14.2 乘法公式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 解:∵ (a+b)·m = am+bm. ∴ (am+bm) ÷m = a+b. 又 am÷m+bm÷m=a+b. ∴ (am+bm) ÷m=am÷m+bm÷m. 【知识归纳】 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项都除 以这个单项式,再把所得的商相加. 三、例题精讲 1. 计算: (1)28x4y2 ÷7x3y; (2) -5a5b3c÷15a4b; (3)(12a3 -6a2 +3a) ÷3a. 解:(1)28x4y2 ÷7x3y = (28÷7)·x4-3·y2-1 = 4xy; (2) -5a5b3c÷15a4b = [( -5) ÷15]a5-4b3-1c = - 1 3 ab2c; (3)(12a3 -6a2 +3a) ÷3a = 12a3 ÷3a-6a2 ÷3a+ 3a÷3a= 4a2 -2a+1. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则 及运用. 反思:让学生会运用法则,熟练进行整式的除法运算. 14. 2　 乘法公式 14. 2. 1　 平方差公式 一、置疑导入 想一想: (1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特征. 7×9 = 8×8 ={ , 11×13 = 12×12 ={ , 79×81 = 80×80 ={ (2)从以上的过程中,你能寻找出什么规律? (3)请你用字母表示你所发现的规律,并得出结论. 【教学与建议】 教学:通过列举算式的简便运算,引起学生的学习 兴趣. 建议:引导学生体会特例、进行归纳、建立猜想,用符 号表示并给出证明探索过程. 二、归纳导入 计算下列多项式的积: (1)(x+1)(x-1)= 　 x2 -x+x-1　 = 　 x2 -1　 ; (2)(m+2)(m-2)= 　 m2 -2m+2m-4　 = 　 m2 -4　 ; (3)(1+3a)(1-3a)= 　 1-3a+3a-9a2 　 = 　 1-9a2 　 . 观察上述算式,你发现什么规律? 计算出结果后,你 又发现了什么规律? 上面三个算式每个因式都是二项式;等式的左边是 两数的和与两数的差的积,等式的右边是这两个数 的平方差. 【教学与建议】 教学:以探索、归纳公式这一数学情境,加深学生的 体验. 建议:与小组同伴合作、讨论、交流,然后归纳证明 结论. 命题角度 1　 直接应用平方差公式计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解题技巧】运用(a+b)(a-b)= a 2 -b2 直接计算. 1. 计算(2x-1)(1+2x)的结果正确的是( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4x2 -1 B. 1-4x2 C. -4x2 +4x-1 D. 4x2 -4x+1 命题角度 2　 利用平方差公式进行简便计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】将其改写成两数和与两数差的积的形式, 构成平方差公式结构. 2. 计算:99×101. 解:原式= (100-1) ×(100+1)= 1002 -12 = 9 999. 命题角度 3　 添项后运用平方差公式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】在不改变原式的值的前提下,将原式添上 一个因式构成平方差公式使计算简便. 3. 计算:(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1); 解:原式= (2-1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) = (22 -1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) = 216 -1. 一、教学目标 理解平方差公式,并能灵活运用公式进行计算. 二、教学重难点 重点:平方差公式及其特征. 难点:平方差公式的运用. 一、问题导入 1. 你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗? 解:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一 项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2. 计算: (1)(x+1)(x+3)= 　 x2 +4x+3　 ; (2)(x+3)(x-3)= 　 x2 -9　 ; (3)(m+n)(m-n)= 　 m2 -n2 　 . 二、探究新知 问题 1　 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)= 　 x2 -1　 ; (2)(m+2)(m-2)= 　 m2 -4　 ; (3)(2x+1)(2x-1)= 　 4x2 -1　 . 解:上面的几个运算都是形如 a+b 的多项式与形如 a-b 的多项式相乘. 由于(a+b)(a-b)= a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2,所以,对于具有与此相同形式的多项式相 乘,我们可以直接写出运算结果. (a+b)(a-b)= a2 - 24 b2 这个公式叫做(乘法的)平方差公式. 问题 2　 观察图①和图②. 你能发现它们的面积有 什么关系吗? 解:图①可看做是一个长为 a + b,宽为 a - b 的长 方形; 图②可看做是一个边长为 a 的正方形减去一个边长 为 b 的正方形,则面积为 a2 -b2 . 由两部分面积相等,得(a+b)(a-b)= a2 -b2 . 【知识归纳】 1. 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数 的平方差,用字母表示为(a+b)(a-b)= a2 -b2 . 2. 能用平方差公式进行运算的式子的特征: (1)二项式与二项式的积; (2)有一项相同,另一项互为相反数. 三、例题精讲 1. 运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2);(2)( -x+2y)( -x-2y) . 解:(1)(3x+2)(3x-2)= (3x) 2 -22 = 9x2 -4; (2)( -x + 2y) ( - x - 2y) = ( - x) 2 - ( 2y) 2 = x2 -4y2 . 2. 计算: (1)(y+2)(y-2) -(y-1)(y+5); (2)102×98. 解:(1)　 (y+2)(y-2) -(y-1)(y+5) = y2 -22 -(y2 +4y-5) = y2 -4-y2 -4y+5 = -4y+1; (2)102×98 = (100+2)(100-2)= 1002 -22 = 10 000-4 = 9 996. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 平方差公式及其特征. 2. 平方差公式的运用. 反思:通过了解平方差公式的几何背景,体会数形结 合的思想方法. 14. 2. 2　 完全平方公式 一、置疑导入 【师】请同学们探究下列问题: 　 　 一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客 时,老人都要拿出糖果招待他们. 来一个孩子,老人就 给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子 两块糖,来三个孩子,老人就给每个孩子三块糖…… (1)第一天有 a 个男孩去了老人家,老人一共给了 这些孩子多少块糖? (2)第二天有 b 个女孩去了老人家,老人一共给了这 些孩子多少块糖? (3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共 给了这些孩子多少块糖? (4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们 得到的糖果总数哪个多? 多多少? 为什么? 【生】(1)第一天老人一共给了这些孩子 a2 块糖. (2)第二天老人一共给了这些孩子 b2 块糖. (3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b) 2 块糖. (4)孩子们第三天得到的糖块总数比前两天他们得 到的糖块总数多,应用减法,即(a+b) 2 -(a2 +b2) . 【师】我们上一节学了平方差公式,即(a+b)(a-b)= a2 -b2,现在遇到了两个数的和的平方,该怎样处理呢? 【教学与建议】 教学:采用“发糖果事例”让学生领会完全平方公式 的内涵. 建议:问题(1)(2)(3)回答,问题(4)小组讨论. 二、归纳导入 自主探究:计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(x+1) 2 = (x+1)(x+1)= 　 x2 +2x+1　 ; (2)(x+2) 2 = 　 (x+2)(x+2)　 = 　 x2 +4x+4　 ; (3)(x-1) 2 = (x-1)(x-1)= 　 x2 -2x+1　 ; (4)(x-2) 2 = 　 (x-2)(x-2)　 = 　 x2 -4x+4　 ; (5)(a+b) 2 = 　 (a+b)(a+b)　 = 　 a2 +2ab+b2 　 ; (6)(a-b) 2 = 　 (a-b)(a-b)　 = 　 a2 -2ab+b2 　 . 【归纳】 文字叙述:　 两个数的和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍　 . 符号叙述:　 (a+b) 2 =a2 +2ab+b2,(a-b) 2 = a2 -2ab+ b2 　 . 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式. (出示投影) 你能根据图①和②中的面积证明完全平方公式吗? 【教学与建议】 教学:学生自主探究,利用数形结合的情境领会完全 平方公式的内涵. 建议:老师要深入到学生中,发现问题,要及时启发 引导. 三、类比导入 1. 去括号法则的内容是什么? 2. 根据去括号法则填空: 34 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 a+(b+c)= 　 a+b+c　 ;a-(b+c)= 　 a-b-c　 . 3. 把以上各式反过来,即交换等式的左右两边, 可得: a+b+c=a+(　 b+c　 );a-b-c=a-(　 b+c　 ) . 4. 仿照去括号法则,叙述添括号法则: (1)添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里 的各项都　 不变　 符号; (2)如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 　 改变　 符号. 【教学与建议】 教学:通过已学知识进行类比,获得新知识,体现新 旧知识之间的联系. 建议:鼓励学生发现结论,并举例来验证自己的 发现. 命题角度 1　 直接运用完全平方公式计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】用完全平方公式(a±b) 2 =a2 ±2ab+b2 直接 计算. 口诀记忆:首平方,尾平方,2 倍之积在中央. 1. 计算(2x-1)(1-2x)的结果正确的是( C ) A. 4x2 -1　 　 　 　 　 　 　 B. 1-4x2 C. -4x2 +4x-1 D. 4x2 -4x+1 2. 计算(2x-y) 2 . 解:原式= 4x2 -4xy+y2 . 命题角度 2　 利用添括号法则综合运用乘法公式进行 计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】灵活运用平方差公式或完全平方公式进 行变形. 在变形过程中要运用加法交换律和结合律. 3. 为了应用乘法公式计算(x-2y+1)(x+2y-1),下列变 形中正确的是( B ) A. [x-(2y+1)] 2 B. [x-(2y-1)][x+(2y-1)] C. [(x-2y) +1][(x-2y) -1] D. [x+(2y-1)] 2 命题角度 3　 利用完全平方公式进行数字简便计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】有些数学计算可拆成两数(式)平方差、 和(差)的平方的形式,利用完全平方公式简算. 4. 计算:(1)5012;(2)99. 82 . 解:(1)5012 = (500+1) 2 = 5002 +2×500×1+12 = 250 000+1000+1 = 251001; (2)99. 82 = (100-0. 2) 2 = 1002 -2×100×0. 2+0. 22 = 10 000-40+0. 04 = 9 960. 04. 命题角度 4　 利用乘法公式化简求值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】对于整式的化简求值问题,先去括号再合 并同类项,最后代入数值计算. 5. 化简求值:(2x+y) 2 +(x+2y) 2 -x(x+y) -2(x+2y)(2x+ y),其中 x= 2,y= 1. 解:原式= [2x+y-(x+2y)] 2 -x2 -xy = (x-y) 2 -x2 -xy = y2 -3xy,当 x= 2,y= 1 时,原式= -5. 命题角度 5　 利用乘法公式研究图形特征 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】通过正方形、长方形、三角形、平行四边形 等几何图形的剪拼变化,反映完全平方公式或平方差 公式. 6. 如图①,把一个长为 2m,宽为 2n(m>n)的长方形两 次对折后展开,再用剪刀沿图中折痕剪开,把它分成 四块完全相同的小长方形,最后按图②那样拼成一个 正方形,则中间空的部分的面积是( C ) 图① 　 　 　 图② A. 2m B. (m+n) 2 C. (m-n) 2 D. m2 -n2 一、教学目标 1. 利用多项式相乘的法则推导完全平方公式,并掌握公 式的结构特征. 2. 会运用完全平方公式,并能灵活运用公式进行计算. 3. 类比去括号法则,理解添括号法则. 二、教学重难点 重点:1. 完全平方公式的结构特征. 2. 掌握添括号法则的运用. 难点:完全平方公式的运用. 一、知识回顾 1. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2. 试着写出结果: (1)(x+1) 2 = 　 x2 +2x+1　 ; (2)(x-1) 2 = 　 x2 -2x+1　 ; (3)(m+n) 2 = 　 m2 +2mn+n2 　 ; (4)(m-n) 2 = 　 m2 -2mn+n2 　 . 二、探究新知 问题 1　 你能根据完全平方公式说明图(1)中大正 方形的面积和图(2)中③的面积吗? 图(1) 　 　 　 　 图(2) 解:图(1)的面积 S= (a+b) 2 或 S=a2 +2ab+b2 . 图(2)中③的面积 S= (a-b) 2 或 S=a2 -2ab+b2 . 问题 2 (1)(a+b) 2 与( -a-b) 2 相等吗? (2)(a-b) 2 与(b-a) 2 相等吗? (3)(a-b) 2 与 a2 -b2 相等吗? 解:(1)a+b 与-a-b 互为相反数,(a+b) 2 与( -a-b) 2 相等; (2)a-b 与 b-a 互为相反数,(a-b) 2 与( b-a) 2 相等; (3)(a-b) 2 与 a2 -b2 不相等. 【知识归纳】 1. 完全平方公式:(a+b) 2 = a2 +2ab+b2,(a-b) 2 = a2 - 44 2ab+b2 . 即两个数的和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加上(或减去)它们积的 2 倍. 2. 互为相反数的两个数的平方相等. 问题 3　 在括号内填上适当的项,使等式成立: (1) a+b+c=a+( b+c );(2) a-b-c=a-( b+c ) . 【知识归纳】 1. 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各 项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号 里的各项都改变符号. 2. 可以用去括号来检验所添括号是否正确. 三、例题精讲 1. 运用完全平方公式计算: (1)(4m+n) 2;(2)(y- 1 2 ) 2;(3)1022;(4)992 解:(1)( 4m + n) 2 = ( 4m) 2 + 2 · ( 4m) · n + n2 = 16m2 +8mn+n2; (2)(y- 1 2 ) 2 = y2 -2·y· 1 2 +( 1 2 ) 2 = y2 -y+ 1 4 . (3)1022 = (100+2) 2 = 1002 +2×100×2+22 = 10 000+400+4 = 10 404; (4)992 = (100-1) 2 = 1002 -2×100×1+12 = 10 000-200+1 = 9 801. 2. 运用乘法公式计算: (1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c) 2 . 解:(1)　 (x+2y-3)(x-2y+3) = [x+(2y-3)][x-(2y-3)] = x2 -(2y-3) 2 = x2 -(4y2 -12y+9) = x2 -4y2 +12y-9; (2)(a+b+c) 2 = [(a+b) +c] 2 = (a+b) 2 +2(a+b)c+c2 =a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 完全平方公式及其特征. 2. 完全平方公式的运用. 反思:会运用完全平方公式,并能灵活运用公式进行 计算. 14. 3　 因式分解 14. 3. 1　 提公因式法 一、类比导入 问题:计算 260×3. 7+260×5. 6+260×0. 7. 解:原式= 260×(3. 7+5. 6+0. 7)= 260×10 = 2 600. (1)讨论上题的计算方法,分别提出各自的依据,然 后比较哪种方法简便; (2)类似地,ma+mb+mc=m(a+b+c); (3)引入“因式分解”及“公因式”的概念. 【教学与建议】 教学:此例让学生结合因数分解和数的乘法的关系 进行类比导入提公因式法. 建议:让学生讨论、交流,然后进行归纳、概括. 二、归纳导入 因式分解的意义 1. 计算: (1)m(a+b+c)= ma+mb+mc; (2)(a+b)(a-b)= a2 -b2; (3)(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 . 2. 试一试,填空: (1)ma+mb+mc=m·(a+b+c); (2)a2 -b2 = (a+b)(a-b); (3)a2 +2ab+b2 = (a+b) 2 . 请同学们自己总结 1,2 两题的特点和联系. 因式分解与整式乘法的关系: 多项式 整式×整式×…×整式 这节课将探索提公因式法. 【教学与建议】 教学:通过练习归纳,类比得到因式分解及公因式的 概念. 建议:鼓励学生发表自己的观点并归纳出计算方法. 命题角度 1　 辨别因式分解与整式乘法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】因式分解应是(1)必须是整式;(2)右边 必须是乘积形式;(3)必须是恒等式. 1. 下列从左到右的变形是 因 式 分 解 并 且 正 确 的 是( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x2 -xy-x= 2x(x-y-1) B. -xy2 -2xy+3y= -y(xy-2x-3) C. x(x-y) -y(x-y)= (x-y) 2 D. 3x2 -3x-3 = 3x(x-1) -3 命题角度 2　 利用提公因式法分解因式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】提公因式法分解因式的基本步骤:(1)确 定应提取的公因式;(2)用公因式去除这个多项式,所 得的商作为另一个因式;(3)把多项式写成这两个因 式的积的形式. 2. 多项式 8a3b2 +12ab3c 的公因式是( B ) A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 3. 把下列各式分解因式: (1)4x2 -2x;(2) -8x2y2 -4x2y+2xy. 解:(1)原式= 2x(2x-1);(2)原式= -2xy(4xy+2x-1) . 一、教学目标 1. 了解因式分解与公因式的概念. 2. 理解提公因式法,并会熟练地运用提公因式法分解 因式. 二、教学重难点 重点:会用提公因式法分解因式. 难点:如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个 因式. 54