第二章 有理数 单元检测卷-2024-2025学年七年级数学上学期培优全攻略（2024苏科新版）

· 2024-2025学年七年级第一学期 · 第二章 有理数 单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示．那么，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．规定10吨记为0吨，11 吨记为吨，则下列说法错误的是（        ） A．7吨记为吨 B．15吨记为吨 C．吨表示重量为6吨 D．吨表示重量为13吨 3．下列四个数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 4．下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 7．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 8．Chat GPT是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截止2024年1月Chat GPT的参数量已经超过200亿．用科学记数法表示这个数字为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．乒乓球被誉为我国的“国球”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.7克．一位质检员检验乒乓球质量时，把一个超出标准质量0.15克的乒乓球记作，那么另一个低于标准质量0.03克的乒乓球记作 ． 12．在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是 ． 13．若，，则的值为 ． 14．比较大小： （填“”，“”或“”）． 15．如图是某一天的天气预报，该天的温差是 ． 16．将数轴对折，使表示5与的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数x的点重合，则 ． 17．把写成乘方形式 ． 18．定义一种新的运算：，如：，则 ． 19．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 20．观察图形找规律．根据规律， ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21．（本题12分）计算题 (1) (2) (3) (4) 22．（本题12分）简便计算： (1) (2) (3) (4) 23．（本题4分）把下列各数，，0.121121112，0，，，填在相应的括号里： (1)正整数：{                …}； (2)非负整数：{                …}； (3)分数：{                …}； (4)负有理数：{                …}； 24．（本题6分）操作与探索： (1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数：，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 25．（本题6分）阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法③： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 26．（本题4分）某市教育局倡导全民阅读行动，琪琪同学坚持阅读，她每天以阅读分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她最近一周阅读情况的记录（单位：分）. 星期 一 二 三 四 五 六 七 与标准的差（分） (1)星期一琪琪阅读了______分钟； (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读多少分钟？ (3)求琪琪这周平均每天的阅读时间． 27．（本题6分）观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳※运算的法则： 两数进行※运算，______ 特别地，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果等于______． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 28．（本题10分）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年七年级第一学期 · 第二章 有理数 单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示．那么，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故选：A． 2．规定10吨记为0吨，11 吨记为吨，则下列说法错误的是（        ） A．7吨记为吨 B．15吨记为吨 C．吨表示重量为6吨 D．吨表示重量为13吨 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加减法的实际应用，根据题意，得到超过10吨的部分为正，不足10吨的部分为负，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意， 7吨记为吨；故A选项错误，符合题意； 15吨记为吨；故B选项正确，不符合题意； 吨表示重量为吨；故C选项正确，不符合题意； 吨表示重量为吨；故D选项正确，不符合题意； 故选A． 3．下列四个数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ，，，， 四个数中，比小的数是． 故选：A． 4．下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案． 【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 5．下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、和标错了，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 6．已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，根据，可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 故本题选：D． 7．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 8．Chat GPT是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截止2024年1月Chat GPT的参数量已经超过200亿．用科学记数法表示这个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数． 【详解】200亿， 故选：D． 9．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点，根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：翻转后数轴上点1对应的是， 数轴上点2对应的是， 数轴上点3对应的是， 数轴上点4对应的是， 数轴上点5对应的是， 数轴上点6对应的是， ， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是． 故本题选：B． 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出 及． 【详解】解： ， ， ， ； ， 故选: D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．乒乓球被誉为我国的“国球”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.7克．一位质检员检验乒乓球质量时，把一个超出标准质量0.15克的乒乓球记作，那么另一个低于标准质量0.03克的乒乓球记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义．熟练掌握正负数表示意义相反的量，是解题的关键． 【详解】解：把一个超出标准质量0.15克的乒乓球记作，那么另一个低于标准质量0.03克的乒乓球记作， 故答案为：． 12．在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据数轴上两点之间距离的计算进行分类讨论，方法列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意可得： 当点A在右边时：， 当点A在左边时：， 故答案为：或． 13．若，，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了已知一个数的绝对值，求这个数，求代数式的值． 先根据绝对值的定义，求出a的值，再将a和b的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ①当时，， ②当时，， 故答案为：2或． 14．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先求出，再根据正数大于一切负数比较即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．如图是某一天的天气预报，该天的温差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用最高温度减去最低温度列式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：该天的温差是， 故答案为：． 16．将数轴对折，使表示5与的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数x的点重合，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查数轴的折叠问题，关键是理解重合的点到折点的距离相等．由题意可知数轴沿表示1的点折叠，从而可解决问题． 【详解】解：∵使表示5与的两个点重合，且， ∴数轴沿表示1的点折叠， ∴表示的点与表示数的点重合． 故答案为：． 17．把写成乘方形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，掌握乘方的定义是解题的关键． 由乘方的定义即可得出结果． 【详解】解：根据乘方的定义可得：． 故答案为：． 18．定义一种新的运算：，如：，则 ． 【答案】36 【分析】题目主要考查新定义运算，理解新定义运算，然后代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：36． 19．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 20．观察图形找规律．根据规律， ． 【答案】 【分析】 本题考查了图形类规律探索，有理数的加减，根据已知图形找出一般规律是解题关键．根据题意发现一般规律，进而即可求解． 【详解】解：由图形可知，， ， ， 发现一般规律，， 则， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21．（本题12分）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1(2)(3)(4)2 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的乘除混合运算、有理数混合运算的简便运算、含乘方的有理数的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘除混合运算计算即可； （3）按照乘法分配律进行简便运算即可； （4）按照含乘方的有理数混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解： ． （4）解： ． 22．（本题12分）简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法交换律与结合律将小数部分相同的数结合在一起，再根据加法法则计算即可； （2）将化为，再利用乘法分配律计算即可； （3）每一项都有，逆用乘法分配律，即可计算； （4）利用加法的结合律，将相邻的两个数组成一组，得和为，共组，由此即可计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4） 23．（本题4分）把下列各数，，0.121121112，0，，，填在相应的括号里： (1)正整数：{                …}； (2)非负整数：{                …}； (3)分数：{                …}； (4)负有理数：{                …}； 【答案】(1) (2)0， (3)0.121121112，， (4)，， 【分析】题目主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键． （1）先化简多重符号，即可得出结果； （2）非负整数包括0和正整数即可； （3）分数包括有限小数、带分数等； （4）负有理数是有理数前面带有负号的都是． 【详解】（1）解： 正整数：{   …}； （2）非负整数：{0，  …}； （3）分数：{ 0.121121112，， …}； （4）负有理数：{ ，， …}． 24．（本题6分）操作与探索： (1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数：，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，1 【分析】本题考查数轴、有理数，关键是能利用数轴表示各数的大小． （1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的点A、B、C、D表示的数； （2）根据数轴上数的特点，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，准确的画出数值，3在数轴上的位置； （3）①根据数轴的知识，从数轴上找到大于并且小于3的整数；②到表示的点的距离等于2个单位长度的点可能在的左边也可能在的右边，从而找到这些点表示的数． 【详解】（1）解：A、B、C、D表示的数分别是； （2）解：如图所示： （3）解：①由数轴得，大于并且小于3的整数有5个：； ②在数轴上到表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是；． 25．（本题6分）阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法③： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 26．（本题4分）某市教育局倡导全民阅读行动，琪琪同学坚持阅读，她每天以阅读分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她最近一周阅读情况的记录（单位：分）. 星期 一 二 三 四 五 六 七 与标准的差（分） (1)星期一琪琪阅读了______分钟； (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读多少分钟？ (3)求琪琪这周平均每天的阅读时间． 【答案】(1)34 (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读分钟 (3)琪琪这周平均每天阅读的时间为分钟 【分析】本题考查了正数与负数的意义以及有理数的混合运算，正确理解正数与负数的意义是解题的关键． （1）列出算式，再求出即可； （2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可； （3）先求出读书的总时间，再除以即可． 【详解】（1）解：（分钟）， 即星期一琪琪阅读了分钟， 故答案为：； （2）琪琪读得最多的一天是星期六，最少的一天是星期三， （分钟）， 即琪琪读得最多的一天比最少的一天多了分钟； （3）解：（分钟）， （分钟）， 琪琪这周平均每天读书的时间为分钟． 27．（本题6分）观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳※运算的法则： 两数进行※运算，______ 特别地，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果等于______． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 【答案】(1)同号两数运算取正号，再把绝对值相加；异号两数运算取负号，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2)23． 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的例子可以将题目中的空填写完整； （2）根据（1）中的结论可以解答本题． 【详解】（1）解：根据题目中的例子观察，可知：两数进行运算时， 同号两数运算取正号，再把绝对值相加， 异号两数运算取负号，再把绝对值相加， 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的绝对值， 故答案为：同号两数运算取正号，再把绝对值相加；异号两数运算取负号，再把绝对值相加； 等于这个数的绝对值； （2）解：． 28．（本题10分）探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据定义得出法则即可； （2）根据法则计算即可； （3）根据法则和非负数的性质，即可证得． 【详解】（1）解：归纳⊕运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和进行运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2） （3）当时，， 根据法则：，根据非负数的性质，只有时，． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$