于，的两个动点，要在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，那么必然这个三角形的三个顶点是确定的，、为定点，于是直线存在定点使得的面积是定值．要确定直线存在定点，即需求带参数的函数过定点问题，需要确定参数的系数，令系数为零即可求恒过的定点．设，，直线：，直线：，直线：，将直线、、的解析式分别与抛物线解析式联立，利用根与系数的关系，求得解析式中系数与之间的关系式，再联立直线和直线解析式，其交点始终在直线上，可得到的关系式，然后化简将直线：变为只含一个参数的方程，即可求出直线恒过的定点，最后利用几何关系求出的面积． 【解析】（1）解：， 当时，恒成立， 对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点． （2）解：① 当时，抛物线的解析式为， 令，解得，， ，． 为抛物线顶点， 点横坐标为，纵坐标为， ， 当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值， 如图1，连接并延长，交x轴于点P， 设直线的解析式为， 将点，的坐标分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ． ② 的面积为定值，面积为4． 解：如图2， 设，，直线：，直线：，直线：， 将点的坐标代入直线的解析式，得． 将点的坐标代入直线的解析式，得． 联立直线与抛物线的解析式，得， 整理得， 则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）． 同理可得，， ，， ，， ， ． 联立直线与直线的解析式，得解得， 直线与直线的交点始终在直线上， ，化简得， ， 直线：， 当时，， 即不论为何值，直线EF恒过定点． 如图3，过点Q作轴于点K， ，，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数，含参数的函数过定点问题，两条线段之差的最大值问题，联立函数解析式求交点的问题，一元二次方程根与系数的关系以及几何图形面积的求解；熟悉掌握含参数的函数过定点问题的方法，求两条线段之差最大值的理论依据，联立函数解析式求交点，利用根与系数的关系化简参数，切割几何图形求面积等方法是解决问题的关键． 题型4：定点问题 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标； (3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将，代入即可求解； （2）先求出直线解析式，得到点C的坐标，设，则，由，建立关于m的方程求解即可； （3）设，求出直线的解析式，利用，得到，进而得到，代入直线即可得出结论． 【解析】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得：， 解得：或， ， 设，则， ， ， 整理得：， 即或 解得：或或， 是线段上一点，，， ， ； （3）解：设， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 直线的解析式为， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 当时，， 直线经过一个定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求抛物线与一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等等，难度比较大，采用数形结合的方法是解决本题的关键． 11．已知二次函数图象交x轴于点和两点； (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向上平移n个单位得抛物线，点P为抛物线的顶点，，过C点作x轴的平行线交抛物线于点A，点B为y轴上的一动点，若存在有且只有一种情况，求此时n的值； (3)如图2，恒过定点的直线交抛物线于点Q,N两点，过Q点的直线的直线交抛物线于M点，作直线，求恒过的定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)经过的定点为 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）将点，代入，利用待定系数法求解即可； （2）先得抛物线的解析式，过点P作轴于点T，得到即可求解； （3）分情况进行讨论即可得出答案． 【解析】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ； （2）解：向上平移n个单位得抛物线， ， 点P为抛物线的顶点， ， ，轴， 轴， 过点P作轴于点T， ， ， 存在有且只有一种情况， ， ， ， ∵， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， 由，得， 解得，(舍)； （3）解：恒过定点， 中t为任意值都满足条件， 令， 联立， 或， ，， 设过定点的直线表达式为， 将点Q代入，得， ， ， 联立， 或， ， 设的解析式为， 将点M、N代入可得：， 解得， ； 令，， 联立， 或， ，， 设过定点的直线解析式为， 将点Q代入得， ， ， 联立， ∴或， ， 设的解析式为， 将点M、N代入可得：， 解得， 的解析式为， 联立， 解得， 直线经过定点， 经过的定点为． 题型5：动点问题综合 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为． 如图，当时，请直接写出的值； 请直接写出关于的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)；． 【分析】（）运用待定系数法即可求得答案； （）设交轴于，可证得，得到，可得，利用待定系数法可得直线解析式为，联立函数式即可求得点的坐标； （）当时，，，即可求得答案； 由题意得，，，由，可得，，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图象，即可求得答案． 【解析】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设交轴于，如图，    在中，令，得 解得或， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数式得， 解得或， ∴； （3）解：当时，，， ∴； 由题意得，，， ∵， ∴当时，， 解得，， 当时，如图，   ； 当时，如图，   ； 当时，如图，   ； 综上所述，关于的函数关系式为 ． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，一次函数和二次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，利用了数形结合、分类讨论思想解答是解题的关键． 13．如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． (4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形 (4) 【分析】（1）根据点，在抛物线上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）设出点的坐标，继而得到点坐标，因为都在垂直于轴的直线上，得到，然后根据，两点之间横坐标的距离为，列出面积的函数关系式后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）存在四个这样的点．①连接点与抛物线和轴的交点，则轴，此时，可得点的坐标；②，，可得点的坐标；③此时，两点的纵坐标关于轴对称，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标为，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可得点的坐标；④同③可求出点的坐标；综合四种情况可得出，存在个符合条件的点； （4）由抛物线的对称轴是直线：，得点关于直线对称点为点，确定，取点关于轴的对称点为，连接交直线于点，交轴于点，当点、、、四点共线时，四边形的周长的最小值为，确定直线的解析式为，即可得解． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式是； （2）∵点在抛物线上，且点的横坐标为， ∴当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵是线段上的一个动点（与， 不重合），且轴， 设，则， ∵点在点的上方， ∴， ∵，， ∴、两点之间横坐标的距离为：， ∴， ∴， 当时，最大为， ∴面积的最大值为； （3）存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形． 设抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵， ∴轴，， ①如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴， ②如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴； ③如图，四边形为平行四边形，点在轴右侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； ④如图，四边形为平行四边形，点在轴左侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，存在4个符合条件的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形； （4）∵抛物线， ∴它的对称轴的解析式：， ∵，， ∴点关于直线对称点为点， ∵直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∵， ∴， 取点关于轴的对称点为， 连接交直线于点，交轴于点， ∴四边形的周长： ， 当点、、、四点共线时，取“”，此时四边形的周长的最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， 解得： ， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质，最短路径等知识点，运用了分类讨论，数形结合的数学思想方法．解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，过点的直线与该抛物线的另一个交点的横坐标为，是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，在该垂线的点上方取一点，使，以为边作矩形，设点的横坐标为． (1)写出抛物线的顶点坐标______． (2)当点与点重合时，求点的坐标； (3)当点在该抛物线上时，求抛物线的顶点到的距离； (4)当矩形的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)抛物线的顶点到的距离为或 (4)当或或时，矩形的一组邻边与该抛物线相交 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可作答； （2）先求出，即可得，再结合，可得点的纵坐标为．结合矩形的性质可得解； （3）先表示出，再结合矩形的性质可得，进而有点的坐标为．根据点在该抛物线上，可得，，问题随之得解； （4）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为：，根据 ，可表示出，，进而可得，，当点在抛物线上时，，解得或，当在抛物线上时，解得：（负值不符合题意舍去），当点与重合时，，数形结合即可作答． 【解析】（1）将配方，得， 抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）令，可得， 解得：，或者， ∴结合图象可知：， 当点与点重合时，． 解得． ． 点与点重合，， ∴点的纵坐标为． ∵矩形的边轴， 点的坐标为； （3）由知抛物线的顶点坐标为． ∵是该抛物线上的任意一点，其横坐标为， ∴纵坐标为，即为， ∴， ∵矩形的边轴，，点在点上方， ∴， ∵轴， ∴点的坐标为． 点在该抛物线上， ． 解得，． 当时，即，顶点在的右边． ， 抛物线的顶点到的距离为． 当时，即，顶点在的左边． ， 抛物线的顶点到的距离为． 综上所述，抛物线的顶点到的距离为或． （4）当时，， ∴， ∵，直线的解析式为：， ∴， 解得：， 即直线的解析式为：， ∵， ∴点、点的横坐标为， 当时，， ∴，， ∴点F的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点的横坐标为， ∴，， 当点在抛物线上时，， 解得或， 当在抛物线上时， 解得：（负值不符合题意舍去）， 当点与重合时，， 观察图，图，图可知，当或或时，矩形的一组邻边与该抛物线相交． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求解一次函数解析式，矩形的性质，解一元二次方程等知识，问题的难点在第四问，注重数形结合，是解答本题的关键． 15．如图1，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：是直角三角形； ②求出的最大面积及此时P点的坐标； ③如图2，过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；②的最大面积为，此时P点的坐标为；③ 【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了待定系数法、面积问题、线段问题等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把两点坐标代入求得b、c的值即可解答； （2）①作轴于点H，易证为直角三角形，再证是等腰直角三角形，求出即可证明结论；②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可；③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解析】（1）解：把两点坐标代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 当时，，即， 作轴于点H，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 如图：过点P作轴于点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为，， ∴． ③设点， 如图：过点P作轴于点N，交于点E， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 题型6：对称问题 16．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，的值最大，最大值为； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先利用待定系数法求得直线的表达式为，根据题意设，，，则，证明，利用锐角三角函数和坐标与图形性质得，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设，抛物线对称轴交x轴于点H，交矩形边于G，分三种情况：①点O的对称点恰好落在对角线上时；②点O的对称点恰好落在对角线上时，③点O的对称点恰好落在对角线的延长线上时，分别画出图形，利用对称性质、坐标与图形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等分析求解即可． 【解析】（1）解：∵二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为， ∵抛物线上的动点在第一象限，且横坐标为，轴，交直线于点， ∴，， ∴， ∵，轴， ∴，又， ∴， ∴，即， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴设， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设抛物线对称轴交x轴于点H，交矩形边于G，则，，， 若点O的对称点恰好落在对角线上时，如图，连接，， 则垂直平分， 即， ∴， ∴, ∴，则， ∴，解得，则； 若点O的对称点恰好落在对角线上时，如图，设与相交于点K， 由对称性质得，， ∵， ∴，则， ∴， ∵在抛物线对称轴上，是矩形的对角线， ∴K为的中点，则，， ∴在中，， ∴， ∴，则； 若点O的对称点恰好落在对角线的延长线上时，如图，过作轴于K，连接交延长线于M， 由对称性质得，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，则， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，则， 综上，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 17．如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求，的值及直线的解析式； (2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点， (ⅰ)若，求点P的坐标， (ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)(ⅰ)；(ⅱ) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，得出点，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）（i）设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解； （ii）过作轴，交于点，则，得出，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解． 【解析】（1）解：依题可得：    解得：                                               ∴， 令，得，即 设直线的解析式为，将，代入得：   解得： 直线的解析式为 （2）设 ，则， （i）， 是等腰直角三角形                                   ， ， 是等腰直角三角形， ，解得，舍 点的坐标为                                       （ii）如图， 过作轴，交于点，则， ∴ ，              当时，有最大值为 （3）解：依题意， 新的图形的顶点坐标为 则新的抛物线解析式为 设平移后的直线解析式为 当经过点时，有3个交点，即 解得：， 当与只有一个交点， 则 消去得， 即 ∴ 解得： 结合函数图象可得： 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型7：新定义题 18．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有 （填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值． (3)若关于x的函数是函数，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)④ (2)， (3)或 【分析】（1）由定义即可求解； （2）证明、、是等腰直角三角形，得到，即可求解； （3）由新定义得到“函数”为，再分类求解即可． 【解析】（1）由定义知，整个图象关于成轴对称，符合题设的条件，其他都不符合新定义的要求． 故答案为：④； （2）如图：根据题意，，则， ， 函数的图象与直线相交于、两点，直线与轴交于点， 设，， 联立两个函数的表达式得：， 整理得：， ，，且， 则， 根据该函数图象关于直线对称得，， ， ， 、、是等腰直角三角形， 点到的距离为， ， 由得，（舍去）， ； （3）由题意，得， 解得， 此“函数”为， ①当时， 当时，， 当时，， ， 解得：； ②当，即时， 当时，， 当时，， 则， 解得：； ③当时， 当时，，当时，， 则， 解得：（舍去）； ④当时， 当时，，当时，， 则， 解得：（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等，分类求解是解题的关键． 19．以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为．因为恒成立．所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立． (1)已知函数与函数相交于点、． ①此时，的值分别为：______，______； ②求此时函数与的“相关函数”； (2)已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围； (3)已知以为自变量的函数与（为常数且，）．点，点，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)； (3)且；且． 【分析】（1）①利用“相关函数”的定义，得出，的值； ②在①的前提下：； （2）首先推导出相关函数，进而得到当时，对于x的每一个值函数y与g的“相关函数”，恒成立，恒成立，当时，，当时，恒成立，所以； （3）∵函数与，推导出，进一步解得，从而得到，由，推导了出，得到且，最后求得函数h的图象截x轴得到的线段长度为：=，进而得到且．即可作答． 本题主要考查一次函数，二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“相关函数”的定义． 【解析】（1）解：①∵已知函数与函数相交于点、． ∴，； ②∵， ∴函数， ； （2）解：函数与， 相关函数， 当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立， 桓成立， 当时，， 当时，恒成立， ； （3）解：函数与， ， 将点、、代入解析式得： ，，， ， ， ， 解不等式得：且， 不妨令，则且， 设函数与轴交于，， 是方程的两根， ，， 函数的图象截轴得到的线段长度为： ， 且， 且， 即且． 题型8：二次函数的代数综合应用 20．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得证． 【解析】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把点代入，即可解答； （2）先求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的另一个交点，得出和，再根据n的范围即可得出答案； （3）分别表示出，，，再相加化简即可． 【解析】（1）由题意得，抛物线（m是常数，且）经过点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意得：垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点， ，即与抛物线交于P、Q，与直线交于N， 对于二次函数，令，则， ， 又对称轴是直线， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与抛物线的另一个交点满足 ， 解得：（舍去），或， 另一个交点为， 直线与的交点在之间， ， 又P、Q两点为直线与抛物线的交点， ，即， ， 又在直线上， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， 当，，时，， ， ， ． ， ． 22．已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点． (1)求点A，坐标； (2)若为直角三角形； ①求实数的值； ②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件． 【答案】(1)， (2)①；②当时，或；当时，或 【分析】本题属于二次函数的综合应用题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，熟练掌握次函数的性质是解题的关键． （1）令，求出x的值即可得出结论； （2）①根据直角三角形的性质求得，即可求得;②分和，即可求得直线经过点和，然后根据判别式即可解答． 【解析】（1）解：令，则有：，解得：； ，即，解得：； ∵点A在点左边， ∴，． （2）解：①令，可得， ∵为直角三角形， ∴, ∴，解得：；                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ②当时，当 时，如图，当 过点，且与二次函数部分有且只有一个交点时，k取到最大值；过点可得到，即； 与二次函数部分有且只有一个交点，可得，即：只有一个根，利用根的判别公式可得：，解得：，（舍去）， ∴； 当时，如图：当 过点，且与二次函数部分有且只有一个交点时，k取到最小值；过点可得到即； 与二次函数部分有且只有一个交点，可得，即：只有一个根，利用根的判别公式可得：，解得：； ∴； 综上，当时，或； 同理可得：当时，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$