14.3 因式分解-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

2ab+b2 . 即两个数的和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加上(或减去)它们积的 2 倍. 2. 互为相反数的两个数的平方相等. 问题 3　 在括号内填上适当的项,使等式成立: (1) a+b+c=a+( b+c );(2) a-b-c=a-( b+c ) . 【知识归纳】 1. 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各 项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号 里的各项都改变符号. 2. 可以用去括号来检验所添括号是否正确. 三、例题精讲 1. 运用完全平方公式计算: (1)(4m+n) 2;(2)(y- 1 2 ) 2;(3)1022;(4)992 解:(1)( 4m + n) 2 = ( 4m) 2 + 2 · ( 4m) · n + n2 = 16m2 +8mn+n2; (2)(y- 1 2 ) 2 = y2 -2·y· 1 2 +( 1 2 ) 2 = y2 -y+ 1 4 . (3)1022 = (100+2) 2 = 1002 +2×100×2+22 = 10 000+400+4 = 10 404; (4)992 = (100-1) 2 = 1002 -2×100×1+12 = 10 000-200+1 = 9 801. 2. 运用乘法公式计算: (1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c) 2 . 解:(1)　 (x+2y-3)(x-2y+3) = [x+(2y-3)][x-(2y-3)] = x2 -(2y-3) 2 = x2 -(4y2 -12y+9) = x2 -4y2 +12y-9; (2)(a+b+c) 2 = [(a+b) +c] 2 = (a+b) 2 +2(a+b)c+c2 =a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 完全平方公式及其特征. 2. 完全平方公式的运用. 反思:会运用完全平方公式,并能灵活运用公式进行 计算. 14. 3　 因式分解 14. 3. 1　 提公因式法 一、类比导入 问题:计算 260×3. 7+260×5. 6+260×0. 7. 解:原式= 260×(3. 7+5. 6+0. 7)= 260×10 = 2 600. (1)讨论上题的计算方法,分别提出各自的依据,然 后比较哪种方法简便; (2)类似地,ma+mb+mc=m(a+b+c); (3)引入“因式分解”及“公因式”的概念. 【教学与建议】 教学:此例让学生结合因数分解和数的乘法的关系 进行类比导入提公因式法. 建议:让学生讨论、交流,然后进行归纳、概括. 二、归纳导入 因式分解的意义 1. 计算: (1)m(a+b+c)= ma+mb+mc; (2)(a+b)(a-b)= a2 -b2; (3)(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 . 2. 试一试,填空: (1)ma+mb+mc=m·(a+b+c); (2)a2 -b2 = (a+b)(a-b); (3)a2 +2ab+b2 = (a+b) 2 . 请同学们自己总结 1,2 两题的特点和联系. 因式分解与整式乘法的关系: 多项式 整式×整式×…×整式 这节课将探索提公因式法. 【教学与建议】 教学:通过练习归纳,类比得到因式分解及公因式的 概念. 建议:鼓励学生发表自己的观点并归纳出计算方法. 命题角度 1　 辨别因式分解与整式乘法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】因式分解应是(1)必须是整式;(2)右边 必须是乘积形式;(3)必须是恒等式. 1. 下列从左到右的变形是 因 式 分 解 并 且 正 确 的 是( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x2 -xy-x= 2x(x-y-1) B. -xy2 -2xy+3y= -y(xy-2x-3) C. x(x-y) -y(x-y)= (x-y) 2 D. 3x2 -3x-3 = 3x(x-1) -3 命题角度 2　 利用提公因式法分解因式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】提公因式法分解因式的基本步骤:(1)确 定应提取的公因式;(2)用公因式去除这个多项式,所 得的商作为另一个因式;(3)把多项式写成这两个因 式的积的形式. 2. 多项式 8a3b2 +12ab3c 的公因式是( B ) A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 3. 把下列各式分解因式: (1)4x2 -2x;(2) -8x2y2 -4x2y+2xy. 解:(1)原式= 2x(2x-1);(2)原式= -2xy(4xy+2x-1) . 一、教学目标 1. 了解因式分解与公因式的概念. 2. 理解提公因式法,并会熟练地运用提公因式法分解 因式. 二、教学重难点 重点:会用提公因式法分解因式. 难点:如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个 因式. 54 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 一、知识回顾 计算: (1)a(b+c)= 　 ab+ac　 ; (2)(2x+3)(3-2x)= 　 9-4x2 　 ; (3)(x+4) 2 = 　 x2 +8x+16　 ; (4)(x+3)(3x-5)= 　 3x2 +4x-15　 . 二、探究新知 问题 1　 请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1)x2 +x=　 x(x+1)　 ;(2)x2 -1=　 (x+1)(x-1)　 . 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形 式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解, 也叫做把这个多项式分解因式. 【知识归纳】 1. 把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这 样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫 做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 即 x2 -1 因式分解 整式乘法 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑 (x+1)(x-1) 问题 2　 把多项式 pa+pb+pc 因式分解. 定义:多项式 pa+pb+pc 它的各项都有一个公共的因 式 p,我们把因式 p 叫做这个多项式各项的公因式. 解:由 p(a+b+c)= pa+pb+pc,可得 pa+pb+pc = p(a+b +c) . 【知识归纳】 1. 多项式各项公共的因式叫做这个多项式的公因式. 2. 一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个 公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个 因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提 公因式法. 三、例题精讲 1. 把 8a3b2 +12ab3c 分解因式. 【分析】先找出 8a3b2 与 12ab3c 的公因式,再提出公 因式. 我们看这两项的系数 8 与 12,它们的最大公 约数是 4;两项的字母部分 a3b2 与 ab3c 都含有字母 a 和 b,其中 a 的最低次数是 1,b 的最低次数是 2,因 此我们选定 4ab2 为要提出的公因式. 提出公因式 4ab2 后,另一个因式 2a2 +3bc 就不再有公因式了. 解:8a3b2 +12ab3c = 4ab2 ·2a2 +4ab2 ·3bc = 4ab2(2a2 +3bc) . 2. 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式. 【分析】 b + c 是这两个式子的公因式,可以直接 提出. 解:2a(b+c) -3(b+c)= (b+c)(2a-3) . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 因式分解的概念. 2. 提公因式法分解因式及其运用. 反思:理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系, 培养学生的逆向思维能力. 14. 3. 2　 公式法 一、复习导入 1. 通过上节课的学习,我们已掌握了“运用提取公因 式法分解因式” 在多项式乘法中我们学习了平方差公式和两个完 全平方公式:(a+b) (a-b) = a2 -b2,(a+b) 2 = a2 + 2ab+b2,(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 . 今天我们将借助于平方差公式和完全平方公式的 逆向使用来进行因式分解. 【教学与建议】 教学:通过这样正、反两方面的类比,使学生正确判 别能否用公式法分解因式. 建议:教学中让学生理解公式的结构特征. 命题角度 1　 利用公式法分解因式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】运用完全平方公式分解因式,被分解的多 项式必须满足三个特点:①是三项式;②其中有两项 是平方式,且这两个平方项的符号相同;③第三项是 两个平方项幂的底数的积的±2 倍. 1. 下列各式分解因式正确的是( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4-a2 = (a+4)(a-4) B. 4x2 -12xy+9y2 = (2x-3y) 2 C. 2x2 -8y2 = 2(x+4y)(x-4y) D. x(x-y) +y(y-x)= (x-y)(x+y) 2. 因式分解: (1)m2 -4m+4; (2)(a2 -4a) 2 +8(a2 -4a) +16; (3)(x+y) 2 -(x-y) 2 . 解:(1)m2 -4m+4 = (m-2) 2; (2)(a2 -4a) 2 +8(a2 -4a) +16 = (a-2) 4; (3)(x+y) 2 -(x-y) 2 = 4xy. 命题角度 2　 选择合适的方法分解因式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】因式分解的一般步骤:①先排序,使首项 系数不为负;②提公因式;③运用公式法;④检查各因 式能否再分解. 3. 分解因式(x-1) 2 -2(x-1) +1 的结果是( D ) A. (x-1)(x-2) B. x2 C. (x+1) 2 D. (x-2) 2 4. 因式分解:(1)x2 +2xy+y2 = 　 (x+y) 2 　 ; (2)a4 -2a2 +1 = 　 (a+1) 2(a-1) 2 　 ; (3)9-a2 = 　 (3+a)(3-a)　 . 64 命题角度 3　 利用完全平方公式求值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】对已知等式或所求整式通过因式分解,使 之变形成为特定形式,然后整体代入求值. 5. (1)已知 x-1 = 5,则(x+1) 2 -4(x+1) +4 = 　 25　 ; (2)已知 a+b= 1,ab= - 1 2 ,a3b+2a2b2 +ab3 = 　 - 1 2 　 . 一、教学目标 1. 理解整式乘法与分解因式的互逆变形关系,并会用平 方差公式进行因式分解. 2. 掌握完全平方公式的特点. 3. 运用完全平方公式进行因式分解. 二、教学重难点 重点:运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解. 难点:熟练且灵活运用平方差公式、完全平方公式进行 因式分解. 一、知识回顾 1. 乘法的平方差公式: (a+b)(a-b)= a2 -b2 . 2. 乘法的完全平方公式: (a+b) 2 =a2 +2ab+b2;(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 . 3. 计算: (1)(x+2)(x-2)= x2 -4; (2)(2m+3n)(2m-3n)= 4m2 -9n2; (3)[(x+y) +(x-y)][(x+y) -(x-y)] = 　 4xy　 . (4)(5x-y) 2 = 　 25x2 -10xy+y2 　 ; (5)(2a+3b) 2 = 　 4a2 +12ab+9b2 　 . 二、探究新知 问题 1　 多项式 a2 -b2 有什么特点? 你能将它分解 因式吗? 解:这个多项式是两个数的平方差的形式. 由于整式 的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整式乘 法的平方差公式(a+b) (a-b) = a2 -b2 的等号两 边互换位置,就得到 a2 -b2 = (a+b)(a-b) . 【知识归纳】 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的 差的积,即 a2 -b2 =(a+b)(a-b) . 问题 2　 多项式 a2 +2ab+b2 与 a2 -2ab+b2 有什么特 点? 它们能分解因式吗? 解:这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这 两个数的积的 2 倍,这恰是两个数的和或差的 平方. 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多 项式因式分解. 把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换 位置, 就得到 a2 + 2ab+b2 = ( a+b) 2,a2 - 2ab+b2 = ( a- b) 2 . 【知识归纳】 1. 像 a2 +2ab+b2,a2 -2ab+b2 这样的式子叫做完全平 方式. 2. 两个数的平方和加上这两个数的积的 2 倍,等于 这两个数的和的平方. 用字母表示为 a2 +2ab+b2 = (a+b) 2 . 3. 两个数的平方和减去这两个数的积的 2 倍,等于 这两个数的差的平方. 用字母表示为 a2 -2ab+b2 = (a-b) 2 . 4. 把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于 分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项 式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法. 三、例题精讲 1. 分解因式: (1)4x2 -9; (2)(x+p) 2 -(x+q) 2; (3)x4 -y4; (4)a3b-ab. 解:(1)4x2 -9 = (2x) 2 -32 = (2x+3)(2x-3); (2)(x+p) 2 -(x+q) 2 = (x+p+x+q) (x+p-x-q) = (2x+p+q)(p-q); (3)x4 -y4 = ( x2 +y2 ) ( x2 -y2 ) = ( x2 +y2 ) ( x+y) (x-y); (4)a3b-ab=ab(a2 -1)= ab(a+1)(a-1) . 2. 分解因式: (1)16x2 +24x+9; (2) -x2 +4xy-4y2; (3)3ax2 +6axy+3ay2; (4)(a+b) 2 -12(a+b) +36. 解:(1)16x2 +24x+9 = (4x) 2 +2·4x·3+32 = (4x+ 3) 2; (2) -x2 + 4xy - 4y2 = - ( x2 - 4xy + 4y2 ) = - ( x - 2y) 2; (3)3ax2 +6axy+3ay2 = 3a(x2 +2xy+y2 )= 3a(x+ y) 2; (4)(a+b) 2 -12(a+b) +36 = (a+b) 2 -2·(a+ b)·6+62 = (a+b-6) 2 . 【知识归纳】 1. 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能 再分解为止. 2. 因式分解的一般步骤是:若有公因式,应先提取公 因式,然后再运用公式分解因式. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 根据平方差公式,完全平方公式的特点,用平方 差公式,完全平方公式分解因式. 2. 在分解因式时,首先看多项式有无公因式,先提 取公因式,再运用公式法分解因式. 3. 因式分解的结果要彻底. 反思:通过自己的实践活动去领悟、分析,总结技能、技 巧,树立学习的自信心. 74