6.3 角-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 (4)两点之间,线段最短. (5)连接两点间的线段的长度,叫作这两点间的 距离. 三、试题精讲 1. 如图,点 C 是线段 AB 上的点,点 D 是线段 BC 的 中点. (1)若 AB= 10,AC= 6,求 CD 的长; (2)若 AC= 30,BD= 10,求 AB 的长. 解:(1)因为 AB= 10,AC= 6, 所以 BC=AB-AC= 10-6 = 4. 因为点 D 是线段 BC 的中点, 所以 CD= 1 2 BC= 2; (2)因为点 D 是线段 BC 的中点, 所以 BC= 2BD. 因为 BD= 10,所以 BC= 2×10 = 20. 因为 AB=AC+BC, 所以 AB= 30+20 = 50. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 尺规作图的概念. 2. 比较线段的长短. 3. 利用线段的和、 差、 倍、 分等计算线段的 长度. 4. 两点之间距离的定义和线段的基本事实的 应用. 反思:通过对线段的探究和应用,体会数学与生活的 联系, 感受数学的严谨性和数学结论的确 定性. 6. 3　 角 6. 3. 1　 角 复习导入 　 　 小学的时候我们学习过角,对角有一定的印象,在 我们身边也存在很多的角,你还记得角的概念是什么 吗? 观察图形,你能在图中找到角吗? 【说明与建议】 说明:回顾复习角的概念,为本节课的学习奠定基础,同 时揭示本节课的课题,明确目标. 建议:引导学生结合图形,理解角的概念,能准确找出图 中的角. 也可以让学生找出教室里的角. 命题角度 1　 角的定义及表示方法 1. 如图所示,能用∠1,∠AOB,∠O 三种方法表示同一 个角的图形是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 下列说法中不正确的是(　 A　 ) A. 由两条射线所组成的图形叫作角 B. ∠AOB 的顶点是点 O C. ∠AOB 和∠BOA 表示同一个角 D. 角的两边是两条射线 命题角度 2　 角的度量及换算 3. 已知∠α = 30°18′,∠β = 30. 18°,∠γ = 30. 3°,则相等 的两个角是(　 B　 ) A. ∠α= ∠β B. ∠α= ∠γ C. ∠β= ∠γ D. 无法确定 4. 小明在学习基本平面图形中角的知识后,学会了角的 度量单位:度、分、秒的换算. 课后小明仿照例题给同 学们出了一道填空题,计算:0. 2° = 　 　 ′ = 　 　 ″,以 下四名同学的答案正确的是(　 B　 ) A. 12,72 B. 12,720 C. 20,200 D. 2,20 命题角度 3　 钟面角及方位角 5. 我县某中学举行越野赛,学生于早上 7 点在操场集 85 合,裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项. 出发时,裁判长看了手表刚好是 7 点 20 分,此刻时针 和分针的夹角为(　 C　 ) A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° 6. 金金要到博物馆参观,博物馆位于金金家南偏西 40° 的方向,则金金家位于博物馆(　 B　 ) A. 南偏西 50° B. 北偏东 40° C. 北偏东 50° D. 南偏西 40° 一、教学目标 1. 理解角的概念,掌握角的符号表示. 2. 认识度、分、秒,并能进行简单的换算. 3. 了解方位角,能确定物体的具体方位. 二、教学重难点 重点:角的表示方法和度、分、秒的认识. 难点:度、分、秒的换算及方位角的应用. 一、问题导入 (1)如图,射线有几个端点,怎么表示? 答:射线有一个端点,表示为射线 OA. (2)钟表上的时针与分针、棱锥相交的两条棱,三角 尺相交的两条边等构成的图形,都给我们以什么平 面图形的形象? 答:都给我们以角的形象. 二、探究新知 问题 1　 (1)把一条射线绕着它的端点旋转,形成的 图形是什么? (2)怎样表示一个角? (3)如何判断一个角的度数? (4)角的度量单位有哪些? 角的度量单位之间是如 何换算的? 解:(1)角; (2)角通常用如图所示的方法表示; (3)我们常用量角器量角; (4)以度、分、秒为单位的角的度量制,叫作角度 制. 1 度= 60 分,1 分= 60 秒. 【知识归纳】 1. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,这个 公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边. 角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形. 2. 我们常用量角器量角;以度、分、秒为单位的角的 度量制,叫作角度制. 3. 1 周角= 360°,1 平角= 180°,1° = 60′,1′ = 60″. 4. 角的表示: (1)单独一个角时,常用一个大写字母,一个数字 或一个希腊字母表示; (2)共用公共顶点的角,常用三个大写字母表示, 表示顶点的字母放中间. 三、例题精讲 1. 如图 1,货轮 O 在航行过程中,发现灯塔 A 在它南 偏东 60°的方向上. 同时,在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北(北偏西 45°)方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的方法,画 出表示客轮 B、货轮 C 和海岛 D 方向的射线. 图 1 　 　 　 图 2 解:以点 O 为顶点,表示正北方向的射线为角的 一边画 40°的角,使它的另一边 OB 落在东与 北之间. 射线 OB 的方向就是北偏东 40°(图 2),即客轮 B 所在的方向. 类似地,射线 OC 就是南偏西 10°,即货轮 C 所 在的方向. 射线 OD 就是北偏西 45°,即海岛 D 所在的方向. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 角的定义及表示法. 2. 角的度量与单位的换算. 反思:通过在图片、实例中找角,培养学生的探究、观 察、抽象、概括的能力. 95 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 6. 3. 2　 角的比较与运算 第 1 课时　 角的比较及和差 置疑导入 有一天学生聪聪和明明各带了一把折扇(如下). 　 　 　 下面是他们的一段对话: 聪聪:“我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大 一些. ” 明明: “ 我的折扇长一些, 所以我的折扇的角也大 一些. ” 同学们,你有什么办法帮他们进行判断呢? 【说明与建议】 说明:展示图片,让学生明白题意是比较两个角的大小, 从而引出课题. 建议:重点让学生掌握比较两个角的大小的方法,为本 节课的学习做好铺垫. 命题角度　 角的大小比较 1. 比较∠CAB 与∠DAB 的大小,把它们的顶点 A 和边 AB 重合,把它们的另一边 AC 和 AD 放在 AB 的同一 侧,若∠CAB>∠DAB,则(　 A　 ) A. AD 落在∠CAB 的内部 B. AD 落在∠CAB 的外部 C. AC 和 AD 重合 D. 不能确定 AD 的位置 一、教学目标 1. 会比较角的大小和计算角的和与差. 2. 能够进行有关角度的简单计算. 二、教学重难点 重点:角的和、差计算. 难点:角的和、差计算. 一、问题导入 1. 线段大小的比较方法: 解:(1)度量法;(2)叠合法. 2. 思考:你知道角的大小怎么比较吗? 解:角的比较方法有两种:(1)度量法:用量角器 量出角的度数,然后比较它们的大小;(2) 叠 合法:把要比较大小的两个角的顶点重合,一 条边叠合在一起,通过观察另一条边的位置来 比较两角的大小. 二、探究新知 借助一副三角尺中的角,你能画出哪些角? 解:一个角画出的:30°、45°、60°、90°; 两个 角 组 合 画 出 的: 15°、 75°、 105°、 120°、 135°、150°; 三个角组合画出的:165°. 【知识归纳】 1. 角的比较方法有两种: (1)度量法:用量角器量出角的度数,然后比较它 们的大小; (2)叠合法:把要比较大小的两个角的顶点重合, 一条边叠合在一起,通过观察另一条边的位置来 比较两角的大小. 2. 角的和、差(类似于线段的和、差): 如图,∠AOB 是∠AOC 与∠COB 的 和,记 作 ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; ∠AOC 是 ∠AOB 与 ∠COB 的 差, 记 作 ∠AOC = ∠AOB-∠COB;类似地,∠COB= ∠AOB-∠AOC. 三、例题精讲 1. 如图,O 是直线 AB 上一点,∠AOC = 53°17′,求∠BOC 的度数. 分析:AB 是直线,∠AOB 是平角. ∠BOC 与∠AOC 的和是∠AOB. 解:由题意可知,∠AOB 是平角,∠AOB = ∠AOC +∠BOC. 所以∠BOC = ∠AOB-∠AOC = 180°- 53°17′ = 126°43′. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 角的两种比较方法:度量法、叠合法. 2. 角的运算. 反思:通过对角的探究和应用,使学生经历观察、猜 测、推理、交流反思等活动,充分拓宽学生探究 与交流的空间. 06 第 2 课时　 角的平分线及运算 置疑导入 　 　 下面是一个三角形纸片 ABC,按下图所示的方法折 叠,展开后,折痕 BD 把∠ABC 分成∠1 和∠2 两个角. ∠1 和∠2 有什么关系? 　 　 　 　 【说明与建议】 说明:通过让学生动手折叠,让学生探索角平分线,从而 引出课题. 建议:重点让学生理解二等分的意义,类比得出三等 分等. 命题角度　 角平分线及运算 1. 如图,OD 平分∠BOC,∠AOC = 110°,则∠COD 度数 为(　 C　 ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 45° 2. 如图,两个直角∠AOB,∠COD 有相同的顶点 O,下列 结论:①∠AOC = ∠BOD;②∠AOC = ∠BOD = 90°;③ 若 OC 平分∠AOB,则 OB 平分∠COD;④∠AOD 的平 分线与∠COB 的平分线是同一条射线. 其中正确的 个数有(　 C　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 一、教学目标 1. 会进行角的计算. 2. 了解角的平分线的概念,能够进行有关角度的简 单计算. 二、教学重难点 重点:角的计算及角平分线. 难点:运用几何语言描述角的平分线的概念及角的 计算. 一、知识回顾 1. 什么是线段等分点? 把一条线段分成相等的几条线段的点,叫作线段 的等分点. 2. 思考:你知道角的等分线是什么吗? 二、探究新知 我们知道线段有三等分点、四等分点,那么一个角会 不会有三等分线或四等分线呢? 一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相 等的角的射线,叫作这个角的平分线. 类似地,还有 角的三等分线等. 三、例题精讲 1. 把一个周角 7 等分,每份是多少度的角(精确到 分)? 分析:度、分、秒是六十进制的,不能整除时要把剩 余的度数化成分. 解:360°÷7 = 51°+3°÷7 = 51°+180′÷7≈51°26′. 答:每份是约 51°26′的角. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 角的平分线及 n 等分线. 2. 角的运算. 反思:通过对角的探究和应用,体会数学与生活的联 系,感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 6. 3. 3　 余角和补角 情境导入 　 　 举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇,是一 座由白色云石建成的古塔. 该塔发生倾斜但斜而不倒, 比萨斜塔因此远近闻名. 比萨斜塔始建于 1173 年,从地 面到塔顶高 55 m,自建成以后曾发生多次倾斜,常人只 凭眼睛也能察觉. 意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层 做过自由落体运动实验,开创了实验物理的新时代,斜 塔也因而更加闻名遐迩. 意大利政府曾想尽办法制止古 塔的继续倾斜,但到目前为止未能成功. 你知道斜塔的 倾角是多少度吗? 你能用什么方法测量呢? 下面是某 位游客设计的测量斜塔倾角的方案:将斜塔看成一条线 16 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 段 OA,在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子 B,画出 直线 OB,想办法测出了∠AOB= 85°. 　 　 　 　 问题　 (1)斜塔 OA 倾斜了多少度? (2)斜塔 OA 与 OC 所成的角是多少度? (3)斜塔 OA 与直线 OB 所成的另外一个角(即∠AOD) 是多少度? 【说明与建议】 说明:从学生的兴趣着手,让学生注重观察生活,知道数 学来源于生活,并服务于生活. 建议:小组讨论,归纳出余角和补角的性质. 命题角度　 利用余角、补角的性质解决问题 1. 已知 α= 40°10′,则 α 的余角的度数是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 139°50′ B. 48°50′ C. 49°50′ D. 50°50′ 2. 若一个角的余角的 3 倍比这个角的补角多 12°,则这 个角的度数为(　 B　 ) A. 38° B. 39° C. 40° D. 41° 3. 如图,一副三角尺按不同的位置摆放,摆放位置中∠α 与∠β 一定相等的图形共有(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 一、教学目标 1. 了解余角、补角的概念. 2. 掌握余角和补角的性质. 二、教学重难点 重点:余角和补角的性质. 难点:余角和补角的性质. 一、问题导入 (1) 已知∠1 = 61°, ∠2 = 29°,那么∠1 + ∠2 为多 少度? (2)已知∠1 = 62°, ∠2 = 118°,那么∠1 + ∠2 为多 少度? 解:(1)∠1+∠2 = 90°;(2)∠1+∠2 = 180°. 二、探究新知 问题 1　 在一副三角尺中,同一块三角尺中的两个 锐角有什么关系? 解:两个锐角和为 90°. 【知识归纳】 (1)一般地,如果两个角的和等于 90°(直角),就说 这两个角互为余角,简称这两个角互余,其中一个角 是另一个角的余角. (2)如果两个角的和等于 180°(平角),就说这两个 角互为补角,简称这两个角互补,其中一个角是另一 个角的补角. 问题 2　 (1)若∠1 与∠2,∠3 都互为补角,那么∠2 与∠3 的大小有什么关系? (2)若∠4 与∠5,∠6 都互为余角,那么∠5 与∠6 的大小有什么关系? 解:(1)因为∠1 与∠2,∠3 都互为补角,所以∠2 = 180°-∠1,∠3 = 180°-∠1,所以∠2 = ∠3; (2)因为∠4 与∠5,∠6 都互为余角,所以∠5 = 90°-∠4,∠6 = 90°-∠4,所以∠5 = ∠6. 【知识归纳】 同角(等角)的补角相等,同角(等角)的余角相等. 三、例题精讲 1. 如图,点 A,O,B 在同一条直线上, 射线 OD 和射线 OE 分别平 分 ∠AOC 和∠BOC,图中哪些角互为余角? 解:因为点 A,O,B 在同一条直线上,所以∠AOC 和∠BOC 互为补角. 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,所以∠COD+∠COE = 1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠BOC = 1 2 ( ∠AOC+∠BOC) = 90°. 所以,∠COD 和∠COE 互为余角,同理,∠AOD 和 ∠BOE,∠AOD 和∠COE, ∠COD 和∠BOE 也互 为余角. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 余角、补角的概念、性质. 2. 余角、补角的应用. 反思:让学生体会观察、归纳、推理对数学知识中获 取数学猜想和论证的重要作用,体会数学推理 的严谨性和结论的确定性,能在独立思考和小 组交流中获益. 26