15.2 分式的运算-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

三、例题精讲 1. 填空: (1) x 3 xy = (　 x 2 　 ) y ,3x 2 +3xy 6x2 = x+y (　 2x　 ) ; (2) 1 ab = (　 a　 ) a2b ,2a -b a2 = (　 2ab-b 2 　 ) a2b (b≠0) . 2. 约分: (1) -25a2bc3 15ab2c ;(2) x 2 -9 x2 +6x+9 ;(3)6x 2 -12xy+6y2 3x-3y . 【分析】约分,要找出分子和分母的公因式. 解:(1) -25a2bc3 15ab2c = -5abc·5ac 2 5abc·3b = -5ac 2 3b ; (2) x 2 -9 x2 +6x+9 = (x+3)(x-3) (x+3) 2 = x-3 x+3 ; (3)6x 2 -12xy+6y2 3x-3y = 6(x-y) 2 3(x-y) = 2(x-y) . 3. 通分:(1) 3 2a2b 与 a-b ab2c ;(2) 2x x-5 与 3x x+5 . 解:(1)最简公分母是 2a2b2c. 3 2a2b = 3bc 2a2b2c , a-b ab2c = (a-b)·2a ab2c·2a = 2a 2 -2ab 2a2b2c ; (2)最简公分母是(x-5)(x+5) . 2x x-5 = 2x(x+5) (x-5)(x+5) = 2x 2 +10x x2 -25 , 3x x+5 = 3x(x-5) (x+5)(x-5) = 3x 2 -15x x2 -25 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 分式的基本性质. 2. 分式的约分与通分的相关概念和运用. 反思:运用分式的基本性质进行分式的恒等变形. 15. 2　 分式的运算 15. 2. 1　 分式的乘除 一、情境导入 问题 1　 一个长方体容器的容积为 V,底面的长为 a,宽为 b,当容器内的水占容积的m n 时,水高多少? 思考:长方体容器的高为　 V ab 　 ,水高为　 V ab ·m n 　 . 问题 2　 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷,小拖拉机 n 天 耕地 b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工 作效率的多少倍? 思考:大拖拉机的工作效率是 　 a m 　 公顷 /天,小拖 拉机的工作效率是　 b n 　 公顷 /天,大拖拉机的工作 效率是小拖拉机的工作效率的　 a m ÷ b n 　 倍. (1)　 V ab ·m n 　 ;(2)　 a m ÷ b n 　 ,一个是分式的乘法 运算,一个是分式的除法运算,怎样计算分式的乘除 呢? 这节课研究课题是分式的乘除法. 【教学与建议】 教学:本教学采用例题分析法,针对所填数据的模 型,导入课题. 建议:所提问题学生先独立思考后再小组讨论答案. 二、复习导入 这节课的学习让我们从几个小题的回顾开始. 1. 化简:(1) -6a3bc -3ab ;(2) x 2 -4 x2 -4x+4 . 2. 计算:(1) 4 3 × 6 8 ;(2) 9 10 ÷ 3 5 ;(3)( 1 2 ) 3 . 3. 小学学过的分数乘除法的运算法则是什么? 学生回答: 1. ( 1) -6a3bc -3ab = 2a2c; ( 2) x 2 -4 x2 -4x+4 = (x+2)(x-2) (x-2) 2 = x+2 x-2 . 2. (1) 4 3 × 6 8 = 1;(2) 9 10 ÷ 3 5 = 9 10 × 5 3 = 3 2 ; (3)( 1 2 ) 3 = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 . 3. 分数乘分数,用分子的积作为积的分子,分母的积 作为积的分母;分数除以分数,把除数的分子和分 母颠倒位置后再与被除数相乘. 　 　 通过习题我们知道了分数乘除法的运算法则, 那分式的乘除法运算是不是和分数的乘除法运算法 则一样呢? 本节课让我们针对分式的乘除运算进行 进一步的探究! 【教学与建议】 教学:复习巩固分式的基本性质和分数乘除法计算, 为本节课的知识内容的进一步探究做好铺垫. 15 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 建议:1,2,3 题学生独立完成. 命题角度 1　 分式的乘法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】解答这类问题时,既可以根据乘法法则求 得积后再约分,也可以先约分再求积. 1. 计算ax 2 b2y ·by ax 的结果是( C ) A. ax　 　 　 B. bx　 　 　 C. x b 　 　 　 D. x a 命题角度 2　 分式的除法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】进行分式的除法运算时,应注意以下几 点:(1)分式的除法运算,抓住“一变一倒”,即变除法 为乘法,把除式的分子、分母的位置颠倒. (2)两个分 式相除,能约分的先约分再计算结果. 2. 2 x2 -4 ÷ 1 x2 -2x 的计算结果为( B ) A. x x+2 B. 2x x+2 C. 2x x-2 D. 2 x(x+2) 命题角度 3　 分式的乘除混合运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】进行分式的乘除混合运算时,先统一成乘 法运算,注意确定结果的符号,又要注意运算顺序不能 颠倒,注意结果一定要化成最简分式或整式的形式. 3. 计算:( - b 3a ) 3 ÷2b 9a ·3ab b4 )= 　 - 1 2ab 　 . 一、教学目标 1. 通过类比的方法理解和掌握分式乘除法,乘方的 法则. 2. 熟练运用分式的乘方,乘除法混合运算法则进行 计算. 二、教学重难点 重点:熟练地进行分式的乘方运算,掌握分式乘除法的 法则及其应用. 难点:分子、分母是多项式的分式的乘除法,乘方运算. 一、知识回顾 1. 化简: (1) -2ac2 14a2bc = 　 - c 7ab 　 ;(2) a 2 -4 a2 +2a = 　 a -2 a 　 . 2. 分数的乘除法法则: 分数的乘法法则:用分子的积作为积的分子,用分 母的积作为积的分母. 分数的除法法则:把除数的分子、分母颠倒位置 后,与被除数相乘. 3. 根据乘方的意义计算: (1)34 = 　 3×3×3×3　 = 　 81　 ; (2)( - 1 3 ) 4 = 　 ( - 1 3 ) ×( - 1 3 ) ×( - 1 3 ) ×( - 1 3 ) 　 = 　 1 81 　 . 二、探究新知 问题 1　 (1)一个长方体容器的容积为 V,底面的长 为 a,宽为 b,当容器内的水占容器的 m n 时,水高 多少? 解:长方体容器的高为 V ab ,水面的高度为 V ab ·m n . (2)大拖拉机 m 天耕地 a 公顷,小拖拉机 n 天耕地 b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍? 解:大拖拉机的工作效率是 a m 公顷 /天,小拖拉机的 工作效率是 b n 公顷 /天. 大拖拉机的工作效率是 小拖拉机的工作效率的( a m ÷ b n )倍. 问题 2　 如何计算 V ab ·m n 与 a m ÷ b n ? 解:类似于分数 V ab · m n = V·m ab·n ; a m ÷ b n = a m · n b = an bm . 【知识归纳】 1. 乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分 子,分母的积作为积的分母. 即 a b · c d = a·c b·d . 2. 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠 倒位置后,与被除式相乘. 即 a b ÷ c d = a b · d c =a·d b·c . 问题 3　 ( a b ) 2 = ? 　 ( a b ) 3 = ? ( a b ) 10 = ? 　 ( a b ) n = ? 解:( a b ) 2 = a b · a b = a 2 b2 ; ( a b ) 3 = a b · a b · a b = a 3 b3 ; 25 ( a b ) 10 = a b · a b · a b …· a büþ ýï ï ï ï ï ï 10个 =a·a·…·a ìî íï ï ï ï10个 b·b·…·büþ ýï ï ï ï 10个 =a 10 b10 ; ( a b ) n = a b · a b · a b ·…· a büþ ýï ï ï ï ï ï ï ï n个 =a·a·…·a ìî íï ï ï ïn个 b·b·…·büþ ýï ï ï ï n个 = a n bn . 问题 4　 计算 2x 5x-3 ÷ 3 25x2 -9 · x 5x+3 . 解:原式= 2x 5x-3 ·25x 2 -9 3 · x 5x+3 = 2x 2 3 . 【知识归纳】 1. 分式乘方要把分子、分母分别乘方,即( a b ) n = a n bn , 其中 n 为正整数,且 b≠0. 2. 分式乘除的混合运算,先将除法统一为乘法,再从 左到右依次计算. 3. 分式乘方、乘除的混合运算,先算乘方,再算乘除, 注意先确定运算结果的符号. 三、例题精讲 1. 计算:(1)4x 3y · y 2x3 ; (2)ab 3 2c2 ÷-5a 2b2 4cd . 解:(1)4x 3y · y 2x3 = 4xy 6x3y = 2 3x2 ; (2) ab 3 2c2 ÷ -5a 2b2 4cd = ab 3 2c2 · 4cd -5a2b2 = - 4ab 3cd 10a2b2c2 = -2bd 5ac . 2. 计算: (1)a 2 -4a+4 a2 -2a+1 · a -1 a2 -4 ; (2) 1 49-m2 ÷ 1 m2 -7m . 解:(1)a 2 -4a+4 a2 -2a+1 · a -1 a2 -4 = (a-2) 2 (a-1) 2 · a -1 (a-2)(a+2) = (a-2) 2(a-1) (a-1) 2(a-2)(a+2) = a-2 (a-1)(a+2) ; (2) 1 49-m2 ÷ 1 m2 -7m = - 1 m2 -49 ·(m2 -7m) = - m(m-7) (m+7)(m-7) = - m m+7 . 3. 如图,“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a m(a> 1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池 后余下的部分,“丰收 2 号”小麦的试验田是边长 为(a-1) m 的正方形,两块试验田的小麦都收获 了 500 kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高? (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多 少倍? 解:(1)“丰收 1 号”小麦的试验田面积是(a2 -1) m2,单位面积产量是 500 a2 -1 kg / m2;“丰收 2 号” 小麦的试验田面积是(a-1) 2m2,单位面积产 量是 500 (a-1) 2 kg / m2 . ∵ a>1,∴ (a-1) 2 >0,a2 -1 >0,由图可得(a-1) 2 <a2 -1. ∴ 500 a2 -1 < 500 (a-1) 2 . 所以,“丰收 2 号”小麦的单位面积产量高; ( 2 ) 500 (a-1) 2 ÷ 500 a2 -1 = 500 (a-1) 2 · a 2 -1 500 = (a+1)(a-1) (a-1) 2 =a+1 a-1 . 所以,“丰收 2 号”小麦的单位面积产量是“丰 收 1 号”小麦的单位面积产量的a +1 a-1 倍. 4. 计算: (1)( -2a2b 3c ) 2;(2)( a 2b -cd3 ) 3 ÷2a d3 ·( c 2a ) 2 . 解:(1)( -2a2b 3c ) 2 = ( -2a2b) 2 (3c) 2 = 4a 4b2 9c2 ; (2)( a 2b -cd3 ) 3 ÷2a d3 ·( c 2a ) 2 = a 6b3 -c3d9 ÷2a d3 · c 2 4a2 = a 6b3 -c3d9 ·d 3 2a · c 2 4a2 = -a 3b3 8cd6 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 分式的乘方、乘法、除法法则. 2. 分式乘方、乘法、除法法则的运用. 反思:熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方 法,掌握数学思考方法. 35 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 15. 2. 2　 分式的加减 一、类比导入(一) 活动内容 1: (1)同分母分数的计算法则是什么? (2)做一做: 1 4 + 3 4 = 　 1　 ; 4 7 - 5 7 = 　 - 1 7 　 ; 1 10 + 3 10 = 　 2 5 　 ; 7 12 - 1 12 = 　 1 2 　 . 活动内容 2: (1)猜一猜: 1 a + 3 a = 　 4 a 　 ; 4 x - 5 x = 　 - 1 x 　 ; 1 2b + 3 2b = 　 2 b 　 ; 10 5y - 5 5y = 　 1 y 　 . (2)说一说同分母分式应该如何加减? 【教学与建议】 教学:通过做同分母分数加减的题,类比猜猜同分母 分式的加减运算. 建议:活动 1 独立完成,活动 2 多给学生一点时间独 立尝试,并类比分数加减法法则让学生说出同分母 分式应该如何加减. 二、类比导入(二) 1. 算一算: 1 4 + 1 5 = 　 9 20 　 ; 1 3 - 1 4 = 　 1 12 　 . 2. 说一说:异分母的分数加减法则,运算法则是　 异 分母的分数相加减,先通分,化为同分母的分数, 然后再按同分母分数的加减法法则进行计算　 . 3. 议一议: 1 4 + 1 5 是异分母分数,如果将上述“ 1 4 + 1 5 ”中的分母 4,5 换成未知数 a,b,就变成分式: 1 a + 1 b ,那该式“ 1 a + 1 b ”就变成了异分母分式的加 法了,与我们所学的同分母分式的加法不同,与我 们所学的异分母分数的加法又有类似,到底该如 何进行计算呢? 【教学与建议】 教学:类比异分母分数的加减,让学生归纳同分母分 式与异分母分式的加减的方法并进行简单运算. 建议:教师应注重培养学生的合作交流,创新精神和 实践能力. 命题角度 1　 同分母分式的加减 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】同分母分式相加减,分母不变,把分子直 接相加减,结果要化简. 1. 化简 1 a-1 + -a 2 a-1 的结果是( A ) A. -a-1　 　 　 B. a+1　 　 　 C. a -1 a+1 　 　 　 D. 1 a+1 命题角度 2　 异分母分式的加减 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】进行异分母分式的加减法运算时,先通 分,化成同分母分式,然后按同分母分式加减法法则 进行计算. 2. 分式2a +2 a2 -1 -a+1 1-a 化简后的结果为( B ) A. a +1 a-1 B. a +3 a-1 C. - a a-1 D. -a 2 +3 a2 -1 命题角度 3　 列分式解决实际问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】解决此类题目的关键在于审清题意,然后 根据题目中蕴含的数量关系进行列式计算即可. 3. 甲队在 m 天内挖水渠 a m,乙队在 n 天内挖水渠 b m, 两队一起挖水渠 s m 需要的天数为( A ) A. smn an+bm B. an +bm smn C. mn s(an+bm) D. s(an +bm) mn 命题角度 4　 根据给定的字母值化简求值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】分式的化简求值题要将原式化为最简后 再代入求值. 4. 如果 a-b = 2 3 ,那么代数式( a 2 +b2 2a -b) · a a-b 的值 为( A ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 命题角度 5　 选择合适的值代入化简后的分式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】在所给数据中任选一个进行分式代值计 算时注意两点:①所代值要确保原分式中的分母有意 义;②所代值要确保除式的值不为 0. 5. 先化简,再求值:(2x -3 x-2 -1) ÷x 2 -2x+1 x-2 ,然后从 0,1,2 45 三个数中选择一个恰当的数代入求值. 解:原式= (2x -3 x-2 -x-2 x-2 ) ÷(x -1) 2 x-2 = x-1 x-2 · x -2 (x-1) 2 = 1 x-1 . ∵ 当 x= 1 或 2 时,分式无意义,∴ 取 x= 0. 当 x= 0 时,原式= -1. 一、教学目标 理解并掌握分式的加减法法则,体会类比思想. 明确分 式混合运算的顺序. 二、教学重难点 重点:分式的加减运算方法,熟练地进行分式的混合 运算. 难点:异分母分式的加减运算,分式混合运算的顺序. 一、问题导入 1. 甲工程队完成一项工程需 n 天,乙工程队要比甲 工程队多用 3 天才能完成这项工程,两队共同工 作一天完成这项工程的几分之几? 解:甲工程队一天完成这项工程的 1 n ,乙工程队一 天完成这项工程的 1 n+3 ,两队共同工作一天完成 这项工程的( 1 n + 1 n+3 ) . 2. 2009 年,2010 年,2011 年某地的森林面积(单位: km2)分别是 S1,S2,S3,2011 年与 2010 年相比,森 林面积增长率提高了多少? 解:2011 年的森林面积增长率是 S3 -S2 S2 , 2010 年的森林面积增长率是 S2 -S1 S1 . 2011 年与 2010 年相比,森林面积增长率提高了 S3 -S2 S2 - S2 -S1 S1 . 思考:如何计算 1 n + 1 n+3 和 S3 -S2 S2 - S2 -S1 S1 ? 二、探究新知 问题 1　 分式的加减法与分数的加减法类似,它们 的实质相同. 观察下列分数加减运算的式子: 1 5 + 2 5 = 3 5 , 1 5 - 2 5 = - 1 5 , 1 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6 , 1 2 - 1 3 = 3 6 - 2 6 = 1 6 . 你能将它们推广,得出分式的加减法法则吗? 解:类似分数的加减法,分式的加减法法则是: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分 母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减. 问题 2　 计算:(2a b ) 2· 1 a-b - a b ÷ b 4 . 解:原式= 4a 2 b2 · 1 a-b - a b · 4 b = 4a 2 b2(a-b) -4a b2 = 4a 2 b2(a-b) - 4a(a-b) b2(a-b) = 4a 2 -4a2 +4ab b2(a-b) = 4ab b2(a-b) = 4a ab-b2 . 【知识归纳】 1. 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,用 式子表示为 a c ± b c =a±b c . 2. 异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式, 再加减,用式子表示为 a b ± c d =ad bd ±bc bd =ad±bc bd . 3. 分式的混合运算顺序与数一样:先算乘方,再算乘 除,最后算加减,有括号先算括号里面的,同级运 算按从左往右顺序进行. 4. 在分式运算过程中,可灵活运用交换律、结合律、 分配律,注意最后结果必须是最简分式或整式. 三、例题精讲 1. 计算: (1)5x +3y x2 -y2 - 2x x2 -y2 ; (2) 1 2p+3q + 1 2p-3q . 解:(1)原式= 5x +3y-2x x2 -y2 = 3x+3y x2 -y2 = 3 x-y ; (2)原式= 2p -3q (2p+3q)(2p-3q) + 2p+3q (2p+3q)(2p-3q) = 2p-3q+2p+3q (2p+3q)(2p-3q) = 4p 4p2 -9q2 . 55 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 2. 计算: (1)(m+2+ 5 2-m )·2m -4 3-m ; (2)( x +2 x2 -2x - x-1 x2 -4x+4 ) ÷x -4 x . 解:(1)原式= (m +2)(2-m) +5 2-m ·2m -4 3-m = 9-m 2 2-m ·2(m -2) 3-m = (3-m)(3+m) 2-m · -2(2-m) 3-m = -2(m+3)= -2m-6; (2)原式= [ x +2 x(x-2) - x-1 (x-2) 2 ]· x x-4 = (x+2)(x-2) -(x-1)x x(x-2) 2 · x x-4 = x 2 -4-x2 +x (x-2) 2(x-4) = 1 (x-2) 2 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 同分母分式的加减运算. 2. 异分母分式的加减运算. 3. 分式的混合运算及其应用. 反思:运用法则进行分式的加减运算,体会化归思 想;熟练地进行分式的混合运算. 15. 2. 3　 整数指数幂 一、归纳导入 　 　 若把正整数指数幂的运算性质 am ÷an = am-n(a ≠0,m,n 是正整数,m>n)中的 m>n 这个条件去掉, 你有信心解决下面的问题吗? 计算:22 ÷25;　 103 ÷105 . 一方面:22 ÷25 = 22 - 5 = 2- 3;　 103 ÷105 = 103 - 5 = 10- 2 . 另一方面:22 ÷25 = 2 2 25 = 1 23 ;　 103 ÷105 = 10 3 105 = 1 102 . 则 2-3 = 　 1 23 　 ;　 10-2 = 　 1 102 　 . 由分式的除法约分可知,当 a≠0 时,a2 ÷a5 = a 2 a5 = a2 a2·a3 = 1 a3 ;a2 ÷a5 =a2-5 =a-3 . 于是得到 a-3 = 1 a3 (a≠0) . 【归纳】 一般地,当 n 是正整数时,a-n = 1 an (a≠0),即任何不 等于零的数的-n(n 为正整数)次幂,等于这个数的 n 次幂的倒数. 【教学与建议】 教学:设置问题让学生独立发现结论并叙述,理解负整 数指数幂的运算性质,明确底数与指数的取值范围. 建议:教师提出问题,学生思考后独立解决. 经历负整 数指数幂的产生过程,加深理解. 二、类比导入 (1)用科学记数法表示下列各数: 340 000 = 　 3. 4×105 　 ;34 000 = 　 3. 4×104 　 ; 3 400 = 　 3. 4×103 　 ;340 = 　 3. 4×102 　 ; 34 = 　 3. 4×10　 . (2)如果把 3. 4 用科学记数法的形式表示为 3. 4 = 3. 4×10n,则 n= 　 0　 . (3)类比以上各式你能发现什么规律? (4) 按照这个规律继续用科学记数法表示下列 各数: 0. 34 = 　 3. 4×10-1 　 ;0. 034 = 　 3. 4×10-2 　 ; 0. 003 4 = 　 3. 4×10-3 　 ;0. 000 34 = 　 3. 4×10-4 　 ; 0. 000 034=　 3. 4×10-5　 ;0. 000 003 4=　 3. 4×10-6　 . 【归纳】0. 0……0üþ ýï ï n个0 1 = 1×10-n . 【发现】当绝对值较小的数用科学记数法表示为 a× 10-n 时,a 的取值一样为 1≤ | a | <10;n 是正整数,n 等于原数中左边第一个不为 0 的数字前面所有的 0 的个数. (包括小数点前面的 0) 【教学与建议】 教学:从用科学记数法表示较大的数,逐步过渡到用 科学记数法表示小于 1 的数. 建议:用科学记数法表示不同类型的数,都应写成 a ×10n 的形式,其中 1≤ | a | <10,n 为整数,其中“ ×” 号前 a 的写法是固定的. 观察理解 10 的指数 n 的变 化规律. 65 命题角度 1　 利用负整数指数幂的运算法则计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】负整数指数幂等于对应的正整数指数幂 的倒数,即:a-n = 1 an =( 1 a ) n(a≠0,n 是正整数). 1. (1)计算( 1 2 ) -1 的结果是( D ) A. -2　 　 　 B. - 1 2 　 　 　 C. 1 2 　 　 　 D. 2 (2)计算:①( - 1 3 ) 0 +( -2) -2 = 　 5 4 　 ; ②( -3ab-1) -2 = 　 b 2 9a2 　 . 命题角度 2　 用科学记数法表示小于 1 的正数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】用科学记数法表示小于 1 的正数,方法是 把小数点向右移到整数部分只有一位为止,这时小数 点移动的位数即为 a×10-n 中 n 的值. 2. (1)某种芯片每个探针单元的面积为 0. 000 001 64 cm2,这个数用科学记数法可表示为( B ) A. 1. 64×10-5 B. 1. 64×10-6 C. 16. 4×10-7 D. 0. 164×10-5 (2)用科学记数法表示下列各数,正确的是( C ) A. 7 800 = 78×102 B. 0. 000 001 03= 10. 3×10-6 C. -0. 000 8 = -8×10-4 D. 0. 000 306 = 3. 06×10-5 命题角度 3　 比较数的大小 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】熟悉运算法则,利用计算结果比较大小. 当底数是分数时,颠倒分子、分母,负指数就可转化为 正整数. 3. 若 a= ( - 2 3 ) -2,b= ( -1) -1,c = ( - 3 2 ) 0,则 a,b,c 的大 小关系是( B ) A. a>b= c B. a>c>b C. c>a>b D. b>c>a 一、教学目标 1. 掌握整数指数幂的运算性质,进一步熟练掌握整数指 数范围内的幂的运算. 2. 了解负整数指数幂的意义. 3. 会利用 10 的负整数次幂,用科学记数法表示一些小 于 1 的正数. 二、教学重难点 重点:掌握整数指数幂的运算性质,尤其是负整数指数 幂的运算. 整数范围内的简单幂运算和用科学记 数法表示绝对值较小的数. 难点:认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则扩展 过程. 含负指数的整数指数幂的运算. 一、知识回顾 1. 正整数指数幂的运算性质: (1)同底数幂的乘法:am ·an = am+n(m,n 是正整 数); (2)幂的乘方:(am) n =amn(m,n 是正整数); (3)积的乘方:(ab) n =anbn(n 是正整数); (4)同底数幂的除法:am ÷an = am-n(a≠0,m,n 是 正整数,m>n); (5)分式的乘方:( a b ) n = a n bn (n 是正整数); (6)0 指数幂:a0 = 1(a≠0) . 2. 科学记数法:把一个绝对值大于 10 的数表示成 a ×10n 的形式,其中 n 是正整数,1≤ | a | <10. 二、探究新知 问题 1　 am 中指数 m 可以是负整数吗? 如果可以, 那么负整数指数幂 am 表示什么? 解:由分式的约分可得:a3 ÷a5 = a 3 a5 = a 3 a2·a3 = 1 a2 (a≠ 0) . 假设正整数指数幂的运算性质 am÷an = am-n(a≠ 0,m,n 是正整数,m>n)中的 m>n 这个条件去掉,a3 ÷a5 =a3-5 = a-2 . 于是得到 a-2 = 1 a2 (a≠0),为使上述 运算性质适用范围更广,一般地,当 n 是正整数时, a-n = 1 an (a≠0) . 这就是说 a-n(a≠0)是 an 的倒数. 问题 2　 引入负整数指数和 0 指数后,am·an = am+n (m,n 是正整数)这条性质能否推广到 m,n 是任意 整数的情形? 解:我们从特殊情形入手进行研究. 例如,a3 ·a-5 = a3 a5 = 1 a2 = a-2 = a3+(-5) ,即 a3 ·a-5 = a3+(-5) ;a-3 ·a-5 = 1 a3 · 1 a5 = 1 a8 = a-8 = a(-3)+(-5) ,即 a-3 ·a-5 = a(-3)+(-5) ; a0 · a-5 = 1 · 1 a5 = 1 a5 = a-5 = a0+(-5) , 即 a0 · a-5 =a0+(-5) . 【知识归纳】 1. 一般地,当 n 为正整数时,a-n = 1 an (a≠0),这就是 说,a-n(a≠0)是 an 的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质:当 m,n 均为整数时,am ·an =am+n;(am) n =amn;(ab) n =anbn . 我们已经知道,一些较大的数适合用科学记数法表 示. 例如,光速约为 3 × 108m / s. 有了负整数指数幂 后,小于 1 的正数也可以用科学记数法表示. 例如: 0. 000 01 = 10-5,0. 000 025 7 = 2. 57×10-5 . 75 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 即小于 1 的正数可以用科学记数法表示为 a× 10-n 的形式,其中 1≤a<10,n 是正整数. 问题 3　 对于一个小于 1 的正小数,如果小数点后 至第一个非 0 数字前有 8 个 0,用科学记数法表示这 个数时,10 的指数是多少? 如果有 m 个 0 呢? 解:如果小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0,用 科学记数法表示这个数时,10 的指数是-9,如果 有 m 个 0,10 的指数是-(m+1) . 【知识归纳】 1. 用科学记数法表示大于 10 的正数时,表示为 a× 10n,其中 1≤a<10,n 为原数整数位少 1 的整数. 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数时,表示为 a× 10-n,其中 n 为原数左起第 1 个不为 0 的数字前面 所有 0 的个数(包含小数点前的那个 0),1 ≤a <10. 三、例题精讲 1. 计算: (1)(3x2y-2) -3; (2)(2m2n-2) 2·3m-3n3; (3)(a2b-3) -2·(a-2b3) 2; (4)a-2b2·( -2a2b-2) -2 ÷(a-4b2) . 解:(1)原式= 3-3x-6y6 = y 6 27x6 ; (2)原式= 12mn-1 = 12m n ; (3)原式=a-4b6·a-4b6 =a-8b12 = b 12 a8 ; (4) 原式 = ( - 2 ) -2a-2b2 · a-4b4 · a4b-2 = 2-2a-2b4 = b 4 4a2 . 2. 纳米(nm)是非常小的长度单位, 1nm = 10-9m. 把 1nm3 的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到 地球上. 1mm3 的空间可以放多少个 1nm3 的物体 (物体之间的间隙忽略不计)? 解:1mm = 10-3m,1nm = 10-9m. (10-3 ) 3 ÷ ( 10-9 ) 3 = 10-9 ÷ 10-27 = 10-9-(-27) = 1018,故 1mm3 的空间可以放 1018 个 1nm3 的物 体. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 负整数指数幂的运算. 2. 整数指数幂的运算. 3. 用科学记数法解决问题. 反思:进行简单的整数范围内的幂运算. 学会用科学 记数法表示一些绝对值小于 1 的数. 15. 3　 分式方程 第 1 课时　 分式方程 一、情境导入 　 　 甲、乙两名同学同时从学校出发,去 15 km 外的 景区游玩,甲比乙每小时多行 1 km,结果比乙早到 半小时,甲、乙两名同学每小时各行多少千米? 设甲 同学每小时行 x km,你能列出相应的方程吗? 这个 方程是我们以前学过的方程吗? 如果不是,你能给 它取个名字吗? 你能解这个方程吗? 学生讨论回答:列方程: 15 x-1 -15 x = 1 2 . 　 　 这个方程与以前学过的方程不一样,这节课我 们来学习这类方程. 【教学与建议】 教学:让学生经历从实际问题中抽象、概括得出分式 方程这一“数学化”的过程,体会分式方程的模型在 解决实际问题中的作用. 建议:要给学生一定的思考时间,让学生积极投入问 题情境中. 二、类比导入 解方程:x -1 3 = 2 5 . (同学们动手计算,解得 x= 11 5 ) 解方程的基本思路: 含有分母的方程 去分母 转化 → 不含分母的方程 提问:(1)这是什么方程? (2)有什么特点? (3)解 这个方程的基本步骤是什么? 　 　 前面我们学过分式,如果将方程x -1 3 = 2 5 中的分 母 3 换成 x,那方程会变成怎样的呢? (要求学生书 写:x -1 x = 2 5 ) 　 　 所得到的方程x -1 x = 2 5 与 x-1 3 = 2 5 比较,在分母 上有什么不同? 你会怎样去解这个方程呢? 解分式方程的基本思路 去分母 转化 → 整式方程 【教学与建议】 教学:从方程的解法去渗透方程及解方程的思想,通 过形式的变化引申类比分式方程. 建议:教学主要以学生活动为主,老师只要做适当的 辅助. 85