13.1 轴对称-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

第十三章　轴对称 13. 1　 轴对称 13. 1. 1　 轴对称 情境导入 　 　 我们生活在充满图形的世界中,利用图形的某种特 征我们想象和创造了许多美丽的事物,其中利用对称是 非常重要的一种方法. 而轴对称是对称中重要的一种, 今天让我们一起走进轴对称世界,探索它的秘密吧! 探究(一) 　 　 如图,我们先来看这几幅图片,观察它们有什么共 同特征. 　 　 　 　 轴对称图形:一个图形沿某一直线折叠,直线两旁的部 分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形. 探究(二) 　 　 如图,把每组图形沿虚线对折,观察它们有什么共 同特征. 　 　 轴对称:一个图形沿着某一条直线折叠,它能够与另一 个图形重合,这两个图形关于这条直线(成轴)对称. 【教学与建议】 教学:创设情境,欣赏图片,感受生活中的轴对称现象和 轴对称图形,归纳轴对称和轴对称图形的概念. 建议:教学中要提供丰富的图案,让学生感受到数学就 在我们身边. 命题角度 1　 辨别轴对称图形 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】判断一个图形是否是轴对称图形可以根 据定义,另外还可以观察它是否有对称轴,能找到对 称轴也能说明它是轴对称图形. 1. “致中和,天地位焉,万物育焉” . 对称美是我国古人 和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、 标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时 光. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 命题角度 2　 利用图形轴对称的性质解题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】图形轴对称的性质:(1)成轴对称的两个 图形全等;(2)新图形上的每一点都是原图形上的某 一点关于直线 l 的对称点;(3)连接任意一对对应点 的线段被对称轴垂直平分. 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∠B = 50°, AD⊥ BC, 垂足为 D, △ADB 与 △ADB′关于直线 AD 对称,点 B 的对称 点是点 B′,则∠CAB′的度数为( A ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 一、教学目标 1. 初步认识轴对称图形,归纳出轴对称图形、轴对称的 概念,能用概念判断一个图形是否是轴对称图形. 2. 通过观察、思考和动手操作,培养学生探索与实践能 力,发展学生的空间观念. 二、教学重难点 重点:1. 认识轴对称图形的特点,建立轴对称图形的 概念; 2. 准确判断生活中哪些物体是轴对称图形. 难点:判断轴对称图形,并能够画出其对称轴. 一、问题导入 　 　 现实世界中,对称现象是普遍存在的,初步掌握 对称的知识,不仅能使我们感受到自然界的美与和 谐,还可以帮助我们发现一些图形(如等腰三角形) 的性质,并能根据自己的设计创造出对称作品,丰富 生活. 你能举出一些对称的图形吗? 解:等腰三角形、京剧脸谱、物与水中倒影、蝴蝶、奥 迪车标志、地标建筑物(天安门)等. 二、探究新知 问题 1　 下面的每对图形有什么共同特点? 解:沿图中的虚线对折,虚线两边的图形能重合. 像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果 它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形 关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称 轴,折叠后重合的点叫做对称点. 91 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 问题 2　 成轴对称的两个图形全等吗? 如果把一个 轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图 形全等吗? 这两个图形对称吗? 解:把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一 个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成 两个图形,这两个图形关于这条轴对称. 【知识归纳】 1. 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的 部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形, 这条直线就是它的对称轴. 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与 另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线 (成轴)对称. 问题 3 　 如图,△ABC 和△A′B′C′关于直线 MN 对 称,点 A′,B′,C′分别是点 A,B,C 的对称点,线段 AA′, BB′, CC′与直线 MN 有什么关系? 解:如图,点 A,A′是对称点,设 AA′交对称轴 MN 于 点 P,将△ABC 或△A′B′C′沿MN 折叠后,点 A 与 A′重合. 于是有 AP =PA′,∠MPA = ∠MPA′= 90°. 对于其他的对应点,也有类似的情况. 因此,对称 轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂 直于这条线段. 定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫 做这条线段的垂直平分线. 【知识归纳】 1. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2. 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线. 三、试题精讲 1. 在一些汉字的美术字中,有的是轴对称图形,下面 四个美术字中可以看作轴对称图形的是( D ) 2. 如图,两个四边形关于直线 l 对称,∠C= 90°,∠E= 135°,∠A= 80°,试写出 a,b 的长度,并求出∠G 的 度数. 解:∵ 两个四边形关于直线 l 对称, ∴ a= 5cm,b= 4cm, ∠H= ∠C= 90°, ∠A= ∠F= 80°, ∠E= ∠B= 135°, ∴ ∠G = 360°-∠H-∠E-∠F = 360°-90°-135°-80° = 55°. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 轴对称图形及轴对称的概念. 2. 轴对称的性质及运用. 反思:通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义, 掌握线段垂直平分线与对称轴的关系. 13. 1. 2　 线段的垂直平分线的性质 一、情境导入 　 　 如图,直线 CD 垂直平分线段 AB, 在直线 CD 上任取一点 M,连接 MA 与 MB,想一想,如果我们把线段 AB 沿直线 CD 对折,线段 MA 与 MB 会重合吗? 【教学与建议】 教学:通过生活中的实际问题引入新课,激发学生的 兴趣和求知欲. 建议:让学生先思考再动手操作,探索结果. 探究(一) 　 　 演示课件:如图所示,点 P 在线段 AB 的 垂直平分线上运动,测量 PA,PB 的长度,你 能发现什么规律? 　 PA=PB　 . 探究(二) 　 　 证明结论:利用几何画板中的图形证明所得结 论. 　 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等　 . 【教学与建议】 教学:利用几何画板的测量功能能表明 PA = PB,但 需要证明. 建议:学生独立观察教师演示的课件,很容易归纳结 论. 证明过程中可以指定学生板演证明过程,其余同 学在练习本上完成. 02 二、类比导入 1. 前面我们学习了角的平分线的性质和判定,具体 内容是什么? 2. 我们学习了线段的垂直平分线,既然“角的平分 线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”,那么 它们之间有哪些相似之处呢? 3. 你能证明你发现的结论是正确的吗? 【教学与建议】 教学:利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似 之处猜想结论. 建议:启发学生画图观察,仿照角的平分线从定义、 性质和判定三个角度思考,类比角的平分线定义可 以得出倍半关系,类比角的平分线性质与判定分别 得到线段的垂直平分线的性质与判定. 命题角度 1　 利用线段垂直平分线的性质进行有关的 计算与证明 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】 (1)利用线段垂直平分线的性质解决问 题,一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段 (常用的添加辅助线的方法),从而由性质可以直接得 到相等的两条线段. (2)把未知的线段通过线段的垂 直平分线的性质转化为已知的线段. 1. 如图,AB=CD,线段 AC 的垂直平分线 与线段 BD 的垂直平分线相交于点 E. 求证:∠ABE= ∠CDE. 证明:如图,连接 AE,CE. ∵ 线段 AC 的垂直平分线与 BD 的垂直平分线相交于点 E. ∴ AE = CE, BE = DE. 在 △ABE 和 △CDE 中, AB=CD AE=CE BE=DE ì î í ïï ï , ∴ △ABE≌△CDE(SSS) . ∴ ∠ABE= ∠CDE. 命题角度 2　 线段垂直平分线的判定 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】一点与一条线段的两个端点距离相等,可 判定该点在这条线段的垂直平分线上. 2. 如图,AB=AC,MB=MC. 求证:直线 AM 是线 段 BC 的垂直平分线. 证明:∵ AB = AC,∴ 点 A 在线段 BC 的垂直 平分线上. ∵ MB=MC,∴ 点 M 在线段 BC 的垂 直平分线上. ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平 分线. 一、教学目标 1. 掌握线段垂直平分线的概念. 2. 理解线段垂直平分线的性质和判定定理. 3. 了解“连接对称点的线段被对称轴垂直平分” . 4. 能熟练画出轴对称图形的对称轴. 二、教学重难点 重点:1. 掌握线段垂直平分线的性质和判定,并学会 运用. 2. 画出轴对称图形的对称轴. 难点:1. 运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几 何问题. 2. 画轴对称图形的对称轴. 一、知识回顾 垂直平分线的定义是什么? 解:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫 做这条线段的垂直平分线. 二、探究新知 问题 1　 如图,直线 l 垂直平分线段 AB,P1,P2,P3 , …是 l 上的点,分别量一量点 P1,P2,P3 ,…到点 A 与 点 B 的距离,你有什么发现? 解:可以发现,点 P1,P2,P3,…到点 A 的距离与它们 到点 B 的距离分别相等. 如果把线段 AB 沿直线 l 对折,线段 P1A 与 P1B、线段 P2A 与 P2B、线段 P3A 与 P3B……都是重合的,因此它们也分别 相等. 【知识归纳】 线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与 这条线段两个端点的距离相等. 问题 2　 如果 PA=PB,那么能否说明点 P 在线段 AB 的垂直平分线上? 【分析】可以利用三角形全等进行证明. 已知:如图 PA=PB,直线 l⊥AB. 求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明:∵ l⊥AB,∴ ∠PCA = ∠PCB = 90°,又∵ PA = PB,PC=PC,∴ Rt△PCA≌Rt△PCB( HL) . ∴ AC=BC. 即点 P 在 AB 的垂直平分线上. 【知识归纳】 线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离 相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 问题 3 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的,如 何验证呢? 不折叠图形,你能准确地作出轴对称图 12 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 形的对称轴吗? 解:如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线. 因此,我们只要 找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平 分线,就可以得到这两个图形的对称轴. 三、例题精讲 1. 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的 垂线. 已知:直线 AB 和 AB 外一点 C(如图) . 求作:AB 的垂线,使它经过点 C. 作法:(1)任意取一点 K,使点 K 和点 C 在 AB 的 两旁. (2) 以点 C 为圆心,CK 长为半径作弧,交 AB 于点 D 和 E. (3)分别以点 D 和点 E 为圆心,大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧相交于点 F. (4) 作直线 CF, 直线 CF 就是所求作的 垂线. 2. 如图 1,点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称,你能 作出这条直线吗? 作法:如图 2. (1)分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 1 2 AB 的长为半径作弧(想一想为什么),两弧相 交于 C,D 两点; (2)作直线 CD. CD 就是所求作的直线. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 线段垂直平分线的性质、判定及运用. 2. 过直线外一点作已知直线的垂线. 反思:1. 运用线段垂直平分线的性质和判定定理解 决几何问题. 2. 培养学生良好的动手实践能力. 13. 2　 画轴对称图形 第 1 课时　 画轴对称图形 复习导入 问题 1　 轴对称图形指　 　 沿某条直线对折,直线两旁 的部分能够互相重合的平面图形　 　 . 问题 2　 看下面两幅图是否是轴对称图形,你能否画出 它们的对称轴? 　 　 解:都是轴对称图形;对称轴如图所示. 问题 3　 如果两个平面图形成轴对称,你能用什么办法 验证? 不经过折叠,用什么方法画出它的对称轴? 【教学与建议】 教学:复习轴对称图形导入新课,提出问题 3,激发学生 的好奇心. 建议:自主回答,可小组讨论. 命题角度 1　 作轴对称图形的对称轴 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】利用尺规作图的方法作出轴对称图形(或 成轴对称的两个图形)的对称轴,通常先确定一组对 称点,再连接这两点得到一条线段,最后作这条线段 的垂直平分线. 1. 如图,△ABC 和△DEF 关于某条直线成轴对称,你能 作出这条直线吗? 　 　 　 解:直线 l 就是所求作的对称轴. 命题角度 2　 利用线段的垂直平分线的作图解决实际 问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】在利用作图解决实际问题时,如果出现到 两点距离相等的要求,通常考虑作这两点所连线段的 垂直平分线. 解题时注意保留作图痕迹. 2. 某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC, 如图所示,现要在道路 AB 上建一个休 息点 M,使它到 A,C 两个点的距离相 等,请在图中确定休息点 M 的位置. 解:如图,作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 M,则点 M 即为所求. 一、教学目标 指导学生能熟练画出一个图形关于某一条直线对称的 轴对称图形. 22