第二十三章 旋转 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十三章 旋转 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·西藏拉萨·阶段练习）已知点的坐标是，点关于原点对称的点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·天津东丽·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为（　　） A．5 B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等腰直角三角形，，点D为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则面积的最大值为（　　） A．3 B． C．4 D． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边三角形中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，则线段的长为（    ）    A． B．4 C． D． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（22-23九年级下·山东威海·期中）如图，正方形的顶点，在坐标轴上，将正方形绕点第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若点在轴上，则点关于原点对称点的坐标是 ． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）将直角坐标系中的点绕原点O沿顺时针方向旋转，最终得到的点的坐标为 ． 14．（2024·北京·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 15．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 16．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则 18．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（22-23九年级上·山东·开学考试） 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 20．（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点对称的． (2)平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转某个角度可得到，则这个旋转中心的坐标是______ ． 21．（2024·贵州贵阳·一模）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：    (1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 22．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转度得到的，且点是点的对应点，点在上． (1)________； (2)线段的长一定等于哪条线段？为什么？ (3)求旋转角的大小（给出推理过程）． 23．（22-23八年级上·江西·阶段练习）问题 （1）如图1，在中，，D为上一点（不与端点重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．证明：． 探索 （2）如图2，和中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探之间的数量关系，并证明你的结论． 应用 （3）如图3，在四边形中，，若，求的长． 24．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数是______． ②若，求线段的长是多少？ 25．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 26．（2024·四川眉山·一模）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段之间满足的等量关系式为 ． 探索：如图②，在与中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2．（22-23九年级上·西藏拉萨·阶段练习）已知点的坐标是，点关于原点对称的点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标是 ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选：． 3．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题． 【详解】解：根据题意可得，且， ． 故选B． 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，，证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点的坐标是，若点的坐标为， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得，再由旋转性质得，，然后利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（22-23九年级上·天津东丽·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可． 【详解】解：， 在中， 由旋转的性质得 在 中， 故选：B． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等腰直角三角形，，点D为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则面积的最大值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数的性质等知识点，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键． 如图：过点E作交的延长线于N，根据证得，得出，根据三角形三边关系可得，设，则，根据三角形面积公式得到二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点E作交的延长线于N， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为． 故选：D． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边三角形中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，则线段的长为（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长． 【详解】解：∵在等边中，，D是的中点， ∴，， ∴． ∵将绕点A旋转后得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点， 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， ． 故选：B 10．（22-23九年级下·山东威海·期中）如图，正方形的顶点，在坐标轴上，将正方形绕点第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点的坐标可得，由正方形的性质可得，，从而得到，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，由将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，得到相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，由可得点的坐标每8次一个循环，再由可得点和重合，从而得解． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是正方形， ，， ， 如图，连接， 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到， ， 点的坐标每8次一个循环， ， 点和重合， 由图可得：， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、点的坐标规律的探索，熟练掌握以上知识点，得到点的坐标每8次一个循环是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若点在轴上，则点关于原点对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点以及原点对称的点的坐标，根据在y轴的对点的坐标特点横坐标为零，可得a的值，然后再根据关于原点对称，横纵坐标都相反可求出答案. 【详解】解：点在轴上， ∴， ∴，， ∴, ∴点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：. 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）将直角坐标系中的点绕原点O沿顺时针方向旋转，最终得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形，利用全等三角形的判定与性质可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴, ∴点B的坐标为， 故答案为：． 14．（2024·北京·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，注意分类讨论思想的应用． 根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，或，由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论． 【详解】解：当B点在A点的右边时，如图1， ∵与x轴平行且，， ∴，即， ∵对角线的中点在坐标原点， ∴点A、C关于原点对称， ∵四边形为平行四边形， ∴点B、D关于原点对称， ∴； 当B点在A点的左边，如图2， 同理可得，则． 故点D的坐标为或． 故答案为：或． 16．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算，根据旋转的性质，得出，，推出，根据勾股定理计算即可，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为，为边上一点，， ∴，， ∴， ∵绕着点逆时针旋转后与重合， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可得，，，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出是直角三角形，然后由勾股定理得出，求出、的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 由旋转的性质得，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（22-23九年级上·山东·开学考试） 如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出是等边三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， 又， 是等边三角形， ， ． 20．（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点对称的． (2)平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转某个角度可得到，则这个旋转中心的坐标是______ ． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】根据中心对称的性质即可得到结论； 根据平移的性质即可得到结论； 根据旋转的性质即可得到结论． 本题考查了作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知：这个旋转中心的坐标是． 故答案为：． 21．（2024·贵州贵阳·一模）已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影：    (1)在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． (2)在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一）    （2）解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一）    22．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转度得到的，且点是点的对应点，点在上． (1)________； (2)线段的长一定等于哪条线段？为什么？ (3)求旋转角的大小（给出推理过程）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）根据旋转的性质求解即可； （2）先求出，再由旋转的性质得到，则是等边三角形，进而可得； （3）根据等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵可以看做是由绕点顺时针旋转度得到的，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵在，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴． 23．（22-23八年级上·江西·阶段练习）问题 （1）如图1，在中，，D为上一点（不与端点重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．证明：． 探索 （2）如图2，和中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探之间的数量关系，并证明你的结论． 应用 （3）如图3，在四边形中，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为4 【分析】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意推出即可求证； （2）连接，由（1）可得，进而得，，可推出，；结合即可求证； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．可证，根据求出即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， 即：， ∵， ∴； （2）解：；连接，如图所示： 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． 则是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数是______． ②若，求线段的长是多少？ 【答案】探究：成立；应用：①；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质； 探究：只需要利用证明即可证明； 应用：①由等腰直角三角形的性质得到，再证明即可得到； ②先由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，，则，，则根据计算即可． 【详解】探究：成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ，， 由旋转的性质可得， ， ； 应用：①和都是等腰直角三角形， ，， ， ，，， ， ； 故答案为：； ②， ， ， ，， ，； ． 25．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 26．（2024·四川眉山·一模）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段之间满足的等量关系式为 ． 探索：如图②，在与中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】问题：；探索：，理由见解析；应用：6 【分析】（1）问题：证明，根据全等三角形的性质解答； （2）探索：连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）应用：过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）问题：， 理由如下：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）探索：， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）应用：过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$