13.3 等腰三角形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

3. 在平面直角坐标系中,直线 l 是经过点(1,0)且平行 于 y 轴的直线,点 A(m-1,3)与点 B(2,n-1)关于直 线 l 对称,则(m+n) 2 025 的值为( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 B. 1 C. 32 025 D. 52 025 一、教学目标 在平面直角坐标系中,探索并掌握关于 x 轴、y 轴对称 的点的坐标规律. 二、教学重难点 重点:利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一 些简单的关于 x 轴和 y 轴对称的图形. 难点:能根据关于坐标轴对称点的坐标的特点解决实际 问题. 一、问题导入 　 　 老北京的地图(见教材 P69 13. 2-3 图)中,西 直门和东直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门 为原点,分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立 平面直角坐标系,根据如图所示的东直门的坐标,你 能找到西直门的位置和坐标吗? 二、探究新知 问题　 在如图的平面直角坐标系中,画出下列已知 点及其关于坐标轴的对称点,并把它们的坐标填入 表格中,看看每对对称点的坐标有怎样的规律. 已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D( 1 2 ,1) E(4,0) 关于 x 轴 的对称点 A′(2,3) B′(-1,-2) C′(-6,5) D′( 1 2 ,-1) E′(4,0) 关于 y 轴 的对称点 A″(-2,-3) B″(1,2) C″(6,-5) D″(- 1 2 ,1) E″(-4,0) 思考:根据上面的表格,你发现关于 x 轴的对称点的 坐标有什么规律? 关于 y 轴的对称点的坐标有什么 规律? 【知识归纳】 1. 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为 (x,-y) . 2. 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) . 三、例题精讲 1. 如图 1,四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A( -5,1),B( -2,1),C( -2,5),D( -5,4),分别画 出四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形. 图 1 　 图 2 解:点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为( -x,y), 因此四边形 ABCD 的顶点 A,B,C,D 关于 y 轴 对称的点分别为 A′(5,1),B′(2,1),C′(2,5), D′(5,4) . 依次连接 A′B′,B′C′,C′D′,D′A′. 就可得到与 四边 形 ABCD 关 于 y 轴 对 称 的 四 边 形 A′B′C′D′. 同理可以在图上画出与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的四边形 A′′B′′C′′D′′. 如图 2 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标之间的 关系. 2. 在坐标系中,作关于 x 轴(或 y 轴)的轴对称 图形. 反思:利用关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律,作 出关于 x 轴、y 轴对称的图形. 13. 3　 等腰三角形 13. 3. 1　 等腰三角形 第 1 课时　 等腰三角形的性质 一、置疑导入 1. 什么是轴对称图形,轴对称图形的性质有哪些? 2. 三角形是轴对称图形吗? 什么样的三角形是轴对 称图形? 3. 等腰三角形边、角有什么特点? 等腰三角形有几 条对称轴? 画一画. 【教学与建议】 教学:问题逐步深入,层层递进,动手操作提高学生 的学习兴趣. 建议:随着问题的深入,培养学生的动手和观察 能力. 52 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 二、悬念激趣 (1)如图是一组含有等腰三角形的生活图片,这些 图片有哪些共同点? 　 　 (2)将一把等腰三角尺和一个铅锤按图放置,就能 检查一根横梁是否水平,你知道为什么吗? 要想解决这个问题我们需要先研究等腰三角形具有 哪些性质. 【教学与建议】 教学:活跃课堂气氛,让学生带着问题进入学习,也 为后面的学习打下基础. 建议:尽量给学生制造疑问,如怎样检查一根横梁是 否水平;测平仪能测平的道理是什么等. 三、归纳导入 问题 1　 如图①,把一张长方形的纸按图中虚线对 折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC 有 什么特点? 你能画出具有这种特点的三角形吗? 图① 　 　 　 图② 学生动手操作,从剪出的图形观察△ABC 的特点,可 以发现 AB= 　 AC　 . 【归纳】 有两边相等的三角形是　 等腰三角形　 ,相等的两边 叫做　 腰　 ,另一边叫做　 底边　 ,两腰的夹角叫做 　 顶角　 ,底边和腰的夹角叫做　 底角　 (如图②) . 问题 2　 把问题 1 中剪下的△ABC 沿折痕 AD 对折, 找出其中重合的线段和角. 从中你能发现等腰三角形具有什么性质吗? (引入 课题) 【教学与建议】 教学:创设问题情境,激发学生的学习兴趣,归纳等 腰三角形的性质. 建议:教师引导学生归纳. 命题角度 1　 利用等腰三角形的定义(两边相等)解决 问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】当已知边没有确定为底边或腰时,要分情 况讨论求解,并注意三角形的三边关系这一隐含条 件. 1. 等腰三角形的底边长为 8 cm,一腰上的中线把这个 三角形 分 成 周 长 差 为 2 cm 的 两 部 分, 则 腰 长 为　 6 cm 或 10 cm　 . 命题角度 2　 利用等腰三角形的性质进行角度计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】(1)在等腰三角形中,当已知锐角不能确 定是顶角还是底角时,需分类讨论;(2)在等腰三角形 中,已知的直角或钝角只能是顶角,不需分类讨论. 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则这 个等腰三角形的顶角为　 60°或 120°　 . 命题角度 3　 利用等腰三角形的性质证明有关结论 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】(1)等腰三角形“等边对等角”的性质在 证全等三角形时可以得到等角. (2)等腰三角形“三线 合一”的性质可以用来证明角相等、线段相等和线段 垂直. 3. 如图,点 D,E 在△ABC 的 BC 边上,AB = AC,AD = AE. 求证:BD=CE. 证明:如图,过点 A 作 AP⊥BC 于点 P. ∵ AB = AC, ∴ BP = PC. ∵ AD = AE,∴ DP = PE. ∴ BP-DP = PC- PE. ∴ BD=CE. 一、教学目标 1. 探索并证明等腰三角形的性质. 2. 运用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段 相等. 二、教学重难点 重点:理解和掌握等腰三角形的性质. 难点:等腰三角形性质证明中辅助线的添加和对性质 2 的理解. 一、问题导入 我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,那 你知道怎样作出一个等腰三角形吗? 二、探究新知 问题 1　 把一张长方形的纸片按虚线对折,并剪去 阴影部分,再把它展开,得到的△ABC 有什么特点? 解:上述过程中,剪刀剪过的两条边是相等的,即 △ABC 中 AB=AC,所以△ABC 是等腰三角形. 问题 2　 把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折,找 出其中重合的线段和角,由这些重合的线段和角,你 能发现等腰三角形的性质吗? 解: 　 　 重合的线段 重合的角 AB 与 AC ∠B 与∠C BD 与 CD ∠BAD 与∠CAD AD 与 AD ∠ADB 与∠ADC 62 【知识归纳】 性质 1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边 对等角”) . 性质 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底 边上的中线相互重合(简写成“三线合一”) . 三、例题精讲 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD = BC = AD. 求△ABC 各角的 度数. 解:∵ AB = AC. BD = BC = AD, ∴ ∠ABC = ∠C = ∠BDC,∠A= ∠ABD(等边对等角) . 设∠A= x, 则∠BDC= ∠A+∠ABD = 2x. 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC= 2x. 于是在△ABC 中,有∠A+∠ABC +∠C= x+2x+2x = 180°. 解得 x = 36°,所以,在 △ABC 中,∠A= 36°,∠ABC= ∠C= 72°. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 等腰三角形的性质. 2. 等腰三角形性质的运用. 反思:体会轴对称在研究几何问题中的作用. 第 2 课时　 等腰三角形的判定 一、类比导入 定义:如果一个三角形有　 两边　 相等,这个三角形 为等腰三角形. 1. 阅读下面的证明过程,完成问题: 如图所示,在△ABC 中,∠B = ∠C,求证: AB=AC. 解一:过点 A 作 BC 的中垂线 AD, 垂足 为 D. 解二:作△ABC 的角平分线 AD. 数学老师看了两种辅助线的作法后,说:解二是正 确的,而解一的作法需要订正. (1)请你简要说明解一辅助线作法错在哪里; (2)根据解二的辅助线作法,完成证明过程. 2. 如果一个三角形有　 两角　 相等,那么这两个角 所对的　 边　 也相等(简写成“等角对等边”) . 【教学与建议】 教学:类比两种方法证明等腰三角形导入课题,激发 学生的好奇心和求知欲. 建议:先口答后再集体讨论解一和解二. 二、悬念激趣 　 　 如图,某地质专家为估测一条东西 流向的河流的宽度,他选择河流北岸上 一棵树 A 点为目标,然后在这棵树的正 南方南岸 B 点插一小旗作标志,沿南偏东 60°方向 走一段距离到 C 处时,测得∠ACB = 30°,这时,地质 专家测得 BC 的长度是 60 m,就可知道河流的宽度 是 60 m. 　 　 同学们,你们想知道这样估测河流宽度的依据 是什么吗? 他是怎么知道 BC 的长度就等于河流的 宽度的呢? 那用今天学习的知识可以解决. 【教学与建议】 教学:设置悬念,能够让学生积极主动地探索新 知识. 建议:让学生初步思考,可以先让学生求一下各个角 的度数. 命题角度 1　 等腰三角形的判定方法的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】判定三角形是等腰三角形的方法:(1)定 义;(2)“等角对等边”. 1. 如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC 中, AB = AC; ② △ABC 中, ∠B = 56°, ∠BAC = 68°; ③ △ABC 中,AD⊥BC,AD 平分∠BAC;④△ABC 中,AD ⊥BC,AD 平分 BC. 其中,能判定△ABC 是等腰三角 形的条件有( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 组 B. 2 组 C. 2 组 D. 4 组 命题角度 2　 等腰三角形的性质与判定的综合运用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】综合运用等腰三角形的性质和判定,直接 由线段相等得到角相等,由角相等得到线段相等. 2. 如图,△ABC 中,BA=BC,点 D 是 AB 延 长线上一点,DF⊥AC 于 F 且交 BC 于 E. 求证:△DBE 是等腰三角形. 证明:∵ BA=BC,∴ ∠A= ∠C. ∵ DF⊥AC,∴ ∠DFA= ∠EFC= 90°, ∠A+∠D= 90°,∠C+∠FEC= 90°. ∴ ∠D= ∠FEC. ∵ ∠BED= ∠FEC, ∴ ∠D= ∠BED. ∴ BE=BD,即△DBE 是等腰三角形. 72 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 一、教学目标 理解和掌握等腰三角形的判定方法. 二、教学重难点 重点:等腰三角形判定的应用,利用尺规作图作等腰三 角形. 难点:等腰三角形判定的应用. 一、知识回顾 等腰三角形有哪些性质? 解:(1)等边对等角;(2)三线合一. 二、探究新知 问题　 我们知道,如果一个三角形有两条边相等,那 么它们所对的角相等. 反过来,如果一个三角形有两 个角相等,那么它们所对的边有什么关系? 解:如图,在△ABC 中,∠B= ∠C,作△ABC 的角平分 线 AD. 在△BAD 和△CAD 中, ∠1 = ∠2, ∠B= ∠C, AD=AD, ì î í ïï ïï ∴ △BAD≌△CAD(AAS) . ∴ AB=AC. 由此可见,如果一个三角形有两个角相等,那么它们 所对的边也相等. 【知识归纳】等腰三角形的判定: 1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 2. 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所 对的边也相等(简写成“等角对等边”) . 三、例题精讲 1. 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角 形的一边,那么这个三角形是等腰三角形. 已知:∠CAE 是△ABC 的外角,∠1 = ∠2,AD∥BC. 求证:AB=AC. 【分析】要证明 AB = AC,可先证明∠B = ∠C. 因为 ∠1 = ∠2,所以可以设法找出∠B,∠C 与∠1,∠2 的关系. 证明:∵ AD∥BC, ∴ ∠1 = ∠B (两直线平行,同位角相等), ∠2 = ∠C (两直线平行,内错角相等) . 而已知∠1 = ∠2, ∴ ∠B= ∠C. ∴ AB=AC(等角对等边) . 　 　 2. 如图 1,已知等腰三角形底边长为 a,底边上的高 为 h,求作这个等腰三角形. 作法:(1)作线段 AB=a, (2)作线段 AB 的垂直平分线 MN,与 AB 相 交于点 D. (3)在 MN 上取一点 C,使 DC=h. (4)连接 AC,BC,则△ABC 就是所求作的等 腰三角形. 如图 2. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 等腰三角形的判定. 2. 等腰三角形性质与判定的综合应用. 反思:利用等腰三角形的判定方法证明相关问题,借 助尺规作图作等腰三角形. 13. 3. 2　 等边三角形 第 1 课时　 等边三角形的性质和判定 一、置疑导入 　 　 在一次探究活动中,老师给同学们出了一道题 目:“如果等腰三角形有一个角是 60°,那么这个三 角形的三边有什么关系?” 　 　 小勋假设底角为 60°,得出了三个角都是 60°; 小强假设顶角为 60°,也得出了三个角都是 60°,根 据“等角对等边”,最后得出结论:三边都相等. 　 　 老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形叫 做等边三角形” . 小勋、小强也发表了自己的看法,小 勋认为“三条边都相等的三角形是等边三角形,而不 是等腰三角形”;小强认为“等边三角形也是等腰三 角形,只是比一般的等腰三角形特殊而已” . 小勋、小 强谁的看法有道理呢? 82 【教学与建议】 教学:通过问题情境引入本节课的课题,增强学生的 学习兴趣. 建议:教师注重引导分类讨论,让学生经历观察——— 实践———猜想———证明的思维过程. 二、复习导入 　 　 在等腰三角形中,有一种特殊的情况,三角形三 边都相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边 三角形. 1. 观察与讨论:如图所示的△ABC 是等 边三角形, 等边三角形的性质有 哪些? (1)等边三角形的三个内角都　 相等　 ,并且每一 个角都等于　 60°　 ; (2)等边三角形是 　 轴对称 　 图形,有 　 三 　 条 对称轴; (3)等边三角形各边上的中线、高和所对角的 　 平分线　 互相重合. 2. 类似地,你能得到哪些等边三角形的判定方法呢? (1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都 是 60°,反之,如果告诉你一个三角形的三个角都 相等,你能确定这个三角形是等边三角形吗? (2)你认为有一个角等于 60°的等腰三角形是等 边三角形吗? 【教学与建议】 教学:问题引入简单明了直奔主题,通过问题串的形 式激发学生对新知识的浓厚兴趣. 建议:让学生亲自去观察探究,亲自去尝试证明. 命题角度 1　 利用等边三角形的性质与判定进行简单 的计算或证明 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】从等边三角形的性质中发现一些可利用 的条件是解决问题的关键. 另外,在证明线段或角相 等时,可考虑证明三角形全等. 1. 如图,D,E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC,CA 的延长线上的点,且 CD=AE,连接 AD,BE. 求证:AD=BE. 证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠BAC= ∠ACB= 60°,AC=AB. ∴ ∠BAE= ∠ACD= 120°. 在△ABE 和△CAD 中, AB=CA ∠BAE= ∠ACD AE=CD ì î í ïï ïï , ∴ △ABE≌△CAD(SAS) . ∴ AD=BE. 命题角度 2　 与等边三角形有关的探索规律型问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】先通过推导或计算得到第一次图形变化 后的结果,然后继续探究 2 ~ 3 个图形变化的结论,从 中发现规律. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　2. 如图,已知∠MON = 30°,点 A1,A2,A3 ……在射线 ON 上, 点 B1, B2, B3 …… 在 射 线 OM 上. △A1B1A2, △A2B2A3,△A3B3A4……均为等边三角形,若 OA1 = 3, 则△A6B6A7 的边长为( D ) A. 24 B. 48 C. 64 D. 96 一、教学目标 知道等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形,等 边三角形是轴对称图形. 二、教学重难点 重点:等边三角形的性质与判定. 难点:等边三角形的性质和判定的区别,等边三角形判 定的应用. 一、问题导入 同学们都知道等边三角形是特殊的等腰三角形,那 么一个等腰三角形满足什么条件时,能使它成为等 边三角形? 二、探究新知 问题 1 　 如图,在△ABC 中,AB = AC = BC. 你能证明 ∠A = ∠B = ∠C = 60°吗? 解:在△ABC 中,∵ AB=AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ AB =BC, ∴ ∠A = ∠C. ∵ AC = BC,∴ ∠A = ∠B. ∴ ∠A = ∠B= ∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C = 180°,∴ ∠A = ∠B = ∠C= 60°. 问题 2 　 若∠A = ∠B = ∠C,则△ABC 是等边三角 形吗? 解:∵ ∠A= ∠B,∴ AC=BC. ∵ ∠B = ∠C,∴ AB = AC. ∵ ∠A = ∠C, ∴ AB = BC. ∴ AB = AC = BC. 即 △ABC 是等边三角形. 问题 3　 (1)若 AB = AC,且∠B = 60°,则△ABC 是等 边三角形吗? (2)若 AB = AC,且∠A = 60°,则△ABC 是等边三角 形吗? 解:(1)△ABC 是等边三角形; (2)△ABC 是等边三角形. 92 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 【知识归纳】 1. 等边三角形的性质: (1)等边三角形具有等腰三角形的性质; (2)等边三角形的三个内角都等于 60°; (3)等边三角形是轴对称图形,它有 3 条对称轴. 2. 等边三角形的判定: (1)三条边都相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 三、例题精讲 1. 如图,△ABC 是等边三角形,DE∥ BC,分别交 AB,AC 于点 D,E. 求 证:△ADE 是等边三角形. 证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE= ∠B,∠AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠AED. ∴ △ADE 是等边三角形. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 等边三角形的性质. 2. 等边三角形的判定. 反思:能叙述、推证等边三角形的性质和判定方法. 第 2 课时　 含 30°角的直角三角形 一、情境导入 　 　 如图,一艘轮船从 A 处出发,以每小时 10 海里 的速度向正北方向航行,从 A 处测得一礁石 C 在北 偏西 30°的方向上. 如果这艘船上午 8:00 从 A 处出 发,10:00 到达 B 处,从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60°的方向上. (1)画出礁石 C 的大致位置; (2) 轮船继续航行多久, 测得礁石 C 在正西 方向? 【教学与建议】 教学:通过实际问题情境引入本节课的课题,激发学 生的学习兴趣. 建议:教师注意引导学生观察、思考、描述、证明. 二、归纳导入 　 　 用你的含 30°角的直角三角尺,量一量同桌的 含 30°角的直角三角尺的斜边和 30°角所对的直角 边,你有什么发现? 　 　 如果用两个全等的含 30°角的直角三角尺,把 相等的边拼在一起组成平面图形,有几种拼法呢? 在这些图形中,轴对称图形有　 3　 个,其中三角形 有　 2　 个,各是怎样的三角形? 请说明理由. 　 　 如图,在拼出的等边三角形 ABD 中, AB　 = 　 BD ( 填 “ >” “ <” 或 “ = ”);在 Rt△ABC 中, ∠BAC = 30°,30°所对的直 角边是　 BC　 ,BC= 　 1 2 　 AB. 你能证明你所发现的结论吗? 【教学与建议】 教学:通过学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活 动,归纳结论. 建议:注意引导学生意识到通过实际操作探索出来 的结论还需要给予证明. 命题角度 1　 利用含 30°角的直角三角形的性质求有关 线段的长 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】 (1)当图形中含有 30°角时,通过作垂线 构造含有 30°角的直角三角形. (2)在有些题目中,若 给出的角是 15°角,将 15°的角转化为 30°的角后,再 利用这个性质解决问题. 1. 如图,已知△ABC 中,AB=AC,∠C = 30°,AB⊥AD,AD = 2 cm,则 BC = 　 6　 cm. 命题角度 2 　 等边三角形、直角三角形的性质的综合 运用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 该性质的证明 借助于等边三角形,所以它与等边三角形的联系密 切. 2. 如图,在等边三角形 ABC 中,D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过点 E 作 EF⊥DE 交 BC 的延长线于 点 F. 若 CD= 2,求 DF 的长. 解:在等边三角形 ABC 中, ∠ACB = ∠B = ∠A = 60°, ∵ DE ∥ AB, ∴ ∠EDC = ∠B = 60°, ∠CED = ∠A = 60°, ∴ △EDC 是等边三角形,∴ CD =CE = 2,∵ EF⊥DE, ∴ ∠DEF= 90°,∴ ∠CEF= 30°,∴ ∠F= 60°-30° = 30° = ∠CEF,∴ CE=CF= 2,∴ DF=CD+CF= 4. 03 一、教学目标 理解并掌握有一个角为 30°的直角三角形的性质. 二、教学重难点 重点:含 30°角的直角三角形的性质的发现与应用. 难点:1. 含 30°角的直角三角形的性质的探索与证明. 2. 引导学生全面、周到地思考问题. 一、问题导入 1. 直角三角形的角之间都有什么数量关系? 解:直角三角形两锐角互余. 2. 用你的含 30°角的直角三角尺,把斜边和 30°角所 对的直角边量一量,你有什么发现? 解:30°角所对的直角边的长是斜边的一半. 二、探究新知 问题 1　 如图,将两个含 30°角的全等的三角尺摆放 在一起. 你能借助这个图形,找到 Rt△ABC 的直角 边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗? 解:△ADC 是△ABC 的轴对称图形, 因此 AB = AD, ∠BAD = 2 × 30° = 60°, 从而△ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD,可得 BC=CD= 1 2 AB. 【知识归纳】 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所 对的直角边等于斜边的一半. 三、例题精讲 1. 如图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的 中点,立柱 BC,DE 垂直于横梁 AC,AB = 7. 4 m, ∠A= 30°. 立柱 BC,DE 要多长? 解:∵ DE⊥AC,BC⊥AC,∠A= 30°, ∴ BC= 1 2 AB,DE= 1 2 AD. ∴ BC= 1 2 ×7. 4 = 3. 7(m) . 又 AD= 1 2 AB,∴ DE= 1 2 AD= 1 2 ×3. 7=1. 85(m). 答:立柱 BC 的长是 3. 7 m,DE 的长是 1. 85 m. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:含 30°角的直角三角形的性质及运用. 反思:有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单 应用. 13. 4　 课题学习　 最短路径问题 问题导入 　 　 小梦放学回家的路线如图所示,有三条路可供选 择,走哪条路最近? 你的理由是什么? 【教学与建议】 教学:通过实际问题情境引入本节课的课题,激发学生 的学习兴趣. 建议:教师注意引导学生观察、思考、描述、证明. 命题角度　 利用两点之间线段最短解决最短路径问题 如图,已知点 D、E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边 的中点,AD= 6,点 F 是线段 AD 上的动点,则 BF+EF 的 最小值为( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 一、教学目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变 化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想. 二、教学重难点 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线 段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小 问题. 一、问题导入 如图所示,从 A 地到 B 地有三条路可供选择,走哪条 路最近? 你的理由是什么? 13