专题1.9 空间向量与立体几何专项复习（2大考点6种题型）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.9 空间向量与立体几何专项复习 【考点1：空间向量及其运算】 1 【题型一：空间向量的线性运算】 2 【题型二：空间向量的数量积运算】 4 【题型三：空间向量的坐标运算】 6 【考点2：空间向量的应用】 8 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 8 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 12 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 20 【课时达标检测】 23 【考点1：空间向量及其运算】 (1)空间向量的有关概念 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (2)空间向量中的有关定理 共线向量 定理 对空间任意两个向量，⇔存在唯一一个，使 共面向量 定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 空间向量 基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得 2.两个向量的数量积 (1)非零向量的数量积． (2) 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设. 向量表示 坐标表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 [方法技巧1] 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　 [方法技巧2]　 　　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用⇔，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【题型一：空间向量的线性运算】 1．（2024高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，不共面，若，，且三点共线，则 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 . 7．（2024高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 8．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【题型二：空间向量的数量积运算】 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 3．（江苏省2025届高三云帆杯8月学情调研考试数学试卷（2024.08.07））已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 4．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【题型三：空间向量的坐标运算】 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 2．（多选）（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（    ） A． B．夹角的余弦值为 C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是 4．（多选）（2024高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．若，，，则四点共面 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则四点共面 D．若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 6．（2024高二下·江苏徐州·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    7．（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 8．（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．    (1)设，，，用，，表示向量； (2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【考点2：空间向量的应用】 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 1．两个重要向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 平面的 法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为 l1∥l2 ⇔ l1⊥l2 ⇔ 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 l∥α ⇔ l⊥α ⇔ 平面α，β的法向量分别为 α∥β ⇔ α⊥β ⇔ [方法技巧1] 1．利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 [提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． [方法技巧2] 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 (1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　 1．（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 3．（24-25高二下·全国·课前预习）已知点，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：平面. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 6．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线的方向向量为，其夹角为θ，则 (其中φ为异面直线所成的角)． 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α ­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②和图③，分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小或． [方法技巧1] 向量法求两异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式求解． [提醒]　两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．　　 [易错提醒] (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．　　 [方法技巧2]　　　计算二面角大小的常用方法 法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1．（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 3．（24-25高三上·陕西·开学考试）如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 4．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知三棱锥满足， 且．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值， 5．（陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 6．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）如图，直四棱柱中，,点E为的中点，F为中点. (1)若，证明：； (2)若二面角的正弦值为，求. 7．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）如图，在四棱锥中，平面底面，，底面是边长为的正方形． (1)求证：； (2)E是棱PA上一点，若AC与平面所成角为，求四棱锥的体积． 8．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在正三棱柱中，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 1、点到直线的距离：若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为. 2、点到面的距离：已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离：转化为点到面的距离求解即可. 1．（2024高二下·江苏徐州·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 4．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 6．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 7．（2024高二下·江苏徐州·阶段练习）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求点到平面的距离. 8．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 【课时达标检测】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）已知向量，，则（    ） A． B．14 C． D． 2．（2024高二上·天津武清·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)过顶点A的三条棱的夹角分别是，，，所有的棱长都为2，则的长等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·课后作业）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．（23-24高二上·山东淄博·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内 二、多选题 7．（2024·福建厦门·一模）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·福建厦门·期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．面AEF D．二面角的大小为 三、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱锥S­-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为 . 10．（23-24高二上·北京丰台·期末）棱长为2的正方体中，点P满足，其中x，y，，给出下列四个结论： ①当，时，可能是等腰三角形； ②当，时，三棱锥的体积恒为； ③当，且时，的面积的最小值为； ④当，且时，可能为直角． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 11．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 12．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 空间向量与立体几何专项复习 【考点1：空间向量及其运算】 1 【题型一：空间向量的线性运算】 2 【题型二：空间向量的数量积运算】 7 【题型三：空间向量的坐标运算】 12 【考点2：空间向量的应用】 17 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 17 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 25 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 41 【课时达标检测】 51 【考点1：空间向量及其运算】 (1)空间向量的有关概念 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (2)空间向量中的有关定理 共线向量 定理 对空间任意两个向量，⇔存在唯一一个，使 共面向量 定理 若两个向量不共线，则向量与向量共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 空间向量 基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得 2.两个向量的数量积 (1)非零向量的数量积． (2) 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设. 向量表示 坐标表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 [方法技巧1] 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　 [方法技巧2]　 　　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用⇔，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【题型一：空间向量的线性运算】 1．（2024高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用空间向量的基地概念判断选项即可. 【详解】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：B 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与，，三点共面，可得，从而可得答案. 【详解】因为，，三点不共线，点与，，三点共面， 又， 所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高二上·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得. 【详解】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 4．（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，根据向量的线性运算法则，结合重心的性质将表示为的线性形式即可. 【详解】延长交于点，则点为的中点， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 故选：C. 5．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 . 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】因为于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 7．（2024高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【答案】 2 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 8．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【答案】，，三个向量共面 【分析】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【详解】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 【题型二：空间向量的数量积运算】 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，，为基底，表示出，，再利用向量数量积的运算求解. 【详解】如图： 取，，为基底，则，， 所以. 又，. 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 3．（江苏省2025届高三云帆杯8月学情调研考试数学试卷（2024.08.07））已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 4．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 5．（多选）（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 6．（多选）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 7．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】1 【分析】根据题意可得，根据数量积的运算律结合向量投影的定义运算求解. 【详解】因为与的夹角为，，，则， 则， 所以在方向上的投影为． 故答案为：1. 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 【题型三：空间向量的坐标运算】 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 2．（多选）（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 3．（多选）（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（    ） A． B．夹角的余弦值为 C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是 【答案】ACD 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:ACD． 4．（多选）（2024高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．若，，，则四点共面 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则四点共面 D．若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底 【答案】ABD 【分析】对A，若向量垂直则向量积为零，运算可判断；对B，利用共面向量基本定理结合坐标运算可判断；对C，若四点共面，则且，可判断；对D，不能做基底，则线性相关，假设存在使得，代入解方程看是否有解，即可判断. 【详解】对A，由题意知，所以直线l与m垂直，故A正确； 对B，若四点共面，则共面，因为， 所以四点共面，故B正确； 对C，若四点共面，则且， 而，可知，所以不共面，故C错误； 对D，不能做为基底，则线性相关， 假设存在使得， 化简解之可得，则不可作为基底，故D正确. 故选：ABD 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 6．（2024高二下·江苏徐州·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    【答案】 【分析】过点作,垂足于点，由根据条件可求的长度，进而可得的坐标，从而利用空间向量的模可得的长度. 【详解】过点作,垂足于点，如图所示：    因为，，所以. 又，. 因为，， 所以， 则的长为. 故答案为：. 7．（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设向量的夹角为，根据空间向量的夹角公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，得到，其中，进而求得，即可求得的坐标. 【详解】（1）设向量的夹角为， 由空间三点，，，可得，， ，， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为． （2）因为，所以，其中， 因为，可得，即， 所以， 即或． 8．（2024高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．    (1)设，，，用，，表示向量； (2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量的线性运算求出. （2）求出点的坐标，进而求出向量的坐标，再利用（1）的结论，结合向量的坐标运算计算邓得. 【详解】（1）依题意，，，，，， ． （2）依题意，点， ，，， ． 【考点2：空间向量的应用】 【题型四：利用空间向量研究空间中的位置关系】 1．两个重要向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 平面的 法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为 l1∥l2 ⇔ l1⊥l2 ⇔ 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 l∥α ⇔ l⊥α ⇔ 平面α，β的法向量分别为 α∥β ⇔ α⊥β ⇔ [方法技巧1] 1．利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 [提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． [方法技巧2] 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路 (1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　 1．（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据向量垂直可得是平面的一个法向量，即可根据向量的位置关系，逐一判断直线与平面的位置关系. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】设，，，可得，，再根据数量积可得，即可得. 【详解】如图所示，连接，    设，，，， 则． 因为是的中点， 则， 且． 可得 ． 可得，所以． 3．（24-25高二下·全国·课前预习）已知点，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明向量共面，证明即可； （2）方法一：由向量共线结合线面平行的判定定理证明； 方法二：由共面向量基本定理结合线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）证明  如图，连接，． （1） ， 由向量共面的充要条件知，四点共面. （2）方法一  ， . 又平面，平面， 平面. 方法二   ， 又，不共线，与，共面. 又平面， 平面． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点．连接，则可证明四边形为平行四边形，于是，故而平面； （2）以为原点建立空间坐标系，求出，，的坐标，通过计算，得出，，故而平面． 【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示．    因为，且，， 即， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，两平面的交线为，且，所以平面． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，． 所以，，． 所以，， 所以，， 即，． 又，且平面，平面， 所以平面． 6．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取基底，根据图形将与用向量表示出来，进而可推出，从而得证； （2）要证明面面平行，首先要证线线平行，由（1）知，只需证明即可，方法同（1），用向量表示出与的线性关系；结合，即可证明结论. 【详解】（1）取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． （2）因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 【题型五：利用空间向量求空间中的角度】 1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线的方向向量为，其夹角为θ，则 (其中φ为异面直线所成的角)． 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α ­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②和图③，分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小或． [方法技巧1] 向量法求两异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式求解． [提醒]　两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．　　 [易错提醒] (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．　　 [方法技巧2]　　　计算二面角大小的常用方法 法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1．（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值； 【详解】（1）如图所示，连接．    因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，, 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 3．（24-25高三上·陕西·开学考试）如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，证明，证明平面； （2）证明两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，求出、、和点的坐标，求出，和，求出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值，求出直线与平面所成角. 【详解】（1）分别为的中点， ， 四边形为正方形， ，则， 平面不在平面内， 平面； （2）四边形为正方形，， 平面平面， 两两垂直， 故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则即得 令，则，则， 设直线与平面所成角为，， 由，故直线与平面所成角的大小为． 4．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知三棱锥满足， 且．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值， 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用等腰三角形中线是高线，得出线线垂直，应用线面垂直判定定理证明线面垂直进而得出线线垂直； （2）法一结合线面垂直得出线面角在，再结合面积及射影面积计算；法二应用已知条件建系，求面的法向量再应用线面角的向量求出正弦值. 【详解】（1）, , , 即：, 取中点，连接，则，且平面, 平面,   平面 （2）解法一：由（1）知，平面平面平面 作，垂足为 平面平面，且平面 平面 中    记点到平面的距离为与平面所成角为，则 由得： 因此， 解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系 由（1）可知 中， 设的法向量 由得：取    记与平面所成角为．则. 5．（陕西省安康市2024-2025学年高三上学期开学学情摸底考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质及面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，则， 由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）依题意，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，由，得，令， 则有，即，， ，由平面，得存在实数使， 即，解得，， ， 设平面的法向量，则，令，， 设平面的法向量，则，令，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 6．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）如图，直四棱柱中，,点E为的中点，F为中点. (1)若，证明：； (2)若二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用坐标法求解向量数量积为0得出垂直即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用坐标法应用二面角正弦值求边长. 【详解】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，, 可得, 所以中点, 所以, ， 可得. （2）设, 则 设平面法向量为, 因为，则， 令，可得， 设平面法向量为， 因为，则， 令,则， 设为， 因为所以, 则,解得（舍负）， 所以. 7．（广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷）如图，在四棱锥中，平面底面，，底面是边长为的正方形． (1)求证：； (2)E是棱PA上一点，若AC与平面所成角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理可得平面，即可证明，可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出点的坐标，再由锥体体积公式计算可得结果. 【详解】（1）取的交点为，连接，如下图所示： 又因为底面是正方形，所以为的中点， 又，所以， 因为平面底面，平面底面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点且， 可得. （2）由底面是边长为的正方形，所以； 由（1）可知三条直线两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，所以； 可得， 所以， 由E是棱PA上一点可设； 则； 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则； 所以; 由AC与平面所成角为可得； 整理可得，解得， 因此E是棱PA的中点，即， 所以E到底面的距离即为四棱锥的高为， 因此四棱锥的体积为. 8．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在正三棱柱中，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）记的中点为，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）表示出向量，结合（1）中结论，利用向量坐标表示出，然后结合基本不等式求解可得. 【详解】（1）记的中点为，连接， 因为分别为的中点，为正三棱柱， 所以平面，又平面，所以， 因为为正三角形，所以， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 因为， 所以， 又平面，所以平面. （2）因为，所以， 所以， 由（1）知，是平面的一个法向量， 记直线与平面所成角为， 则， 令，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【题型六：利用空间向量求空间中的距离】 1、点到直线的距离：若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为. 2、点到面的距离：已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离：转化为点到面的距离求解即可. 1．（2024高二下·江苏徐州·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 3．（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 4．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 5．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 6．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线，的方向向量，证明两直线平行，再利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】以点为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为，， 所以，即， 所以点到直线的距离，即为直线到直线的距离． 取，又， 所以，， 所以直线到直线的距离 ． 7．（2024高二下·江苏徐州·阶段练习）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)点到平面的距离为 【分析】（1）由已知可得，，结合线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解点到平面的距离即可． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为正方形中，所以， 因为，，平面， 所以平面； （2）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2, 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得到，，所以， 则点到平面的距离为. 8．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形以及梯形面积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量法求解即可. 【详解】（1）由，,所以, , 所以,, 故四棱锥的表面积为 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,4,， ,4,，，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 即令，则平面的法向量， 设到平面的距离为，， 由于，解得， 故， 点到直线的距离为． 【课时达标检测】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京西城·期中）已知向量，，则（    ） A． B．14 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法运算求得的坐标，根据模的计算公式，即得答案. 【详解】由题意知向量，， 则， 故， 故选：D 2．（2024高二上·天津武清·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】由题意点M在OA上，， 所以， 因为点N为BC中点， 所以， 由题，，， 则， 故选：C 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)过顶点A的三条棱的夹角分别是，，，所有的棱长都为2，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先根据空间向量表示，再利用数量积公式计算模. 【详解】， . 故选：D 4．（2024高二·全国·课后作业）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】根据条件可得，对应建立方程求解即可. 【详解】， 即， 所以，解得，，， 故选：B 5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 6．（23-24高二上·山东淄博·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内 【答案】C 【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，所以，故或，故A选项错误； 对于B选项，，所以，故或，故B选项错误； 对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与所有坐标轴相交，故正确； 对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点与平面关系，故错误. 故选：C 二、多选题 7．（2024·福建厦门·一模）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 8．（23-24高二上·福建厦门·期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．面AEF D．二面角的大小为 【答案】BC 【解析】通过线面垂直的判定和性质，可判断选项，通过线线和线面平行的判断可确定和选项，利用空间向量法求二面角，可判断选项. 【详解】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直， 则不垂直于，则选项不正确； 连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点， 可知，所以平面， 则平面平面，所以选项正确； 由题知，可设正方体的棱长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标如下： ， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 得平面的法向量为， 所以，所以平面，则选项正确； 由图可知，平面，所以是平面的法向量， 则. 得知二面角的大小不是，所以不正确. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维. 三、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱锥S­-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】以两对角线AC与BD的交点O作为原点，以OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以两对角线AC与BD的交点O作为原点，以OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设边长为2， 则有， 则，， ， 故AE与SD所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的向量求法，属于基础题. 10．（23-24高二上·北京丰台·期末）棱长为2的正方体中，点P满足，其中x，y，，给出下列四个结论： ①当，时，可能是等腰三角形； ②当，时，三棱锥的体积恒为； ③当，且时，的面积的最小值为； ④当，且时，可能为直角． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， ， ①：当，时，， ， 若，而，不成立； 若，所以本结论成立； ②：当，时，， 设平面的法向量为，，， 因此有， ， 所以点到平面的距离为：， 显然， 三棱锥的体积恒为，所以本结论正确； ③当，且时，， ， 由余弦定理可知：， 于是有 ， 当时，的面积的最小值为，所以本结论正确； ④：当，且时，，， 假设为直角，所以， 由，代入中，化简得：，解得， 当时，，不符合题意，而，不符合题意，所以假设不成，因此本结论不正确， 故答案为：①②③ 【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键. 四、解答题 11．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，由此可得结果. 【详解】（1），故； （2），故； （3），故. 12．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直线与平面夹角. 【详解】（1）因为，点是的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 平面， 所以⊥平面ABCD，又平面， 所以平面平面； （2）取的中点，连结， 因为四边形为矩形，且， 所以四边形为正方形，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 则 有，即， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则 直线与平面所成角正弦值为. 52 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$