11.1 与三角形有关的线段-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学新教案(人教版)

第十一章　三角形 11. 1　 与三角形有关的线段 11. 1. 1　 三角形的边 一、归纳导入 1. 学生观看视频. (多媒体出示) 在观看的视频中剪切下面的图片,从中找到三角 形的影子. 【归纳】 这些三角形共同特点是:1. 由不在同一条直线上的 三条线段首尾顺次相接. 2. 三角形有 　 三 　 条边,　 三 　 个内角,　 三 　 个 顶点. 【教学与建议】 教学:通过观看与三角形有关的视频,使学生能从生 活中抽象出几何图形,并归纳出三角形的特征. 建议:让学生举例寻找三角形,理解三角形的特征. 二、置疑导入 　 　 (多媒体出示)在一个直角三角形村庄里,住着 三个内角,平时他们非常团结,有一天,老三不高兴 了,对老大说:“凭什么你的度数最大,我也要和你一 样大!”老大说:“这是不可能的,否则我们这个家就 要被拆散,围不起来了!” “为什么呢?”老二、老三纳 闷起来……同学们,你们知道其中的道理吗? 【教学与建议】 教学:置疑三角形的内角和问题,培养学生的学习兴 趣,激发学生的求知欲. 建议:引导学生对问题思考、讨论、探究. 三、情境导入 　 　 同学们都非常喜欢读书,那你们家里一定有漂 亮的书架吧? 老师这里也有一个书架,同学们来欣 赏一下. (教师展示书架) 问题:这个书架是用什么基本图形拼成的? 这个基本图形有什么特殊特征? 【教学与建议】 教学:让学生能从熟悉的生活中抽象出几何图形,从 而激发学生学习数学的兴趣. 建议:引导学生进行思考、分析,导入等腰三角形特征. 命题角度 1　 三角形的分类 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】三角形按角分类:锐角三角形、直角三角 形、钝角三角形;三角形按边分类:等腰三角形与三边 都不相等的三角形. 1. 下列分类正确的是( D ) A. 三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B. 三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等 边三角形 C. 三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D. 三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 命题角度 2　 三角形的三边关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【解题技巧】1. 判断三条线段能否构成三角形的方法: 若两条较短的线段长之和大于最长的线段,能组成三 角形;反之,则不能. 2. 求第三边长的取值范围:已知 两边长之差(长边-短边) <第三边长<已知两边长之 和. 2. 一个不等边三角形的两边长分别为 6 和 10,且第三 边长为偶数,符合条件的三角形有( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 一、教学目标 1. 认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示 三角形;理解三角形的分类. 2. 掌握三角形三边关系,会判断已知的三条线段能 否组成三角形,会求三角形第三边的取值范围. 二、教学重难点 重点:理解三角形三边关系. 难点:三角形三边关系的运用. 一、情境导入 　 　 在我们生活中几乎随处可见三角形,它简单、有 趣也十分有用,三角形可以帮助我们更好地认识周 围的世界. 例如下面两幅图: 　 　 二、探究新知 问题 1 　 怎样的图形是三角形? 它有哪些基本 元素? 解:三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾 顺次相接所组成的图形. 在图中,线段 AB,BC, CA 是三角形的边. 点 A,B,C 是三角形的顶点. 1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 ∠A,∠B,∠C 是相邻两边组成的角,叫做三角形 的内角,简称三角形的角. 顶点是 A,B,C 的三角 形,记作△ABC,读作“三角形 ABC” . 问题 2　 我们知道,按照三个内角的大小,可以将三 角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 如 何按照边的关系对三角形进行分类呢? 解:以“是否有边相等”,可以将三角形分为:三边都 不相等的三角形、有两条边相等的三角形和三边 都相等的三角形. 其中,我们把有两条边相等的 三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另 一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边 的夹角叫做底角. 三边都相等的三角形叫做等边 三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形,即底 边和腰相等的等腰三角形. 【知识归纳】 1. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所 组成的图形叫做三角形. 2. 三角形按边的相等关系分类: 三 角 形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形{ ì î í ïï ï 问题 3　 任意画一个△ABC,从点 B 出发,沿三角形 的边到点 C,有几条线路可以选择? 各条线路的长 有什么关系? 解:对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点 (例如 B,C)看成定点,由“两点之间,线段最短” 可得 AB+AC>BC.同理有 AC+BC>AB,AB+BC>AC. 【知识归纳】 三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于 第三边. 三、例题精讲 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的 2 倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗? 为 什么? 解:(1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm. x+2x+2x = 18. 解得 x = 3. 6,所以三边长分别为 3. 6 cm,7. 2 cm,7. 2 cm; (2)因为长 4 cm 的边可能是腰,也可能是底边, 所以需要分情况讨论,如果 4 cm 长的边为底边, 设腰长为 x cm,则 4 + 2x = 18. 解得 x = 7. 如果 4 cm 长的边为腰,设底边长为 y cm,则 2×4+y = 18. 解得 y= 10. 因为 4+4<10,不符合三角形两边 的和大于第三边,所以不能围成腰长是 4cm 的 等腰三角形. 由以上讨论可知,可以围成底边长 是 4cm 的等腰三角形. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 三角形的相关概念. 2. 三角形的分类. 3. 三角形的三边关系. 反思:通过自主探究,小组合作,能够按照边的关系 对三角形分类. 11. 1. 2　 三角形的高、中线与角平分线　 11. 1. 3　 三角形的稳定性 一、类比导入 活动内容:展示图片 比一比,谁更高? 【教学与建议】 教学:用“比一比,谁更高”的生活实例来引入,让学 生感受到生活问题可以转化为数学问题,初步感知 三角形高的概念. 建议:通过贴近生活的图片来激发学生的兴趣,从而 引入课题. 二、复习导入 1. 线段的中点:点 C 把线段 AB 分成相等的两条线 段 AC 和 BC,点 C 叫做线段 AB 的　 中点　 . 如图 ①, 点 C 是线段 AB 的中点, AC = BC = 　 1 2 　 AB,AB= 　 2　 AC= 　 2　 BC. 2. 角平分线:从一个角的顶点引出的一条　 射线　 , 把这个角分成两个相等的 　 角 　 ,这条 　 射线 　 叫做这个角的平分线. 如图②,因为射线 OC 是∠AOB 的平分线,所以 ∠AOC = ∠BOC = 　 1 2 　 ∠AOB, ∠AOB = 　 2　 ∠BOC= 　 2　 ∠AOC. 　 图①　 　 　 　 　 图② 【教学与建议】 教学:复习角平分线、线段中点的概念,为理解、辨析 三角形角平分线、中线做铺垫. 建议:分组回答,及时纠错. 三、情境导入 　 　 在我们的生活中几乎随处可见三角形,它简单 有用. 如:人字型屋顶钢架、风筝骨架,并从中抽象出 数学图形,为什么要构成三角形形状呢? 三角形有 什么特殊的性质,又有哪些特殊线段呢? 2 【教学与建议】 教学:创设现实情境,激发学生的学习兴趣. 建议:列举生活中三角形的图例,抽象出三角形重要 线段. 命题角度 1　 利用三角形的中线解决问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】利用三角形的中线不仅可以解决线段的 倍数关系问题,也可以解决周长,面积的问题. 1. 如图,CM 是△ABC 的中线,BC = 8 cm,若△BCM 的周 长比△ACM 的周长大 2 cm,则 AC 的长为( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 命题角度 2　 判断三角形的高的画法 2. 下面四个图形中, 线段 BE 能表示 △ABC 的 高 的是( B ) A. B. C. D. 命题角度 3　 利用三角形的稳定性解决生活中的应用 问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解题技巧】三角形的稳定性是三角形特有的性质. 3. 为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加 钉了一根木条,这样做的道理是( C ) A. 两点之间,线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行,内错角相等 一、教学目标 1. 掌握三角形的高、中线、角平分线的性质,并会运 用这些性质解决问题. 2. 准确画出三角形的高、中线与角平分线. 3. 理解三角形的稳定性. 二、教学重难点 重点:三角形的高、中线与角平分线的性质,理解三 角形的稳定性. 难点:三角形的高、中线与角平分线的应用,三角形 稳定性的应用. 一、知识回顾 1. 图中共有多少个三角形? 请将它们全部用符号表 示出来. 解:图中共有 5 个三角形. 分别是△ABC,△ABD, △ACD,△ADE,△CDE. 2. 利用长为 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm 的四条线段可以 组成几个三角形? 为什么? 解:可以组成 3 个三角形. 从四条线段中任选三 条,共有四种选法:①2cm,3 cm,4 cm;②3 cm, 4 cm, 5 cm; ③ 2 cm, 3 cm, 5 cm; ④ 2 cm, 4 cm,5 cm. 其中满足“三角形两边的和大于第三边”的只 有第①,②,④这三组. 二、探究新知 定义 1　 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直 线画垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高. 问题 1　 给出一个三角形,请你作出该三角形的高. 通过画不同的三角形的高,你能发现什么特点? 三 角形的高一定在三角形的内部吗? 解:　 　 第一条 第二条 第三条 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 发现三角形有三条高,三角形的高是线段. 三角形的 高不一定在三角形的内部. 【知识归纳】 1. 三角形有三条高,可能在三角形的内部,也可能在 三角形的外部. 2. 三角形的高是线段. 定义 2　 在三角形中,连接一个顶点和它所对的边 的中点的线段叫做三角形的中线. 问题 2　 作一个△ABC,并作出该三角形的中线. 一 个三角形有几条中线? 解:三条,如图所示: (答案不唯一) 【知识归纳】 1. 三角形有三条中线,都在三角形的内部. 2. 三角形的三条中线相交于一点,这个点叫做三角 形的重心. 3. 三角形的中线是线段. 定义 3　 在三角形中,一个内角的平分线和它的对 边相交于一点,这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线. 问题 3　 给出一个△ABC(如图 1),请你作出该三角 形的角平分线. 一个三角形有几条角平分线? 三角 形的角平分线与一个角的平分线有何区别? 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·八年级数学上册 图 1 　 　 图 2 解:如图2 所示.一个三角形有3 条角平分线,区别是三 角形的角平分线是线段,一个角的平分线是射线. 【知识归纳】 1. 三角形有三条角平分线,都在三角形的内部. 2. 三角形的三条角平分线交于一点. 3. 三角形的角平分线是线段. 问题 4　 (1)如图 1,将三根木条用钉子钉成一个三 角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗? (2)如图 2,将四根木条用钉子钉成一个四边形木 架,然后扭动它,它的形状会改变吗? (3)如图 3,将四边形木架上再钉一根木条,将它的 一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状 还会改变吗? 为什么? 解:(1)三角形木架的形状不会改变;(2)四边形木 架的形状会改变;(3)形状不会改变. 因为斜钉 一根木条后,四边形变成两个三角形,由于三角 形具有稳定性,所以木架的形状不会改变. 【知识归纳】 三角形具有稳定性. 四边形不具有稳定性. 三、例题精讲 1. 如图 1,已知△ABC,根据要求画图. (1)画 BC 边上的高; (2)画∠C 的平分线; (3)将△ABC 分成面积相等的两部分. 图 1 　 　 图 2 解:如图 2. (1)线段 AD 即为 BC 边上的高; (2)CE 即为∠ACB 的平分线; (3)中线 BF 将△ABC 分成面积相等的两部 分. (答案不唯一) 2. 下列说法:①自行车的三脚架;②三角形房架;③ 照相机的三角架;④门框的长方形架. 其中利用三 角形稳定性的有　 ①②③　 . (填序号) 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 三角形的高、中线、角平分线的性质. 2. 三角形的稳定性. 反思:了解三角形具有稳定性. 11. 2　 与三角形有关的角 11. 2. 1　 三角形的内角 一、情境导入 　 　 如图,将一根旗杆 MN 竖直固定 在地面上,为了安全起见,在旗杆的点 A 处安装拉线,使拉线 AB 与旗杆的夹 角∠BAN= 60°,为了保证角度准确,在地面固定拉线 端点 B 时,应使拉线与地面的夹角∠ABN 的度数是 多少? 【教学与建议】 教学:创设有关直角三角形的问题情境体现了几何 知识在实际生活中的应用. 建议:学生可以结合三角形内角和知识解答,体现了 新旧知识之间的联系,应用本节所学知识“直角三角 形的两个锐角互余”解答更显简洁. 二、归纳导入 　 　 我们学习几何知识,经常先学习一般图形,再重 点学习特殊图形,先学习两角和的计算,再重点学习 互余、互补. 比如先学习两条直线相交,再重点学习 两条直线垂直;先学习任意图形中的“三线八角”, 再重点学习平行线中的“三线八角” . 学习三角形也 是一样的“套路”,先学习一般的三角形,再重点学 习特殊的三角形,那么“特殊的三角形” 有哪些呢? 直角三角形有哪些特殊的性质呢? 【教学与建议】 教学:通过对教材知识体系的编排,让学生明白学习 几何知识的“一般套路” . 建议:教师列举出几个“一般———特殊”的知识体系 后,可以让学生仿照说出几个类似的例子. 特殊的三 角形有直角三角形、等腰三角形和等边三角形等. 命题角度 1　 直角三角形的性质 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】在直角三角形中,根据两锐角互余解决有 关角度的问题. 1. 如图,Rt△ABC,∠ACB = 90°,CD⊥AB 于 D,∠BCD = 40°,则∠A 的度数为( A ) A. 40° B. 38° C. 50° D. 30° 4