11.2 与三角形有关的角-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 图 1 　 　 图 2 解:如图2 所示.一个三角形有3 条角平分线,区别是三 角形的角平分线是线段,一个角的平分线是射线. 【知识归纳】 1. 三角形有三条角平分线,都在三角形的内部. 2. 三角形的三条角平分线交于一点. 3. 三角形的角平分线是线段. 问题 4　 (1)如图 1,将三根木条用钉子钉成一个三 角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗? (2)如图 2,将四根木条用钉子钉成一个四边形木 架,然后扭动它,它的形状会改变吗? (3)如图 3,将四边形木架上再钉一根木条,将它的 一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状 还会改变吗? 为什么? 解:(1)三角形木架的形状不会改变;(2)四边形木 架的形状会改变;(3)形状不会改变. 因为斜钉 一根木条后,四边形变成两个三角形,由于三角 形具有稳定性,所以木架的形状不会改变. 【知识归纳】 三角形具有稳定性. 四边形不具有稳定性. 三、例题精讲 1. 如图 1,已知△ABC,根据要求画图. (1)画 BC 边上的高; (2)画∠C 的平分线; (3)将△ABC 分成面积相等的两部分. 图 1 　 　 图 2 解:如图 2. (1)线段 AD 即为 BC 边上的高; (2)CE 即为∠ACB 的平分线; (3)中线 BF 将△ABC 分成面积相等的两部 分. (答案不唯一) 2. 下列说法:①自行车的三脚架;②三角形房架;③ 照相机的三角架;④门框的长方形架. 其中利用三 角形稳定性的有　 ①②③　 . (填序号) 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 三角形的高、中线、角平分线的性质. 2. 三角形的稳定性. 反思:了解三角形具有稳定性. 11. 2　 与三角形有关的角 11. 2. 1　 三角形的内角 一、情境导入 　 　 如图,将一根旗杆 MN 竖直固定 在地面上,为了安全起见,在旗杆的点 A 处安装拉线,使拉线 AB 与旗杆的夹 角∠BAN= 60°,为了保证角度准确,在地面固定拉线 端点 B 时,应使拉线与地面的夹角∠ABN 的度数是 多少? 【教学与建议】 教学:创设有关直角三角形的问题情境体现了几何 知识在实际生活中的应用. 建议:学生可以结合三角形内角和知识解答,体现了 新旧知识之间的联系,应用本节所学知识“直角三角 形的两个锐角互余”解答更显简洁. 二、归纳导入 　 　 我们学习几何知识,经常先学习一般图形,再重 点学习特殊图形,先学习两角和的计算,再重点学习 互余、互补. 比如先学习两条直线相交,再重点学习 两条直线垂直;先学习任意图形中的“三线八角”, 再重点学习平行线中的“三线八角” . 学习三角形也 是一样的“套路”,先学习一般的三角形,再重点学 习特殊的三角形,那么“特殊的三角形” 有哪些呢? 直角三角形有哪些特殊的性质呢? 【教学与建议】 教学:通过对教材知识体系的编排,让学生明白学习 几何知识的“一般套路” . 建议:教师列举出几个“一般———特殊”的知识体系 后,可以让学生仿照说出几个类似的例子. 特殊的三 角形有直角三角形、等腰三角形和等边三角形等. 命题角度 1　 直角三角形的性质 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】在直角三角形中,根据两锐角互余解决有 关角度的问题. 1. 如图,Rt△ABC,∠ACB = 90°,CD⊥AB 于 D,∠BCD = 40°,则∠A 的度数为( A ) A. 40° B. 38° C. 50° D. 30° 4 命题角度 2　 直角三角形的判定 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】判定一个三角形是直角三角形的方法: (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形;(2)有两 个角互余的三角形是直角三角形. 2. 在下列条件中不能判定 △ABC 为直角三角形的 是( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠A= 90°-∠C B. ∠A= ∠B-∠C C. ∠A= 2∠B= 3∠C D. ∠A= ∠B= 1 2 ∠C 一、教学目标 1. 探索并掌握三角形内角和定理. 2. 了解直角三角形两个锐角的关系. 二、教学重难点 重点:1. 三角形内角和定理. 2. 了解直角三角形两个锐角的关系,掌握直角 三角形的判定. 难点:1. 三角形内角和定理的推导过程. 2. 掌握直角三角形的判定,会运用直角三角形 的性质和判定进行相关计算. 一、问题导入 1. 三角形的内角和是多少度? 解:三角形的内角和是 180°. 2. 三角形的三个内角之比为 1 ∶3 ∶ 5,那么这个三角 形的最大内角为　 100°　 . 二、探究新知 问题 1　 在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下 拼合在一起,就得到一个平角. 从这个操作过程中,你 能发现证明三角形的内角和是 180°的思路吗? 【分析】由上述拼合过程得到启发,过△ABC 的顶点 A 作直线 l 平行于△ABC 的边 BC,那么由平行线的 性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于 180°”这个结论. 已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C= 180°. 证明:如图,过点 A 作直线 l, 使 l∥BC. ∵ l∥BC,∴ ∠2 = ∠4(两 直线 平 行, 内 错 角 相 等),同理∠3 = ∠5. ∵ ∠1,∠4,∠5 组成平角, ∴ ∠1+∠4+∠5 = 180°(平角定义) . ∴ ∠1+∠2+∠3 = 180°(等量代换) . 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和 都等于 180°. 【知识归纳】三角形内角和定理:三角形三个内角的 和等于 180°. 问题 2 　 在△ABC 中,∠C = 90°,∠A 与∠B 之间有 什么关系? 解:如图,在直角三角形 ABC 中,∠C = 90°, 由三角形内角和定理,得 ∠A+∠B+∠C= 180°, 即∠A+∠B+90° = 180°,所以∠A+∠B = 90°. 也 就是说,直角三角形的两个锐角互余. 问题 3　 在△ABC 中,若∠B+∠A = 90°,那么△ABC 是什么形状的三角形? 并说明理由. 解:在三角形 ABC 中,∠B+∠A= 90°, 由三角形内角和定理,得 ∠C= 180°-(∠A+∠B)= 180°-90° = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. 【知识归纳】 1. 直角三角形的两个锐角互余. 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三、例题精讲 1. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 40°, ∠B = 75°,AD 是△ABC 的角平 分线. 求∠ADB 的度数. 解:由∠BAC = 40°,AD 是△ABC 的角平分线,得 ∠BAD= 1 2 ∠BAC = 20°. 在△ABD 中,∠ADB = 180°-∠B-∠BAD= 180°-75°-20° = 85°. 2. 如图,∠C= ∠D= 90°,AD,BC 相交于点 E. ∠CAE 与∠DBE 有什么关系? 为什么? 解:在 Rt △ACE 中, ∠CAE = 90° - ∠AEC. 在 Rt△BDE 中,∠DBE= 90°-∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED,∴ ∠CAE= ∠DBE. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 三角形的内角和定理. 2. 直角三角形的性质———两锐角互余. 3. 直角三角形的判定———有两个角互余的三 角形是直角三角形. 反思:1. 学会运用三角形内角和定理. 2. 掌握直角三角形的判定. 5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 11. 2. 2　 三角形的外角 一、情境导入 　 　 如图,是由两块较长钢板 A,B 搭建 的人字架,资料表明,当∠1 = 70°,∠3 = 110°时,人字架最稳定,由于客观原因, ∠3 不可度量,那么∠2 为多少度时,人字架最稳定? 【教学与建议】 教学:利用具体问题情境,通过设疑导入新课,吸引 学生的注意力. 建议:三角形外角的性质是在三角形内角和定理的 基础上得出的,让学生按照自己的理解总结定理的 内容,最后教师进行规范总结. 二、归纳导入 1. 如图①,把△ABC 的一边 BC 延长,得到∠ACD. 像 这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角, 叫做　 三角形的外角 　 . 如图②,一个三角形有 　 6　 个外角,每个顶点处有　 2　 个外角. ① 　 　 　 ② 2. 如图①,在△ABC 中,∠A = 80°,∠B = 40°,∠ACD 是△ABC 的一个外角,则∠ACD = 　 120° 　 . 试猜 想∠ACD 与 ∠A, ∠B 的关系是 　 ∠A + ∠B = ∠ACD　 . 3. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和吗? 今天来学习三角形外角的性质. 【教学与建议】 教学:先归纳三角形外角的定义,再设问质疑,探究 尝试. 建议:教师要充分利用图①讲解三角形的外角的定 义,与学生共同探究外角的特征和性质. 命题角度 1　 利用三角形的外角的性质求角度 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】三角形的内角和定理和三角形的外角的 性质是解决三角形中有关角度计算和推理问题的依 据. 1. 将一副三角板按照如图方式摆放,则∠CBE 的度数 为( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 90° B. 100° C. 105° D. 110° 命题角度 2　 利用三角形的外角的性质解决实际问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】外角可以把不在同一个三角形中的几个 角联系起来,解决生活中的问题. 2. 一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看 见了一个如图所示的人字架,爸爸说: “李明,我考考你! 这个人字架中的∠3 = 110°,你能求出∠1 比∠2 大多少吗?”请你帮李明计 算一下,正确的答案是( C ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 一、教学目标 引导学生探索并了解三角形外角的性质. 二、教学重难点 重点:三角形外角的性质和三角形的外角和. 难点:三角形外角的性质的探究及运用. 一、知识回顾 1. 三角形的内角和是多少度? 解:三角形的内角和是 180°. 2. 直角三角形的性质和判定是什么? 解:直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的 三角形是直角三角形. 二、探究新知 定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫 做三角形的外角. 问题 1 　 如图,在△ABC 中, ∠A = 70°, ∠B = 60°, ∠ACD 是△ABC 的一个外角,能由∠A, ∠B 求出 ∠ACD 吗? 如果能,∠ACD 与∠A,∠B 有什么关系? 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角 是否都有这种关系? 解:能. 因为∠ACB+∠ACD = 180°,∠A+∠B+∠ACB = 180°,所以∠ACD = ∠A+∠B. 任意一个三角形 的一个外角与它不相邻的两个内角都相等. 【知识归纳】 1. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 2. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 三、例题精讲 1. 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外 角,它们的和是多少? 6 解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和,得∠BAE = ∠2 +∠3,∠CBF = ∠1 + ∠3,∠ACD = ∠1 + ∠2. 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD= 2(∠1+∠2+∠3) . 由∠1+∠2+∠3 = 180°, 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2 × 180° = 360°. 【知识归纳】三角形的外角和等于 360°. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 三角形外角的定义. 2. 三角形外角的性质及运用. 反思:掌握三角形的外角的概念、性质及外角和定 理,让学生学会用学过的定理证明此性质. 11. 3　 多边形及其内角和 11. 3. 1　 多边形 一、归纳导入 投影:图形见课本图 11. 3-1 所示,你能从中找出由 一些线段围成的封闭图形吗? 对这三个图形让同学边看、边议. 这些线段围成的图形有何特性? (1)它们在同一平面内. (2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺 次相接组成的. 这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边 形,那么什么叫做多边形呢? 提问:三角形的定义. 你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗? 【归纳】 1. 在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的 封闭图形叫做　 多边形　 . 2. 如果一个多边形由 n 条线段组成,那么这个多边 形叫做　 n 边形　 (一个多边形由几条线段组成, 就叫做几边形) . 3. n 边形有　 n　 条边,　 n　 个顶点,　 n　 个内角. 【教学与建议】 教学:引导学生列举多边形,从认知体验出发,通过 对比来归纳多边形定义. 建议:通过此例使学生经历了将实际问题转化为数 学问题的建模过程. 二、置疑导入 如图: 问题 1　 请把这些实物图片的外延轮廓线或者它的 一部分,用几何图形画出来. 问题 2　 以图形的一个顶点为一个端点,与之不相 邻的其他顶点作为另一个端点,一共可以连接多少 条线段? 问题 3　 如果图形的边数为 n,可以连接多少条不同 的线段? 【教学与建议】 教学:以疑导入,激发求知欲;以动激趣,浅探求知. 建议:先画出四边形、五边形、六边形、八边形等多边 形,直观感受图形特征. 再数出所画的多边形中,从 一个顶点引出的对角线数量. 最后探索 n 边形中从 一个顶点引出的对角线数量有什么规律,把这个结 论用含有 n 的式子表示出来. 命题角度　 多边形的对角线 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　下列多边形中,对角线是 5 条的多边形是( B ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 一、教学目标 了解多边形,多边形的对角线,正多边形等有关 概念. 二、教学重难点 重点:了解多边形及其概念,理解正多边形及其 概念. 难点:掌握多边形的边数与对角线条数等之间的规 律,并学会灵活运用. 一、问题导入 　 　 观察图中的图片,其中的房屋结构、蜂巢结构等 给我们以由一些线段围成的图形的形象,你能从图 中想象出几个由一些线段围成的图形吗? 二、探究新知 问题 1　 从五边形的一个顶点出发可以画几条对角 线? 它们将五边形分成了什么图形? 五边形有多少 条对角线? 解:从五边形的一个顶点出发可以画 2 条对角线;它 们将五边形分成 3 个三角形;五边形有 5 条对 角线. 【知识归纳】 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 7