4.2 整式的加法与减法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

项式的次数. (2)下列式子: 5 2 x2,2x2y, 1 x ,3x+y,-5,π,0,单项式有 　 5　 个. 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. 问题　 (1)观察下面式子,有什么特点? 2n-10,x2 +2x+8,2a+3b, 1 2 ab-πr2 . 解:这些式子都可以看成几个单项式的和. (2)什么叫作多项式? 多项式的次数是不是所有项 的次数之和? (3)多项式的每一项是否应包含它前面的符号? (4)什么是整式? 你能说一说单项式、多项式和整 式之间的关系吗? 【知识归纳】 (1)几个单项式的和叫作多项式. 其中每个单项式 叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项. 多项式 的每一项都包括它前面的符号. (2)多项式里,次数最高的项的次数,叫作这个多项 式的次数. (3)单项式与多项式统称为整式. 三、例题精讲 1. 用多项式填空,并指出它们的项和次数. (1)一个长方形相邻两条边的长分别为 a,b,则这 个长方形的周长为　 2a+2b　 . (2)m 为一个有理数,m 的立方与 2 的差为　 m3 - 2　 . (3)某公司向某地投放共享单车,前两年每年投 放 a 辆,为环保和安全起见,从第三年年初起不再 投放,且每个月回收 b 辆. 第三年年底,该地区共 有这家公司的共享单车的辆数为　 2a-12b　 . (4)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的 官员独孤信的印章,它由 18 个相同的正方形和 8 个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等 边三角形的边长都为 a,等边三角形的高为 b,那 么这个印章的表面积为　 18a2 +4ab　 . 解:(1)2a+2b,它的项分别为 2a,2b,次数是 1. (2)m3 -2,它的项分别为 m3,-2,次数是 3. (3)2a-12b,它的项分别为 2a,-12b,次数是 1. (4)18a2+4ab,它的项分别为 18a2,4ab,次数是 2. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 多项式与整式的概念. 2. 项、常数项、多项式的次数及运用. 反思:通过小组讨论、合作交流,让学生经历新知的 形成过程,培养比较、分析、归纳的能力. 4. 2　 整式的加法与减法 第 1 课时　 同类项与合并同类项 一、情境导入 　 　 动漫故事:早上围裙妈妈让大头 儿子买早点,告诉他:爸爸要 3 个烧 饼,3 根油条;妈妈要 2 个烧饼,4 根 油条;大头儿子自己要 2 个烧饼,2 根油条. 大头儿 子来到街上,孝顺的他先想到爸爸,买了 3 个烧饼,3 根油条,又去为妈妈买了 2 个烧饼,4 根油条,最后 又汗流浃背地为自己买了 2 个烧饼,2 根油条. 【说明与建议】 说明:用故事情境迅速吸引了学生,积极主动地建构 他们的数学认知结构,感受分类的必要性. 建议:教师提示按照一定标准进行分类就会使问题 变得更明了. 二、归纳导入 观察下列各单项式,把你认为类型相同的式子归为 一类. 8x2y,-mn2,5a,-x2y,7mn2,9a,- 1 2 ,0,0. 4mn2 . 由学生小组讨论后,按不同标准进行多种分类,教师 巡视后把不同的分类方法投影显示出来. 【说明与建议】 说明:通过小组讨论的方式可以更好地调动学生的 积极性,激发学生的求知欲望. 建议:学生先自己独立思考,然后归纳出同类项的特 征,导入本节课题. 命题角度 1　 同类项与合并同类项 1. 下列各组中的两个单项式是同类项的是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -2 与 a B. a2b 与-2a2b C. 3a2 与 2a3 D. 2a2b3 与-3a3b2 2. 若单项式 2x3ym 和- 1 5 y2xn 的和也是单项式,则 mn 的 13 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 值为(　 B　 ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 9 3. 下列计算正确的是(　 A　 ) A. 3x2y-2yx2 = x2y B. 3a+2b= 5ab C. 5y-3y= 2 D. a2 +a3 = 2a5 命题角度 2　 同类项的应用 4. 先合并同类项,再求值:m2 +4m-3m2 -5m+6m2 -2,其 中 m= - 3 2 . 解:原式= (m2 -3m2 +6m2) +(4m-5m) -2 = 4m2 -m-2, 当 m= - 3 2 时,原式= 4×( - 3 2 ) 2 + 3 2 -2 = 8 1 2 . 一、教学目标 1. 理解同类项的概念,会判断同类项. 2. 学会对同类项进行合并,并学会求值和应用. 二、教学重难点 重点:合并同类项并求值. 难点:正确合并同类项. 一、问题导入 运用有理数的分配律填空: (1)72×2+120×2 = 　 (72+120) ×2 = 192×2　 ; (2)72×( -2) +120×( -2)= 　 (72+120) ×( -2)= 192 ×( -2)　 ; 根据(1)(2)中的方法完成下面的运算. (3)98t+102t= 　 (98+102) t= 200t　 . 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. 问题　 填空: (1)72a-120a= (　 -48　 )a; (2)3m2 +2m2 = (　 5　 )m2; (3)3xy2 -4xy2 = (　 -　 )xy2 . 上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律? 对于上面的(1)(2)(3),利用分配律可得 (1)72a-120a= (72-120)a= -48a; (2)3m2 +2m2 = (3+2)m2 = 5m2; (3)3xy2 -4xy2 = (3-4)xy2 = -xy2 . 【知识归纳】 (1)所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的 项叫作同类项,几个常数项也是同类项. (2)把多项式中的同类项合并成一项,叫作合并同 类项. (3)合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类 项的系数的和,且字母连同它的指数不变. 三、例题精讲 1. 合并下列各式的同类项: (1)xy2 - 1 5 xy2; (2)4a2 +3b2 +2ab-4a2 -4b2 . 解:(1)原式= (1- 1 5 )xy2 = 4 5 xy2; (2) 原式 = ( 4a2 - 4a2 ) + ( 3b2 - 4b2 ) + 2ab = (4-4)a2 +(3-4)b2 +2ab= -b2 +2ab. 2. (1)求多项式 2x2 -5x+x2 +4x-3x2 -2 的值,其中 x = 1 2 ; (2)求多项式 3a+abc- 1 3 c2 -3a+ 1 3 c2 的值,其中 a = - 1 6 ,b= 2,c= -3. 分析:在求多项式的值时,可以先将多项式中的同 类项合并,然后再求值,这样做往往可以简化 计算. 解:(1)原式= (2+1-3)x2 +( -5+4)x-2 = -x-2. 当 x= 1 2 时,原式= - 1 2 -2 = - 5 2 . (2)原式= (3-3)a+abc+( - 1 3 + 1 3 )c2 =abc. 当 a= - 1 6 ,b = 2,c = -3 时,原式 = ( - 1 6 ) × 2 × ( -3)= 1. 3. (1)水库水位第一天连续下降了 a h,平均每小时 下降 2 cm;第二天连续上升了 a h,每小时平均上 升 0. 5 cm. 这两天水位总的变化情况如何? (2)某商店原有 5 袋大米,每袋大米为 x kg. 上午 售出 3 袋,下午又购进同样包装的大米 4 袋. 进货 后这个商店有大米多少千克? 解:(1)把下降的水位变化量记为负,上升的水位 变化量记为正, 则第一天水位的变化量是 -2a cm,第二天水位的变化量是 0. 5a cm. 由-2a+0. 5a= ( -2+0. 5)a = -1. 5a 可知,这两 天水位总的变化情况为下降了 1. 5a cm. (2)把进货的数量记为正,售出的数量记为 负,则上午大米质量的变化量是-3x kg,下午 大米质量的变化量是 4x kg. 由 5x-3x+4x = (5 -3+ 4) x = 6x 可知,进货后这个商店有大米 6x kg. 23 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 理解同类项的概念,会判断同类项. 2. 能正确合并同类项,并会求值和应用. 反思:通过观察、类比、归纳等方法,培养学生自主探 究和合作交流的能力,初步体会数学与人类生 活的密切联系. 第 2 课时　 去括号 一、情境导入 　 　 同学们还记得用火柴棒搭正方形时,怎样计算 所需要的火柴棒的根数吗? 拿出准备好的火柴棒, 自己搭一下,然后再按如下做法搭. 他们的做法都正确吗? 你能证明吗? 【说明与建议】 说明:让学生经历动手实践,将实际问题抽象为数学 问题的过程,感受数学知识与生活的联系,激发学生 的学习兴趣,也为新课的学习做好铺垫. 建议:先让学生自己搭一下,然后再根据示意图方法 分别搭,最后列出式子. 二、悬念导入 　 　 央视 2 套节目《是真的吗》曾经有这样一道有 趣的题目:“当 a= 2. 35,b= -0. 52 时,请算出式子 a2 +a(a+b) -(2a2 +ab)的值. ”主持人信心满满,扬言 道:“我不用条件就可以得出结果!” 那么,请问大 家,主持人的说的是真的吗? 【说明与建议】 说明:创设悬念引入新课,让学生体验解决这类数学 问题的一般方法. 建议:学生要面临去括号的问题,怎样去括号呢? 带 着问题导入课题. 命题角度　 去括号 1. 下列去括号所得结果正确的是(　 C　 ) A. x2 -(2x-1)= x2 -2x-1 B. x2 -( -2x+1)= x2 -2x-1 C. x2 -( -2x-1)= x2 +2x+1 D. x2 -(2x+1)= x2 -2x+1 2. 先去括号,再合并同类项. (1)4a-2(b-3c); (2)2(2b-3a) +3(2a-3b); (3)4a2 +2(3ab-2a2) -(7ab-1) . 解:(1)原式= 4a-2b+6c; (2)原式= 4b-6a+6a-9b= -5b; (3)原式= 4a2 +6ab-4a2 -7ab+1 = -ab+1. 一、教学目标 1. 掌握去括号法则,能准确进行去括号. 2. 掌握利用去括号法则将整式化简的方法. 二、教学重难点 重点:会利用去括号法则正确地对整式进行化简. 难点:括号前面是“-”号时,注意括号中各项都要与 “-”号相乘. 一、知识回顾 利用乘法分配律计算: (1)12×( 1 6 - 2 3 )= 　 12× 1 6 -12× 2 3 = 2-8 = -6　 ; (2) -12×( 1 6 - 2 3 )= 　 -12× 1 6 -(-12)× 2 3 =-2+8=6　 . 二、探究新知 问题　 详见本章教材引言中的问题(3) 分析:汽车通过主桥的行驶时间是 b h,那么汽车在 主桥上行驶的路程是 92b km;通过海底隧道所需时 间比通过主桥的时间少 0. 15 h,那么汽车在海底隧 道行驶的时间是(b-0. 15) h,行驶的路程是 72(b- 0. 15) km. 解:主桥与海底隧道长度的和 (单位:km) 为 92b+ 72(b-0. 15),①主桥与海底隧道长度的差 (单 位:km) 为 92b-72(b-0. 15) . ② 33 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 　 　 上面的代数式①②都带有括号,应如何化简 它们? 解:由于字母表示的是数,所以可以利用分配律,将 括号前的乘数与括号内的各项相乘,去掉括号, 再合并同类项,得 92b+72(b-0. 15)= 92b+72b-10. 8 = 164b-10. 8, 92b-72(b-0. 15)= 92b-72b+10. 8 = 20b+10. 8. 【知识归纳】 (1)一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括 号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项,再 把所得的积相加. (2)特别地,+(x-3)与-(x-3)可以看作 1 与-1 分 别乘(x- 3) . 利用分配律,可以将式子中的括号去 掉,得+(x-3)= x-3,-(x-3)= -x+3. 这也符合上面的去括号的方法. 利用去括号,可以对 整式进行化简. 三、例题精讲 1. 化简: (1)8a+2b+(5a-b); (2)(4y-5) -3(1-2y) . 解:(1)原式= 8a+2b+5a-b= 13a+b; (2)原式= 4y-5-3+6y= 10y-8. 2. 两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙 船逆水,两船在静水中的速度都是 50 km / h,水流 速度是 a km / h. (1)2 h 后两船相距多远? (2)2 h 后甲船比乙船多航行多少千米? 解:顺水航速=船速+水速= (50+a) km / h, 逆水航速=船速-水速= (50-a) km / h. (1)由 2(50+a) +2(50-a)= 100+2a+100-2a = 200. 可知,2 h 后两船相距 200 km. (2)由 2(50+a) -2(50-a)= 100+2a-100+2a = 4a. 可知,2 h 后甲船比乙船多航行 4a km. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 去括号法则. 2. 利用去括号法则进行整式的化简. 反思:培养学生主动探究、合作交流的意识,严谨治 学的学习态度. 第 3 课时　 整式的加减 一、复习导入 化简: (1)(x+y) -(2x-3y); (2)2(a2 -2b2) -3(2a2 +b2) . 以上化简实际上进行了哪些运算? 怎样进行整式的 加减运算? 【说明与建议】 说明:让学生计算较简单的整式加减运算,归纳整式 加减运算方法. 建议:自主计算,小组归纳计算方法. 二、置疑导入 　 　 小强乘公共汽车到城里的书店买书,小强上车 时,发现车上已有(4a-b)人,车到中途站时,有(3a- 4)人下车,但又上来若干人,这时公共汽车上共有 (9a-3b)人,则中途有多少人上车? 你能用学到的数学知识解决这个实际问题吗? 现在我们一起来分析一下: 　 　 要计算中途上车的人数,可用总人数减去下车 后剩下的人数,因为原来有(4a-b)人,加上小强,所 以小强上车时,车上共有　 (4a-b+1) 　 人,车到中 途站时,下去　 (3a-4) 　 人后,车里还有　 (4a-b+ 1) -(3a-4)= (a-b+5)　 人,用总人数(9a-3b)减去 　 (a-b+5)　 即可求出上车的人数. 这就是我们今天要学习的整式的加减. 如何进行整 式的加减呢? 【说明与建议】 说明:用生活中常见到的上下车的例子导入新课,学 生用自己学到的数学知识解决实际问题. 建议:师生一起分析完,让学生自己列出式子表示中 途上车的人数. 命题角度 1　 整式的加减 1. 若 A= x2y+2x+3,B= -2x2y+4x,则 2A-B= (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 B. 6 C. 4x2y+6 D. 4x2y+3 2. 化简求值: (1)(6a2 -7ab) -2(3a2 -4ab+3),其中 a= -1,b= 2; (2)(3x2y-5xy) -[x2y-2(xy-x2y)],其中(x+1) 2 + | y - 1 3 | = 0. 解:(1)原式= 6a2 -7ab-6a2 +8ab-6 =ab-6, 当 a= -1,b= 2 时,原式= ( -1) ×2-6 = -8; (2)原式= (3x2y-5xy) -(x2y-2xy+2x2y) 43 = 3x2y-5xy-x2y+2xy-2x2y= -3xy, 由题意得,x+1 = 0,y- 1 3 = 0,所以 x= -1,y= 1 3 . 把 x= -1,y= 1 3 ,代入得,原式= 1. 命题角度 2　 整式加减的应用 3. 已知一个三角形院墙,第一条边长为 3a+2b,第二条 边比第一边长 a-b,第三条边比第二条边短 2a. (1)求这个三角形的周长(用含有 a、b 的式子表示) . (2)当 a= 2 米,b = 1 米时,求这个三角形的周长是多 少米? (3)在(2)的条件下,围成院墙的材料 20 米以内收费 每米 180 元,超过的部分每米只收费 150 元,请问围 成这个三角形的院墙至少要花费多少钱? 解:(1)由题意,得第二条边长为:3a+2b+a-b = 4a+b, 第三条边长为:4a+b-2a = 2a+b,所以这个三角形 的周长为:(3a+2b) +(4a+b) +(2a+b)= 3a+2b+4a +b+2a+b= 9a+4b; (2)当 a = 2 米,b = 1 米时,原式 = 9 × 2 + 4 × 1 = 22 (米),答:这个三角形的周长是 22 米; (3)当 a= 2 米,b= 1 米时,20×180+(22-20) ×150 = 3600+300 = 3900(元),答:围成这个三角形的院 墙至少要花费 3900 元钱. 一、教学目标 1. 掌握整式的加减运算法则,能够熟练地进行整式 的加减运算、化简求值. 2. 体会实际问题中整式加减的必要性,能运用整式 的加减解决有关问题. 二、教学重难点 重点:熟练地进行整式的加减运算. 难点:总结整式加减的一般步骤. 一、问题导入 化简: (1)(x+y) -(2x-3); (2)2(a2 -2b2) -3(2a2 +b2) . 解:(1)原式= x+y-2x+3 = -x+y+3; (2)原式= 2a2 -4b2 -6a2 -3b2 = -4a2 -7b2 . 二、探究新知 问题　 计算: (1)(2x-3y) +(5x+4y); (2)(8a-7b) -(4a-5b) . 解:(1)原式= 2x-3y+5x+4y= 7x+y; (2)原式= 8a-7b-4a+5b= 4a-2b. 【知识归纳】 (1)一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括 号,然后再合并同类项. (2)几个整式相加减的运算:先把各个整式看作一 个整体,用括号括起来,再根据整式加减的运算法则 计算. 三、例题精讲 1. 做大、小两个长方体纸盒,尺寸如下表所示. 类型 长 / cm 宽 / cm 高 / cm 小纸盒 a b c 大纸盒 1. 5a 2b 2c (1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米? (2)做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米? 解:小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca) cm2, 大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca) cm2 . (1)由(2ab+2bc+2ca) +(6ab+8bc+6ca) = 2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca = 8ab+10bc+8ca 可知, 做这两个 纸 盒 共 用 纸 ( 8ab + 10bc + 8ca)cm2 . (2)由(6ab+8bc+6ca) -(2ab+2bc+2ca) = 6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca= 4ab+6bc+4ca 可知,做大纸盒比做小纸盒多用纸(4ab+6bc+ 4ca) cm2 . 2. 求 1 2 x - 2 ( x - 1 3 y2 ) + ( - 3 2 x + 1 3 y2 ) 的值,其中 x= -2,y= 2 3 . 解:原式= 1 2 x-2x+ 2 3 y2 - 3 2 x+ 1 3 y2 = -3x+y2 . 当 x= -2,y= 2 3 时,原式 = ( -3) ×( -2) +( 2 3 ) 2 = 6+ 4 9 = 6 4 9 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:整式加减混合运算法则:一般地,几个整式相 加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同 类项. 反思:在独立思考的基础上,积极参与讨论,敢于发 表自己的观点,从交流中获益,渗透分类和类 比的思想方法. 53