专题13.7 三角形中的边角关系、命题与证明单元提升卷-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元提升卷 【沪科版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系. 2．（3分）（23-24八年级·广东肇庆·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可． 【详解】∵三角形的外角中有一个角是锐角， ∴与这个外角相邻的内角是钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键． 3．（3分）（23-24八年级·山东临沂·阶段练习）在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 4．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 5．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图,一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形,点A与点B在两个格点上,问在格点上是否存在一个点,使△ABC的面积为2,这样的点有________个. A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】本题考查三角形面积知识的灵活应用．设第三个点为C，若点C与点A在一条竖线上，因为点B到点A所在竖线距离为2，三角形面积也是2，所以线段AC距离为2，则点C可以在点A上方或下方两个位置；同样地，点B的上方和下方也各有一个；同理若点C与点A在一条横线上，则线段AC长度应为4，故点C在A左右距离为4各有一点，根据题意，此两点不存在，但点B左边距离为4有一点，根据题意右边不存在．故点A上下各一点，点B上下各一点，左边有一点，共5个点． 6．（3分）（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据是边上的高，，即可得到，依据 ，平分，即可得到，再依据是的平分线，得到，可得，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：． 7．（3分）（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出，再根据题意总结出规律，即可得到答案． 【详解】解：是的一个外角， ， 的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， 的度数为整数，， 的最大值为． 故选B． 8．（3分）（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 9．（3分）（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，    设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长得到三角形，进行角度的转换，用表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键． 10．（3分）（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可． 【详解】解：①设点A、B在直线上， ∵、分别平分的内角，外角， ∴平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确． ②∵、分别平分的内角、外角， ∴， ∴，故②正确． ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确． ④∵ ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的的稳定性，可以达到保持门框的稳定性． 【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性． 故填：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题． 12．（3分）（23-24八年级·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 13．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积，注意：同底（等底）同高（等高）的两个三角形的面积相等，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比．根据三角形中线的性质得出，，设，用含的代数式表示、、的面积，从而列出，求解即可． 【详解】解：点是的中点， ，， 的面积为3， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的面积为8， 故答案为：8． 14．（3分）（23-24八年级·安徽宣城·期中）已知、、是的三边，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】∵ 、、是的三边 ∴，， 即，， ∴原式= = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键． 15．（3分）（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答． 【详解】解：延长交于点M，如图， 在中，三边所在的高交于一点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键． 由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴ ， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a． (1)求a的取值范围； (2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，三角形的周长最大为 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案； （2）由（1）取最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知 ， 即， ∴a的取值范围是； （2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数， ∴当时，三角形的周长最大， 此时周长为：， ∴周长的最大值是23． 【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 18．（6分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4) 【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可； （2）连接C点与的中点即可； （3）取格点，满足，连接交的延长线于即可； （4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，取格点，满足，连接交的延长线于， 则线段即为所求； （4）解：， ∴． 即线段扫过的面积为16． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键． 19．（8分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识． （1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，接着计算出，然后计算即可． 【详解】（1） 为边上的高，的面积为24， ， ， 为边上的中线， ； （2） ，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 20．（8分）（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在上，点在上，交于F．已知交于，平分，交于H． (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，由平分得到，进而由得到； （2）由三角形的外角性质得到，然后结合得到，再结合和三角形的内角和求得的度数． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 又， ； （2）解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是熟知平行线的性质求得的度数． 21．（8分）（23-24八年级·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直定义，得到，根据三角形内角和定理，结合即可得证； （2）①根据角平分线的定义，得到，在和中，根据三角形外角性质，结合，可得结论；②根据角平分线的定义，证明,得到，得到，根据，得到，即得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，且， ∴； （2）①∵平分， ∴， ∵，，且， ∴； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知，． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．熟练掌握三角形角平分线的定义，垂直定义，三角形的内角和定理，平角性质，直角三角形的两个锐角性质，三角形的外角性质，是解题的关键． 22．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．    (1)如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； (2)如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 【答案】(1)①，②大小发生变化，随着的增大而减小 (2)或． 【分析】（1）①根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理，即可求解； ②同①的方法根据三角形的内角和定理求得，即可求解． （2）连接，根据三角形的角平分线交于一点可得是的角平分线，进而根据题意分类讨论，求得，根据角平分线的定义，以及折叠的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵于点， ∴， ∵，、分别是和的角平分线， ∴ ∴    ②∵于点， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴ ∴ ∴随着的增大而减小； （2）解：∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴ 连接，如图所示， ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴是的角平分线， ∵折叠， ∴是的角平分线，      ①当时，则， ∵ ∴，故此情形不存在，同理可得不存在 ②当时， 则， ∴， ∴， ③当， 则， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形角平分线的应用，折叠的性质，分类讨论是解题的关键． 23．（8分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元提升卷 【沪科版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 2．（3分）（23-24八年级·广东肇庆·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．（3分）（23-24八年级·山东临沂·阶段练习）在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 5．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图,一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形,点A与点B在两个格点上,问在格点上是否存在一个点,使△ABC的面积为2,这样的点有________个. A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．（3分）（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（3分）（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（3分）（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 9．（3分）（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 10．（3分）（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是 ． 12．（3分）（23-24八年级·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 13．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ． 14．（3分）（23-24八年级·安徽宣城·期中）已知、、是的三边，则化简的结果是 ． 15．（3分）（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 16．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F．若中有两个角相等，则 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a． (1)求a的取值范围； (2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 18．（6分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 19．（8分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 20．（8分）（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在上，点在上，交于F．已知交于，平分，交于H． (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 21．（8分）（23-24八年级·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 22．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．    (1)如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； (2)如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 23．（8分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$