13.2 画轴对称图形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 形的对称轴吗? 解:如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线. 因此,我们只要 找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平 分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 三、例题精讲 1. 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的 垂线. 已知:直线 AB 和 AB 外一点 C(如图) . 求作:AB 的垂线,使它经过点 C. 作法:(1)任意取一点 K,使点 K 和点 C 在 AB 的 两旁. (2) 以点 C 为圆心,CK 长为半径作弧,交 AB 于点 D 和 E. (3)分别以点 D 和点 E 为圆心,大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧相交于点 F. (4) 作直线 CF, 直线 CF 就是所求作的 垂线. 2. 如图 1,点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称,你能 作出这条直线吗? 作法:如图 2. (1)分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 1 2 AB 的长为半径作弧(想一想为什么),两弧相 交于 C,D 两点; (2)作直线 CD. CD 就是所求作的直线. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 线段垂直平分线的性质、判定及运用. 2. 过直线外一点作已知直线的垂线. 反思:1. 运用线段垂直平分线的性质和判定定理解 决几何问题. 2. 培养学生良好的动手实践能力. 13. 2　 画轴对称图形 第 1 课时　 画轴对称图形 复习导入 问题 1　 轴对称图形指　 　 沿某条直线对折,直线两旁 的部分能够互相重合的平面图形　 　 . 问题 2　 看下面两幅图是否是轴对称图形,你能否画出 它们的对称轴? 　 　 解:都是轴对称图形;对称轴如图所示. 问题 3　 如果两个平面图形成轴对称,你能用什么办法 验证? 不经过折叠,用什么方法画出它的对称轴? 【教学与建议】 教学:复习轴对称图形导入新课,提出问题 3,激发学生 的好奇心. 建议:自主回答,可小组讨论. 命题角度 1　 作轴对称图形的对称轴 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】利用尺规作图的方法作出轴对称图形(或 成轴对称的两个图形)的对称轴,通常先确定一组对 称点,再连接这两点得到一条线段,最后作这条线段 的垂直平分线. 1. 如图,△ABC 和△DEF 关于某条直线成轴对称,你能 作出这条直线吗? 　 　 　 解:直线 l 就是所求作的对称轴. 命题角度 2　 利用线段的垂直平分线的作图解决实际 问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】在利用作图解决实际问题时,如果出现到 两点距离相等的要求,通常考虑作这两点所连线段的 垂直平分线. 解题时注意保留作图痕迹. 2. 某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC, 如图所示,现要在道路 AB 上建一个休 息点 M,使它到 A,C 两个点的距离相 等,请在图中确定休息点 M 的位置. 解:如图,作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 M,则点 M 即为所求. 一、教学目标 指导学生能熟练画出一个图形关于某一条直线对称的 轴对称图形. 22 二、教学重难点 重点:理解两个图形关于某一条直线对称的特征,并能 画出轴对称图形. 　 难点:运用轴对称解决实际问题. 一、问题导入 　 　 如图,给出了一个图案的一半,其中的虚线是这 个图案的对称轴. (1)你能猜出整个图案的形状吗? (2)你能画出这个图案的另一半吗? 　 　 几何图形都可以看作是由点组成的,我们只要 分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些 对应点便可以得到原图形的轴对称图形,如何作出 点 A,B,C,D 关于直线 l 的对称点呢? 二、探究新知 问题 如图,在一张半透明的纸的左边部分,画一只 左脚印. 把这张纸对折后描图,打开对折的纸,就能 得到相应的右脚印. 这时,右脚印和左脚印成轴对 称,折痕所在直线就是它们的对称轴,并且连接任意 一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 类似地,请你 再画一个图形做一做,看看能否得到同样的结论. 【知识归纳】 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称 的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同; 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点;连接任意一对对应点的线段被对称轴垂 直平分. 三、例题精讲 1. 如图 1,已知△ABC 和直线 l,画出与△ABC 关于 直线 l 对称的图形. 【分析】△ABC 可以由三个顶点的位置确定,只要 能分别画出这三个顶点关于直线 l 的对称点,连 接这些对称点,就能得到要画的图形. 画法:(1)如图 2,过点 A 画直线 l 的垂线,垂足为 O,在垂线上截取 OA′=OA,A′就是点 A 关于 直线 l 的对称点; (2)同理,分别画出点 B,C 关于直线 l 的对 称点 B′,C′; (3)连接 A′B′,B′C′,C′A′,则△A′B′C′即为 所求. 【知识归纳】 几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形,只要画 出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接 这些对称点,就可以得到与原图形成轴对称的图形. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结: 1. 轴对称图形的特点. 2. 作已知图形关于直线的对称图形. 反思:培养学生良好的动手实践能力. 第 2 课时　 用坐标表示轴对称 一、情境导入 　 　 十一黄金周,北京吸引了许多游客. 一天,小红 在天安门广场玩,一位外国友人问小红西直门的位 置,可小红只知道东直门的位置,不过,小红想了想, 就准确地告诉了他. 你知道为什么吗? 　 　 如图是一幅老北京城的示意图,其中西直门和东 直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门为原点,分 别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐 标系,各个地点的地理位置就可以用坐标表示出来. 32 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 提问:根据如图所示的东直门的坐标,你能说出西直 门的坐标吗? 对称点的坐标与已知点的坐标有怎样 的关系? 这节课将学习用坐标表示轴对称. 【教学与建议】 教学:以老北京地图为例引入新课,让学生感受到用 坐标描述对称的重要性. 建议:在教学时,先出示老北京地图,让学生进行观 察,感受各个位置之间的关系,然后建立平面直角坐 标系. 二、归纳导入 1. 如图①: (1)图中两个圆脸有什么关系? (2)已知右边圆脸上右眼的坐标为 B(4,3),左眼 的坐标为 A(2,3),嘴角两个端点的坐标分别为 C(4,1),D(2,1) . 你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼、右 眼及嘴角两端点的坐标吗? 图① 图② 2. 在平面直角坐标系中, 将坐标分别为 ( 2, 2), (4,2),(4,4),(2,4)的点用线段依次连接起来形 成一个图案(如图②) . (1)各个点的纵坐标不变,将横坐标分别乘-1,再 将所得的各个点用线段依次连接起来,所得的图 案与原图案相比有何变化? (2)各个点的横坐标不变,将纵坐标分别乘-1,再 将所得的各个点用线段依次连接起来,所得的图 案与原图案相比有何变化? 如图②,师生共同归纳: (1)各个点的纵坐标不变,将横坐标乘-1,得到相应 的四个点分别为 A1(-2,2),B1(-4,2),C1(-4,4), D1(-2,4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比 较.归纳:它们是关于　 y 轴　 对称的,且横坐标　 互 为相反数　 ,纵坐标　 不变　 . (2)各个点的横坐标不变,将纵坐标乘-1,得到相应 的四个点分别为 A2(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4), D2(2,-4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比 较.归纳:它们是关于 　 x 轴 　 对称的,且纵坐标 　 互为相反数　 ,横坐标　 不变　 . 【教学与建议】 教学:通过对轴对称图形的研究,激发学生探究坐标 特点,归纳在坐标的变化中掌握坐标规律. 建议:教学中注意渗透数形结合思想. 命题角度 1　 求已知点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】两点关于 x 轴对称,横坐标相等,纵坐标 互为相反数;两点关于 y 轴对称,纵坐标相等,横坐标 互为相反数. 1. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(-3,1),作点 A 关 于 y 轴的对称点,得到点 A′,再将点 A′向下平移 2 个单 位长度,得到点 A″,则点 A″的坐标是(　 3　 ,　 -1　 ). 命题角度 2　 作规则图形关于坐标轴的对称图形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】 (1)计算已知图形中的一些特殊点的对 称点的坐标;(2)根据对称点的坐标描点;(3)依次连 接所描各点得到对称图形. 2. 如 图, 已 知 △ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 是 A( -1,5),B( - 5,3),C( -3,-1) . 作出△ABC 关于 x 轴、y 轴的对称图形. 解:如图所示,△A1B1C1 和△A2B2C2 即为所求作的 图形. 命题角度 3　 作规则图形关于直线 x=m(或 y=n)(m,n 为常数)对称的图形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】推广轴对称的点的坐标特征,可得:对于 点 A(x1,y1)与点 B(x2,y2),如果它们关于直线 x =m 对称,那么 x1 +x2 = 2m,y1 = y2;如果它们关于直线 y = n 对称,那么 x1 = x2,y1 +y2 = 2n. 42 3. 在平面直角坐标系中,直线 l 是经过点(1,0)且平行 于 y 轴的直线,点 A(m-1,3)与点 B(2,n-1)关于直 线 l 对称,则(m+n) 2 025 的值为( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 B. 1 C. 32 025 D. 52 025 一、教学目标 在平面直角坐标系中,探索并掌握关于 x 轴、y 轴对称 的点的坐标规律. 二、教学重难点 重点:利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一 些简单的关于 x 轴和 y 轴对称的图形. 难点:能根据关于坐标轴对称点的坐标的特点解决实际 问题. 一、问题导入 　 　 老北京的地图(见教材 P69 13. 2-3 图)中,西 直门和东直门是关于中轴线对称的. 如果以天安门 为原点,分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立 平面直角坐标系,根据如图所示的东直门的坐标,你 能找到西直门的位置和坐标吗? 二、探究新知 问题　 在如图的平面直角坐标系中,画出下列已知 点及其关于坐标轴的对称点,并把它们的坐标填入 表格中,看看每对对称点的坐标有怎样的规律. 已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D( 1 2 ,1) E(4,0) 关于 x 轴 的对称点 A′(2,3) B′(-1,-2) C′(-6,5) D′( 1 2 ,-1) E′(4,0) 关于 y 轴 的对称点 A″(-2,-3) B″(1,2) C″(6,-5) D″(- 1 2 ,1) E″(-4,0) 思考:根据上面的表格,你发现关于 x 轴的对称点的 坐标有什么规律? 关于 y 轴的对称点的坐标有什么 规律? 【知识归纳】 1. 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为 (x,-y) . 2. 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) . 三、例题精讲 1. 如图 1,四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A( -5,1),B( -2,1),C( -2,5),D( -5,4),分别画 出四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形. 图 1 　 图 2 解:点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为( -x,y), 因此四边形 ABCD 的顶点 A,B,C,D 关于 y 轴 对称的点分别为 A′(5,1),B′(2,1),C′(2,5), D′(5,4) . 依次连接 A′B′,B′C′,C′D′,D′A′. 就可得到与 四边 形 ABCD 关 于 y 轴 对 称 的 四 边 形 A′B′C′D′. 同理可以在图上画出与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的四边形 A′′B′′C′′D′′. 如图 2 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标之间的 关系. 2. 在坐标系中,作关于 x 轴(或 y 轴)的轴对称 图形. 反思:利用关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律,作 出关于 x 轴、y 轴对称的图形. 13. 3　 等腰三角形 13. 3. 1　 等腰三角形 第 1 课时　 等腰三角形的性质 一、置疑导入 1. 什么是轴对称图形,轴对称图形的性质有哪些? 2. 三角形是轴对称图形吗? 什么样的三角形是轴对 称图形? 3. 等腰三角形边、角有什么特点? 等腰三角形有几 条对称轴? 画一画. 【教学与建议】 教学:问题逐步深入,层层递进,动手操作提高学生 的学习兴趣. 建议:随着问题的深入,培养学生的动手和观察 能力. 52