3.6 角-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级上册数学新教案(华东师大版2024)

(1)先画射线 AB; (2)用圆规量出线段 MN 的长,再在射线 AB 上 截取 AC=MN,线段 AC 就是所要求作的线段. 思考:如果在射线 AB 上有一点 D,使 AC =CD,那么 点 C 处于什么位置? 【知识归纳】 把一条线段分成两条相等线段的点,叫做这条线段 的中点. 三、试题精讲 1. 如图,已知 M 是线段 AB 的中点,P 是线段 MB 的 中点,且 MP= 3 cm,求 AP 的长. 解:因为点 P 是线段 MB 的中点,所以 MB= 2MP= 2×3 = 6(cm) . 因为点 M 是线段 AB 的中点,所 以 AM = MB = 6 cm,所以 AP = AM+MP = 6 + 3 = 9(cm) . 答:AP 的长为 9 cm. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:线段的长短比较、线段的中点与尺规作图. 反思:培养学生的抽象概括能力,初步学会数学的建 模思想. 3. 6　 角 3. 6. 1　 角 置疑导入 如图所示的这几张生活图片,你能从中找到角吗? 　 你能说出生活中的一些角吗? 那到底什么是“角” 呢? 本节课我们就进一步来探讨角的有关概念. 【说明与建议】 说明:用源于生活的图片,激发学生的好奇心,增强感性 认识,诱发学生对新知识的需求. 建议:让学生找到图中所包含的角,为本节课的学习做 好铺垫. 命题角度 1　 角的表示 1. 下面表示∠ABC 的图是(　 C　 ) A　 　 　 　 　 B　 　 　 　 　 C　 　 　 　 　 D 命题角度 2　 数角的个数 2. 如图,在已知角内画射线,画 1 条射线,图中共有　 3 　 个角;画 2 条射线,图中共有　 6　 个角;画　 3　 条 射线,图中共有 　 10 　 个角;画 n 条射线,图中共有 　 (n +1)(n+2) 2 　 个角. 命题角度 3　 利用角的单位度、分、秒之间的换算关系 进行计算 3. 用度分秒表示下列各角: 57. 32° = 　 57°19′12″　 ;　 1. 45° = 　 1°27′　 . 命题角度 4　 在方位图中表示角度 4. 在如图所示方位角中,射线 OA 表示的 方向是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 东偏北 30° B. 南偏东 60° C. 西偏南 30° D. 南偏西 60° 命题角度 5　 时钟上的角 5. 如图,钟表上 8 点整时,时针与分针所成 的角是(　 D　 ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 一、教学目标 1. 认识角是一种基本的图形,理解角的概念,学会角 的表示方法. 2. 认识角的度量单位:度、分、秒,会进行简单的换算 和角度计算. 二、教学重难点 重点:会用不同的方法表示一个角,会进行简单的 计算. 难点:角的表示与角度的换算. 一、复习导入 　 　 线段是一种基本的几何图形,角也是一种基本 的几何图形. 在以前的学习过程中我们对角有了一 些粗浅的认识,本节我们将在已有的知识基础上,对 94 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 角做进一步的研究. 二、探究新知 问题 1 　 观察图中的图形,你发现它们有什么共同 的特点吗? 答:这些图形都给出了角的形象. 问题 2 　 在小学里,我们已学习过角的概念,角是由 两条有公共端点的射线组成的图形. 回想一下锐角、 钝角、直角的形状. 解:如图,角更可以看成是由一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形. 射线的端点叫做角的顶点,起 始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫 做角的终边. 【知识归纳】 (1)定义:角是由两条有公共端点的射线组成的 图形. (2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转 而成的图形. (3)两种特殊情况: ①如图 1,绕着射线的端点旋转到角的终边和始边 成一条直线,形成平角; ②如图 2,绕着射线的端点旋转到终边和始边再次 重合,形成周角. (4)1 周角= 360°,1 平角= 180°. 1° = 60′,1′= 60″. 问题 3 　 角可以用几种不同的方法表示? 【知识归纳】 角的表示方法: (1)用三个大写英文字母表示角,角的顶点必须写 在正中间. 如图 1,记作∠AOB; (2)用一个大写英文字母表示角(角的顶点处只有 一个角) . 如图 2,记作∠O; (3)用一个阿拉伯数字或希腊字母(α、β、γ)表示角 时,应在角的顶点附近画一个小括弧,再标注上阿拉 伯数字或希腊字母. 如图 3 与图 4,记作∠1、∠α. 问题 4 　 如图,该怎样准确地表示方向? 解:如果要准确地表示方向,那就要借用角的表示方 式. 如 “ 北偏东 30°” “ 南偏东 25°” “ 北偏西 60°”等. 三、例题精讲 1. (1)把 18°15′化成用度表示的角; (2)把 93. 2°化成用度、分、秒表示的角. 解:(1)先把 15′化成度,即 15′= (15 60 )° = 0. 25°,所 以 18°15′= 18. 25°. (2)因为 1° = 60′,所以 0. 2° = 60′×0. 2 = 12′,因 此 93. 2° = 93°12′. 2. 如图,OA 是表示北偏东 30°方向的一条射线. 仿照 这条射线,画出表示下列方向的射线: (1)南偏东 25°; (2)北偏西 60°. 　 　 　 解:(1)(2)如图所示: 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:1. 角的定义及表示方法. 2. 角的度量及换算、方位角. 反思:经历从现实生活中认识角的过程,提高学生的 识图能力,学会用不同的观点看问题. 3. 6. 2　 角的比较和运算 一、置疑导入 有一天学生聪聪和明明各带了一把折扇(如下),下 面是他们的一段对话: 聪聪:“我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也 05 大一些. ” 明明:“我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大 一些. ” 同学们,你有什么办法帮他们进行判断呢? 【说明与建议】 说明:展示图片,让学生明白题意是比较两个角的大 小,从而引出课题. 建议:重点让学生掌握比较两个角的大小的方法,为 本节课的学习做好铺垫. 二、类比导入 　 　 回顾小学认识的各种角,通过动画演示它们的 形成过程,看看角的分类(提示:锐角小于直角,直角 小于钝角,钝角小于平角)、角的大小比较是否存在 其必要性? 我们又应该怎样比较两个角的大小呢? 能否借鉴前面学过的一些方法呢? 前面我们学习了怎样比较线段的长短,大家还记得 怎样比较吗? (度量法,叠合法) 那么角的大小比较能不能类比线段的长短比较方法 进行呢? 如果能,又该怎样比较呢? 本节课我们就 来解决这个问题. 【说明与建议】 说明:回顾关于锐角、钝角、直角的概念,类比线段比 较方法,让学生理解角的大小比较的方法. 建议:引导学生理解比较角的大小的方法. 命题角度 1　 角的大小比较 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【归纳总结】 角的大小比较方法有:(1)叠合法;(2)度 量法. 也可以根据锐角、直角、钝角、周角之间的关系 比较角的大小. 1. 比较∠CAB 与∠DAB 的大小时,把它们 的顶点 A 和边 AB 重合,把∠CAB 和 ∠DAB 放在 AB 的同一侧, 如图, 则 ∠CAB　 >　 ∠DAB. 命题角度 2　 利用三角尺作角或计算角 2. 用一副三角尺,能画出的角是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 25°的角 B. 75°的角 C. 160°的角 D. 145°的角 3. 将一副直角三角尺如图放置, 若 ∠AOD = 20°, 则 ∠BOC 的大小为(　 B　 ) A. 140° B. 160° C. 170° D. 150° 命题角度 3　 角度的计算 4. 若∠AOB=34°,∠BOC=18°,则∠AOC 的度数是(　 C　 ) A. 52° B. 16° C. 52°或 16° D. 52°或 18° 5. 如图,已知∠AOB= 80°,∠AOC = 10°,OD 是 ∠BOC 的 平 分 线, ∠DOC 的 度 数 是　 35°　 . 命题角度 4　 尺规作角 6. 如图,已知∠α,求作∠AOB,使∠AOB= 2∠α. 　 　 　 　 　 　 解:如图所示. 一、教学目标 1. 运用类比的方法,学会比较两个角的大小,丰富对 角的大小关系的认识,学会分析角的和差关系. 2. 学会用三角板拼出不同度数的角,认识角的平分 线及作一个角等于已知角. 二、教学重难点 重点:比较角的大小、角的和差关系和角的平分线. 难点:认识复杂图形中角的和差关系. 一、问题导入 我们在线段的长短比较中学习了哪些内容? 答:线段的大小比较、和差关系,线段的中点,作一条 线段等于已知线段. 类比线段的学习内容,我们这节课学习角的比较和 运算. 二、探究新知 问题 1 　 线段长短的比较方法是度量法和叠合法. 那么角的大小比较方法是什么? 答:①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则 角度大的角大;②构造图形,如果一个角包含(或 覆盖)另一个角,则这个角大. 问题 2 　 对于如图给定的∠ABC 和∠DEF,用以上 两种方法分别比较它们的大小. 注:构造图形时,作 示意图(草图)即可. 15 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBH·七年级数学上册 解:①∠ABC = 34°,∠DEF = 60°,所 以∠ABC<∠DEF. ②如图, 射线 BA 在 ∠DEF 内 部,所以∠ABC<∠DEF. 【知识归纳】 比较两个角的大小,通常有两种方法:一是度量法; 二是叠合法. 问题 3 　 如图,∠AOB 为已知角,作一个角∠CDE = ∠AOB(不写作图过程,只保留作图痕迹) . 解:如图,∠CDE 即为所求. 问题 4 　 观察下面图形,图中共有 3 个角,它们之间 有什么关系? (请用和差表示) 解:∠AOC= ∠AOB+∠BOC; ∠BOC= ∠AOC-∠AOB; ∠AOB= ∠AOC-∠BOC. 【知识归纳】 (1)两个角相加或相减,其和或差还是角. (2)从一个角的顶点引出一条射线,把 这个角分成两个相等的角,这条射线 叫做这个角的平分线. 如图,OC 平 分∠AOB. 符号语言:因为 OC 平分∠AOB,所以∠AOC= ∠BOC = 1 2 ∠AOB,或∠AOB= 2∠AOC= 2∠BOC. 三、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 四、课堂小结与反思 小结:1. 比较角的大小. 2. 作一个角等于已知角. 3. 角的运算与角的平分线. 反思:进一步培养和提高学生的识图能力和动手操 作能力,学会类比的数学思想. 3. 6. 3　 余角和补角 一、置疑导入 　 　 举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇, 是一座由白色云石建成的古塔. 该塔发生倾斜但斜 而不倒,比萨斜塔因此远近闻名. 比萨斜塔始建于 1173 年,从地面到塔顶高 55 m,自建成以后曾发生 多次倾斜,常人只凭眼睛也能察觉. 意大利科学家伽 利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动实验,开创 了实验物理的新时代,斜塔也因而更加闻名遐迩. 意 大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜,但到目 前为止未能成功. 你知道斜塔的倾角是多少度吗? 你能用什么方法测量呢? 　 　 下面是某位游客设计的测量斜塔倾角的方案: 将斜塔看成一条线段 OA,在正午太阳直射地面时标 记塔顶的影子 B, 画出直线 OB, 想办法测出了 ∠AOB= 85°. 　 　 　 　 问题　 (1)斜塔 OA 倾斜了多少度? (2)斜塔 OA 与 OC 所成的角是多少度? (3) 斜塔 OA 与直线 OB 所成的另外一个角 ( 即 ∠AOD)是多少度? 【说明与建议】 说明:从学生的兴趣着手,让学生注重观察生活,知 道数学来源于生活,并服务于生活. 建议:小组讨论,归纳出余角和补角的性质. 二、归纳导入 (课件演示)计算: (1)33°+57° = 　 90°　 ; (2)20°20′34″+69°39′26″= 　 90°　 ; (3)86°+94° = 　 180°　 ; (4)57°36′+122°24′= 　 180°　 . 学生计算并回答,总结它们的特点. 【归纳】 如果两个角的和等于 90°,我们就说这两个角互为 余角;如果两个角的和等于 180°,我们就说这两个 角互为补角,(1)(2)这两组角互为余角,(3)(4)这 两组角互为补角. 【教学与建议】 教学:通过计算复习上节课的知识,归纳余角和补角 25 的概念. 建议:学生先计算出结果,再小组讨论答案的特点. 命题角度 1　 余角与补角的概念 1. 与 30°角互为余角的角的度数是(　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 30° B. 60° C. 70° D. 90° 2. 互为余角且相等的角的度数都是 　 45° 　 ,互为补角 且相等的角的度数都是　 90°　 . 命题角度 2　 根据余角、补角的性质解决问题 3. 如图,因为∠1+∠COB = 90°,∠2+∠COB = 90°,所以 ∠1 = ∠2 的依据是(　 A　 ) A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等 4. 若∠1 与∠2 互补,∠2 与∠3 互补,∠1 = 80°,则∠3 = 　 80°　 . 5. 如图,点 O 是直线 AB 上的一个点,从点 O 引两条射 线 OC、OD,使∠BOC、∠BOD、∠AOD 的度数之比为 1 ∶2 ∶3. (1)求∠BOD 及∠BOC 余角的度数. (2)求∠AOD 与∠AOC 的度数之比. 解:(1)因为∠BOD ∶ ∠AOD = 2 ∶ 3,∠BOD+∠AOD = 180°,所以 ∠AOD = 180° × 3 2+3 = 108°, ∠BOD = 180°× 2 2+3 = 72°. 因为∠BOC ∶ ∠BOD = 1 ∶ 2,所以 ∠BOC= 1 2 ∠BOD= 36°,所以∠BOC 的余角 = 90° -∠BOC= 54°,所以∠BOD 的度数为 72°,∠BOC 余角的度数为 54°; (2)因为∠BOC = 36°,所以∠AOC = 180°-∠BOC = 144°. 因为∠AOD = 108°,所以∠AOD ∶ ∠AOC = 108° ∶144° = 3 ∶4. 一、教学目标 1. 认识一个角的余角和补角,掌握余角和补角的 性质. 2. 根据余角和补角的性质进行简单的运算和说明 理由. 二、教学重难点 重点:认识角的互余和互补关系及性质. 难点:用余角和补角进行简单的推理. 一、问题导入 在水平面上,有一根倾斜的圆柱,想要知 道它与地面的倾斜角,你能用什么方法 测量它倾斜了多少度? 答:直接测量或间接测量(180°-∠1) . 二、探究新知 问题 1 　 在下图中,用量角器量一量两组图中各角 的大小,你有什么发现? 解:∠1+∠2 = 90°,∠α+∠β= 90°. 【知识归纳】 (1)两个角的和等于 90°(直角),就说这两个角互为余 角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角. 几何语言:如果∠1+∠2 = 90°,那么∠1 与∠2 互为 余角. (2)如果两个角的和等于 180°(平角),就说这两个 角互为补角,简称互补;其中一个角是另一个角的 补角. 几何语言:如果∠1+∠2 = 180°,那么∠1 与∠2 互为 补角. (3)∠α 的余角= 90°-∠α,∠α 的补角= 180°-∠α. (4) ∠α 的补角 = 180°-∠α = 90°+ 90°-∠α = 90° + ∠α 的余角. 所以∠α 的补角= 90°+∠α 的余角. 问题 2 　 想想看,如果∠1 与∠2 互余,∠3 与∠4 互 余,∠2 = ∠4,那么∠1 和∠3 有什么关系? 相等角 的补角又有什么关系? 答:∠1 = ∠3,相等角的补角相等. 【知识归纳】 (1)余角的性质:同角或等角的余角相等; (2)补角的性质:同角或等角的补角相等. 三、例题精讲 1. 已知∠α= 50°17′,求∠α 的余角和补角. 解:∠α 的余角= 90°-50°17′= 39°43′; ∠α 的补角= 180°-50°17′= 129°43′. 四、巩固练习 (参考《追梦之旅》学生用书) 五、课堂小结与反思 小结:余角和补角的概念、性质及综合运用. 反思:进一步提高学生的抽象概括能力、发展空间观 念和知识运用能力,学会简单的逻辑推理. 35