11.3 多边形及其内角和-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和,得∠BAE = ∠2 +∠3,∠CBF = ∠1 + ∠3,∠ACD = ∠1 + ∠2. 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD= 2(∠1+∠2+∠3) . 由∠1+∠2+∠3 = 180°, 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2 × 180° = 360°. 【知识归纳】三角形的外角和等于 360°. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 三角形外角的定义. 2. 三角形外角的性质及运用. 反思:掌握三角形的外角的概念、性质及外角和定 理,让学生学会用学过的定理证明此性质. 11. 3　 多边形及其内角和 11. 3. 1　 多边形 一、归纳导入 投影:图形见课本图 11. 3-1 所示,你能从中找出由 一些线段围成的封闭图形吗? 对这三个图形让同学边看、边议. 这些线段围成的图形有何特性? (1)它们在同一平面内. (2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺 次相接组成的. 这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边 形,那么什么叫做多边形呢? 提问:三角形的定义. 你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗? 【归纳】 1. 在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的 封闭图形叫做　 多边形　 . 2. 如果一个多边形由 n 条线段组成,那么这个多边 形叫做　 n 边形　 (一个多边形由几条线段组成, 就叫做几边形) . 3. n 边形有　 n　 条边,　 n　 个顶点,　 n　 个内角. 【教学与建议】 教学:引导学生列举多边形,从认知体验出发,通过 对比来归纳多边形定义. 建议:通过此例使学生经历了将实际问题转化为数 学问题的建模过程. 二、置疑导入 如图: 问题 1　 请把这些实物图片的外延轮廓线或者它的 一部分,用几何图形画出来. 问题 2　 以图形的一个顶点为一个端点,与之不相 邻的其他顶点作为另一个端点,一共可以连接多少 条线段? 问题 3　 如果图形的边数为 n,可以连接多少条不同 的线段? 【教学与建议】 教学:以疑导入,激发求知欲;以动激趣,浅探求知. 建议:先画出四边形、五边形、六边形、八边形等多边 形,直观感受图形特征. 再数出所画的多边形中,从 一个顶点引出的对角线数量. 最后探索 n 边形中从 一个顶点引出的对角线数量有什么规律,把这个结 论用含有 n 的式子表示出来. 命题角度　 多边形的对角线 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　下列多边形中,对角线是 5 条的多边形是( B ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 一、教学目标 了解多边形,多边形的对角线,正多边形等有关 概念. 二、教学重难点 重点:了解多边形及其概念,理解正多边形及其 概念. 难点:掌握多边形的边数与对角线条数等之间的规 律,并学会灵活运用. 一、问题导入 　 　 观察图中的图片,其中的房屋结构、蜂巢结构等 给我们以由一些线段围成的图形的形象,你能从图 中想象出几个由一些线段围成的图形吗? 二、探究新知 问题 1　 从五边形的一个顶点出发可以画几条对角 线? 它们将五边形分成了什么图形? 五边形有多少 条对角线? 解:从五边形的一个顶点出发可以画 2 条对角线;它 们将五边形分成 3 个三角形;五边形有 5 条对 角线. 【知识归纳】 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 7 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 形叫做多边形. 连接多边形不相邻的两个顶点的线 段,叫做多边形的对角线. 多边形相邻两边组成的角 叫做它的内角. 多边形的边与它的邻边的延长线组 成的角叫做多边形的外角. 问题 2　 从 n 边形的一个顶点出发可以作几条对角 线? n 边形共有多少条对角线? 【分析】从一个顶点出发,发现除了自己和与自己相 邻的两个顶点不能连成对角线,所以对角线的条数 要减去 3,而 n 边形共有 n 个顶点,所以可以引出 n (n-3)条对角线,但其中有一半是重复的,所以需要 除以 2. 解:从 n 边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线. n 边形一共有n(n -3) 2 条对角线. 【知识归纳】 从 n 边形(n>3)的一个顶点出发,可以作(n-3)条 对角线,n 边形一共有n(n -3) 2 条对角线. 问题 3　 观察下面两个图形,他们有什么特点? 解:如图 1,画出四边形 ABCD 的任何一条边(例如 CD)所在直线,整个四边形都在这条直线的同一 侧,这样的四边形叫做凸四边形. 而图 2 中的四 边形 ABCD 画出边 CD(或 BC)所在直线,整个四 边形不都在这条直线的同一侧,所以不是凸四 边形. 【知识归纳】 1. 画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多 边形都在这条直线的同一侧,那么这个多边形就 是凸多边形. 2. 各条边都相等,各个角都相等的多边形叫做正多 边形. 三、例题精讲 1. 若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引 10 条对角线,则它是( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 十三边形 B. 十二边形 C. 十一边形 D. 十边形 2. 下列说法正确的是( A ) A. 正多边形的各内角、各边都相等 B. 各内角相等的多边形是正多边形 C. 各边相等的多边形是正多边形 D. 等腰三角形、长方形都是正多边形 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 多边形的相关概念. 2. 凸多边形及正多边形的概念. 3. 多边形的边数与对角线条数等之间关系的 规律. 反思:让学生学会判断一个多边形是否是凸多边形. 11. 3. 2　 多边形的内角和 一、置疑导入 　 　 清晨,小明沿一个五边形广场周围的小路,从 A 点出发,按顺时针方向跑步. 问题 1 　 小明每从一条小路转到下 一条小路,身体转过的角是哪些角? 问题 2　 他每跑完一圈,身体转过的 角度之和是多少? 问题 3　 在右图中,你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 的度数吗? 【教学与建议】 教学:通过生活中的实际问题及提问设疑,调动学生 的学习兴趣和注意力. 建议:教师要充分调动学生学习的积极性,把生活中 的问题转化为数学问题. 二、类比导入 问题 1　 三角形的内角和等于多少度? 长方形的内 角和等于多少度? 正方形的内角和等于多少度? 问题 2　 长方形和正方形是特殊的四边形,其内角 和是 360°,任意四边形的内角和等于多少度? 问题 3　 你是怎样得到的? 你能找到几种方法? 问题 4　 对比观察这些分法有什么异同点. 问题 5　 选一种你喜欢的上述分割的方法,求出五 边形、六边形、七边形的内角和. 问题 6　 n 边形的内角和怎样表示呢? 【教学与建议】 教学:从四边形入手,利用三角形的内角和是 180° 转化探索多边形的内角和. 建议:分组探究,教师及时了解学生探索的情况. 命题角度 1　 利用多边形的内角和公式计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】根据多边形内角和公式(n-2)×180°可求 角度,建立方程可求边数. 1. 若一个多边形每一个内角都是 120°,则这个多边形 的边数是( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8 命题角度 2　 利用多边形的外角和计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解题技巧】多边形的外角和恒为 360°. 2. 一个多边形的每个外角均为 72°, 则这个多边形 是( D ) A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 命题角度 3　 多边形的内角和、外角和的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】从物体形状中抽象得到多边形,应用多边 形内角和公式、外角和性质解决实际问题. 3. 如图,小梦从点 A 出发,沿直线前进 12 m 后向左转 24°,再沿直线前进 12 m,又向左转 24°……照这样走下去,她第一次回 到出发地点 A 时,一共走的路程是( C ) A. 144 m B. 120 m C. 180 m D. 240 m 一、教学目标 1. 了解多边形内角和公式,会用多边形内角和公式 解决问题. 2. 经历探索多边形内角和公式的过程,培养学生勤 于思考的习惯和合情推理的意识. 二、教学重难点 重点:多边形的内角和公式及外角和. 难点:多边形内角和公式的推导及其运用. 一、知识回顾 从 n 边形的一个顶点出发可以作几条对角线? n 边 形共有多少条对角线? 解:从 n 边形(n>3)的一个顶点出发,可以作(n-3) 条对角线. n 边形一共有n(n -3) 2 条对角线. 二、探究新知 问题 1　 我们知道,三角形的内角和等于 180°,正方 形、长方形的内角和都等于 360°. 那么,任意一个四 边形的内角和是否也等于 360°呢? 你能利用三角 形内角和定理证明四边形的内角和等于 360°吗? 【分析】要用三角形内角和定理证明四边形的内角 和等于 360°,只要将四边形分成几个三角形即可. 解:如图,在四边形 ABCD 中, 连接对角线 AC,则四边形 ABCD 被 分 为 △ABC 和 △ACD 两个三角形. ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D = ∠1+∠2+∠B+∠3+ ∠4+∠D= ( ∠1+∠B+∠3) +( ∠2 +∠4 +∠D) . ∵ ∠1+∠B+∠3 = 180°,∠2+∠4+∠D = 180°,∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D = 180°+180° = 360°. 即 四边形的内角和等于 360°. 问题 2　 通过类比,你能推出五边形、六边形的内角 和吗? 解:从五边形的一个顶点出发,可以作 2 条对角线, 它们将五边形分为 3 个三角形,五边形的内角和 等于 180°×3 = 540°. 从六边形的一个顶点出发,可以作 3 条对角线, 它们将六边形分为 4 个三角形,六边形的内角和 等于 180°×4 = 720°. 【知识归纳】 一般地,从 n 边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条 对角线,它们将 n 边形分为(n-2)个三角形,n 边形 的内角和等于 180°×(n-2) . 问题 3　 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外 角,这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外 角和等于多少? 解:六边形的任何一个外角加上与 它相邻的内角都等于 180°. 因 此六边形的 6 个外角加上与它 们相邻的内角,所得总和等于 6 ×180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角 和. 所以外角和等于总和减去内角和,即外角和 等于 6×180°-(6-2) ×180° = 2×180° = 360°. 思考:如果将问题 3 中的六边形换为 n 边形(n 是不 小于 3 的任意整数),可以得到同样的结果吗? 【知识归纳】 1. n 边形内角和等于(n-2)×180°. 2. 多边形的外角和等于 360°. 三、例题精讲 1. 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对 角有什么关系? 解:如图,在四边形 ABCD 中, ∠A+∠C= 180°. ∵ ∠A+∠B +∠C+∠D = (4-2) ×180° = 360°,∴ ∠B + ∠D = 360° - (∠A+∠C)= 360°-180°= 180°. 这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另 一组对角也互补. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 多边形的内角和公式. 2. 多边形的外角和. 反思:学会运用多边形的内角和公式与外角和进行 有关计算. 9