3.1 列代数式表示数量关系-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

第三章　代数式 3. 1　 列代数式表示数量关系 第 1 课时　 代数式的概念 置疑导入 根据题意填空: (1) 某种瓜子的单价为 16 元 /千克, 购买 n 千克需 　 16n　 元; (2)小刚上学的步行速度为 5 千米 /小时,从小刚家到 学校的路程为 s 千米,他上学需走　 s 5 　 小时; (3)全班共有学生 x 人,其中女生人数占 48%,女生人 数为　 48%x　 人. 你还能举一些用字母表示数的例子吗? 【说明与建议】 说明:通过展示生活中用字母表示的数量关系导入 新课. 建议:引导学生自由回答,让学生逐一介绍它们表示的 意义,继而通过设问导入本节内容. 命题角度　 代数式的概念及意义 1. 下列对代数式-3x 的意义表述正确的是(　 C　 ) A. -3 与 x 的和　 　 　 　 　 B. -3 与 x 的差 C. -3 与 x 的积 D. -3 与 x 的商 2. 下列选项中的量不能用“8m”表示的是(　 D　 ) A. 长为 m 厘米,宽为 8 厘米的长方形的面积 B. 8 件单价为 m 元的同款外衣的总价 C. 一台每天能生产 m 个零件的机器,工作 8 天生产 的零件总量 D. 十位数字为 8,个位数字为 m 的两位数 一、教学目标 1. 了解代数式的概念,能用代数式表示实际问题中 的数量关系. 2. 让学生理解符号所代表的数量关系,培养学生的 数学符号语言,激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重难点 重点:代数式的概念及意义. 难点:用代数式表示及代数式的意义 一、复习导入 写出下列问题中的关系量 (1)总价、单价与数量; (2)工作量、工作效率和工作时间; (3)速度、路程和时间. 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. (1)某工程队负责铺设一条长 2km 的地下管道,经 过 d 天完成,用式子表示这支工程队平均每天铺设 的管道长度; (2)一个正方形的边长是 a,这个正方形的周长 l 是 多少? 面积 S 呢? 解:对于问题(1),这支工程队平均每天铺设的管道 长度为 2 d km. 对于问题(2),由正方形的周长及面积公式,可 得周长 l= 4a,面积 S=a2 . 【归纳总结】 1. 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式 子,我们称这样的式子为代数式. 2. 单独的一个数或字母也是代数式. 三、例题精讲 1. (1)苹果原价是 p 元 / kg,现在按九折优惠出售,用 代数式表示苹果的售价; (2)一个长方形的长是 0. 9 m,宽是 p m,用代数式 表示这个长方形的面积; (3)某产品前年的产量是 n 件,去年的产量比前 年产量的 2 倍少 10 件, 用代数式表示去年的 产量; (4)一个长方体水池底面的长和宽都是 a m,高是 h m,池内水的体积占水池容积的三分之一,用代 数式表示池内水的体积. 解:(1)苹果的售价是 0. 9p 元 / kg; (2)这个长方形的面积是 0. 9p m2; (3)去年的产量是(2n-10)件; 32 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 (4)由长方体的体积 =长×宽×高,得这个长方 体水池的容积是 a·a·h m3,即 a2h m3,故池 内水的体积为 1 3 a2h m3 . 2. 说出下列代数式的意义: (1)2a+3; (2)2(a+3); (3) c ab ; (4)x2 +2x+8. 解:(1)2a+3 的意义是 a 的 2 倍与 3 的和; (2)2(a+3)的意义是 a 与 3 的和的 2 倍; (3) c ab 的意义是 c 除以 a,b 的积的商; (4)x2 +2x+8 的意义是 x 的平方,x 的 2 倍,与 8 的和. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 掌握代数式的概念及意义; 2. 列式时需注意数与字母、字母和字母相乘可 省略乘号;数与字母相乘时,数字写在前面. 反思:让学生通过实践与学习,体会到字母表示数的 简洁与便利,感受符号化思想. 第 2 课时　 列代数式 复习导入 根据题意填空: 1. 公交车上有 30 名乘客,中途下去 a 名,又上来 b 名, 现在公交车上有乘客　 (30-a+b)　 名; 2. 鸡兔同笼,有鸡 a 只,兔 b 只,则共有头 　 ( a+b) 　 个,脚　 (2a+4b)　 只; 3. 钢笔每支 a 元,铅笔每支 b 元,买 2 支钢笔和 3 支铅 笔共需　 (2a+3b)　 元. 【说明与建议】 说明:让学生用含有数、字母和运算符号的式子列代数 式表示实际问题中的数量. 建议:自主计算,初步让学生体会到列代数式把数量和 数量关系表示出来. 命题角度　 列代数式 1. 用代数式表示“ a 的 3 倍与 b 的差的平方”,正确的 是(　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3a-b2 B. 3(a-b) 2 C. (3a-b) 2 D. (a-3b) 2 2. 某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共 n 件,其中甲品牌 衬衣比乙品牌衬衣多 5 件. 已知甲品牌衬衣的单价为 120 元,乙品牌衬衣的单价为 90 元,则买这 n 件衬衣 共需付款(　 D　 ) A. 120n+450 B. 90n+600 C. 210n-150 D. 105n+75 一、教学目标 1. 让学生能根据相关的词语与条件把代数式列 出来. 2. 有针对性地进行引导,充分展示分析数量关系并 列式的过程,积累感性认识,丰富学习体验,培养 学生解决实际问题的能力. 二、教学重难点 重点:列代数式. 难点:从实际问题中找出数量关系并列出代数式. 一、问题导入 思考:(1)如何用代数式表示实际问题? (2)用代数式表示实际问题时需要注意什么? 二、探究新知 如何用代数式表示 a,b 两数的和与差的积? 解:可以按下面的步骤列代数式: 所以 a,b 两数的和与差的积为(a+b)(a-b). 【知识归纳】 (1)正确理解题中的数量关系是列代数式的基础. 抓住题中的“和、差、积、商、倍、分、多、少”等词语, 弄清各量之间的数量关系,把文字叙述的数量用相 应的字母表示出来; (2)理清运算顺序是列代数式的关键. 运算符号是 连接数与字母的纽带,但不注意运算顺序,就易出 42 错,一般书写顺序与语言叙述顺序是一致的可按先 读的先写,后读的后写的原则直接列出代数式; (3)熟悉已学过的数学公式及实际问题中常用的数 量关系是列代数式的重要保证. 三、例题精讲 1. 用代数式表示: (1)购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数. (2)把 a 元钱存入银行,存期 3 年,年利率为 2. 75%,到期时的利息是多少元? (3)某商品的进价为 x 元,先按进价的 1. 1 倍标 价,后又降价 80 元出售,现在的售价是多少元? 分析:(1)总钱数 = 2 个面包的总价+3 瓶饮料的 总价; (2)利息=本金×年利率×存期; (3)现在的售价=原来的标价-降价数. 解:(1)购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元. (2)根据题意,得 a×2. 75%×3 = 8. 25%a,因此 到期时的利息为 8. 25%a 元. (3)现在的售价为(1. 1x-80)元. 2. 甲、乙两地之间公路全长 240 km,汽车从甲地开 往乙地,行驶速度为 v km / h. (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时? (2)如果汽车的行驶速度增加 3 km / h,那么汽车 从甲地到乙地需要行驶多少小时? 汽车加快速度 后可以早到多少小时? 分析:本题包含路程、速度和时间三个量,它们之 间具有关系:时间 = 路程 速度 . 另外,早到的时间 = 原 来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间. 解:(1)汽车从甲地到乙地需要行驶240 v h. (2)如果汽车的行驶速度增加 3 km / h,那么汽 车从甲地到乙地需要行驶 240 v+3 h. 汽车加快速 度后可以早到(240 v -240 v+3 ) h. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 掌握用代数式表示; 2. 列式时需注意题中的数量关系. 反思:让学生通过实践与学习,体会到字母表示数, 字母可以和数一样参与运算,感受代数式的一 般性. 第 3 课时　 反比例关系 复习导入 1. 小学的时候我们学习过正比例与反比例,你还记得反 比例的概念是什么吗? 如何判断两个量是成正比例 还是成反比例? 这两个量是怎样变化的? 2. 判断下面两个量是不是成反比例关系. (1)张伯伯骑自行车从家到县城,骑自行车的速度和 所需的时间. (2)生产电视机的总台数一定,每天生产的台数和所 用的天数. (3)长方形的面积一定,它的长和宽. (4)铺地面积一定,方砖面积与块数. 【说明与建议】 说明:回顾复习正比例与反比例的概念,为本节课的学 习奠定基础,同时揭示本节课的课题,明确目标. 建议:引导学生结合实际生活,理解反比例关系,能准确 识别两个量的关系. 命题角度　 反比例及其应用 1. 下列各种关系中,成反比例关系的是(　 B　 ) A. 如果 5x= 8y,则 x 和 y B. 铺地面积一定,每块砖的面积和用砖块数 C. 在同时同地条件下,竹竿的长和它的影长 D. 同学的年龄一定,他们的身高与体重 2. 如果 x 与 y 的反比例关系表示为 y= - 2 x ,则比例系数 是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 B. -2 C. -1 D. 1 一、教学目标 1. 使学生理解反比例的关系,能正确地判断两种相 关联的量是不是成反比例的量. 2. 让学生经历反比例关系的探究过程,体验观察比 较、推理、归纳的学习方法. 52 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 二、教学重难点 重点:总结出成反比例关系的特点. 难点:正确判断两个量是否成反比例. 一、复习导入 1. 什么是正比例关系? 2. 说出每小时加工零件数、加工零件总数和加工时 间三者之间的关系? 二、探究新知 问题　 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办 过冬季奥运会的城市. 在冬季奥运会前,某赛场计划 造雪 260 000m3 . 解答下列问题　 (1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写 下表. 每天造雪量 / m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 … (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化 的? 它们之间有什么关系? 解:此问题包含三个量:造雪总量、每天造雪量和造 雪天数,根据它们之间的关系. 造雪天数= 造雪总量 每天造雪量 . 每天造雪量为 5 000m3 时,造雪天数为260 000 5 000 = 52;每天造雪量为 5 200m3 时, 造雪天数为 260 000 5 200 = 50;每天造雪量为 6 500m3 时,造雪天 数为 260 000 6 500 = 40. 因此,表中依次填 52,50,40. 【归纳总结】 (1)像这样,两个相关联的量,一个量变化,另一个 量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就 叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例 关系. (2)如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量,用 k 表 示它们的积(k 是一个确定的值,且 k≠0),反比例关 系可以用 xy= k 来表示. 三、试题精讲 1. 如图,四个圆柱形容器内部的底面 积分别为 10 cm2,20 cm2,30 cm2, 60 cm2 . 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用 x(单位:cm2)和 y(单位:cm)表示容器 内部的底面积与水的高度,用式子表示 y 与 x 的 关系,y 与 x 成什么比例关系? 分析:题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量, 它们之间具有关系:圆柱的体积 = 底面积×高,高 =圆柱的体积 底面积 . 解: ( 1 ) 四 个 容 器 中 水 的 高 度 分 别 为 300 10 = 30(cm),300 20 = 15 ( cm), 300 30 = 10 ( cm), 300 60 = 5(cm). (2)xy= 300 或 y= 300 x . y 与 x 成反比例关系. 2. 某运输公司计划运输一批货物,每天运输的吨数与运 输的天数之间的关系如下表所示: 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (1)这批货物共有多少吨? (2)运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化 而变化的? (3)用 t 表示运输的天数,用 a 表示每天运输的吨数, 用式子表示 t 与 a 的关系,t 与 a 成什么比例关系? 解:(1)由表可得,500×1 = 500,250×2 = 500,100×5 = 500,50×10 = 500,…,所以这批货物共有 500 吨; (2)观察表格,可以看出运输的天数随着每天运 输的吨数的变化而变化,它们是两种相关联的量. 从左往右看,每天运输的吨数越少,所需要运输的 天数越多;从右往左看,每天运输的吨数越多,所 需要运输的天数越少; (3)由题意得,t 与 a 的关系为 at = 500 或 t = 500 a , 因为 t 与 a 的乘积一定为 500,所以 t 与 a 成反比 例关系. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:如何判断两个量成反比例关系. 反思:让学生通过实践与学习,判断两个相关量成反 比例关系. 62