14.1 整式的乘法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

第十四章　整式的乘法与因式分解 14. 1　 整式的乘法 14. 1. 1　 同底数幂的乘法 一、复习导入 复习旧知识、引入新课题: 由学生独立完成下列题目,教师引导学生复习乘方 的相关知识. (1)n 个相同因数的积的运算叫做　 乘方　 ,乘方的 结果叫做　 幂　 ,则 n 个 a 相乘,写成乘方的形式为 an,其中 a 叫　 底数　 ,n 叫　 指数　 ,an 读作　 a 的 n 次幂　 . (2)a3 表示 　 3 个 a 　 相乘,把 a3 写成乘法的形式 为:a3 =a·a·a. (3)a3,a4,a,a2,它们的指数相同吗? 它们的底数相 同吗? (4)式子 102 ×103 的意义是什么? 这个积中的两个 因式有何特点? (5)怎样计算 102 ×103? 谈谈你的想法. (6)怎样计算 a2·a3? 谈谈你的想法. (7)通过以上例子你有何发现? 你能用字母来表示 吗? 谈谈你的想法. 【教学与建议】 教学:通过乘方概念的形成过程推导出同底数幂的 乘法性质. 建议:分小组讨论后完成解答,在教学时教师要充分 利用实例. 二、归纳导入 1. 填空:(学生完成) (1)52 ×53 = (　 5×5　 ) ×( 　 5×5×5　 )= 　 5×5×5 ×5×5　 = 　 55 　 ; (2)102 ×103 = 　 105 　 ; (3)a3·a2 = 　 a5 　 . 2. 猜想: (1)a4·a5 = 　 a9 　 ; (2)10m×10n = 　 10m+n 　 ; (3)am·an = 　 am+n 　 　 (m,n 都是正整数) . 【归纳】 同底数幂相乘,底数　 不变　 ,指数　 相加　 . 【教学与建议】 教学:教学时教师运用归纳、类比思想进行讲解. 建议:教师提出问题让学生大胆探索,以此引起学生 的求知欲并引导学生归纳总结. 命题角度 1　 直接利用同底数幂的乘法法则进行计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解题技巧】熟练运用 a m·an =am+n 计算. 1. 计算 3x3·x2 的结果是( B ) A. 3x　 　 　 　 B. 3x5 　 　 　 　 C. 3x6 　 　 　 　 D. x5 命题角度 2　 同底数幂的乘法法则的逆运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】当一个幂的指数中含有加法运算时,可逆 用 am+n =am·an . 2. 若 3a = 2,3b = 5,则 3a+b+1 的值为( A ) A. 30 B. 10 C. 6 D. 38 一、教学目标 会运用法则,熟练进行同底数幂的乘法运算. 二、教学重难点 重点:运用同底数幂的乘法法则进行计算. 难点:逆用同底数幂的乘法法则. 一、问题导入 1. 什么叫乘方? 乘方的意义是什么? 解:an 表示 n 个 a 相乘,这种运算叫乘方,其结果 叫做 幂, a 叫 做 底 数, n 是 指 数, 即 an = (a·a·…·a)üþ ýï ï ï ï ï ï n个a 2. 一种电子计算机每秒进行 1 亿亿(1016 )次运算, 它工作 103s 可进行多少次运算? 解:1016 ×103 . 二、探究新知 问题　 式子 1016 ×103 表示的意义是什么? 应该怎么 计算? 【分析】我们观察可以发现,1016 和 103 这两个因数 底数相同,是同底数幂的形式. 所以我们把 1016 ×103 这种运算叫做同底数幂的乘法. 解:根据乘方的意义可知: 1016 × 103 = (10×10×10×…×10)üþ ýï ï ï ï ï ï ï ï 16个10 × (10×10×10)üþ ýï ï ï ï 3个10 = (10×10×…×10)üþ ýï ï ï ï ï ï 19个10 = 1019 【知识归纳】 1. 同底数幂的乘法运算法则:同底数幂相乘,底数不 变,指数相加. 即 am · an = am+n (m, n 都是正整 数) . 2. 同底数幂乘法运算法则的逆用:am+n = am·an(m, n 都是正整数) . 三、例题精讲 1. 计算: (1)x2·x5; 33 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 (2)a·a6; (3)( -2) ×( -2) 4 ×( -2) 3; (4)xm·x3m+1 . 解:(1)x2·x5 = x2+5 = x7; (2)a·a6 =a1+6 =a7; (3) ( - 2) × ( - 2) 4 × ( - 2) 3 = ( - 2) 1+4+3 = ( - 2) 8 = 256; (4)xm·x3m+1 = xm+3m+1 = x4m+1 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 同底数幂的乘法运算法则. 2. 同底数幂的乘法运算法则的逆用:am+n = am ·an(m,n 都是正整数) . 反思:经过知识点的专题训练,培养学生逆向思维 能力. 14. 1. 2　 幂的乘方 一、情境导入 　 　 如果太阳、木星和地球可近似看作球体,那么大 家知道太阳、木星和地球的体积的大致比例吗? 我 可以告诉你,木星的半径是地球半径的 10 倍,太阳 的半径是地球半径的 102 倍,假设地球的半径为 r, 那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少. (球的体积公式为 V= 4 3 πr3) 学生在练习本上演算. 教师总结,并引出课题. 【教学与建议】 教学:情境导入幂的乘方例题,激发学生学习兴趣. 建议:利用同底数幂的乘法讲解下面几个题目:(1) (22) 3;(2)(a2) 3;(3)(bn) 3(n 是正整数) . 进而归纳 总结并进行小组讨论,最后得出结论:( am) n = amn (m,n 都是正整数) . 二、归纳导入 1. 乘方的意义:102 中,底数是　 10　 ,指数是　 2　 , 表示 　 有 2 个 10 相 乘 　 ; ( 102 ) 3 的 意 义 是:　 有 3 个 102 相乘　 . 2. 根据幂的意义解答: (102) 3 = 　 102 × 102 × 102 　 ( 根据幂的意义) = 　 102+2+2 　 (根据同底数幂的乘法法则)= 　 102×3 　 【归纳】 (am) n = 　 amn 　 (m,n 都是正整数) . 幂的乘方,底数 　 不变　 ,指数　 相乘　 . 【教学与建议】 教学:从特殊到一般的逻辑推理,让学生学会归纳. 建议:引导学生认真思考,并得出结论. 观察结果中 幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,归纳出 计算法则. 命题角度 1　 直接利用幂的乘方的法则计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】幂的乘方,底数不变,指数相乘. 当底数是 一个多项式时,应将多项式视为一个整体,同样可用 幂的乘方的法则解答. 1. 下列各式计算正确的是( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (x2) 6 = x8 B. (x3) 4 = x12 C. (xn+1) 3 = x3n+1 D. x5·x6 = x30 命题角度 2　 逆用幂的乘方法则 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】逆用幂的乘方法则:amn = (am) n,代入已 知数据求值或将方程的两边化为同底数幂的形式,得 到一个关于 x 的一元一次方程. 2. 已知有理数 x,y,m,n 满足 5x = m,5y = n,则 53x+2y 等 于( B ) A. 3m+2n B. m3n2 C. 3m·2n D. m3 +n2 命题角度 3　 运用幂的乘方进行数的大小比较 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】这类题目一般从指数着手,可逆用幂的乘 方性质化成相同指数. 比较幂的大小,可转化为同底 数或同指数的幂的形式进行比较. 3. 比较 5333,4444 和 3555 的大小. 解:∵ 5333 = (53 ) 111 = 125111,3555 = (35 ) 111 = 243111,4444 = (44) 111 = 256111,125<243<256,∴ 5333 <3555 <4444 . 一、教学目标 1. 理解幂的乘方的意义及运算法则. 2. 让学生学会运用法则,熟练进行幂的乘方的运算. 二、教学重难点 重点:运用幂的乘方法则进行计算. 难点:逆用幂的乘方法则. 一、知识回顾 同底数幂的乘法运算法则:同底数幂相乘,底数不 变,指数相加,即 am·an =am+n ( m,n 都是正整数 ) . 二、探究新知 问题:根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空, 观察计算结果,你能发现什么规律? (1)(32) 3 = 32 ×32 ×32 = 3(6) ; (2)(a2) 3 =a2·a2·a2 =a(6) ; (3)(am) 3 =am·am·am =a(3m)(m 是正整数) . 【知识归纳】 1. 上面各式的括号里都是幂的形式,然后再乘方,我 们把这种运算叫做幂的乘方. 43 2. 幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相 乘. 即(am) n =amn(m,n 都是正整数) . 3. 幂的乘方运算法则的逆用:amn = ( am ) n = ( an )m (m,n 都是正整数) . 三、例题精讲 1. (1)(103) 5;(2)(a4) 4;(3)(am) 2;(4) -(x4) 3 . 解:(1)(103) 5 = 103×5 = 1015;(2)(a4) 4 =a4×4 =a16; (3)(am)2 =am×2 =a2m;(4)-(x4)3 = -x4×3 = -x12 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 幂的乘方的运算法则. 2. 幂的乘方的运用. 反思:经过知识点的专题训练,培养学生逆向思维 能力. 14. 1. 3　 积的乘方 一、归纳导入 观察下面的计算过程,仿照第(1) 小题的过程填写 每一步的理论根据: 由(1)(2)(3)的化简,得出: (1)(2×3) 7 = 27 ×37; (2)(2×3)m = 2m×3m(m 是正整数); (3)(ab) n =anbn . (n 是正整数) 【归纳】 积的乘方等于积的　 每一个因式　 分别　 乘方　 , 再把　 所得的幂　 相乘. 【教学与建议】 教学:学生自己分析计算的结果并进行讨论,归纳积 的乘方法则. 建议:学生语言描述若有困难,教师可进一步设计成 填空形式. 二、置疑导入 　 在手工制作课上,小明做了一个正方体的模型,已 知其棱长为 2 × 102 mm,求该正方体的表面积与 体积. 表面积为 6×(2×102) 2 mm2 . 体积为(2×102) 3 mm3 . 怎样计算这两个结果呢? 今天我们就来学习它的计 算方法. 【教学与建议】 教学:通过设置具体的实际问题情境导入新课,激发 学生学习的积极性及兴趣. 建议:教学中类比前面幂的乘方及同底数幂的乘法 的学习过程,总结归纳出新的规律. 命题角度 1　 直接利用积的乘方法则计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】(1)积的乘方中底数必须是乘积的形式. (2)当底数含有“-”号时,应将其视为“-1”,作为一个 因式,防止漏乘. 1. 计算( -3a3) 4 的结果是( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -3a7 B. 21a7 C. -81a12 D. 81a12 命题角度 2　 综合利用幂的运算法则进行混合运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】在进行幂的运算时要正确运用性质,注意 运算顺序. 幂的混合运算的基本步骤:先算积的乘方, 再算幂的乘方,最后算同底数幂的乘法. 2. 计算:(1)(x4·y2) 3;(2)(anb3n) 2 +(a2b6) n . 解:(1)原式= x12y6;(2)原式=a2nb6n+a2nb6n = 2a2nb6n . 命题角度 3　 逆用幂的运算法则进行简便计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】当由已知条件不能直接求值或直接求值 较复杂时,逆用 am+n =am·an(m,n 都是正整数),amn = (am) n = (an)m(m,n 都是正整数),anbn = (ab) n(n 为 正整数)这些法则简便计算. 3. 计算( - 3 2 ) 2024 ×( 2 3 ) 2025 等于( D ) A. 3 2 B. - 3 2 C. - 2 3 D. 2 3 一、教学目标 1. 通过计算、观察,理解积的乘方的运算性质及其推导 过程. 2. 正确地运用积的乘方法则进行计算. 二、教学重难点 重点:运用积的乘方法则进行计算. 难点:逆用积的乘方法则. 53 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 一、知识回顾 1. 幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相 乘. 即(am) n =amn(m,n 都是正整数) . 2. 幂的乘方运算法则的逆用:amn = ( am ) n = ( an )m (m,n 都是正整数) . 二、探究新知 问题　 填空,运算过程用到哪些运算律? 运算结果 有什么规律? (1)　 (ab) 2 = (ab)·(ab)(乘方的意义) = (a·a)·(b·b)(乘法交换律、结合律) =a(2) b(2)(同底数幂的乘法法则) (2)　 (ab) 3 = (ab)·(ab)·(ab)(乘方的意义) = (a·a·a) ·( b·b·b) (乘法交换律、结合 律) =a(3) b(3)(同底数幂的乘法法则) 解:运用乘方的意义,乘法交换律、结合律、同底数幂 的乘法法则,一般地,对于任意底数 a,b 与任意正整 数 n, (ab) n = (ab)·(ab)·…·(ab) ìî íï ï ï ï ï ï ï ï ïn个ab =a·a·…·a ìî íï ï ï ïn个a ·b·b·…·b ìî íï ï ï ïn个b =anbn . 【知识归纳】 1. 积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积的每一个 因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab) n = anbn (n 为正整数) . 2. 积的乘方运算法则的逆用:anbn = (ab) n(n 为正整 数) . 三、例题精讲 1. 计算: (1)(2a) 3;(2)( -5b) 3;(3)(xy2) 2;(4)( -2x3) 4 . 解:(1)(2a) 3 = 23·a3 = 8a3; (2)( -5b) 3 = ( -5) 3·b3 = -125b3; (3)(xy2) 2 = x2·(y2) 2 = x2y4; (4)( -2x3) 4 = ( -2) 4·(x3) 4 = 16x12 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 积的乘方运算法则. 2. 积的乘方运算法则的逆用:anbn = ( ab) n( n 为正整数) . 反思:经过知识模块的专题训练,培养逆向思维能力. 14. 1. 4　 整式的乘法 第 1 课时　 单项式与单项式相乘 一、归纳导入 　 　 一位画家设计了一幅长为 5 000 m,名为“奥运 龙”的宣传画. 受他的启发,京京用两张同样大小的 纸,精心制作了两幅画. 如图所示,第一幅画的画面 大小与纸的大小相同,第二幅画的画面与纸的上、下 方各留有 1 10 x m 的空白. (1)第一幅画的画面面积是多少? (2)第二幅画的画面面积是多少? A 生:第一幅画的画面面积是[x·(mx)] m2,第二幅 画的画面面积是[(mx)· 4 5 x]m2 . B 生:第一幅画的画面面积是 mx2 m2,第二幅画的画 面面积是 4 5 mx2 m2 . 根据上述问题的讨论,回答下列问题: 问题 1　 他们的结果是否正确? 若不正确,请判断 谁对或给出你的答案;若都正确,它们之间又有什么 关系? B 生的答案又是怎样得来的? 问题 2　 单项式乘单项式时,结果的系数是怎样得 到的? 相同的字母怎么办? 仅在一个单项式里出现 的字母怎么办? 问题 3 　 类似地,你能用你的发现分别将 2a2b· 3ab3c 和(xyz2)·(5y2z3)表示的更简单吗? (3)如何进行单项式与单项式相乘的运算? 你能用 自己的语言描述总结出单项式与单项式相乘的运算 法则吗? 【归纳】 单项式与单项式相乘,把它们的　 系数　 、　 同底数 幂　 分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母, 则连同它的　 指数　 作为积的一个因式. 【教学与建议】 教学:从实际问题导入,让学生动手试一试,主动探 索,归纳计算法则. 建议:(1)学生能否自己主动参与探索过程;(2)学 生能否自行分析每一步的依据;(3)学生在交流中 所投入的情感和态度. 二、情境导入 　 　 探索火星、月球以及其他星球的奥秘已逐渐被 世人关注,飞向月球、进入太空也不再是遥远的事, 63 浩瀚的宇宙期待着人们的光临. (1)天文学上计算星球之间的距离的一种单位叫 “光年”,即光在一年里通过的距离. 1 年约等于 3× 107 s,光的速度约为 3×105 km / s,则 1 光年大约是多 少千米? 学生列式,教师提出问题: 　 　 那么如何计算(3×107) ×(3×105 )呢? 学完这节 课,你一定会迎刃而解的. (揭示课题) 【教学与建议】 教学:利用实际问题情境导入新课,激发学生的积 极性. 建议:学生分组合作探究,每个小组完成后,给出答 案并进行展示. 命题角度 1　 直接利用单项式乘法的运算法则运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】可先利用乘法交换律、结合律变形成数与 数相乘,同底数幂与同底数幂相乘的形式,单独一个 字母照抄. 1. 计算: (1)(3x2y2)·( -xy); (2)( -2a2b3)·( -4a2) . 解:(1)原式= -3x3y3; (2)原式= 8a4b3 . 命题角度 2　 单项式乘法与幂的混合运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】在混合运算中要先算乘方,再算乘除,最 后算加减. 2. 计算( -a) 3(ab2) 2 的结果是(C) A. a5b4 　 　 　 B. a4b4 　 　 　 C. -a5b4 　 　 　 D. -a4b4 3. 计算:x2y3·2x2y4 +( -3xy2) 2·xy. 解:原式= 2x4y7 +9x3y5 . 一、教学目标 通过观察、计算,理解单项式乘以单项式法则的生成 过程. 二、教学重难点 重点:运用单项式乘以单项式的法则进行计算. 难点:法则的灵活运用. 一、问题导入 　 　 光的速度约为 3×105km / s,太阳光照射到地球 上需要的时间大约是 5×102s,你知道地球与太阳的 距离约是多少千米吗? 解:地球与太阳的距离约是(3×105) ×(5×102)km. 二、探究新知 问题 1　 (1)怎样计算(3×105) ×(5×102 ),计算过程 中用到哪些运算律及运算性质? (2)如果将上式中的数字改为字母,比如 ac5 ·bc2, 怎样计算这个式子? 解:( 1) 利用乘法交换律和结合律; 同底数幂的 乘法. (3×105) ×(5×102)= (3×5) ×(105 ×102 )= 15 ×107 = 1. 5×108 . (2)ac5·bc2 = (a·b)·(c5·c2)(乘法交换律、结合律) =abc5+2(同底数幂的乘法) =abc7 . 【知识归纳】 1. 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同 底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的 字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式. 三、例题精讲 1. 计算: (1)( -5a2b)( -3a);　 　 　 　 (2)(2x) 3( -5xy2) . 解:(1 ) 原式 = [( - 5 ) × ( - 3 )] ( a2 · a) · b = 15a3b; (2)原式= 8x3·( -5xy2) = [8×( -5)](x3·x)·y2 = -40x4y2 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:单项式乘单项式运算法则. 反思:掌握单项式乘以单项式的法则,并能熟练运用 法则进行计算. 第 2 课时　 单项式与多项式相乘 一、复习导入 1. 口述单项式乘以单项式法则. 2. 口述乘法分配律. 二、情境导入 　 　 随着夏季到来,有 3 家超市以相同价格 n(单 位:元 /台)销售 A 牌空调,他们在一年内的销售量 (单位:台)分别是 x,y,z,请你采用不同的方法计算 他们在这一年内销售这种空调的总收入. (1) 分四人小组, 与同伴交流, 寻求不同的表示 方法. 方法一:首先计算出这三家超市销售 A 牌空调的总 量(单位:台),再计算出总的收入(单位:元) . 即:n(x+y+z) . 方法二:采用分别计算出三家超市销售 A 牌空调的 73 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 收入,然后再计算出他们的总收入(单位:元) . 即:nx+ny+nz. 由此可得:n(x+y+z)= nx+ny+nz. (2)如何进行单项式与单项式相乘的运算? 你能用 自己的语言描述总结出单项式与单项式相乘的运算 法则吗? 【归纳】 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的 每一项,再把所得的积相加. 【教学与建议】 教学:从实际问题导入,让学生动手试一试,主动探 索,归纳计算法则. 建议:(1)学生能否自己主动参与探索过程;(2)学 生能否自行分析每一步的依据;(3)学生在交流中 所投入的情感和态度. 命题角度 1　 直接利用单项式乘多项式的法则运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】运用法则运算要注意两点:(1)单项式与 多项式相乘时,注意不要漏乘多项式中的常数项;(2) 单项式与多项式相乘时,注意确定符号. 1. 计算:(1)3a2(a3b2 -2a) -4a( -a2b) 2; 解:原式= 3a5b2 -6a3 -4a·a4b2 = 3a5b2 -6a3 -4a5b2 = -a5b2 -6a3; (2)x(x-1) +2x(x+1) -3x(2x-5) . 解:原式= x2 -x+2x2 +2x-6x2 +15x = -3x2 +16x. 命题角度 2　 单项式乘多项式化简求值问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】按照单项式乘多项式的法则先化简后,再 代入求值. 符号的确定是解题的关键. 2. (1)当 x= 1,y= 1 5 时,求 3x(2x+y) -2x(x-y)的值. 解:原式= 6x2 +3xy-2x2 +2xy = 4x2 +5xy. 当 x = 1,y = 1 5 时,原式= 5. (2)已知代数式 7a(a-kb) -3(b2 -14ab-1)经化简后 不含 ab 项,求 k 的值. 解:原式=7a2-7abk-3b2 +42ab+3= 7a2 -3b2 +(42-7k)ab+ 3. ∵ 化简后不含 ab 项,∴ 42-7k=0,解得 k=6. 命题角度 3　 单项式与多项式在实际生活中的运用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】根据题意用含字母的式子表示出计算公 式,再化简或求值. 3. 一个拦水坝的横断面是梯形,其上底长是(3a2 -2b)m, 下底长是(3a+4b)m,高是 2a2b m,要建造长为 3ab m 的水坝,需要多少土石? 解:(3a2 -2b+3a+4b)·2a2b÷2·3ab = (9a5b2 +9a4b2 + 6a3b3)m3 . 答:需要(9a5b2 +9a4b2 +6a3b3)m3 土石. 一、教学目标 通过观察、计算,理解单项式乘以多项式法则的生成 过程. 二、教学重难点 重点:运用单项式乘以多项式的法则进行计算. 难点:法则的灵活运用. 一、问题导入 　 　 为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长 p m,宽为 b m 的长方形绿地,向两边分别加宽 a m 和 c m,你能求出扩大后的绿地面积吗? 二、探究新知 问题 要求扩大后的绿地面积,有多少种方法? 解:如果把它看成三个小长方形,那么它们的面积可 分别表示为 pa m2、pb m2、pc m2 . 如果把它看成一个大长方形,那么它的面积可表示 为 p(a+b+c)m2 . 即 p(a+b+c)= pa+pb+pc. 【知识归纳】 1. 一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘 多项式的每一项,再把所得的积相加,即 p(a+b+ c)= pa+pb+pc. 2. 单项式与多项式相乘,结果仍然是多项式. 三、例题精讲 1. 计算: (1)( -4x2)(3x+1); (2)( 2 3 ab2 -2ab)· 1 2 ab. 解:(1)( -4x2)(3x+1)= ( -4x2)(3x) +( -4x2) ×1 = ( -4×3)(x2·x) +( -4x2) = -12x3 -4x2; (2)　 ( 2 3 ab2 -2ab)· 1 2 ab = 2 3 ab2· 1 2 ab+( -2ab)· 1 2 ab = 1 3 a2b3 -a2b2 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:单项式乘多项式运算法则. 反思:掌握单项式乘以多项式的法则,并能熟练运用 法则进行计算. 83 第 3 课时　 多项式与多项式相乘 归纳导入 　 　 前面我们学习了单项式乘单项式及单项式乘多项 式,那么怎么计算形如(a+b)(m+n)这样的式子呢? 可 以把某个多项式运用整体思想看作一个单项式,然后运 用单项式乘多项式的法则运算. (a+b)(m+n)= a(m+n) +b(m+n)= am+an+bm+bn. 【归纳】 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项,再把所得的积相加. 【教学与建议】 教学:利用单项式乘单项式及单项式乘多项式的运算方 法,直接计算多项式乘多项式. 建议:引导学生把(m+n)看成一个整体,两个多项式(a +b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相 乘的问题. 命题角度 1　 多项式乘多项式的运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】多项式乘多项式,实际上是转化为单项式 与单项式的乘法运算来完成的. 1. 计算:( -3x+2b)·(2x-4b) . 解:( -3x + 2b) · ( 2x - 4b) = ( - 3x) ·2x + ( - 3x) · ( -4b)+2b·2x+2b·( -4b)= -6x2 +12bx+4bx-8b2 = -6x2 +16bx-8b2 . 命题角度 2　 与多项式乘法有关的求值问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】利用多项式与多项式相乘求整式的值,主 要有以下五种类型:①化简求值型;②缺项求值型;③ 对应系数求值型;④变形代入求值型;⑤错解分析求 值型. 灵活根据题型运用法则计算. 2. 小梦计算一道整式乘法的题:(x+m) (5x-4),由于小 梦将第一个多项式中的“ +m”抄成“ -m”,得到的结果 为 5x2 -34x+24. (1)求 m 的值; (2)请计算出这道题的正确结果. 解:(1)由题意,得(x-m)(5x-4)= 5x2 -4x-5mx+4m = 5x2 -34x+24, ∴ -4-5m= -34,∴ m= 6; (2)(x+6)(5x-4)= 5x2 -4x+30x-24 = 5x2 +26x-24. 命题角度 3　 多项式乘多项式的几何应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】先用式子表示图形的长、宽,再利用面积 (或体积)公式求面积(或体积). 3. 如图,长方形 ABCD 的面积为　 x2 +5x+6　 (用含 x 的 式子表示) . 一、教学目标 1. 理解并掌握多项式乘多项式的法则. 2. 会运用法则,熟练进行多项式乘多项式的运算. 二、教学重难点 重点:运用多项式乘以多项式的法则进行计算. 难点:理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘 多项式三者之间的关系. 一、问题导入 为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长 a m,宽 为 p m 的长方形绿地,加长了 b m,加宽了 q m,你能 求出扩大后的绿地面积吗? 二、探究新知 问题 　 如图,你能用几种方法求出扩大后的绿地 面积? 解:方法一:扩大后的绿地可以看成长为(a+b)m,宽 为(p+q)m 的长方形,所以这块绿地的面积为(a +b)(p+q)m2 . 方法二:扩大后的绿地可以看成由四个小长方形 组成,所以这块绿地的面积为 ( ap + aq + bp + bq)m2 . 因此(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【知识归纳】 1. 一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积 相加,即(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 2. 多项式与多项式相乘,所得结果仍然为多项式. 在 合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式 项数之积. 三、例题精讲 1. 计算: (1)(3x+1)(x+2);(2)(x-8y)(x-y); (3)(x+y)(x2 -xy+y2) . 解:(1)(3x+1)(x+2) = (3x)·x+(3x) ×2+1·x+1×2 93 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 = 3x2 +6x+x+2 = 3x2 +7x+2; (2)(x-8y)(x-y)= x2 -xy-8xy+8y2 = x2 -9xy+8y2; (3)(x+y)(x2 -xy+y2)= x3 -x2y+xy2 +x2y-xy2 +y3 = x3 +y3 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 多项式乘多项式法则. 2. 多项式乘多项式法则的应用. 反思:通过运算理解单项式乘单项式、单项式乘多项 式、多项式乘多项式三者之间的关系. 第 4 课时　 同底数幂的除法 一、情境导入 1. 叙述同底数幂的乘法运算法则: 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 即 am ·an = am+n . (m,n 都是正整数) 2. 问题:一种数码照片的文件大小是 28 K,一个存储 量为 26 M(1 M = 210 K)的移动存储器能存储多少 张这样的数码照片? 　 　 移动器的存储量单位与文件大小的单位不一 致,所以要先统一单位. 移动存储器的容量为 26 × 210 = 216K. 所以它能存储这种数码照片的数量为 216 ÷28 . 216,28 是同底数幂,同底数幂相除如何计算呢? 【教学与建议】 教学:通过情境导入同底数幂的除法,激起学生探究 欲望. 建议:让学生独立思考利用乘法法则进行逆运算. 二、类比导入 1. 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即 am ·an = am+n(m,n 是正整数) . 2. 除法的意义:已知两因数的积和其中一个因数,求 另一个因数的运算. 216 ÷28 = 28;56 ÷54 = 52;119 ÷116 = 113;a6 ÷a2 =a4 . 从上述运算中你能归纳出同底数幂除法的运算法 则吗? 【教学与建议】 教学:类比同底数幂的乘法法则探究同底数幂的除 法运算法则. 建议:让学生独立思考,探索归纳除法运算法则. 命题角度 1　 同底数幂的除法的计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】运用除法法则 am ÷an = am-n(a≠0,m,n 都 是正整数且 m>n),注意 a 是相同的底数,也可以是一 个单项式或多项式. 1. 计算( -a) 6 ÷a3(a≠0)的结果是( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -a3 B. -a2 C. a3 D. a2 命题角度 2　 零指数幂的运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】应用零指数幂计算求值以及字母的取值 范围时,底数 a 不为 0. 2. 若(a+2) 0 = 1 成立,则 x 满足( B ) A. a≠1 B. a≠-2 C. a= 1 D. a= -2 命题角度 3　 同底数幂的除法的逆运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】逆运用 am-n =am ÷an(a≠0,m,n 都是正整 数且 m>n),把指数相减的运算转化成同底数幂的除 法. 3. 已知 2x = 3,4y = 5,求 2x-2y 的值. 解:2x-2y = 2x÷22y = 2x÷4y = 3 5 . 一、教学目标 1. 理解并掌握同底数幂的除法法则. 2. 会运用法则熟练进行同底数幂的运算. 二、教学重难点 重点:运用同底数幂的除法法则进行计算. 难点:逆用同底数幂的除法法则. 一、知识回顾 1. 除法的意义:已知两因数的积和其中一个因数,求 另一个因数的运算. 2. (1)同底数幂乘法公式为:am·an =am+n(m,n 都是 正整数); (2)同底数幂乘法公式的推广:am·an·ax = am+n+x (m,n,x 都是正整数); 二、探究新知 问题 1　 计算 27 ÷22 = 　 25 　 . 问题 2　 试计算:am÷an = 　 am-n 　 . (a≠0,m,n 都是 正整数,且 m>n) 【知识归纳】 1. 同底数幂的除法法则:am ÷an = am-n(a≠0,m,n 都 是正整数,并且 m>n) . 即同底数幂相除,底数不 变,指数相减. 2. a0 = 1(a≠0) . 即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等 于 1. 三、例题精讲 1. 计算: (1)x8 ÷x2;(2)(ab) 5 ÷(ab) 2 . 解:(1)x8 ÷x2 = x8-2 = x6; (2)(ab) 5 ÷(ab) 2 = (ab) 5-2 =a3b3 . 四、巩固练习 04 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 同底数幂的除法法则. 2. 运用法则解决问题. 反思:经过知识点的专题训练, 培养学生逆向思维 能力. 第 5 课时　 整式的除法 一、置疑导入 1. 人类探究自然的脚步一刻也没停过. 近年来,我们 国家的航天事业飞速发展,“神舟”系列飞船遨游 太空,“嫦娥”系列卫星飞向月球. 现在提出一个 数学问题:月球是距离地球最近的天体,它与地球 的平均距离约为 3. 8 × 108 m. 如果宇宙飞船以 1. 12×104 m / s 的速度飞行,到达月球大约需要多 少时间? 2. 小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术节目 如下: 请你在心中想一个自然数,并且按下列程序运算 后直接告诉他答案: n → 平方 → 加 n → 除以 n → 答案 他能马上说出你所想的自然数,你知道其中的奥 妙在哪里吗? 3. 同底数幂的除法计算法则是什么? 同底数幂相除,底数不变,指数相减. 4. 计算: (1)( -8) 5 ÷( -8) 3 = 　 64　 ; (2)a6 ÷( -a) 4 = 　 a2 　 . 5. (1)15a3b·( -a2b4)= 　 -15a5b5 　 ; (2)28x4y2 ÷7x3y= 　 4xy　 . 你能说出单项式除以单项式的计算法则吗? 【教学与建议】 教学:复习同底数幂的除法以及单项式乘法,导入整 式除法运算. 比较,从而得出运算法则. 建议:要注意对学生从特殊到一般的认识方法的 培养. 命题角度 1　 单项式除以单项式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】在单项式与单项式相除的计算中,要注意 如下几个方面:(1)系数相除作为商的系数;(2)含有 相同的字母部分按同底数幂的除法性质进行,底数不 变,指数相减;(3)单独在被除式中出现的字母不能漏 掉,要连同指数直接作为商的一个因式. 1. 计算-4x3 ÷2x 的结果是( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -2x2 B. 2x2 C. -2x3 D. -8x4 命题角度 2　 多项式除以单项式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】多项式除以单项式转化为单项式除以单 项式. 2. 计算:(a4b7 -a2b6) ÷( -ab2) 2 . 解:原式=a4b7 ÷a2b4 -a2b6 ÷a2b4 =a2b3 -b2 . 命题角度 3　 化简求值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】利用去括号法则先去括号,再合并同类 项,根据除法法则化简后再代入字母的值计算. 3. 先化简,再求值: (1)5x2y÷( - 1 2 xy),x= 1 2 ,y= 1. 解:(1)原式= -10x. 当 x= 1 2 时,原式= -10× 1 2 = -5. (2)(8xy3 -6x2y2 +4x3y) ÷2xy,x= 2,y= -1. 解:(2)原式 = 8xy3 ÷2xy-6x2y2 ÷2xy+4x3y÷2xy = 4y2 - 3xy+2x2 . 当 x= 2,y= -1 时,原式= 4+6+8 = 18. 一、教学目标 1. 理解并掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式 法则. 2. 让学生会运用法则,熟练进行整式的除法运算. 二、教学重难点 重点:单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算. 难点:除式带有负号时,注意符号的变化. 一、知识回顾 1. 同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:am ÷an = am-n( a≠0,m,n 是正整数,并且 m>n ) . 2. a0 = 1( a≠0 ) . 二、探究新知 问题 1　 计算:12a3b2x3 ÷3ab2 . 【分析】同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运 算来计算,单项式除以单项式可不可以用同样的方 法来计算? 计算该式相当于求一个单项式,使它与 3ab2 的乘积等于 12a3b2x3 . 解:∵ 4a2x3·3ab2 = 12a3b2x3, ∴ 12a3b2x3 ÷3ab2 = 4a2x3 . 【知识归纳】 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的 因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指 数作为商的一个因式. 问题 2　 在学习多项式乘单项式中,运用了将多项 式乘单项式转化为单项式乘单项式的思想,在计算 多项式除以单项式中,能用类似的方法进行计算 (am+bm) ÷m 吗? 【分析】计算( am+bm) ÷m 就是相当于求一个多项 式,使它与 m 的乘积等于 am+bm. 14 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 解:∵ (a+b)·m = am+bm. ∴ (am+bm) ÷m = a+b. 又 am÷m+bm÷m=a+b. ∴ (am+bm) ÷m=am÷m+bm÷m. 【知识归纳】 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项都除 以这个单项式,再把所得的商相加. 三、例题精讲 1. 计算: (1)28x4y2 ÷7x3y; (2) -5a5b3c÷15a4b; (3)(12a3 -6a2 +3a) ÷3a. 解:(1)28x4y2 ÷7x3y = (28÷7)·x4-3·y2-1 = 4xy; (2) -5a5b3c÷15a4b = [( -5) ÷15]a5-4b3-1c = - 1 3 ab2c; (3)(12a3 -6a2 +3a) ÷3a = 12a3 ÷3a-6a2 ÷3a+ 3a÷3a= 4a2 -2a+1. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则 及运用. 反思:让学生会运用法则,熟练进行整式的除法运算. 14. 2　 乘法公式 14. 2. 1　 平方差公式 一、置疑导入 想一想: (1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特征. 7×9 = 8×8 ={ , 11×13 = 12×12 ={ , 79×81 = 80×80 ={ (2)从以上的过程中,你能寻找出什么规律? (3)请你用字母表示你所发现的规律,并得出结论. 【教学与建议】 教学:通过列举算式的简便运算,引起学生的学习 兴趣. 建议:引导学生体会特例、进行归纳、建立猜想,用符 号表示并给出证明探索过程. 二、归纳导入 计算下列多项式的积: (1)(x+1)(x-1)= 　 x2 -x+x-1　 = 　 x2 -1　 ; (2)(m+2)(m-2)= 　 m2 -2m+2m-4　 = 　 m2 -4　 ; (3)(1+3a)(1-3a)= 　 1-3a+3a-9a2 　 = 　 1-9a2 　 . 观察上述算式,你发现什么规律? 计算出结果后,你 又发现了什么规律? 上面三个算式每个因式都是二项式;等式的左边是 两数的和与两数的差的积,等式的右边是这两个数 的平方差. 【教学与建议】 教学:以探索、归纳公式这一数学情境,加深学生的 体验. 建议:与小组同伴合作、讨论、交流,然后归纳证明 结论. 命题角度 1　 直接应用平方差公式计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解题技巧】运用(a+b)(a-b)= a 2 -b2 直接计算. 1. 计算(2x-1)(1+2x)的结果正确的是( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4x2 -1 B. 1-4x2 C. -4x2 +4x-1 D. 4x2 -4x+1 命题角度 2　 利用平方差公式进行简便计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】将其改写成两数和与两数差的积的形式, 构成平方差公式结构. 2. 计算:99×101. 解:原式= (100-1) ×(100+1)= 1002 -12 = 9 999. 命题角度 3　 添项后运用平方差公式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】在不改变原式的值的前提下,将原式添上 一个因式构成平方差公式使计算简便. 3. 计算:(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1); 解:原式= (2-1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) = (22 -1)(22 +1)(24 +1)(28 +1) = 216 -1. 一、教学目标 理解平方差公式,并能灵活运用公式进行计算. 二、教学重难点 重点:平方差公式及其特征. 难点:平方差公式的运用. 一、问题导入 1. 你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗? 解:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一 项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2. 计算: (1)(x+1)(x+3)= 　 x2 +4x+3　 ; (2)(x+3)(x-3)= 　 x2 -9　 ; (3)(m+n)(m-n)= 　 m2 -n2 　 . 二、探究新知 问题 1　 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)= 　 x2 -1　 ; (2)(m+2)(m-2)= 　 m2 -4　 ; (3)(2x+1)(2x-1)= 　 4x2 -1　 . 解:上面的几个运算都是形如 a+b 的多项式与形如 a-b 的多项式相乘. 由于(a+b)(a-b)= a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2,所以,对于具有与此相同形式的多项式相 乘,我们可以直接写出运算结果. (a+b)(a-b)= a2 - 24