15.3 分式方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 即小于 1 的正数可以用科学记数法表示为 a× 10-n 的形式,其中 1≤a<10,n 是正整数. 问题 3　 对于一个小于 1 的正小数,如果小数点后 至第一个非 0 数字前有 8 个 0,用科学记数法表示这 个数时,10 的指数是多少? 如果有 m 个 0 呢? 解:如果小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0,用 科学记数法表示这个数时,10 的指数是-9,如果 有 m 个 0,10 的指数是-(m+1) . 【知识归纳】 1. 用科学记数法表示大于 10 的正数时,表示为 a× 10n,其中 1≤a<10,n 为原数整数位少 1 的整数. 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数时,表示为 a× 10-n,其中 n 为原数左起第 1 个不为 0 的数字前面 所有 0 的个数(包含小数点前的那个 0),1 ≤a <10. 三、例题精讲 1. 计算: (1)(3x2y-2) -3; (2)(2m2n-2) 2·3m-3n3; (3)(a2b-3) -2·(a-2b3) 2; (4)a-2b2·( -2a2b-2) -2 ÷(a-4b2) . 解:(1)原式= 3-3x-6y6 = y 6 27x6 ; (2)原式= 12mn-1 = 12m n ; (3)原式=a-4b6·a-4b6 =a-8b12 = b 12 a8 ; (4) 原式 = ( - 2 ) -2a-2b2 · a-4b4 · a4b-2 = 2-2a-2b4 = b 4 4a2 . 2. 纳米(nm)是非常小的长度单位, 1nm = 10-9m. 把 1nm3 的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到 地球上. 1mm3 的空间可以放多少个 1nm3 的物体 (物体之间的间隙忽略不计)? 解:1mm = 10-3m,1nm = 10-9m. (10-3 ) 3 ÷ ( 10-9 ) 3 = 10-9 ÷ 10-27 = 10-9-(-27) = 1018,故 1mm3 的空间可以放 1018 个 1nm3 的物 体. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 负整数指数幂的运算. 2. 整数指数幂的运算. 3. 用科学记数法解决问题. 反思:进行简单的整数范围内的幂运算. 学会用科学 记数法表示一些绝对值小于 1 的数. 15. 3　 分式方程 第 1 课时　 分式方程 一、情境导入 　 　 甲、乙两名同学同时从学校出发,去 15 km 外的 景区游玩,甲比乙每小时多行 1 km,结果比乙早到 半小时,甲、乙两名同学每小时各行多少千米? 设甲 同学每小时行 x km,你能列出相应的方程吗? 这个 方程是我们以前学过的方程吗? 如果不是,你能给 它取个名字吗? 你能解这个方程吗? 学生讨论回答:列方程: 15 x-1 -15 x = 1 2 . 　 　 这个方程与以前学过的方程不一样,这节课我 们来学习这类方程. 【教学与建议】 教学:让学生经历从实际问题中抽象、概括得出分式 方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型在 解决实际问题中的作用. 建议:要给学生一定的思考时间,让学生积极投入问 题情境中. 二、类比导入 解方程:x -1 3 = 2 5 . (同学们动手计算,解得 x= 11 5 ) 解方程的基本思路: 含有分母的方程 去分母 转化 → 不含分母的方程 提问:(1)这是什么方程? (2)有什么特点? (3)解 这个方程的基本步骤是什么? 　 　 前面我们学过分式,如果将方程x -1 3 = 2 5 中的分 母 3 换成 x,那方程会变成怎样的呢? (要求学生书 写:x -1 x = 2 5 ) 　 　 所得到的方程x -1 x = 2 5 与 x-1 3 = 2 5 比较,在分母 上有什么不同? 你会怎样去解这个方程呢? 解分式方程的基本思路 去分母 转化 → 整式方程 【教学与建议】 教学:从方程的解法去渗透方程及解方程的思想,通 过形式的变化引申类比分式方程. 建议:教学主要以学生活动为主,老师只要做适当的 辅助. 85 命题角度 1　 分式方程的定义 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】判断分式方程,主要是看分母中是否含有 未知数,必须是表示未知数的字母. 1. 下列不是分式方程的是( B ) A. x -1 2x +5 = 7 -x 6x 　 　 　 　 B. 3x 2π +1 = 2x -5 3 C. 1 x-1 = 4 x D. x 2 x = 1 命题角度 2　 解分式方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】解分式方程要注意:(1)解分式方程是把 分式方程转化为整式方程求解;(2)解分式方程一定 要注意验根. 2. 方程 x x-1 = x-1 x+2 的解是　 x= 1 4 　 . 命题角度 3　 由分式方程的解确定字母的取值范围 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】先解分式方程,然后再依据解的取值范围 建立关于未知字母的不等式,从而求出未知字母的取 值范围,注意分母不为零. 3. 若关于 x 的分式方程 x +m 4-x2 + x x-2 = 1 无解,则 m 的值 是( A ) A. m= 2 或 m= 6 B. m= 2 C. m= 6 D. m= 2 或 m= -6 一、教学目标 1. 理解分式方程的概念. 2. 了解解分式方程的一般步骤,熟练掌握分式方程的 解法. 二、教学重难点 重点:分式方程的解法. 难点:分式方程的解题步骤及验根. 一、知识回顾 1. 含有一个未知数,并且未知数的指数是 1 的整式 方程叫做一元一次方程. 2. 解一元一次方程的一般步骤有:去分母、去括号、 移项、合并同类项、系数化为 1. 3. 一艘轮船在静水中的最大航速为 30km / h,它以最 大航速沿江顺流航行 90km,所用时间与以最大航 速逆流航行 60km 所用时间相等,江水的流速为 多少? 怎么列方程? 解:如果设江水流速为 vkm / h,则轮船顺流航行 90km 所用时间为 90 30+v h,逆流航行 60km 所用 时间 为 60 30-v h; 根 据 题 意, 得 到 方 程 90 30+v = 60 30-v . 二、探究新知 定义:分母中含未知数的方程叫做分式方程. 问题 1　 如何解方程 90 30+v = 60 30-v ①? 【分析】我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的 解法,但是分式方程的分母中含未知数,能否将分式 方程化为整式方程呢? 我们自然会想到通过“去分 母”实现这种转变,把方程的两边乘最简公分母可化 为整式方程,解这个整式方程可得到方程的解. 解:方程 90 30+v = 60 30-v 两边乘(30+v)(30-v),得 90(30 -v)= 60(30+v),解得 v= 6. 检验:将 v = 6 代入方 程中,左边 = 5 2 = 右边,因此 v = 6 是分式方程的 解. 由上可知,江水的流速为 6km / h. 【知识归纳】 1. 分母含有未知数的方程叫做分式方程. 2. 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方 程,具体做法是“去分母”,即方程的两边乘最简 公分母. 问题 2　 讨论下面这个分式方程: 1 x-5 = 10 x2 -25 ②. 解:两边同时乘最简公分母(x+5)(x-5), 得整式方程 x+5 = 10. 解得 x= 5. 当 x= 5 时,代入原方程检验,分母的值都为 0,对 应的分式无意义,这个方程无解. 问题 3　 上面两个分式方程中,为什么 90 30+v = 60 30-v ① 去分母后所得整式方程的解就是原方程的解,而 1 x-5 = 10 x2 -25 ②去分母后所得整式方程的解却不是原 方程的解呢? 解:解分式方程去分母时,方程两边要乘同一个含未 知数的式子(最简公分母) . 方程①两边乘(30+v) (30-v) 得到整式方程,它的解 v = 6. 当 v = 6 时, (30+v)(30-v) ≠0,这就是说,去分母时,①两边 95 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 乘了同一个不为 0 的式子,因此所得整式方程的 解与①的解相同. 方程②两边乘(x-5) (x+5),得到整式方程,它的 解 x= 5. 当 x= 5 时,(x-5) (x+5) = 0,这就是说, 去分母时,②两边乘了同一个等于 0 的式子,这时 所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象,因 此这样的解不是②的解. 【知识归纳】 解分式方程时,去分母后所得的整式方程的解有可 能使原方程中分母为 0,因此解分式方程需验根. 将 整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的 值不为 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则, 这个解不是原分式方程的解. 三、例题精讲 1. 解方程 2 x-3 = 3 x . 解:方程两边乘 x(x-3),得 2x= 3x-9,解得 x= 9. 检验:当 x = 9 时,x(x-3) ≠0. 所以,原分式方 程的解为 x= 9. 2. 解方程 x x-1 -1 = 3 (x-1)(x+2) . 解:方程两边乘(x-1)(x+2), 得 x(x+2) -(x-1)(x+2)= 3,解得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,( x-1) ( x+2) = 0,因此 x = 1 不是原分式方程的解,所以,原分式方程无解. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 分式方程的概念. 2. 分式方程的解法. 反思:理解分式方程验根的必要性,掌握解分式方程 验根的方法. 第 2 课时　 列分式方程解应用题 一、类比导入 活动内容:请同学们完成下列问题. 问题 1　 小颖的爸爸今年 47 岁,比小颖年龄的 3 倍 还大 2 岁. (1)如果设小颖今年 x 岁,x 所满足的关系式是　 3x +2 = 47　 . (2)这个关系式我们叫做一元一次方程. (3)列一元一次方程解应用题的一般步骤是 　 (1) 审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答　 . 问题 2 　 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器,现在生产 600 台机器所需时间与原计划生 产 450 台机器所需时间相同,现在每天生产多少台 机器? (只列方程) (1)设现在每天生产 x 台机器,得出关系式是　 600 x = 450 x-50 　 . (2)这个关系式叫做　 分式方程　 . 【教学与建议】 教学:通过列出一元一次方程,回顾列一元一次方程 解应用题的一般步骤,类比导入列分式方程解应 用题. 建议:问题 1 让学生口答,问题 2 先思考再小组讨论 导入课题. 二、复习导入 活动内容: 1. 解方程:(1)x -2 x - 3 x-2 = 1;(2)x -2 x+3 - 3 x-3 = 1. 2. 解分式方程的一般步骤. 3. 列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步? 【教学与建议】 教学:回顾解分式方程的步骤和列一元一次方程解 应用题的一般步骤. 建议:1 由两名学生在黑板上完成,完成后回答其余 两个问题. 命题角度 1　 由实际问题抽象出分式方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】理解题意是解答应用题的关键,找出题中 的等量关系,抽象出分式方程. 1. 随着 5G 网络技术的发展,市场对 5G 产品的需求越 来越大,为满足市场需求,某大型 5G 产品生产厂家 更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新 技术前多生产 30 万件产品,现在生产 500 万件产品 所需的时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时 间相同,设更新技术前每天生产 x 万件,依据题意 得( B ) A. 400 x-30 = 500 x B. 400 x = 500 x+30 06 C. 400 x = 500 x-30 D. 400 x+30 = 500 x 命题角度 2　 利用分式方程解决销售问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】解决销售问题的关键是注意调价前价格 与调价后价格的差价,然后利用单价 = 总价÷总量的 关系式列出等式即可. 2. 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售,第一次用 1 200 元购进若干千克,并以每千克 8 元出售,很快售 完. 由于水果畅销,第二次购买时,每千克的进价比第 一次提高了 10%,用 1 452 元所购买的数量比第一次 多 20 kg,以每千克 9 元售出 100 kg 后,因出现高温天 气,水果不易保鲜,为减少损失,便降价 50%售完剩余 的水果. (1)求第一次水果的进价是每千克多少元? (2)该果品店在这两次销售中,总体上是盈利还是亏 损? 盈利或亏损了多少元? 解:(1)设第一次购买的单价为 x 元,则第二次的单价 为 1. 1x 元, 根据题意,得1 452 1. 1x = 1 200 x +20,解得 x= 6. 经检验,x= 6 是原方程的解,且符合题意. 答:第一次水果的进价是每千克 6 元; (2)第一次购买水果 1 200÷6 = 200(kg), 第二次购买水果 200+20 = 220(kg) . 每一次赚钱为 200×(8-6)= 400(元), 第二次赚钱为 100 ×(9 - 6. 6) +(220 - 100) ×(9 × 0. 5-6. 6)= -12(元) . 所以两次共赚钱 400-12 = 388(元) . 答:该果品店在这两次销售中,总体上是赚钱了, 共赚了 388 元. 命题角度 3　 利用分式方程解决工程问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】工程问题常用等量关系:(1)工作量 = 工 作效率×工作时间;(2)各个工作者的工作量之和为 1. 可以多角度思考,借助图形、表格、式子等进行分 析,寻找等量关系. 3. 市政府欲将一块地建成湿地公园,动用了一台甲型挖 土机,4 天挖完了这块地的 1 3 ,后又加一台乙型挖土 机,两台挖土机同时工作,结果又用两天就挖完了整 片地,那么乙型挖土机单独挖完这块地需要　 4　 天. 命题角度 4　 利用分式方程解决行程问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】方法:(1)当要求的未知量有两个时,可 以用其中的一个表示另一个;(2)用列表的方法写出 相关量的式子;(3)行程问题常用的等量关系是路程 =速度×时间. 4. 八年级学生去距学校 10 km 的荆州博物馆参观,一部 分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽 车出发,结果他们同时到达. 已知汽车的速度是骑自 行车学生速度的 2 倍,求骑自行车学生的速度. 若设 骑自行车学生的速度为 x km / h,则可列方程为( C ) A. 10 2x -10 x = 20　 　 B. 10 x -10 2x = 20 C. 10 x -10 2x = 1 3 　 　 D. 10 2x -10 x = 1 3 一、教学目标 1. 会分析题意,找到等量关系. 2. 掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤. 二、教学重难点 重点:利用分式方程解决实际问题. 难点:列分式方程表示实际问题中的等量关系. 一、知识回顾 1. 解方程 x x-1 -1 = 3 (x-1)(x+2) 解:方程两边乘 ( x - 1) ( x + 2) 得, x ( x + 2 ) - (x-1)(x+2)= 3. 解得 x = 1. 检验:当 x = 1 时, (x-1) (x+2) = 0,因此 x = 1 不是原分式方程 的解. 所以,原分式方程无解. 2. 列方程解应用题的一般步骤是什么? 解:审、设、列、解、答. 二、探究新知 问题 1　 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队 单独施工 1 个月完成总工程的 1 3 ,这时增加了乙队, 两队又共同工作了半个月,总工程全部完成. 哪个队 的施工速度快? 【分析】甲队 1 个月完成总工程的 1 3 ,设乙队单独施 工 1 个月完成总工程的 1 x ,那么甲队半个月完成总 工程的 1 6 ,乙队半个月完成总工程的 1 2x ,两队半个月 完成总工程的 1 6 + 1 2x . 解:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x ,记总 工程量为 1,根据工程的实际进度,得 1 3 + 1 6 + 1 2x = 1,即 1 2 + 1 2x = 1. 16 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 方程两边都乘以 6x,得 3x+3 = 6x. 解得 x= 1,检验:当 x= 1 时,6x≠0. 所以,原分式方程的解为 x= 1. 由上可知,若乙队单独施工 1 个月可以完成全部 任务,对比甲队 1 个月完成任务的 1 3 ,所以乙队 施工速度快. 问题 2　 某次列车平均提速 v km / h. 用相同的时间, 列车提速前行驶 s km,提速后比提速前多行驶 50 km,提速前列车的平均速度为多少? 解:设提速前列车的平均速度为 x 千米 /时, 根据题意,得 s x = s+50 x+v ,解得 x= sv 50 , 检验:由 v,s 都是正数,得 x= sv 50 时 x(x+v)≠0. 所以,原分式方程的解为 x= sv 50 . 答:提速前列车的平均速度为 sv 50 千米 /时. 【知识归纳】 1.列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审:审清题意;(2)找:找出等量关系; (3)设:设未知数,一般设所求的量; (4)列:列分式方程;(5)解:解分式方程; (6)验:先检验求出的解是否是原方程的解,再检 验解是否符合题意; (7)答:写出答案. 2.分式方程应用题中常见的几个类型: (1)行程问题:基本公式: 路程=速度×时间,而行程问题中常见的有相遇问 题、追及问题; (2)销售问题:基本公式: ①利润=单个利润×销售总数; ②利润=总收入-总支出; (3)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的 表示方法; (4)工程问题:基本公式:工作量=工时×工效. 三、试题精讲 1. 某工人原计划在规定时间内恰好加工 1 500 个零 件,改进了工具和操作方法,工作效率提高为原来 的 2 倍,因此加工 1 500 个零件时,比原计划提前 了 5 个小时,问原计划每小时加工多少个零件? 解:设原计划每小时加工 x 个零件,根据题意,得 1 500 2x +5 = 1 500 x ,解得 x= 150. 检验:当 x= 150 时,2x≠0, ∴ x= 150 是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每小时加工 150 个零件. 2. 甲、乙两座城市的中心火车站 A, B 两站相距 360km,有一动车和特快列车分别从 A,B 同时出 发,相向而行. 动车的平均速度比特快列车快 54km / h,当动车到达 B 站时,特快列车恰好到达 距离 A 站 135km 处的 C 站. 求动车和特快列车的 平均速度各是多少? 解:设特快列车的平均速度是 xkm / h,则动车的平 均速度是(x+54)km / h, 根据题意,得 360 x+54 = 360-135 x ,解得 x= 90. 经检验,x = 90 是原分式方程的解,且符合题 意,则 x+54 = 144. 答:特快列车的平均速度是 90km / h,动车的平 均速度是 144km / h. 3. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的 奖品.已知甲种图书的单价是乙种图书单价的 1. 5 倍,用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图 书要少 10 本. (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元? (2)若学校计划购买这两种图书共 40 本,且投入 的经费不超过 1 050 元,要使购买的甲种图书数 量不少于乙种图书的数量,则共有几种购买方案? 解:(1)设乙种图书的单价为 x 元,则甲种图书的 单价为 1. 5x 元. 由题意,得600 x - 600 1. 5x = 10,解 得 x= 20. 经检验,x= 20 是原分式方程的根,且 符合题意,则 1. 5x= 30. 答:甲种图书的单价为 30 元,乙种图书的单价 为 20 元. (2)设购买甲种图书 a 本,则购买乙种图书 ( 40 - a ) 本, 根 据 题 意, 得 30a+20(40-a)≤1 050, a≥40-a.{ 解得 20≤a≤25,∴ a= 20,21,22,23,24,25,则 40-a= 20,19,18,17,16,15. 答:共有 6 种购买方案. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 探究列分式方程解决实际问题的步骤. 2. 列分式方程解决实际问题. 反思:通过对实际问题的分析,进一步感受分式方程 是刻画现实世界的有效模型. 体会分式方程的 数学模型对解决实际问题的重要作用. 26