13.4 课题学习 最短路径问题-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

一、教学目标 理解并掌握有一个角为 30°的直角三角形的性质. 二、教学重难点 重点:含 30°角的直角三角形的性质的发现与应用. 难点:1. 含 30°角的直角三角形的性质的探索与证明. 2. 引导学生全面、周到地思考问题. 一、问题导入 1. 直角三角形的角之间都有什么数量关系? 解:直角三角形两锐角互余. 2. 用你的含 30°角的直角三角尺,把斜边和 30°角所 对的直角边量一量,你有什么发现? 解:30°角所对的直角边的长是斜边的一半. 二、探究新知 问题 1　 如图,将两个含 30°角的全等的三角尺摆放 在一起. 你能借助这个图形,找到 Rt△ABC 的直角 边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗? 解:△ADC 是△ABC 的轴对称图形, 因此 AB = AD, ∠BAD = 2 × 30° = 60°, 从而△ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD,可得 BC=CD= 1 2 AB. 【知识归纳】 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所 对的直角边等于斜边的一半. 三、例题精讲 1. 如图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的 中点,立柱 BC,DE 垂直于横梁 AC,AB = 7. 4 m, ∠A= 30°. 立柱 BC,DE 要多长? 解:∵ DE⊥AC,BC⊥AC,∠A= 30°, ∴ BC= 1 2 AB,DE= 1 2 AD. ∴ BC= 1 2 ×7. 4 = 3. 7(m) . 又 AD= 1 2 AB,∴ DE= 1 2 AD= 1 2 ×3. 7=1. 85(m). 答:立柱 BC 的长是 3. 7 m,DE 的长是 1. 85 m. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:含 30°角的直角三角形的性质及运用. 反思:有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单 应用. 13. 4　 课题学习　 最短路径问题 问题导入 　 　 小梦放学回家的路线如图所示,有三条路可供选 择,走哪条路最近? 你的理由是什么? 【教学与建议】 教学:通过实际问题情境引入本节课的课题,激发学生 的学习兴趣. 建议:教师注意引导学生观察、思考、描述、证明. 命题角度　 利用两点之间线段最短解决最短路径问题 如图,已知点 D、E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边 的中点,AD= 6,点 F 是线段 AD 上的动点,则 BF+EF 的 最小值为( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 一、教学目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变 化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想. 二、教学重难点 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线 段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小 问题. 一、问题导入 如图所示,从 A 地到 B 地有三条路可供选择,走哪条 路最近? 你的理由是什么? 13 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 解:走②最近,因为两点之间,线段最短. 二、探究新知 问题 1　 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负 盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海 伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的 A 地出 发,到一条笔直的河边 l 饮马,然后到 B 地. 到河边什 么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 精通数学、 物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这 个问题,这个问题后来被称为“将军饮马问题” . 这是一个实际问题,你能用自己的语言说明这个问 题的意思,并把它抽象为数学问题吗? 解:将 A,B 两地抽象为两个点,将河 l 抽象为一条直 线;从 A 地出发,到河边饮马,然后到 B 地;在河 边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与 A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从 A 地到 饮马地,再到 B 地的路程之和. 上面的问题就转 化为:当点 C 在 l 的什么位置时,AC 与 CB 的和 最小(如图)? 问题 2　 如图,A 和 B 两地在一条河的两岸,现要在 河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路 径 AMNB 最短? (假定河的两岸是平行的直线,桥 要与河垂直. ) 解:如图,将 AM 沿与河岸垂直的方向平移,点 M 平 移到河岸 b 上,点 A 平移到 A1,使 AA1 等于河宽, 连接 A1B 交河岸 b 于点 N,作桥 MN,连接 AM. 此 时路径 AM+MN+BN 最短. 理由如下: 另任作桥 M1N1, 连接 AM1, M1N1, BN1,A1N1,由平移性质可知,AM = A1N,AA1 = MN =M1N1,AM1 = A1N1,AM +MN+BN 转化为 AA1 + A1B,而 AM1 +M1N1 +BN1 转化为 AA1 +A1N1 +BN1 . 在△A1N1B 中,A1N1 +BN1 >A1B,因此 AM1 +M1N1 +BN1 >AM+MN+BN. 【知识归纳】 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小 的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称 点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为 所求. 三、例题精讲 1. 如图,直线 l 是一条河,P、Q 是两个村庄. 欲在 l 上 的某处修建一个水泵站,向 P、Q 两地供水,现有 如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则 所需要管道最短的是( D ) A. 　 　 　 　 　 B. C. D. 2. 如图,牧童在 A 处放马,其家在 B 处,A、B 到河岸 的距离分别为 AC 和 BD,且 AC =BD,若点 A 到河 岸 CD 的中点的距离为 500 米,则牧童从 A 处把 马牵 到 河 边 饮 水 再 回 家, 所 走 的 最 短 距 离 是　 1 000　 米. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 学习了利用轴对称解决最短路径问题. 2. 感悟和体会转化的思想. 反思:1. 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提 高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建 模的思想. 2. 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 在解 决实际问题的过程中,体验数学学习的实 用性. 23