2.2 有理数的乘法与除法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(人教版2024)

2. 2　 有理数的乘法与除法 2. 2. 1　 有理数的乘法 第 1 课时　 有理数的乘法 一、情境导入 　 　 甲水库的水位每天升高 2 cm,乙水库的水位每 天下降 2 cm,4 天后甲、乙水库的水位的总变化量各 是多少? 问题 1　 来看一下两水库的水位变化情况(如图), 题目中已知什么? 求什么? 　 　 　 问题 2　 如果用正数表示水位上升的高度,用负数 表示水位下降的高度,那么 4 天后,甲水库水位的变 化量怎样表示? 乙水库水位的变化量又如何表示 呢? 你能找到更简洁的表示方法吗? 【说明与建议】 说明:得出水位的变化量很简单,关键是通过类比小 学乘法法则的推导过程,使学生类比归纳出有理数 的乘法法则,利用旧理论得到新知识,这也是数学中 常用的转化学习方式. 建议:学生讨论交流,就可借助负数的乘法运算探索 出有理数的乘法法则. 二、复习导入 问题 1　 同学们,我们已经知道可以用正负数表示 具有相反意义的量,你能举几个生活中的例子吗? 问题 2　 小学已经学过正数与正数的乘法、正数与 零的乘法,那么引入负数之后,怎样进行有理数的乘 法运算? 有理数的乘法运算有几种情况? 【说明与建议】 说明:通过复习,使学生回顾用正负数表示具有相反 意义的量的方法,向学生渗透分类讨论思想,有利于 学生探究有理数的乘法法则. 建议:教师引导学生从有理数分为正有理数、零、负 有理数的角度去考虑,点拨学生的展示情况. 命题角度 1　 有理数的乘法法则 1. 计算:( -2) ×5 = (　 D　 ) A. 3　 　 　 　 B. -3　 　 　 　 C. 10　 　 　 　 D. -10 2. 计算( -4) ×( - 1 2 )的结果等于(　 D　 ) A. -4 B. -2 C. 1 2 D. 2 命题角度 2　 倒数 3. -5 的倒数是(　 D　 ) A. 0. 5 B. 5 C. 1 5 D. - 1 5 4. 下列各组数中,互为倒数的是(　 B　 ) A. -2 和 2 B. -2 和- 1 2 C. -2 与 1 2 D. 2 和- 1 2 命题角度 3　 有理数的乘法应用 5. 商店降价销售某种商品,每件降价 5 元,售出 60 件 后,与原价销售同样数量的商品相比,销售额的变化 情况算式表示为(　 A　 ) A. ( -5) ×60 B. 5×60 C. 5×( -60) D. ( -5) ×( -60) 6. 如果高度每增加 1 km,气温大约下降 6 ℃ . 现在地面 的气温是 23 ℃ ,某飞机在该地上空 5 km 处,则此时 飞机所在高度的气温是多少? 解:由题意,得 23+5×( -6)= -7(℃ ),答:此时飞机所 在高度的气温是-7 ℃ . 一、教学目标 1. 理解有理数乘法的意义,掌握有理数乘法法则. 2. 能准确地进行有理数的乘法运算,培养学生的探 索能力. 二、教学重难点 重点:有理数的乘法法则. 难点:有理数乘法中的符号法则. 一、问题导入 (1)( -5) +( -5)= (2)( -5) +( -5) +( -5)= (3)( -5) +( -5) +( -5) +( -5)= (4)( -5) +( -5) +( -5) +( -5) +( -5)= 解:(1) -10　 (2) -15　 (3) -20　 (4) -25 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. 问题　 计算: 1×3 = 　 　 　 　 3×( -1)= 　 　 ( -1) ×( -3)= ( -2) ×3 = 3×( -2)= ( -3) ×0 = 解:3　 -3　 3　 -6　 -6　 0 思考:①积的符号与因数的符号有什么关系? ②一个数和 0 相乘,结果是多少? 解:正数乘正数,积为正数; 正数乘负数,积为负数; 负数乘负数,积是正数. 一个数乘 0 结果是 0. 31 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 【知识归纳】有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号得正、异号得负,且积的绝对值 等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与 0 相乘,都得 0. (3)乘积是 1 的两个数互为倒数. 三、例题精讲 1. 计算:(1)8×( -1); (2)( - 1 2 ) ×( -2); (3)( - 2 3 ) ×( - 5 7 ). 解:(1)8×( -1)= -(8×1)= -8; (2)( - 1 2 ) ×( -2)= +( 1 2 ×2)= 1; (3)( - 2 3 ) ×( - 5 7 )= +( 2 3 × 5 7 )= 10 21 . 2. 用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为 负. 登山队攀登一座山峰,每登高 1 km 气温的变 化量为-6 ℃ ,攀登 3 km 后,气温有什么变化? 解:( - 6) × 3 = - 18. 答: 登高 3 km 后, 气温下 降 18℃ . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:本节课主要讲了有理数的乘法法则及运用,倒 数的概念及运用. 反思:传授知识的同时,注意培养学生勇于探索新知 的精神. 第 2 课时　 有理数乘法的运算律与多个有理数相乘 一、类比导入 回答下列问题: (1)任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分 别填入下列□和○内,并比较两个运算结果:□×○ 和○×□,有什么发现? (2)任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分 别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:(□ ×○) ×◇和□×(○×◇),又有什么发现? (3)任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分 别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:□× (○+◇)和□×○+□×◇,又有什么发现? 【归纳】 通过对结果的比较,乘法运算律在有理数范围内仍 适用. 【说明与建议】 说明:通过活动设计和问题引导让学生进行讨论,复 习巩固有理数的乘法法则,训练学生的运算技能,通 过比较结果,猜想并归纳得到乘法交换律、结合律、 分配律在有理数范围内仍可使用的结论. 建议:教师用投影展示:□×○ = ○×□,(□×○)×◇ = □×(○×◇),□×(○+◇)= □×○+□×◇. 二、复习导入 问题　 计算: (1)( -0. 25) ×4;　 　 　 　 (2)( -2023) ×0; (3)( -3. 25) × 1 4 ; (4)4. 5× 2 9 . 教师根据学生回答问题的情况加以指正,并提出问 题:上节课主要学的是两个有理数相乘,那么多个有 理数相乘时,积的符号又与什么有关? 【说明与建议】 说明:通过复习有理数的乘法法则,为学习多个有理 数相乘的积的符号规律做铺垫. 建议:学生自主思考后集体订正. 命题角度 1　 有理数乘法的运算律 1. 下列算式中,积为正数的是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -2) ×5 B. ( -2) ×( -5) C. ( -1) ×( -1) ×0 D. ( -1) ×( -2) ×( -3) 命题角度 2　 多个有理数相乘 2. 绝对值不大于 4 的整数的积是(　 B　 ) A. 16 B. 0 C. 576 D. -1 3. 计算:- 4 5 ×(10-1 1 4 +0. 05)= -8+1-0. 04,这个运算 应用了(　 D　 ) A. 加法结合律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律 D. 分配律 4. 用简便方法计算: (1)( - 1 12 - 1 36 + 1 6 ) ×( -36);　 　 (2)( -99 11 12 ) ×24. 解:(1)原式= ( - 1 12 ) ×( -36) - 1 36 ×( -36) + 1 6 ×( -36) = 3+1-6 = -2; (2)原式= ( -100+ 1 12 ) ×24 = -100×24+ 1 12 ×24 = -2400+2 = -2398. 41 一、教学目标 1. 掌握多个有理数相乘时,积的符号法则. 2. 运用乘法运算律进行有理数的乘法运算. 3. 会进行多个有理数的乘法运算及自主探究乘法交 换律、结合律、分配律在有理数运算中的应用. 二、教学重难点 重点:有理数的乘法运算律及其应用. 难点:1. 多个有理数的乘法. 2. 逆用分配律来简化运算. 一、知识回顾 有理数的乘法法则是什么? 解:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对 值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与 0 相乘,都得 0. 二、探究新知 问题 1　 计算下列各题,你能发现什么规律? (1)( -6) ×5 与 5×( -6); (2)[( -4) ×( -5)] ×3 与( -4) ×[( -5) ×3]; (3)5×[3+( -7)]与 5×3+5×( -7). 解:(1)( -6) ×5 = -30,5×( -6)= -30; (2)[( -4) ×( -5)] ×3 = 60, ( -4) ×[( -5) ×3] = 60; (3)5×[3+( -7)] = -20,5×3+5×( -7)= -20. 【知识归纳】 (1)乘法交换律:两个数相乘,交换乘数的位置,积 不变,即 ab= ba. (2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘, 或者先把后两个数相乘,积不变,即(ab)c=a(bc) . (3)分配律:一个数与两个数的和相乘,等于把这个 数分别与这两个数相乘,再把积相加,即 a( b+c)= ab+ac. 问题 2 　 (1) 观察下列各式,它们的积是正的还是 负的? ①2×3×( -0. 5) ×( -7), ②2×( -3) ×( -0. 5) ×( -7), ③( -2) ×( -3) ×( -0. 5) ×( -7). 解:①正,②负,③正. 思考:几个不为 0 的数相乘,积的符号与负的乘数的 个数之间有什么关系? (2)你能看出下式的结果吗? 如果能,请说明理由. 7. 8×( -8. 1) ×0×( -19. 6). 解:能. 理由:乘数中有 0,所以积为 0. 【知识归纳】 (1)几个不为 0 的数相乘,负的乘数的个数是偶数 时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数. (2)几个数相乘,如果其中有乘数为 0,那么积为 0. 三、例题精讲 1. (1)计算 2×3×0. 5×( -7); (2)用两种方法计算( 1 4 + 1 6 - 1 2 ) ×12. 解:(1)原式= (2×0. 5) ×[3×( -7)] = 1×( -21) = -21. (2)解法 1:原式= ( 3 12 + 2 12 - 6 12 ) ×12 = - 1 12 ×12 = -1. 解法 2:原式= 1 4 ×12+ 1 6 ×12- 1 2 ×12 = 3+2-6 = -1. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 有理数乘法的运算律;运用乘法运算律解决 问题. 2. 多个有理数的乘法先确定符号,再计算绝对 值的乘积;其中一个乘数是 0,积为 0. 反思:在学生理解和应用有理数乘法运算律的基础 上,应注重发展学生通过观察、思考找到合理 解决问题的能力. 2. 2. 2　 有理数的除法 第 1 课时　 有理数的除法 置疑导入 1. 前面我们学习了“有理数的乘法”,那么自然会想到 有理数的除法,如何进行有理数的除法运算呢? 2. 回忆小学里乘法与除法互为逆运算,并提问:被除数、 除数、商之间有何关系? 3. ( -15) ÷( -3)= ? 【说明与建议】 说明:利用乘法与除法互为逆运算的关系,将有理数的 除法转化为有理数的乘法来解决. 建议:引导学生发现-15 =(-3)×? 来猜想(-15)÷(-3) 的计算结果. 从而体现乘法与除法的互逆性. 51 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·七年级数学上册 命题角度 1　 有理数的除法法则 1. 计算( -8) ÷( -2)的正确结果是(　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 2. 计算 3÷( - 1 4 )的结果是(　 B　 ) A. 12 B. -12 C. - 4 3 D. - 1 12 命题角度 2　 化简分数 3. 化简下列分数: (1) -36 6 　 (2) 4-12 　 (3) -30 -75 　 (4) -6 -0. 3 解:(1)原式= -6　 　 　 (2)原式= - 1 3 (3)原式= 2 5 　 　 　 (4)原式= 20 一、教学目标 1. 理解有理数除法的意义. 2. 理解有理数除法与乘法的互逆关系. 3. 熟练掌握有理数除法法则. 二、教学重难点 重点:有理数除法的意义. 难点:有理数除法法则. 一、知识回顾 什么是倒数? 说出下列各数的倒数:-4,3,-2,- 2 5 , 1 1 5 . 解:乘积是 1 的两个数互为倒数. 上面各数的倒数分别是- 1 4 , 1 3 ,- 1 2 ,- 5 2 , 5 6 . 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. 问题　 (1)我们知道除法是乘法的逆运算,怎么把 一个有理数除法变成有理数的乘法? (2) 在有理数的除法中, 0 可以作为被除数和除 数吗? (3)两数相除,商的符号与两数的符号有什么关系? (4)分数线可以代表什么? 【知识归纳】 (1)除以一个不等于 0 的数,等于乘这个数的倒数, 即 a÷b=a· 1 b (b≠0) . (2)两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值 等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. (3)0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 0. (4)分数可以理解为分子除以分母,分数线代表 除号. 三、例题精讲 1. 计算: (1)( -36) ÷9;　 　 (2)( -12 25 ) ÷( - 3 5 ). 解:(1)( -36) ÷9 = -(36÷9)= -4; (2)( -12 25 ) ÷( - 3 5 )= ( -12 25 ) ×( - 5 3 )= 4 5 . 2. 化简: (1) -2 3 ;　 　 (2) -45 -12 . 解:(1) -2 3 = ( -2) ÷3 = -(2÷3)= - 2 3 ; (2) -45 -12 = ( -45) ÷( -12)= 45÷12 = 15 4 . 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:有理数的除法法则,化简带“ -”号的分数. 反思:通过将除法运算转化为乘法运算,培养学生的 转化思想. 第 2 课时　 有理数的加减乘除混合运算 复习导入 1. 在小学我们已经学习过加、减、乘、除四则运算,其运 算顺序是什么? 有括号的又是怎样的? 2. 观察式子 4×(15+32) ÷5,里面有哪几种运算,应该按 什么运算顺序来计算? 【说明与建议】 说明:复习四则运算顺序后提出问题,及时让学生体验 有理数的四则混合运算. 建议:学生先计算,再讨论结果. 命题角度　 有理数的混合运算 计算:(1)( -2 2 3 ) ÷( - 3 4 ) ×3; 61 (2) -1+5÷( - 1 6 ) ×( -6); (3) -8-[ -7+(1- 1 3 ×1. 2) ÷( -3)]. 解:(1)原式= ( - 8 3 ) ×( - 4 3 ) ×3 = 32 3 ; (2)原式= -1+5×( -6) ×( -6)= -1+180 = 179; (3)原式= -8-[ -7+(1- 2 5 ) ×( - 1 3 )] = - 8 -( - 7 - 1 5 )= - 4 5 . 一、教学目标 1. 按照有理数的运算顺序,正确熟练地进行有理数 的加减乘除混合运算. 2. 运用有理数的混合运算法则解决实际问题. 二、教学重难点 重点:正确地进行有理数的混合运算. 难点:灵活运用有理数的运算律及符号的确定方法. 一、知识回顾 加法交换律:　 a+b= b+a　 ; 加法结合律:　 (a+b) +c=a+(b+c)　 ; 乘法交换律:　 ab= ba　 ; 乘法结合律:　 (ab)c=a(bc)　 ; 分配律:　 a(b+c)= ab+ac　 . 计算: (1) 5 21 ÷( - 1 7 );　 　 　 (2)12×21÷ 3 7 ; (3)( -3) × 5 6 ×( - 9 5 ) ×( - 1 4 ) ×( -8) ×( -1). 解:(1) - 5 3 ;　 　 (2)588;　 　 (3) -9. 二、探究新知 阅读教材后回答下列问题. 问题 1　 (1)进行有理数的乘除混合运算时,把除法 转化为乘法的依据是什么? (2)计算时应注意些什么? 解:(1)除以一个不等于 0 的数,等于乘这个数的 倒数; (2)积的符号. 【知识归纳】 乘除混合运算先将除法转化成乘法,然后确定积的 符号,最后求出结果. 问题 2　 (1)如何进行有理数的加减乘除混合运算? (2)用计算器计算有理数的加减乘除混合运算时, 应注意些什么? 【知识归纳】 (1)有理数的加减乘除混合运算中,如无括号,先算 乘除,后算加减,有括号的要先算括号里面的. (2)用计算器进行有理数的加减乘除混合运算时, 一般按式子所表示的顺序输入,特别注意符号键 (-) 的使用. 三、例题精讲 1. 计算: (1)( -125 5 7 ) ÷( -5);　 (2) -2. 5÷ 5 8 ×( - 1 4 ). 解:(1)原式= (125+ 5 7 ) × 1 5 = 125× 1 5 + 5 7 × 1 5 = 25 1 7 ; (2)原式= 5 2 × 8 5 × 1 4 = 1. 2. 计算: (1) -8+4÷( -2); (2)( -7) ×( -5) -90÷( -15). 解:(1)原式= -8+( -2)= -10; (2)原式= 35-( -6)= 35+6 = 41. 3. 某公司去年 1 月—3 月平均每月亏损 1. 5 万元,4 月—6 月平均每月盈利 32 万元,7 月—10 月平均 每月盈利 21. 7 万元,11 月—12 月平均每月亏损 2. 3 万元. 这个公司去年总的盈亏情况如何? 解:记盈利额为正数,亏损额为负数. 由( -1. 5) ×3 +32×3+21. 7×4+( -2. 3) ×2 = -4. 5+96+86. 8- 4. 6 = 173. 7. 可知,这个公司去年全年盈利 173. 7 万元. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 计算有理数乘除混合运算的方法———化除 为乘,先定号后算值. 2. 有理数的加减乘除混合运算的顺序;利用运 算律简化运算;用计算器进行有理数的加减 乘除混合运算;有理数混合运算的应用. 反思:1. 引导学生在利用有理数除法法则进行运算 的过程中,体会转化的数学思想. 2. 培养学生在计算前认真审题,确定运算顺 序,计算中按步骤谨慎进行,最后验算的好 习惯. 71