3.1.1 椭圆及其标准方程7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程7题型分类 一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 （一） 求椭圆的标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 题型1：椭圆的定义及辨析 1-1．（2024高二上·四川巴中·阶段练习）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 1-2．（2024高二·全国·课后作业）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 题型2：求椭圆的标准方程 2-1．（2024高二上·江苏连云港·期末）经过、两点的椭圆的标准方程是 ． 2-2．（2024高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 2-3．（2024高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·全国·课后作业）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 （二） 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． (3)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量． 焦点三角形的常用公式： (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan. 题型3：椭圆的定义及其应用 3-1．（2024高二·全国·课后作业）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 3-2．（2024高二上·江西南昌·期末）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-3．（2024高二上·宁夏·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是 ． 3-4．（2024·安徽合肥·模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4：椭圆的焦点三角形问题 4-1．（2024高二下·安徽芜湖·期中）设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ，的大小为 . 4-3．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 4-4．（2024高二上·新疆喀什·期末）在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 4-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 4-6．（2024高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 4-7．（2024·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 4-8．（2024高二·全国·专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求. 4-9．（2024高二下·四川内江·开学考试）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4-10．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 题型5：椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值 5-1．（2024高二·全国·课后作业）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5-2．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 5-3．（2024高二上·浙江台州·期中）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 . 题型6：椭圆上的点到坐标轴上点的距离（最值）问题 6-1．（2024高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 6-2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 6-3．（2024·江西上饶·模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． （三） 与椭圆有关的轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型7：求椭圆的轨迹方程 7-1．（2024高二上·全国·课后作业）设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 7-2．（2024高三·全国·专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 7-3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 7-4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程； 7-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 一、单选题 1．（2024高二上·福建漳州·期末）点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·新疆伊犁·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 4．（2024高三·全国·专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A．B．C． D． 5．（2024高二上·四川南充·期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 6．（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 7．（2024高二上·全国·课后作业）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2 8．（2024高二上·河南信阳·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·全国·课后作业）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 10．（2024高二下·河南开封·期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．不能确定 11．（2024·四川南充·一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·四川南充·阶段练习）方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B． C． D． 13．（2024高二上·吉林松原·期末）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·山东威海·期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 15．（2024高二上·吉林·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 18．（2024·四川南充·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 19．（2024高二上·上海嘉定·期末）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二上·山东·期中）已知椭圆（）的一个焦点为，则（    ） A． B．3 C．41 D．9 21．（2024高二下·广东汕头·期末）已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 22．（2024·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 23．（2024高三·广西钦州·开学考试）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a= A．1 B．2 C．4 D．8 24．（2024高二上·河北唐山·期末）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（    ） A． B． C． D． 26．（2024高二上·广东广州·期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（    ） A．14 B．15 C．18 D．20 27．（2024高二上·江苏·期中）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 28．（2024高二上·河北石家庄·期中）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（2024高二上·山东济南·期中）已知曲线（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 30．（2024高三·北京·强基计划）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 三、填空题 31．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 . 32．（2024高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆. 33．（天津市河西区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 34．（2024·云南红河·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为 ． 35．（2024高二下·上海静安·期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 36．（2024·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 37．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 ． 38．（2024高二下·上海黄浦·期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 39．（2024高二下·江西·开学考试）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，则面积与周长的比值的最大值为 . 40．（2024·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ． 41．（2024高二上·天津和平·期中）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 . 42．（2024高二上·北京朝阳·期中）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ． 43．（2024高二上·吉林白城·期中）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 . 44．（2024·上海静安·二模）已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 . 45．（2024高二·全国·课后作业）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 46．（2024高二·全国·课后作业）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 47．（2024高二上·天津和平·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 48．（2024高三·广西柳州·阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ． 49．（2024高二上·天津和平·期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 . 50．（2024高二上·全国·课后作业）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ． 51．（2024高二上·上海宝山·期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 . 52．（2024高三·全国·专题练习）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．求的方程； 53．（2024高二·全国·课后作业）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 54．（2024高二·全国·课后作业）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1椭圆及其标准方程7题型分类 一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 （一） 求椭圆的标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 题型1：椭圆的定义及辨析 1-1．（2024高二上·四川巴中·阶段练习）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 【答案】B 【分析】根据椭圆定义分析判断. 【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即， ∴点的轨迹为椭圆. 故选：B. 1-2．（2024高二·全国·课后作业）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【答案】C 【分析】讨论与的大小关系，结合椭圆定义可知. 【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以， 当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆； 当 时，，此时动点 的轨迹是线段． 故选：C． 1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程. 【详解】因为M到顶点和的距离的和为， 所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（）， 则，，所以，， M的轨迹方程为. 故答案为：. 题型2：求椭圆的标准方程 2-1．（2024高二上·江苏连云港·期末）经过、两点的椭圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设所求椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】设所求椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程可得，解得， 因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 2-2．（2024高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求椭圆的标准方程. 【详解】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 2-3．（2024高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上,代入椭圆方程求出即可. 【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上. 将,代入椭圆方程得: , 解得, 椭圆C的标准方程为. 故选:D. 2-4．（2024高二上·全国·课后作业）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得. 【详解】   由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：， 由题意，， 所以，，，， 所以椭圆方程为：， 当椭圆焦点在轴上时，同理可得：， 故选：B （二） 椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． (3)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量． 焦点三角形的常用公式： (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan. 题型3：椭圆的定义及其应用 3-1．（2024高二·全国·课后作业）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必要不充分条件定义即可求解. 【详解】若方程表示椭圆，则有 因此且， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B 3-2．（2024高二上·江西南昌·期末）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系. 【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3-3．（2024高二上·宁夏·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是 ． 【答案】答案不唯一 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 3-4．（2024·安徽合肥·模拟预测）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆的条件求解. 【详解】方程表示椭圆， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 题型4：椭圆的焦点三角形问题 4-1．（2024高二下·安徽芜湖·期中）设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理求得. 【详解】椭圆，则， ， 两边平方得①， 在中，由余弦定理得, 即②， 由①②得. 故选：B 4-2．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ，的大小为 . 【答案】 2 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为：2， 4-3．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 由椭圆方程可得的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得，根据可求得结果. 【详解】 由椭圆方程得：，，，； 设，由椭圆定义知：， ，，即， 解得：或； 为椭圆在第一象限内的点，，即，，； . 故答案为：. 4-4．（2024高二上·新疆喀什·期末）在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】由为直角三角形，讨论直角顶点的位置，分三种情况，分别得出符合要求的点，可得选项. 【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点， 所以符合条件为直角三角形的点有6个， 故选：C. 4-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 【答案】(1)48 (2)24 【分析】 （1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解； （2）结合（1）中结果运算求解即可. 【详解】（1） 因为椭圆方程为，则， 即，可得， 因为，则 即，所以. （2） 由（1）得， 因为，所以.    4-6．（2024高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 【答案】34 【分析】 由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长. 【详解】 因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 4-7．（2024·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 4-8．（2024高二·全国·专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求. 【答案】5 【分析】由已知可求得，然后根据已知结合椭圆的定义可推得，，即可得出答案. 【详解】 由已知，，可得，. 因为的周长为16，则. 根据椭圆定义可得，， 所以，， 所以，， 所以，. 4-9．（2024高二下·四川内江·开学考试）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，， 即. 设，所以由椭圆的定义可得：①. 因为，所以由数量积的公式可得： ，所以. 在中， 所以由余弦定理可得：②， 由①②可得：，所以. 故选：A. 4-10．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】解：设为椭圆的左焦点， 则由椭圆的定义可得： ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以△ABF周长的最大值为20. 故选：D. 题型5：椭圆上的点到焦点和定点距离的和、差最值 5-1．（2024高二·全国·课后作业）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心坐标，根据椭圆的性质可知为定值，根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可. 【详解】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为. 则椭圆的焦点为. 又,，， 故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号. 此时最大值为. 故选：C. 5-2．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值. 【详解】   设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 5-3．（2024高二上·浙江台州·期中）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可. 【详解】如图， 由为椭圆上任意一点，则， 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为， 当共线时，最大，如下图所示：， 最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键. 题型6：椭圆上的点到坐标轴上点的距离（最值）问题 6-1．（2024高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中， 由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 6-2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，利用两点间的距离公式求解. 【详解】解：设， ， ， ， 当时，取得最大值， 故答案为： 6-3．（2024·江西上饶·模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，，的坐标，得到，为椭圆的焦点，得到，从而判断出为椭圆上一点，联立方程组，即可求解. 【详解】由曲线与坐标轴的交点为，，，， 不妨设，，，. 则，为椭圆的焦点，而为椭圆上一点， 所以. 因为，所以， 又， 根据椭圆定义知点的轨迹为以C、D为焦点的椭圆， 所以轨迹方程为， 联立，消去得，则， 故点到轴的距离为. 故选：A. （三） 与椭圆有关的轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型7：求椭圆的轨迹方程 7-1．（2024高二上·全国·课后作业）设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，然后由中点坐标公式可表示出，代入椭圆方程化简可得答案. 【详解】设． 因为为线段的中点，所以， 因为，所以点的轨迹方程为． 7-2．（2024高三·全国·专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 【答案】； 【分析】首先设点和的坐标，再根据向量间的关系，采用代入法求点的轨迹. 【详解】 设，，则，， 由得.因为在C上，所以. 因此点P的轨迹为. 7-3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【答案】 【分析】先找出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系建立等式，分析即可知动圆的圆心的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，由已知得： 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径， 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知：， 两式相加得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设方程为， 则，，，，， 所以轨迹的方程为. 故答案为： 7-4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程； 【答案】. 【分析】 设，则，，，根据题意列出等式，化简求出结果即可； 【详解】 设，则，，， ，. ，即， 的轨迹为的方程为. 7-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】 【分析】由椭圆的定义直接求动点M的轨迹方程即可. 【详解】圆，圆 因为圆M与圆外切，所以， 因为圆M与圆内切，所以，， 两式相加得， 所以M的轨迹是以为焦点的椭圆，故其方程为. 一、单选题 1．（2024高二上·福建漳州·期末）点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出，再由由椭圆定义可知：，代入即可求得. 【详解】椭圆，即， 其中 由椭圆定义可知： 得， 故选：A. 2．（2024高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 3．（2024高二上·新疆伊犁·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆， 故选：B 4．（2024高三·全国·专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程. 【详解】错解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：D. 错因： 忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件. 正解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：B. 5．（2024高二上·四川南充·期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹. 【详解】因为，，所以， 所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆. 故选：A. 6．（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可. 【详解】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 7．（2024高二上·全国·课后作业）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2 【答案】C 【分析】设，由坐标表示，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值． 【详解】椭圆的左右焦点. 设，则，， ∴， 又，则. ∴ ∵点P在椭圆上，∴， ∴当时，取最小值2． 故选：C． 8．（2024高二上·河南信阳·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得. 由，得，从而，∴. ∵，∴. 故选:B 9．（2024高二上·全国·课后作业）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【分析】将三角形周长整理并结合椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长， 又过的直线交椭圆于A、B两点， 故的周长 ， 故选：D 10．（2024高二下·河南开封·期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．不能确定 【答案】C 【分析】由图形结合椭圆定义可得答案. 【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为. 故选：C 11．（2024·四川南充·一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线所过定点以及方程表示椭圆来求得的取值范围. 【详解】直线过定点， 所以，解得①. 由于方程表示椭圆，所以且②. 由①②得的取值范围是. 故选：C 12．（2024高二下·四川南充·阶段练习）方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆，列出不等式组，求出的取值范围，然后根据充分不必要条件概念即可求解. 【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且， 因为是集合且的真子集， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件， 故选：B. 13．（2024高二上·吉林松原·期末）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为的中点为，的中点为，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为， 因为的中点为，的中点为，所以， 又由，可得. 故选：B. 14．（2024高二上·山东威海·期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【分析】分焦点在上和焦点在上讨论，利用列方程求. 【详解】焦距为2，即. 当焦点在上时，，得； 当焦点在上时，，得； 综合得或. 故选：D. 15．（2024高二上·吉林·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程化为标准式，依题意求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】方程可变形为，表示焦点在轴上的椭圆，则有，解得. 易知当时，，当时未必有， 所以是的充分但不必要条件. 故选：B. 16．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即可求出，再根据，即可得解； 【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为， 即 ，又，所以， 由，所以； 故选：A 17．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线统一定义可求得，由椭圆定义可求得. 【详解】设分别为椭圆的左、右焦点，到左准线的距离为，到右准线的距离为， 由圆锥曲线的统一定义知：，解得：， 又，解得：，到它的左焦点距离为． 故选：A. 18．（2024·四川南充·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得. 故选：D. 19．（2024高二上·上海嘉定·期末）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得. 【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12， 即， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， 则，， 所以，， 故方程为. 故选：B. 20．（2024高二上·山东·期中）已知椭圆（）的一个焦点为，则（    ） A． B．3 C．41 D．9 【答案】A 【分析】根据椭圆中的关系运算求解，注意焦点所在的位置. 【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，且， 则. 故选：A. 21．（2024高二下·广东汕头·期末）已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解. 【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接， 则， 如图：    当点P在位置M时，取到最大值， 当点P在位置N时，取到最小值， 所以的取值范围是，即， 所以的最大值，最小值， 所以. 故选：C. 22．（2024·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 【答案】B 【分析】依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案． 【详解】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上， 又因为，所以，PM为圆的切线， ，所以当PF最长时，切线长PM最大． 当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为． 此时的最大值为． 故选：B． 23．（2024高三·广西钦州·开学考试）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a= A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，勾股定理和面积公式进行整理计算即可得到答案. 【详解】，，由椭圆定义，， 由⊥得， 的面积为4，则，即， ，即,解得，即， 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆的定义，离心率以及勾股定理的应用，考查学生分析推理能力，属于基础题. 24．（2024高二上·河北唐山·期末）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得. 【详解】由椭圆的方程可得，，，则， 所以 ， 当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大， 此时，. 故选：C. 25．（2024高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，由可得，进而得到，由可得，同除以即可求解. 【详解】 设的内切圆半径为， 则 ，，， 可得 . ，解得. 又因为，所以，即， 所以，即，解得（舍去负值）， 所以. 故选：A 26．（2024高二上·广东广州·期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（    ） A．14 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案. 【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，， 则为平行四边形， 的周长为， 当，为椭圆上下顶点时等号成立. 故选：C 27．（2024高二上·江苏·期中）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出． 【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则 ， 则， ， 的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号． 的周长最大值等于18． 故选：C． 28．（2024高二上·河北石家庄·期中）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意画出图形，对，由三角形三边关系可得①，同理对，可得②，两式作和，结合椭圆第一定义即可求解. 【详解】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得： ①， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 在中可得：②， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 由①②得：， 由椭圆方程可得：，即， 由椭圆定义可得：， 所以，. 故选：A. 二、多选题 29．（2024高二上·山东济南·期中）已知曲线（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【解析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误； 对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确； 对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：AD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 30．（2024高三·北京·强基计划）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【分析】 利用椭圆的定义可求的最值. 【详解】 注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为， 则， 而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为． 故选：BD. 三、填空题 31．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 . 【答案】3 【分析】设椭圆的右焦点，则根据椭圆有定义可求出，再利用三角形的中位线定理可求得答案. 【详解】设椭圆的右焦点，连接，则由，知. 又点为的中点，点为的中点，所以. 故答案为：3 32．（2024高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】② 【分析】根据椭圆的定义，以及垂直平分线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在； ②中，因为，所以点P的轨迹是线段； ③中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即. 故答案为：② 33．（天津市河西区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【答案】14 【分析】设左、右焦点为,利用椭圆的定义即得解. 【详解】设左、右焦点为, 设， 由题得 因为，所以. 所以点P与另一个焦点的距离等于14. 故答案为：14 34．（2024·云南红河·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】据题意，设， 则，得，解得， 所以，即． 故答案为： 35．（2024高二下·上海静安·期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】 先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可. 【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 36．（2024·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 【答案】6 【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果. 【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，， 所以，故焦点三角形中最大为，故有2个； 又、对应的直角三角形各有2个； 综上，使得是直角三角形的点的个数为6个. 故答案为：6 37．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为点在上， 所以有， 由，当且仅当时取等号， 故答案为：4 38．（2024高二下·上海黄浦·期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 【答案】/ 【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得. 【详解】椭圆，即，所以，，， 因为，所以点为短轴顶点，所以. 故答案为： 39．（2024高二下·江西·开学考试）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，则面积与周长的比值的最大值为 . 【答案】/0.75 【分析】根据椭圆方程求，结合椭圆的定义求的周长，结合三角形面积公式求其面积最大值，由此可得结论. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则， 因为，， 所以的周长为16， 由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大， 所以面积的最大值为， 所以面积与周长的比值的最大值为. 故答案为：． 40．（2024·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义可知，进而可得的最小值. 【详解】根据椭圆的定义：， 取得最小值时， 即最小， 如图所示：，当，，共线时取得最小值． 的最小值为：﹒ 故答案为：. 41．（2024高二上·天津和平·期中）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 . 【答案】或 【解析】点，易得点P到轴的距离为，然后分或，，三种情况结合椭圆的定义求解. 【详解】设点，则到轴的距离为， 因为，， ， 当或时， 则，得， ，即到轴的距离为． 当时， 则， ， ， ， 由（1）（2）知：到轴的距离为或， 故答案为：或． 42．（2024高二上·北京朝阳·期中）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ． 【答案】28 【详解】设椭圆的另一个焦点为 由椭圆的几何性质可知： ，同理可得，且，故,故答案为. 43．（2024高二上·吉林白城·期中）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意建立不等式，即可求得实数a的取值范围． 【详解】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，解得或， ∴实数a的取值范围是． 故答案为：． 44．（2024·上海静安·二模）已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】讨论焦点在轴和在轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出，即可得到结果. 【详解】当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，， 此时，，故舍弃. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 45．（2024高二·全国·课后作业）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 46．（2024高二·全国·课后作业）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 【答案】① 【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【详解】对于①，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且， 所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程， 对于②，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2， 所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程， 故答案为：① 47．（2024高二上·天津和平·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件结合椭圆的定义即可计算作答. 【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外， 由椭圆的定义得，因此， ，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”， 所以的最小值为1. 故答案为：1 48．（2024高三·广西柳州·阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设椭圆的左焦点为， ，计算得到答案. 【详解】设椭圆的左焦点为， ，当共线且在中间时等号成立. 故答案为： 49．（2024高二上·天津和平·期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 . 【答案】 【分析】先由椭圆的定义得到，再由余弦定理与同角平方关系求得，从而利用三角面积公式可求得，则可知点P到y轴的距离. 【详解】如图，由椭圆可得 , 所以, 则, 所以在中，， 因为, 且,所以 , 设的坐标为, 且，即，解得， 所以点到轴的距离为. 故答案为：.    50．（2024高二上·全国·课后作业）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由的三边a，b，c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭圆方程，再结合和B、A、C三点构成，可得顶点B的轨迹是此椭圆的部分，可得其轨迹方程. 【详解】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为， 所以，即， 所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆， 故椭圆方程为， 因为，所以，所以， 又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以， 所以顶点B的轨迹方程为. 故答案为： 51．（2024高二上·上海宝山·期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设圆和圆的圆心分别为，则根据椭圆的性质可知为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和可得答案. 【详解】由题设圆和圆的圆心分别为， 半径分别为，则椭圆的焦点为， ， 又，，故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号， 此时最大值为. 故答案为：. 四、解答题 52．（2024高三·全国·专题练习）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．求的方程； 【答案】 【分析】 根据已知条件可得出关于、的等式，化简后可得出曲线的方程； 【详解】动点到直线的距离为，且， 由题意知，两边平方整即得， 所以曲线的方程为. 53．（2024高二·全国·课后作业）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【答案】最小值为，最大值为11 【分析】设点P的坐标为，则，由，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为P是椭圆上一点， 所以，且椭圆焦点在y轴上， 点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为， 则， 所以， ， ， 因为， 当时，， 所以 当时， . 54．（2024高二·全国·课后作业）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程． 【答案】或 【分析】分焦点在轴上和焦点在轴上设出椭圆方程，利用长轴长是短轴长的2倍以及过点建立方程组，求出参数即可. 【详解】当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为； 当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为； 综上，椭圆方程为或. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$