专题3.9 圆中常用辅助线的作法【八大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题3.9 圆中常用辅助线的作法【八大题型】 【浙教版】 【题型1 遇弦连半径构造三角形】 1 【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 2 【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】 4 【题型4 遇切线作过切点的半径】 5 【题型5 遇90°的圆周角连直径】 6 【题型6 转移线段】 7 【题型7 构造相似三角形】 9 【题型8 四点共圆】 11 【题型1 遇弦连半径构造三角形】 【例1】（2024·陕西渭南·三模）如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为，，求的长． 【变式1-1】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，AB是的直径，弦，垂足为点P，若，，则的直径为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 【变式1-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F． (1)写出图中一个与相等的角∶ ； (2)求证∶ (3)若 ， 求的半径． 【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F． (1)求证：． (2)当F为的中点时，求证：． 【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 【例2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（　　） A．3 B． C．2 D．3 【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（   ） A． B． C．5 D． 【变式2-2】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程 是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）. 【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】 【例3】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：． 【变式3-1】（2024九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．    (1)求证：； (2)若，求的直径． 【变式3-2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【题型4 遇切线作过切点的半径】 【例4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)的半径是3，，求的长． 【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)如图①，若为的中点，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，求证：． 【变式4-3】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．    (1)求证：； (2)求的半径长． (3)求线段的长． 【题型5 遇90°的圆周角连直径】 【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，矩形内接于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 【变式5-3】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 【题型6 转移线段】 【例6】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【变式6-1】（2024九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆与、分别相交于点P、Q，则线段长度的最小值是 ．    【变式6-2】（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【题型7 构造相似三角形】 【例7】（2024·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于，为直径，平分，，与交于点E， 延长交于点 F．    (1)直接写出线段与线段的数量关系； (2)求证：； (3)设的面积为，的面积为，求的值． 【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C． (1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程． (2)如图2，当B、C重合于一点时，______． (3)如图3，当平分时，______． 【变式7-2】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)当点在上，连接交于点，若，求的值； (3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长． 【变式7-3】（2024九年级上·上海·专题练习）已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且． (1)如图1，如果平分，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 【题型8 四点共圆】 【例8】（2024九年级上·北京海淀·阶段练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接． （1）用等式表示线段与的数量关系：______； （2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、． ①在图2中，依据题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系并证明． 【变式8-1】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【变式8-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【变式8-3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到． (1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长； (2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：； (3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.9 圆中常用辅助线的作法【八大题型】 【浙教版】 【题型1 遇弦连半径构造三角形】 1 【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 8 【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】 12 【题型4 遇切线作过切点的半径】 18 【题型5 遇90°的圆周角连直径】 25 【题型6 转移线段】 29 【题型7 构造相似三角形】 37 【题型8 四点共圆】 48 【题型1 遇弦连半径构造三角形】 【例1】（2024·陕西渭南·三模）如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）利于等边对等角的性质得到，，利用三角形的内角和得到，即可得到，再由圆周角的性质等量代换即可； （2）连接，由垂径定理推出，，利用勾股定理建立式子运算出的长，再利用中位线定理即可推出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，则，如图所示： ∵， ∴， ∴，， 在中，，在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴为的中位线， ∴． 【变式1-1】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，AB是的直径，弦，垂足为点P，若，，则的直径为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 【答案】A 【分析】连接OC，由垂径定理可得CP=PD=4，然后再根据勾股定理可得OC，进而问题可求解． 【详解】解：连接OC，如图所示： ∵，， ∴CP=PD=4， ∵， ∴在Rt△CPO中， ， ∴的直径为10； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【变式1-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F． (1)写出图中一个与相等的角∶ ； (2)求证∶ (3)若 ， 求的半径． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)的半径为 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质； （1）根据圆周角可得； （2）延长交于，根据垂径定理的推论可得，，即可由得到，进而得到，由三线合一即可得到 （3）连，由勾股定理求得，进而依次得到，，，再求出，最后在中利用勾股定理求半径即可． 【详解】（1）由圆周角可得：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）延长交于， ∵延长交于点F ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）连， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 中，， ∴ 解得， ∴的半径为． 【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F． (1)求证：． (2)当F为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，交于点N，根据E为的中点，可得，即有，再根据，可得，进而可得，即可证明； （2）连接，在中，有，即，再由E为的中点，可得，进而可得，即可证明，问题随之得证． 【详解】（1）连接，交于点N，如图， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，如图， ∵在中，F为的中点， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，且在（1）已证明， 即． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，作出合理的辅助线，掌握垂径定理是解答本题的关键． 【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 【例2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（　　） A．3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】作于，于，连接，，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出和证明四边形是正方形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于，连接，． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明． 【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长． 【详解】解：连接，则，过点O作交于点D， ∵若， ∴， 则= ∴． 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程 是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）. 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解． ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据，得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； （2）解：①，理由如下： 作于，延长交于，连接， ， ， ， ， ， 是“勾系方程”， ， ； ， ； ， ， ， ， ． ②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形， ∴， ∵，则 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． 【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】 【例3】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据垂径定理得到，于是得到结论； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 是的直径，， ， ， 故的度数为； （2）证明：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（2024九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．    (1)求证：； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵为的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：设交于点T，如图，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即的直径为5； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题． 【变式3-2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解． 【详解】解：中，，，， 连接，由以为直径作，，， ，， 动点在以为直径的圆上运动，为圆心， 当，，在一直线上时， 即的最小值为 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值， ∵是直径， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， 又∵，且点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键． 【题型4 遇切线作过切点的半径】 【例4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形性质求得，根据切线的性质得到，再证明，再列出方程求解即可． 【详解】解：连接， 由题意可得，是的垂直平分线， ， 设， ，， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)的半径是3，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为4 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识． （1）连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，又由得到，则，利用直角三角形性质即可得到答案； （2）连接，由圆周角定理得到，再证明，在中，根据勾股定理得，，设，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，， 根据勾股定理得， 设，由，得， 解得， ∴的长为4． 【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)如图①，若为的中点，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解答 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接，如图①，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，所以，然后利用互余得到的度数； （2）连接，如图②，根据垂径定理得到，再利用等角的余角相等得到，加上，从而得到． 【详解】（1）解：连接，如图①， 与相切于点， ， ， 为的中点， ， ， 在中，， ， 点为的中点， ， ， ； （2）证明：连接，如图②， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ． 【变式4-3】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．    (1)求证：； (2)求的半径长． (3)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据切线的性质及证得，可证，再利用角的等量代换即可求证结论； （2）设，则，，在和中，分别利用勾股定理即可求解； （3）在和中，利用勾股定理得，，再利用相似三角形的判定及性质即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   ，是的切线， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：由（1）得：， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，设， 则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 即的半径为3． （3）解：在和中，根据勾股定理得： ， ， ，， ， ，即：， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质：作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型5 遇90°的圆周角连直径】 【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据推出，再证明，，进而证明，即可证明． （2）先证明是的直径，得到．由（1）可得．在中求出；在中，． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， ． ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ． （2）解：如图，连接． ， 是的直径， ． 由（1）可得． ， ． 在中，； 在中，． 【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，矩形内接于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接，根据内接矩形的性质可得是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得，可得是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径，点是线段的中点， ∴在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故选：B ． 【变式5-2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为2和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ∴是四边形的外接圆直径， ∵正方形的边长为2， ∴四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 【变式5-3】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，   为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：5． 【题型6 转移线段】 【例6】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解． 【详解】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 【变式6-1】（2024九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆与、分别相交于点P、Q，则线段长度的最小值是 ．    【答案】// 【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、， ∵圆F与相切， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，为圆F的直径， ∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键． 【变式6-2】（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 【题型7 构造相似三角形】 【例7】（2024·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于，为直径，平分，，与交于点E， 延长交于点 F．    (1)直接写出线段与线段的数量关系； (2)求证：； (3)设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等角，等弧，等弦，即可得出结论； （2）根据同弧所对的圆周角相等，利用证明即可； （3）过点作，圆周角定理得到，勾股定理得到，证明，得到，根据同底三角形的面积比等于高线比，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接，则：，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵为直径， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）过点作，则    ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C． (1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程． (2)如图2，当B、C重合于一点时，______． (3)如图3，当平分时，______． 【答案】(1)；过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）连接、，证明，得出，求出． （2）连接，根据当B、C重合于一点时，与相切于点C，得出，求出． （3）连接，根据角平分线定义得出，证明，，得出，即，求出，，即可求出结果． 【详解】（1）解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：连接，如图所示： ∵当B、C重合于一点时，与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式7-2】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)当点在上，连接交于点，若，求的值； (3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）设与相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到，进而得到，由平行线的性质推导得，，，最后由点A关于的对称点为E得到即可证明． （2）过F点作于点K，设与交于点N，连接，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解． （3）分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点M， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点A关于的对称点为E， ∴， ∴． （2）解：过F点作于点K，设与交于点N，连接，如下图所示： 由同弧所对的圆周角相等可知：， ∵为的直径，且，由垂径定理得：， ∴， ∵点A关于的对称点为E， ∴， ∴，即， ∴， 由同弧所对的圆周角相等得：，且， ∴，   ∴， ∵，与交于点N， ∴． ∵，， ∴， ∴， 设， ∵点A关于的对称点为E， ，，， 又， ∴，   ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：分类讨论如下： 如图，当时，连接，，设，则， ∵， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， ； 如图，当时，连接，， 设， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，满足条件的的长为或， 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式7-3】（2024九年级上·上海·专题练习）已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且． (1)如图1，如果平分，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）如图2中，作于，于，设．首先证明，解直角三角形求出，（用表示）即可解决问题． （3）由，推出，分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， 平分， ， ， ，， ， ， ∴， ， ． （2）解：如图2中，作于，于，设． ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ． （3）解：如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 解得或（舍弃）， ． 如图中，当时，可得是等腰直角三角形， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 【题型8 四点共圆】 【例8】（2024九年级上·北京海淀·阶段练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接． （1）用等式表示线段与的数量关系：______； （2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、． ①在图2中，依据题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2）①画图见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可． （2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：（1）BF＝， 理由是：如图1，连接BG，CG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC， ∵EF⊥BC，FE＝FC， ∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°， ∴∠ACE＝90°， ∵点G是AE的中点， ∴EG＝CG＝AG， ∵BG＝BG， ∴△AGB≌△CGB（SSS）， ∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°， ∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG， ∴△EFG≌△CFG（SSS）， ∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°， ∵∠BFE＝90°， ∴∠BFG＝45°， ∴△BGF为等腰直角三角形， ∴BF＝FG． 故答案为：BF＝FG； （2）①如图2所示， ②；理由如下： 如图2，连接BF、BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∵AF＝AF， ∴△ADF≌△ABF（SAS）， ∴DF＝BF， ∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点， ∴AG＝EG＝BG＝FG， ∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上， ∵，∠BAC＝45°， ∴∠BGF＝2∠BAC＝90°， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴BF＝FG， ∴DF＝FG． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点． 【变式8-1】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴当有最大值时，有最大值， ∵， ∴点A、C、B、P四点共圆， 若有最大值，则应为直径， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌握四点共圆的性质是解题的关键． 【变式8-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点， ∴AG=DG=EG 又∵AG=FG ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点， ∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB， ∴四边形NAMF是正方形 ∴AN=AM=FN= 又∵， ∴ ∴△NFD≌△MFE ∴ME=DN=AN-AD= ∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 【变式8-3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到． (1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长； (2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：； (3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积是1 【分析】（1）构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理和含角的直角三角形的性质分别求出和，即可求解； （2）分别过点B和点F向作垂线，构造矩形和全等的三角形，再利用全等三角形的性质转化边的关系，即可求证； （3）先利用四点共圆得到点A、R、B、C在以为直径的圆上，得出四边形是正方形，再证明，求出，再证明得到，进而求解． 【详解】（1）如图①，过A点作于G， ∵将绕点D顺时针旋转到， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过F点作于，过点B作于J， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）的面积是1 如图3，连接， ∵，， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A、R、B、C在以为直径的圆上， ∴当时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为，此时，是直径， 由，， 此时，四边形是正方形，如图4所示， ∴， 由翻折知： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过D点作，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、旋转的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是正确做出辅助线，本题综合性较强，对学生综合分析问题的能力要求较高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$