15.1 分式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 第十五章　分式 15. 1　 分式 15. 1. 1　 从分数到分式 一、归纳导入 问题 1　 两名运动员跳伞,从 350 m 的高度跳下: (1)若一名运动员到落地时用了 27 s,则他的平均降 落速度列式是　 350 27 　 m / s. (2)若另一名运动员到落地时用了 x s,则他的平均 降落速度列式是　 350 x 　 m / s. 问题 2　 一个长方形的面积为 50 m2,长 21 m,宽列 式是　 50 21 　 m,若长为 y m,则宽列式是　 50 y 　 m. 问题 3　 一名篮球运动员在一个赛季中参加了 x 场比 赛,罚球进 a 个(罚球得 1 分),2 分球投进 b 个,3 分 球投进 c 个,那么他平均每场得分是　 a +2b+3c x 　 , 2 分球占进球数的　 b a+b+c 　 . 从以上三个问题所列的代数式中,我们发现它们是 否都含有分母? 其分母与我们过去学过的分数的分 母有什么区别? 【归纳】 一般地,用 A,B 表示两个整式,A÷B 可以表示成 A B 的形式. 如果 B 中含有字母,那么 A B 称为分式. 【教学与建议】 教学:由具体的数过渡到字母的过程,体会字母代表 数的意义. 建议:从问题的解决入手,通过列式,然后与分数比 较,从其分母中归纳分式的特性. 命题角度 1　 识别分式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】分式必须同时满足以下三个条件:(1)含 有分子、分母;(2)分母含有字母(注意不是常数,如: π);(3)分母不等于 0. 1. 下列式子中是分式的是( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 2 B. 1 x-1 C. 1 π D. 1 2 x 命题角度 2　 分式有意义的条件 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】分式有意义的条件是分母不等于 0,解这 类题先找出分母,然后利用“分母≠0”建立关系式. 2. 代数式 1 | x | -2 有意义时, x 应满足的条件为 　 x ≠ ±2　 . 命题角度 3　 分式的值为零的条件 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】分式的值为零同时满足两个条件:(1)分 子为 0,建立等式;(2)分母不为 0,建立不等式. 3. 若分式x 2 -1 x+1 的值为零,则 x 的值为( B ) A. -1 B. 1 C. ±1 D. 0 命题角度 4　 求分式的值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】直接将未知数的值代入分式中,通过计 算,便可得到分式的值. 4. 若 x= 7,y= 3,则x -y x = 　 4 7 　 . 一、教学目标 了解分式的概念,会判断一个代数式是否是分式. 二、教学重难点 重点:理解分式有意义的条件. 难点:根据分式有意义的条件来确定分式值为 0 的 条件. 一、知识回顾 1. 什么是单项式? 什么是多项式? 什么是整式? 解:数与字母的乘积叫单项式,单独的字母或数字 也称为单项式. 几个单项式的和叫多项式,单 项式和多项式统称为整式. 2. (1)15÷23 写成分数的形式是　 15 23 　 ; (2)若 B≠0,则 A÷B 可以写成　 A B 　 . 二、探究新知 问题 1　 (1) 长方形的面积为 10 cm2,长为 7 cm,则宽为 　 10 7 　 cm;长方形的面积为 S,长为 a,则宽为　 S a 　 ; (2)把体积为 200 cm3 的水倒入底面积为 33 cm2 的 圆柱形容器中,水面高度为 　 200 33 　 cm;把体积为 V 84 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中,水面高度为 　 V S 　 ; 问题 2　 观察式子 S a , v S , 90 3+v , 60 30-v ,它们有什么共 同点? 它们与分数有什么相同点和不同点? 解:可以发现,这些式子与分数一样都是 A B (即 A÷ B)的形式. 分数的分子 A 与分母 B 都是整数,而 这些式子中的 A 与 B 都是整式,并且 B 中都含 有字母. 【知识归纳】 一般地,如果 A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字 母,那么式子 A B 叫做分式. 分式 A B 中,A 叫做分子,B 叫做分母. 问题 3　 我们知道,要使分数有意义,分数中的分母 不能为 0. 要使分式有意义,分式中的分母应满足什 么条件? 使分式 A B 的值为 0 的条件是什么? 解:分式的分母表示除数,由于除数不能为 0,所以 分式的分母不能为 0,即当 B≠0 时,分式 A B 有意 义. 使分式 A B 的值为 0,需要满足 B≠0 且 A= 0. 【知识归纳】分式有无意义只与分母有关,与分子无 关:当分母为零时,分式无意义;当分母不为零时,分 式有意义. 三、例题精讲 1. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义? (1) 2 3x ;　 (2) x x-1 ;　 (3) 1 5-3b ;　 (4)x +y x-y . 解:(1)要使分式 2 3x 有意义,则分母 3x≠0,即 x≠0; (2)要使分式 x x-1 有意义,则分母 x-1≠0,即 x ≠1; (3)要使分式 1 5-3b 有意义,则分母 5-3b≠0,即 b≠ 5 3 ; (4)要使分式x +y x-y 有意义,则分母 x-y≠0,即 x ≠y. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结: 1. 分式的概念. 2. 分式概念的应用. 反思:理解分式有意义的条件. 15. 1. 2　 分式的基本性质 一、归纳导入 1. 将下列各分数化成最简分数: 5 25 = 　 1 5 　 ;60 12 = 　 5　 . 化简分数的方法:首先找到分子、分母的　 最大公 因数　 ,然后利用　 分数的基本性质 　 就可将分 数化简. 2. 上题实质是分数的　 约分　 ;它的依据是:　 分数 的基本性质　 ;分数的基本性质是:　 分数的分子 和分母同时乘或者除以相同的数(0 除外),分数 的大小不变　 . 对于分式是否也具有相同的性质呢? 如: a 2a 与 1 2 相等吗? 与同桌举例交流,分式的基本性 质是什么? 【归纳】 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零 的整式,分式的值不变. 【教学与建议】 教学:采用归纳探究、启发引导的方法探究分式的基 本性质. 建议:问题可小组讨论、交流,归纳出分式的基本 性质. 命题角度 1　 利用分式的基本性质变形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】考查分式的基本性质,分式的分子与分母 都乘(或除以)同一个不为 0 的整式,分式的值不变. 1. 下列各式从左到右的变形正确的是( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x y = x+2 y+2 B. x y = ax ay C. 5x 5y = x y D. x y = x 2 y2 2. 分式- 1 1-x 可变形为( B ) A. 1 1-x B. 1 x-1 C. - 1 1-x D. - 1 1+x 94 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 命题角度 2　 分式的约分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】将分式进行约分的步骤:①将分式的分子 与分母进行因式分解;②约去分子、分母的公因式. 3. 化简 4a 50ab 的结果是( C ) A. 2a 25b B. 1 25b C. 2 25b D. 2 25 命题角度 3　 最简分式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】最简分式的标准是分子、分母中不含有公 因式,不能再约分. 判断的方法是把分式的分子、分母 分解因式. 若没有公因式就是最简分式. 4. 下列代数式是最简分式的是( C ) A. 2a 9a B. 5 125b C. 2 +a 4+a2 D. 2 -a 2 命题角度 4　 最简公分母的求法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】最简公分母的求法:①如果各分母都是单 项式,取各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂, 不同字母连同指数的积;②如果各分母都是多项式, 就可以将各个分母因式分解,取各分母所有因式的最 高次幂的积. 5. 分式 1 xy ,- y 4x3 , 3x 2x2y 的最简公分母是( D ) A. x2y B. 2x3y C. 4x2y D. 4x3y 一、教学目标 类比分数的基本性质,理解分式的基本性质. 二、教学重难点 重点:理解分式的基本性质. 难点:灵活运用分式的基本性质将分式变形. 一、知识回顾 1. 下列式子:4xy, 1 x ,ab 3 ,x -1 2x , x x+2 中,分式有 　 1 x , x-1 2x , x x+2 　 . 2. 当 x　 ≠-1　 时,分式x 2 -1 x+1 有意义. 3. 分数的基本性质是什么? 解:一个分数的分子、分母乘(或除以) 同一个不 为 0 的数,分数的值不变. 即 a b =a·c b·c , a b = a÷c b÷c (c≠0) . 二、探究新知 问题 1　 由 a 2a = 1 2 , n m = n 2 mn (其中 a≠0,m≠0,n≠0) 可知分式与分数的性质相比具有什么类似的性质? 解:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的整式,分式的值不变. 【知识归纳】 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的 整式,分式的值不变,即 A B = A·C B·C , A B = A÷C B÷C (C≠0), 其中 A,B,C 是整式. 问题 2 　 联想分数的约分,你能想出如何对分式 x2 -9 x2 +6x+9 进行约分吗? 【分析】约分要先找出分子和分母的公因式. 解:与分数的约分类似,利用分式的基本性质,找出 并约去 x2 -9 x2 +6x+9 的分子和分母的公因式 x+3,即 x2 -9 x2 +6x+9 = (x+3)(x-3) (x+3) 2 = x-3 x+3 . 【知识归纳】 1. 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 2. 根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母 的公因式约去,叫做分式的约分. 约分的结果为最 简分式或整式. 问题 3　 联想分数的通分,你能想出如何对分式 1 ab 与 2a-b a2 进行通分吗? 【分析】为通分,要先确定各分式的公分母,一般取 各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫 做最简公分母. 解:与分数的通分类似,利用分式的基本性质,将分 子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把 1 ab 与 2a-b a2 化成分母相同的分式,即 1 ab = 1·a ab·a = a a2b ; 2a-b a2 = (2a-b)·b a2·b = 2ab-b 2 a2b . 【知识归纳】 1. 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别 化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分 式的通分. 2. 通分时,一般取各分母的所有因式的最高次幂的 积作公分母,这样的分母叫做最简公分母. 05 三、例题精讲 1. 填空: (1) x 3 xy = (　 x 2 　 ) y ,3x 2 +3xy 6x2 = x+y (　 2x　 ) ; (2) 1 ab = (　 a　 ) a2b ,2a -b a2 = (　 2ab-b 2 　 ) a2b (b≠0) . 2. 约分: (1) -25a2bc3 15ab2c ;(2) x 2 -9 x2 +6x+9 ;(3)6x 2 -12xy+6y2 3x-3y . 【分析】约分,要找出分子和分母的公因式. 解:(1) -25a2bc3 15ab2c = -5abc·5ac 2 5abc·3b = -5ac 2 3b ; (2) x 2 -9 x2 +6x+9 = (x+3)(x-3) (x+3) 2 = x-3 x+3 ; (3)6x 2 -12xy+6y2 3x-3y = 6(x-y) 2 3(x-y) = 2(x-y) . 3. 通分:(1) 3 2a2b 与 a-b ab2c ;(2) 2x x-5 与 3x x+5 . 解:(1)最简公分母是 2a2b2c. 3 2a2b = 3bc 2a2b2c , a-b ab2c = (a-b)·2a ab2c·2a = 2a 2 -2ab 2a2b2c ; (2)最简公分母是(x-5)(x+5) . 2x x-5 = 2x(x+5) (x-5)(x+5) = 2x 2 +10x x2 -25 , 3x x+5 = 3x(x-5) (x+5)(x-5) = 3x 2 -15x x2 -25 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 分式的基本性质. 2. 分式的约分与通分的相关概念和运用. 反思:运用分式的基本性质进行分式的恒等变形. 15. 2　 分式的运算 15. 2. 1　 分式的乘除 一、情境导入 问题 1　 一个长方体容器的容积为 V,底面的长为 a,宽为 b,当容器内的水占容积的m n 时,水高多少? 思考:长方体容器的高为　 V ab 　 ,水高为　 V ab ·m n 　 . 问题 2　 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷,小拖拉机 n 天 耕地 b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工 作效率的多少倍? 思考:大拖拉机的工作效率是 　 a m 　 公顷 /天,小拖 拉机的工作效率是　 b n 　 公顷 /天,大拖拉机的工作 效率是小拖拉机的工作效率的　 a m ÷ b n 　 倍. (1)　 V ab ·m n 　 ;(2)　 a m ÷ b n 　 ,一个是分式的乘法 运算,一个是分式的除法运算,怎样计算分式的乘除 呢? 这节课研究课题是分式的乘除法. 【教学与建议】 教学:本教学采用例题分析法,针对所填数据的模 型,导入课题. 建议:所提问题学生先独立思考后再小组讨论答案. 二、复习导入 这节课的学习让我们从几个小题的回顾开始. 1. 化简:(1) -6a3bc -3ab ;(2) x 2 -4 x2 -4x+4 . 2. 计算:(1) 4 3 × 6 8 ;(2) 9 10 ÷ 3 5 ;(3)( 1 2 ) 3 . 3. 小学学过的分数乘除法的运算法则是什么? 学生回答: 1. ( 1) -6a3bc -3ab = 2a2c; ( 2) x 2 -4 x2 -4x+4 = (x+2)(x-2) (x-2) 2 = x+2 x-2 . 2. (1) 4 3 × 6 8 = 1;(2) 9 10 ÷ 3 5 = 9 10 × 5 3 = 3 2 ; (3)( 1 2 ) 3 = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 . 3. 分数乘分数,用分子的积作为积的分子,分母的积 作为积的分母;分数除以分数,把除数的分子和分 母颠倒位置后再与被除数相乘. 　 　 通过习题我们知道了分数乘除法的运算法则, 那分式的乘除法运算是不是和分数的乘除法运算法 则一样呢? 本节课让我们针对分式的乘除运算进行 进一步的探究! 【教学与建议】 教学:复习巩固分式的基本性质和分数乘除法计算, 为本节课的知识内容的进一步探究做好铺垫. 15