专题2.4 有理数的混合运算（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

专题2.4 有理数的混合运算 · 典例分析 【典例1】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． （1）利用规律计算：； （2）问题拓展：求； （3）问题解决：求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键． （1）先运算乘方和括号内的减法，然根据有理数的除法可以解答本题； （2）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； （3）运用乘法分配律计算即可； （4）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； （5）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； （6）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题； 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算 （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （3）除法变乘法，再根据乘法分配律计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 （）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答； （）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答； （）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答； （）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答； 本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：原式= = =； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【思路点拨】 利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【解题过程】 解： ． 5．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算： （1）去括号，将除法化成乘法，再进行加法运算； （2）利用加法交换律进行简便运算即可； （3）将前面三个因数进行分解，再进行约分即可； （4）通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式先拆分，再简算． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【思路点拨】 本题考查了有理数的乘法公式运算，有理数加减混合运算，有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）化为分数是，把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律可进行简算； （2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算； （3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为，再根据乘法分配律进行简算． （4），先根据带符号搬家，将算式变为，然后把化为，根据减法的性质和括号的应用，将算式变为进行简算即可； （5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中可变形为，同时发现，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算； （6）在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多． 【解题过程】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 7．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算． （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题． （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查了运算与技巧： （1）观察式子，先转化成假分数，但是不要将数的答案算出得数．这样就可以能约分的要约分； （2）观察分子和分母，发现分子和分母经过分析和转化，可以先约分； （3）根据式子将式子转化后进行计算； （4）有小数、带分数、分数的计算，将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算； 根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2）解： ＝ ＝ ＝； （3）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （4）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝18． 9．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 （1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； 【解题过程】 （1）解： （2） （3） （4） 10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列各题要写出主要计算过程 （1） （2） （3） （4） （5） 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用交换律以及乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用有理数加法的运算法则进行计算即可； （4）根据有理数四则混合运算的法则进行计算即可； （5）将原式变换为再约分计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查了有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）观察算式可得，再利用”，即可简算； （2）利用，即可简算； （3）利用公式“”，可以简算； （4）先分别计算出整数部分和分数部分的和，再相加即可，整数部分的和是1023，观察分数部分发现：、、……，据此可知，等于，据此解题即可． 【解题过程】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算： （1）； （2）； （3）； 【思路点拨】 本题考查有理数的混合运算，正确使用运算律进行计算是解题的关键． （1）运用乘法分配律进行计算即可． （2）将带分数化为假分数后，可进行简便计算． （3）根据所给算式的特点，将其分母转化为两个连续整数积的形式即可简便计算． 【解题过程】 （1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ． 14．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了分数的运算，解题的关键是： （1）把同分母的组合在一起，然后分别计算即可； （2）隔项分母有相同两项，因此应该先分组，将分母为奇数的一组，分母为偶数的一组，再组内进行裂项消项即可． 【解题过程】 （1）解∶ ； （2）解： ． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式： ，，①，②， ，， （1）①________，②________； （2）求的个位数字． 【思路点拨】 （）根据乘方的定义计算即可求解； （）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【解题过程】 （1）解： ， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，， ， ∴个位数字按照的规律循环， 又∵， ∴的个位数字之和为： ， ∴为． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． （3）探究并计算： ①． ②． 【思路点拨】 此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 17．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）直接写出结果：_______； （2）请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； （3）直接写出计算结果：_______； （4）直接写出计算结果：________； 【思路点拨】 （1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【解题过程】 （1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 18．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【思路点拨】 本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【解题过程】 解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 19．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； （3）______； （4）计算：； （5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【思路点拨】 本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 20．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：    第②式： 第③式： 将这三个等式的两边相加，可以得到： 读完这段材料，请你思考后回答： （1） （2） （用含的式子表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题 （1） （2） （用含n的式子表示） （3）计算：． 【拓展应用】 直接写出下式的结果： 【思路点拨】 材料阅读一： （1）根据题中所给的式子得出第⑳式：，代入进行计算即可得到答案； （2）根据题中所给的式子得出第式：，代入进行计算即可得到答案； 阅读材料二： （1）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （2）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （3）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； 拓展应用： 根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【解题过程】 阅读材料一： 解：（1）第①式：    第②式： 第③式：， …， 第⑳式：， ； （2）第①式：    第②式： 第③式：， …， 第式：， ； 阅读材料二： 解：（1）第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ， 故答案为：2870； （2）第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ， 故答案为：； （3）由题意得： ； 拓展应用： 解：根据题意得： ， 故答案为：10100． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的混合运算 · 典例分析 【典例1】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． （1）利用规律计算：； （2）问题拓展：求； （3）问题解决：求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算 （1） （2） （3） （4） 3．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 5．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 7．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算． （1） （2） （3） （4） 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题． （1） （2） （3） （4） 9．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 （1） （2） （3） （4） 10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： （1）； （2）． 11．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列各题要写出主要计算过程 （1） （2） （3） （4） （5） 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题： （1） （2） （3） （4） 13．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算： （1）； （2）； （3）； 14．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： （1） （2） 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式： ，，①，②， ，， （1）①________，②________； （2）求的个位数字． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． （3）探究并计算： ①． ②． 17．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）直接写出结果：_______； （2）请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； （3）直接写出计算结果：_______； （4）直接写出计算结果：________； 18．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 19．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； （2）以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； （3）______； （4）计算：； （5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 20．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：    第②式： 第③式： 将这三个等式的两边相加，可以得到： 读完这段材料，请你思考后回答： （1） （2） （用含的式子表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题 （1） （2） （用含n的式子表示） （3）计算：． 【拓展应用】 直接写出下式的结果： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$