特训03 二次函数的图像与性质 解答题（基础+重点，三大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训03 二次函数的图像与性质 解答题（基础+重点，三大模块） 目录： 模块一、二次函数y=ax2、y=ax2+k图像与性质 模块二、二次函数y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k图像与性质 模块三、二次函数y=ax2+bx+c图像与性质 模块一、二次函数y=ax2、y=ax2+k图像与性质 1．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题： x … 0 1 … … … … … … … … … （1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______； （2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称； （3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点． 2．已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 3．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 4．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 5．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 6．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 模块二、二次函数y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k图像与性质 7．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 8．已知抛物线． (1)确定抛物线开口方向及对称轴； (2)当为何值时，二次函数取得最大值或最小值，并求出这个最大值或最小值？ 9．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 10．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出抛物线的解析式； （2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围； （3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 11．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 12．二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 13．在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求的值． (2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线  B．抛物线）上，且表达式为______； (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 模块三、二次函数y=ax2+bx+c图像与性质 14．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） （5） 15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 16．如图，二次函数的图象经，，三点．    (1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？ 17．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 18．已知抛物线C：． (1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式． (2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式． 19．已知抛物线（为常数）． (1)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值． 20．已知二次函数的图象过点，．    (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与轴交于点，二次函数图象的对称轴与直线交于点，求点的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 23．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 24．已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 25．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 26．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 27．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为5，则a的值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时． ①若y的最大值为15，则a的值为______； ②若y的最小值为15，则a的值为______； ③若y的最小值为，则a的取值范围为______． 28．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点和点的坐标； (3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 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【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点 (2)点不在此抛物线上 【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答． （2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答． 【解析】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． ∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点； （2）解：把代入得，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上． 3．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1 【分析】（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案； （2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． 【解析】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2； (2)由题意得，3a-2＜0，解得； (3)由题意得，，解得，； (4)由题意得，， 解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0， ∴a＝1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值. 4．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【解析】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 5．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 【答案】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论； (2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2． (3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断． 【解析】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变； （2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同， ∴a＝±2， ∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合， ∴c＝﹣2， 故答案为：±2，﹣2． （3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0， ∴p＜m＜n， 故答案为：p＜m＜n． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 6．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 【解析】（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 模块二、二次函数y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k图像与性质 7．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 【解析】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 8．已知抛物线． (1)确定抛物线开口方向及对称轴； (2)当为何值时，二次函数取得最大值或最小值，并求出这个最大值或最小值？ 【答案】(1)开口向下，直线； (2)当时，该二次函数的最大值是 【分析】（1）根据函数解析式的特征即可判断抛物线的开口方向； （2）根据二次函数的解析式特征即可得到结果． 【解析】（1）解：∵抛物线中的 ∴该抛物线开口向下 ∵抛物线解析式 ∴该抛物线的对称轴是直线 （2）解：∵抛物线解析式 ∴抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标是 ∴当时，该二次函数的最大值是 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． 9．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【解析】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 10．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出抛物线的解析式； （2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围； （3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当时，有最大值，最大值为2 【分析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设顶点式，将代入解析式，即可求得的值，进而求得抛物线的解析式； （2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大； （3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，进而求得当时，最值为2． 【解析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设顶点式，将代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大，即时，随的增大而增大， （3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下， 当时，有最大值，最大值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握的图象与性质是解题的关键． 11．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【解析】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2 【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0； （3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系． 【解析】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）平移后的函数图象如图所示， 当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3， 即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0； （3）由图象可得， A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”. 13．在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求的值． (2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线  B．抛物线）上，且表达式为______； (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】（1）把代入得出函数解析式，再把点坐标代入函数解析式即可得出的值； （2）设①，②，可得，从而知顶点在一条直线上，且表达式为； （3）由点，都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线，从而得出，则，最后得出，即可得出结论． 【解析】（1）解：当时，， 点在该函数图象上， ， （2）顶点是，设①，②， 由①得，由②得， ， 顶点在一条直线上，且表达式为， 故选：；故答案为； （3）证明：点，都在该二次函数图象上， 对称轴为直线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 模块三、二次函数y=ax2+bx+c图像与性质 14．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）开口向上，x ＝ 1，（1， 3）；（2）开口向下，x ＝ 1，（1，－2）；（3）开口向上，x ＝ ，（ ， ）；（4）开口向下，x ＝ －1，（－1，1）；（5）开口向下，x ＝ 2，（2，0） 【解析】略 15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【答案】（1）；（2）直线 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用对称轴公式求解即可． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)， ∴－2＝1－2m＋5m， 解得；     ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5． （2）二次函数图象的对称轴为直线； 故二次函数的对称轴为：直线； 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式． 16．如图，二次函数的图象经，，三点．    (1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)，，， (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【分析】（1）先写出点、点、点的坐标，然后假设一般式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的性质求解． 【解析】（1）解：由图可知：，，， 设抛物线解析式为， 根据题意得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了二次函数的性质． 17．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【解析】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 18．已知抛物线C：． (1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式． (2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用原抛物线上的关于轴对称的点的特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答； （2）由题意知平移后的解析式为：，即可求得抛物线解析式． 【解析】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标为，与 轴交点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴顶点坐标是，且与轴交点． 设的解析式为，把代入，解得：， ∴的解析式为， 即； （2）要使顶点在轴上，则平移后的解析式为：， ∵经过点， ∵， 解得∶ ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．已知抛物线（为常数）． (1)当抛物线的顶点在第二象限时，求的取值范围． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，且当时有最小值，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将一般式配成顶点式即可求解； （2）由抛物线的对称轴及当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小可确定；分别求出当时和时的函数值，根据当时有最小值，可进一步确定的范围．即可求解． 【解析】（1）解：∵ ∴抛物线的顶点为 ∵抛物线的顶点在第二象限 ∴ 解得： （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小 ∴ 当时，；当时， ∵当时有最小值 ∴ 解得： 综上： ∴整数的值为 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式、抛物线的对称轴和增减性等知识点．熟记相关性质是解题关键． 20．已知二次函数的图象过点，．    (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与轴交于点，二次函数图象的对称轴与直线交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点，代入求解，得到二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的解析式得到对称轴、点坐标，设直线的解析式为，代入点、坐标求出直线的解析式，结合二次函数图象的对称轴，求出点的坐标即可． 【解析】（1）把点，代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 代入点、坐标得： 解得： ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴二次函数图象的对称轴是， 把代入，得：， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组、一次函数的知识，熟练掌握二次函数、一次函数的性质是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A和点D坐标，再根据解析求解即可． 【解析】（1）解：将，代入得， 解得 ∴二次函数的解析式为：； （2）解：将配方得顶点式 ∴顶点， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合： （1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【解析】（1）解：在中，当时，解得或， ∴， 把代入中得：，解得； （2）解：由（1）可得， 联立，解得或， ∴； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 23．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合： （1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【解析】（1）解：联立，解得或， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴，； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，且时，有最大值，最大值为； （3）解：由函数图象可知，当时，． 24．已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据顶点式可直接得出答案； （3）根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【解析】（1）解：由抛物线经过，两个点， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴顶点为， 故答案为：； （3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线， 故答案为：． 25．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点的坐标为，分别求出直线，的解析式，再求出的长，即可求解． 【解析】（1）解：抛物线与轴交于点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）解：根据题意，设点的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ，    解得， 即直线的解析式为：， 令，，               ，         同理可求出直线的解析式为：， 令，，      根据题意可知：若，则、、、四点重合，不符合题意，故 ． 26．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【解析】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 27．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为5，则a的值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时． ①若y的最大值为15，则a的值为______； ②若y的最小值为15，则a的值为______； ③若y的最小值为，则a的取值范围为______． 【答案】(1)；3； (2)①0或6；②或8；③． 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数的增减性求解即可； （2）先判断抛物线开口向上，当时，求出x的值，①②根据二次函数的增减性求解即可；③由y的最小值为可得，解之可得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵y的最大值为5，， ∴当时，取得最大值5， ∴， ∴， ∴y的最小值为． 故答案为：；3； （2）， ∵， ∴抛物线开口向上． 当时，有， 解得：，． ①当∵当时，函数有最大值15， ∴或， ∴或； ②∵当时，函数有最小值15， ∴或， ∴或； ③∵y的最小值为， ∴， ∴． 故答案为：①0或6；②或8；③． 28．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点和点的坐标； (3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可， （3）设点坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可． 【解析】（1）解：由点和点得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）得：， 当时，， ∴点， 由， ∴顶点； （3）设， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$