5.2 解一元一次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 5. 2　 解一元一次方程 第 1 课时　 合并同类项 一、复习导入 问题 1 　 上节课我们学习了利用等式的性质解方 程,哪位同学能叙述一下等式的性质呢? 问题 2　 合并下列各式的同类项: (1) -4x+8x-2x;　 　 (2) -4ab-5-3ba+3ab-10. 　 　 约 820 年,阿拉伯数学家阿尔—花拉子米写了 一本代数书,重点论述怎样解方程. 这本书的拉丁文 译本取名为《对消与还原》 . “对消”与“还原”是什么 意思呢? 通过下面的学习和讨论,相信同学们一定 能回答这个问题. 【说明与建议】 说明:此环节为体会等式的性质和合并同类项在解 方程中的作用. 同时又有助于增加学生学习数学的 兴趣. 建议:学生口答以上问题. 二、情境导入 太阳下山晚霞红,我把鸭子赶回笼; 一半在外闹哄哄,一半的一半进笼中; 剩下十五围着我,共有多少请算清. 你能用解方程解决古诗中的问题吗? 【说明与建议】 说明:用古诗词导入,使学生在轻松与新颖的环境下 学习数学知识,激发学生对学习的求知和欲望. 建议:与学生一起列出方程,此方程的求解过程可由 学生独立完成,教师适时提出问题,引出新课. 命题角度 1　 利用合并同类项解一元一次方程 1. 解下列方程: (1)3x+2x= 10;　 　 (2)3x-5x= 6+6+2; (3)4x- 2 5 x+ 7 5 x= 3×4+3. 解:(1)合并同类项,得 5x= 10,系数化为 1,得 x= 2. (2)合并同类项,得-2x= 14,系数化为 1,得 x= -7. (3)合并同类项,得 5x= 15,系数化为 1,得 x= 3. 命题角度 2　 利用合并同类项解一元一次方程的实际 应用 2. 甲、乙、丙三位爱心人士向某学校捐赠图书,已知甲、 乙、丙三位爱心人士捐赠图书的数量之比是 5 ∶ 8 ∶ 9. 如果他们共捐了 748 本图书,那么甲、乙、丙三位爱心 人士各捐了多少本图书? 解:设甲捐了 5x 本图书,则乙捐了 8x 本图书,丙捐了 9x 本图书. 根据题意,得 5x+8x+9x= 748. 合并同类项,得 22x= 748. 系数化为 1,得 x= 34. 则 5x= 170,8x= 272,9x= 306. 答:甲捐了 170 本图书,乙捐了 272 本图书,丙捐 了 306 本图书. 一、教学目标 1. 掌握合并同类项的方法,会解“ax+bx=c”类型的一元 一次方程. 2. 学会列方程解决简单的实际问题. 二、教学重难点 重点:合并同类项法则. 难点:列方程解决实际问题. 一、知识回顾 化简下列式子,把结果写在横线上. (1)x-2x+4x= 　 3x　 ; (2)5y+3y-4y= 　 4y　 ; (3)7x-4a-2x+9a= 　 5x+5a　 ; (4)4. 5x-12y+5. 5x+7y= 　 10x-5y　 . 二、探究新知 问题　 某校三年共购买计算机 140 台,去年购买的 数量是前年的 2 倍,今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机? 思考: (1)设前年购买计算机 x 台,你能表示出去年和今年 各购买多少台计算机吗? (2)题目中的等量关系是什么? (3)根据等量关系你能列出方程吗? 如何解这个 方程? 解:( 1) 去年购买计算机 2x 台,今年购买计算机 4x 台. (2)问题中的等量关系:前年购买量+去年购买 量+今年购买量= 140. (3)列得方程 x+2x+4x= 140. 把含有 x 的项合并 同类项,得 7x= 140. 系数化为 1,得 x = 20. 因此, 前年这个学校购买了 20 台计算机. 【知识归纳】 (1)将方程中的同类项进行合并,把以 x 为未知数的 一元一次方程变形为 ax= b(a≠0,a,b 为已知数)的 04 形式,然后利用等式的性质 2,方程两边同时除以 a, 从而得到 x= b a . (2)利用合并同类项解一元一次方程的步骤为:① 合并同类项;②系数化为 1. (3)基本的相等关系:总量=各部分量的和. 三、例题精讲 1. 解下列方程: (1)2x- 5 2 x= 6-8; (2)7x-2. 5x+3x-1. 5x= -15×4-6×3. 解:(1)合并同类项,得- 1 2 x= -2. 系数化为 1,得 x = 4. (2)合并同类项,得 6x = -78. 系数化为 1,得 x = -13. 2. 有一列数 1,-3,9,-27,81,-243,…,其中第 n 个数 是( -3) n-1,如果这列数中某三个相邻数的和是 -1 701. 那么这三个数各是多少? 分析:从符号和绝对值两方面观察,可发现这列数 的排列规律,后面的是它前面的数与-3 的乘积. 解:设所求三个数中的第一个数是 x,则后两个数分 别是-3x,9x. 由三个数的和是-1 701,得 x-3x+9x= -1 701. 合并同类项,得 7x= -1 701. 系数化为 1,得 x= -243. 所以-3x= 729,9x= -2 187. 答:这三个数是-243,729,-2 187. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1.利用“合并同类项”解一元一次方程. 2.列方程解决实际问题的步骤: (1)设未知数;(2)分析题意,找出等量关系; (3)根据等量关系列方程;(4)解方程、检验、 作答. 反思:通过小组讨论、合作学习等方式,培养自主探索 知识和合作交流的能力. 第 2 课时　 移项 悬念导入 　 　 上节课我们学习了解一元一次方程,它们都有这样 的特点:一边是含有未知数的项,一边是常数项. 这样的 方程我们可以用合并同类项的方法来解. 那么像 4x+5 = 32-2x 这样的方程又该怎样解呢? 【说明与建议】 说明:此种引入方法主要是以上一节课为铺垫的,通过上 一节课利用合并同类项解一元一次方程的解法,提出像 4x+5= 32-2x 这样的方程该怎样解的问题,制造悬念,提 高学生的学习兴趣. 建议:回顾上一节课方程的解法,小组讨论思考关于方程 4x+5= 32-2x 的解法,从而引出本节课题. 命题角度 1　 利用移项解一元一次方程 1.在解方程 2x+1= 3x-2 时,下列移项正确的是(　 D　 ) A. 2x-3x= -2+1　 　 　 　 　 B. 2x+3x= -2-1 C. 1-2 = 3x-2x D. 1+2 = 3x-2x 命题角度 2　 利用移项解一元一次方程的实际应用 2. 七年级某班学生在会议室看录像,每排坐 13 人,则有 1 人无处坐,每排坐 14 人,则空 12 个座位,求这间会 议室共有多少排座位. 解:设这间会议室共有 x 排座位. 根据题意,得 13x+1 = 14x-12. 移项,得 13x-14x= -12-1. 合并同类项,得-x= -13. 系数化为 1,得 x= 13. 答:这间会议室共有 13 排座位. 一、教学目标 1. 掌握移项的方法,会解“ax+b = cx+d”类型的一元 一次方程. 2. 从算术方法过渡到方程方法解决问题. 二、教学重难点 重点:移项的法则. 难点:利用合并同类项与移项解“ax+b = cx+d”类型 的方程. 一、问题导入 把一些樱桃分给某班的学生吃,如果每人分 2 颗,则 剩余 25 颗;如果每人分 3 颗,则还缺 20 颗,这个班 有多少学生? (根据题意,设未知数,列方程) 解:设这个班有 x 名学生. 根据题意,列方程为 2x+25 = 3x-20. 14 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 思考:如何将方程转化为 x=m 的形式. 二、探究新知 问题　 把一批图书分给某班学生阅读,若每人分 3 本,则剩余 20 本;若每人分 4 本,则缺 25 本. 这个班 有多少名学生? 分析:设这个班有 x 名学生. 每人分 3 本,共分出 3x 本,加上剩余的 20 本,这批书共(3x+20)本. 每人分 4 本,需要 4x 本,减去缺的 25 本,这批书共(4x-25) 本. 这批书的总数是一个定值,表示它的两个式子应 相等,根据这一相等关系列得方程 3x+20 = 4x-25. 思考: (1)方程 3x+20 = 4x-25 的两边都有含 x 的项(3x 与 4x)和不含字母的常数项(20 与-25),怎样才能把它 转化为 x=m(常数)的形式呢? 解:为了使方程的右边没有含 x 的项,等式两边减去 4x,利用等式的性质 1,得 3x+20-4x= -25. 为了使方程的左边没有常数项,等式两边减 20. 利用等式的性质 1,得 3x-4x= -25-20. (2)方程 3x-4x= -25-20 与方程 3x+20 = 4x-25 作 比较,这个变形相当于什么? 解:这个变形相当于把原方程左边的 20 变为-20 移 到右边,把右边的 4x 变为-4x 移到左边. 【知识归纳】 1. 把等式一边的某项变号后移到另一边,叫作移项. (1)移项要变号;(2)移项的目的是把未知项与常 数项分别放在等号左右两边,使方程更接近 x =m 的形式. 2. 解简单的一元一次方程的步骤: (1)移项;(2)合并同类项;(3)系数化为 1. 三、例题精讲 1. 解下列方程: (1)3x+7 = 32-2x;　 　 (2)x-3 = 3 2 x+1. 解:(1)移项,得 3x+2x= 32-7. 合并同类项,得 5x= 25. 系数化为 1,得 x= 5. (2)移项,得 x- 3 2 x= 1+3. 合并同类项,得- 1 2 x= 4. 系数化为 1,得 x= -8. 2. 某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量 要比环保限制的最大量还多 200 t;如用新工艺, 则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧 工艺的废水排量之比为 2 ∶ 5,采用两种工艺的废 水排量各是多少吨? 分析:因为采用新、旧工艺的废水排量之比为 2 ∶ 5,所以可设它们分别为 2x t 和 5x t,再根据它们 与环保限制的最大量之间的关系列方程. 解:设采用新、旧工艺的废水排量分别为 2x t 和 5x t. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系, 得 5x-200 = 2x+100. 移项,得 5x-2x= 100+200. 合并同类项,得 3x= 300. 系数化为 1,得 x= 100. 所以 2x= 200,5x= 500. 答:采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 移项的概念. 2. 利用合并同类项和移项解一元一次方程. 3. 列一元一次方程解决实际问题. 反思:本节课的重点是利用移项解一元一次方程,强 调移项过程中的“两变”,一变位置,二变符 号,并加强练习. 第 3 课时　 去括号 复习导入 多媒体展示问题 1. 上节课我们学习了一元一次方程的解法,用到了哪几 个步骤? 要注意什么? 2. 你能快速求出方程 2x-19 = 7x+6 的解吗? 3. 去括号: (1)(3a+1. 5b) -(7a-2b); (2)( -2a+3b) -4(a-b); (3) -(5x+y) -3(2x-3y) . 想一想去括号有什么注意事项呢? 【说明与建议】 说明:复习回顾上节课所学解方程的方法及前面学过的 去括号法则,为本节课的学习做好知识准备. 24 建议:练习由学生独立完成. 命题角度 1　 利用去括号解一元一次方程 1. 解方程(3x+2) -2(2x-1) = 1,去括号的结果正确的 是(　 D　 ) A. 3x+2-2x+1 = 1　 　 　 　 　 B. 3x+2-4x+1 = 1 C. 3x+2-4x-2 = 1 D. 3x+2-4x+2 = 1 2. 解下列方程: (1)2(1-2x)= 5x+8 (2)4x-3(12-x)= 6x-2(8-x) 解:(1)去括号,得 2-4x= 5x+8. 移项,得-4x-5x= 8-2. 合并同类项,得-9x= 6. 系数化为 1,得 x= - 2 3 ; (2)去括号,得 4x-36+3x= 6x-16+2x. 移项及合并同类项,得-x= 20. 系数化为 1,得 x= -20. 命题角度 2　 利用去括号解一元一次方程的实际应用 3. 一轮船往返于 A,B 两港之间,逆水航行需 2. 5 h,顺 水航行需 2 h,轮船在静水中的平均速度为 27 km / h, 求水流的速度. 解:设水流的速度为 x km / h,则顺水速度为( x+ 27) km / h,逆水速度为(27-x)km / h. 根据题意,得 2(x+27)= 2. 5(27-x),解得 x= 3. 答:水流的速度为 3 km / h. 一、教学目标 1. 掌握去括号解一元一次方程的一般步骤,能熟练 地解含括号的一元一次方程. 2. 明确复杂问题中的数量关系,准确列出方程. 二、教学重难点 重点:去括号法则. 难点:针对实际问题列方程,并用去括号法则解一元 一次方程. 一、问题导入 某制衣厂生产儿童套装,去年下半年与上半年相比, 月平均生产量减少 500 套,去年全年生产 21 000 套, 这个制衣厂去年上半年每月平均生产多少套? (只 列方程,不解答) 解:设去年上半年每月平均生产 x 套,则下半年每月 平均生产(x-500)套. 由题意,得 6x+6(x-500)= 21 000. 思考:如何将方程转化为 x=m 的形式? 二、探究新知 问题　 某工厂采取节能措施,去年下半年与上半年 相比,月平均用电量减少 2 000 kW·h(千瓦时),全 年的用电量是 150 000 kW·h. 这个工厂去年上半年 平均每月的用电量是多少? 解:设上半年平均每月的用电量是 x kW·h,则下半 年平均每月的用电量是(x-2 000) kW·h;上半 年的用电量是 6x kW·h,下半年的用电量是 6(x -2 000) kW·h. 根据全年用电量是 150 000 kW·h,列得方程 6x +6(x-2 000)= 150 000. 方程左边去括号,得 6x+6x-12 000 = 150 000. 移项,得 6x+6x= 150 000+12 000. 合并同类项,得 12x= 162 000. 系数化为 1,得 x= 13 500. 由上可知,这个工厂去年上半年平均每月的用电 量是 13 500 kW·h. 【知识归纳】 (1)解方程过程中,去掉括号的过程和整式运算中 的去括号法则相同. (2)去括号解一元一次方程的步骤为: ①去括号;②移项;③合并同类项;④系数化为 1. 三、例题精讲 1. 解下列方程: (1)2x-(x+10)= 5x+2(x-1); (2)3x-7(x-1)= 3-2(x+3) . 解:(1)去括号,得 2x-x-10 = 5x+2x-2. 移项,得 2x-x-5x-2x= -2+10. 合并同类项,得-6x= 8. 系数化为 1,得 x= - 4 3 . (2)去括号,得 3x-7x+7 = 3-2x-6. 移项,得 3x-7x+2x= 3-6-7. 合并同类项,得-2x= -10. 系数化为 1,得 x= 5. 2. 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行,用了 2 h;从 乙码头返回甲码头逆水而行,用了 2. 5 h. 已知水 流的速度是 3 km / h,求船在静水中的平均速度. 分析:一般情况下,可以认为这艘船往返的路程相 等. 根据这个相等关系,可以列方程求出船在静水 中的平均速度. 解:设船在静水中的平均速度为 x km / h,则顺水 的速度为 ( x + 3) km / h,逆水速度为 ( x - 3) km / h. 34 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 根据往返路程相等,列得 2(x+3)= 2. 5(x-3) . 去括号,得 2x+6 = 2. 5x-7. 5. 移项及合并同类项,得 0. 5x= 13. 5. 系数化为 1,得 x= 27. 答:船在静水中的平均速度为 27 km / h. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 解含括号的一元一次方程的步骤:去括号, 移项,合并同类项,系数化为 1. 2. 列方程解决实际问题. 反思:根据学生思维发散不宜集中、思维具有跳跃性 的特征,在设计教学的具体环节中应该多联系 生活,让学生在探索中找到答案,在生活中去 应用自己的知识. 第 4 课时　 去分母 一、情境导入 　 　 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家,有一次有 人问他:“尊敬的毕达哥拉斯先生,请告诉我,有多少 名学生在你的学校里听你讲课?” 毕达哥拉斯回答 说:“我的学生,现在有 1 2 在学习数学, 1 4 在学习音 乐, 1 7 沉默无言,此外,还有三名妇女. ”请你算一算, 毕达哥拉斯的学生有多少名. 【说明与建议】 说明:用数学小故事引入新知,激发学生的学习兴 趣,让学生自然地展开对含有分数系数的一元一次 方程的学习. 建议:由学生独立列出方程,教师引导学生观察这个 方程和上节课学习的方程有什么不同,是否能用移 项、合并同类项的方法解这个方程. 二、类比导入 　 　 前面我们学过带括号的一元一次方程的解法, 比如 6-2(x+2)= 1-3(x-1) . 大家观察下面这个方 程:x +10 5 = 1 4 ( x+16),它与以前解的方程有什么区 别? 你能求出它的解吗? 【说明与建议】 说明:类比两种解方程的方法,复习了上节课所学带 括号方程,引出了新课. 建议:让学生解这两个方程,然后重点比较学生对第 二个方程有哪些不同方法,探究便捷的方法. 命题角度 1　 利用去分母解一元一次方程 1. 解方程: (1)2x -1 3 -x-3 6 = 1; (2) x 0. 2 -0. 17-0. 2x 0. 03 = 1. 解:(1)去分母,得 2(2x-1) -(x-3)= 6. 去括号,得 4x-2-x+3 = 6. 移项,得 4x-x= 6+2-3. 合并同类项,得 3x= 5. 系数化为 1,得 x= 5 3 . (2)整理,得10x 2 -17-20x 3 = 1. 去分母,得 30x-2(17-20x)= 6. 去括号,得 30x-34+40x= 6. 移项,得 30x+40x= 6+34. 合并同类项,得 70x= 40. 系数化为 1,得 x= 4 7 . 命题角度 2　 利用去分母解一元一次方程的应用 2. 书架上,第一层书的数量是第二层书的数量的 2 倍, 从第一层抽 8 本到第二层,这时第一层剩下的数量恰 比第二层的一半多 3 本,设第二层原有 x 本,则可列 方程(　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 2x= 1 2 x+3 B. 2x= 1 2 (x+8) +3 C. 2x-8 = 1 2 x+3 D. 2x-8 = 1 2 (x+8) +3 3. 甲、乙两支队伍从公园出发去体育场参加运动会,甲 队伍以 15 千米 /时的速度出发了 20 分钟后,乙队伍 才以 35 千米 /时的速度按原路追赶,乙队伍多少分钟 后可以追上甲队伍? 解:设乙队伍用 x 分钟可以追上甲队伍, 根据题意可得:15×20 60 +15x 60 = 35x 60 ,解得 x= 15. 答:乙队伍用 15 分钟可以追上甲队伍. 44 一、教学目标 1. 掌握去分母解一元一次方程的一般步骤,能熟练 地解含分母的一元一次方程. 2. 明确实际问题中的数量关系,准确列出方程. 二、教学重难点 重点:去分母解一元一次方程. 难点:列方程解决实际问题. 一、问题导入 化简下列式子: (1) x 2 + x 3 ;　 　 (2) x 4 - x 3 . 解:(1)原式= 3x 6 +2x 6 = 5x 6 ;　 (2)原式= 3x 12 -4x 12 = - x 12 . 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. 问题 1　 翠湖在青山、绿水两地之间,距青山 50 km, 距绿水 70 km. 某天,一辆汽车匀速行驶,途经王家 庄、青山、绿水三地的时间如表所示. 王家庄距翠湖 的路程有多远? 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 解:设王家庄距翠湖的路程为 x km,则王家庄距青 山的路程为(x-50) km,王家庄距绿水的路程为 (x+70)km. 由表可知,汽车从王家庄到青山的行 驶时间为 3 h,从王家庄到绿水的行驶时间为 5 h. 根据汽车在各段的行驶速度相等,列得方程 x-50 3 = x+70 5 . 这个方程中未知数的系数不是整数,如果能化去 分母,把未知数的系数化成整数,就可以使解方 程中的计算更简便些. 我们知道,等式两边乘同一个数,结果仍相等. 这 个方程中各分母的最小公倍数是 15,方程两边 都乘 15,得 5(x-50)= 3(x+70) . 去括号,得 5x-250 = 3x+210. 移项,得 5x-3x= 210+250. 合并同类项,得 2x= 460. 系数化为 1,得 x= 230. 因此,王家庄距翠湖的路程为 230 km. 问题 2　 解方程3x +1 2 -2 = 3x -2 10 -2x+3 5 . 解:下面的框图表示了解这个方程的流程. 【知识归纳】 (1)去分母的方法:依据等式的性质 2,方程两边各 项都乘所有分母的最小公倍数,将分母去掉. (2)解一元一次方程的一般步骤:①去分母;②去括 号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为 1. 三、例题精讲 1. 解下列方程: (1)x +1 2 -1 = 2+2 -x 4 ;　 　 (2)3x+x -1 2 = 3-2x -1 3 . 解:(1)去分母(方程两边乘 4),得 2(x+1) -4 = 8+(2-x) . 去括号,得 2x+2-4 = 8+2-x. 移项,得 2x+x= 8+2-2+4. 合并同类项,得 3x= 12. 系数化为 1,得 x= 4. (2)去分母(方程两边乘 6),得 18x+3(x-1)= 18-2(2x-1) . 去括号,得 18x+3x-3 = 18-4x+2. 移项,得 18x+3x+4x= 18+2+3. 合并同类项,得 25x= 23. 系数化为 1,得 x= 23 25 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 利用去分母解一元一次方程. 2. 列方程解决实际问题. 反思:通过学习本节课程,让学生去探索、猜想各种 方法,启发学生探索新的学习方法. 54