3.2整式的加减　导学案　　2024—2025学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

第三章 整式及其加减 3.2整式的加减 知识点一 同类项的概念 像与，与，与这样所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项. 例1 判断下列各题中哪些是同类项。 （1）和；（2）和；（3）和4；（4）和；（5）-2024与0；（6）与. 知识点二 合并同类项 1.合并同类项 项目 内容 概念 把同类项合并成一项叫作合并同类项 法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 一般步骤 （1）找出多项式中的同类项； （2）运用加法交换律和结合律将多项式中的同类项放在一起； （3）把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变； （4）利用有理数的加法计算出各项系数的和，写出合并后的结果 例2 合并同类项：①；②. 知识点三 多项式的项数与次数 （1）合并同类项后的多项式中，含几项，就叫作几项式，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 例如：的次数是3，是三项式，是二次项，是一次项，2是常数项；的次数是3，是三次项，是一次项，-2是常数项. （2）次项式 一个多项式最高次项的次数是次，含有项就叫次项式，如的项分别是，，，共三项，最高次项的次数是2，所以是二次三项式. 例3 多项式，是 次 项式，常数项是 ，三次项是 . 知识点四 去括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 如： （2）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 如： 提示：（1）去括号的实质就是乘法对加法分配率的应用。当括号前是数字因数时，应利用乘法对加法的分配率先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号。 （2）括号内原有几项，去括号后仍有几项（合并同类项前），不要丢项。 （3）去括号时，注意括号前是“+”还是“-”，在最后化简的结果中，不能有括号，不能有同类项。 例4 先去括号，再合并同类项。 （1）；（2）. 知识点五 多位数的表示方法 相同字母在多位数的不同的数位上所表示的数值不同。比如，3在十位上表示3个10，在百位上表示3个100.若百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数可表示为。 例5 已知某三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是 。 知识点六 整式的加减 进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。 注意：整式的加减的最后结果中：①结果要最简，即结果中不含有同类项，不含括号；②一般按照某一字母降幂（或升幂）排列；③当含字母项的系数出现带分数时，要把带分数转化为假分数。 例6 已知一个多项式与的和等于，求这个多项式。 知识点七 整式的化简求值 整式的化简求值的步骤： 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简； 二代：把已知的字母或某个整式的值代入化简后的式子； 三计算：依据有理数的运算法则进行计算。 例7 求代数式的值；，其中，。 习题追练 题型一 同类项的概念的应用 例1 已知与的和是单项式，求的值. 练1 若多项式合并同类项的结果是，求的值。 题型二 多项式相关概念的综合 例2 已知多项式是关于，的七次多项式，关于，的单项式与该多项式的次数相同，求的值。 练2 当满足什么条件时，关于的多项式是一个不含常数项的四次多项式？求此时代数式的值。 题型三 与多项式相关的探究性问题 例3 已知是关于的多项式。 （1）当，满足什么条件时，该多项式是关于的二次多项式？ （2）当，满足什么条件时，该多项式是关于的三次二项式？ 题型四 整体代入法进行化简求值 例4 已知，，求整式的值。 练3 已知，，求的值. 题型五 整式中的“不含”或“无关”型问题 例5 已知，，且中不含项，求的值。 规律总结：“不含”或“无关”类问题的求解步骤：一化，化多项式为最简形式，即合并同类项；二找，找到“不含项”或“无关项”；三求，令该项的系数为0，求解相关字母的值。 练4 若的值与字母的取值无关，求，的值。 题型六 整式加减中的看错符号问题 例6 小刚在解数学课时，由于粗心，把原题“两个多项式A和B，其中，试求A+B”中的“A+B”错误地看成“A-B”，结果求出的答案是，请你帮他纠错，正确地求出A+B。 练5 小强在计算一个多项式减去时，因一时疏忽将错看成了，得到的结果是。请你求出这个多项式，并计算出正确的结果。 练6 小虎同学做一道题“已知两个多项式A和B，计算2A+B”时，误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为.已知，请你帮助小虎求出这道题的正确结果。 题型七 利用整式加减解决实际问题 例7 某学校七年级四个班共有学生人，一班有学生人，二班学生人数比一班学生人数的两倍少，三班学生人数比二班学生人数的一半多12. （1）求三班的学生人数（用含，的式子表示）；（2）求四班的学生人数（用含，的式子表示）； （3）若四个班共有学生120人，求二班比三班多的学生人数。 练7 某种中药主要由枸杞子、地黄、丹参和甘草四种药材配制而成（其他成分质量忽略不计），李师傅称了这剂中药一共 kg，这其中三种药材的质量和如下表所示： 中药名称 质量和（单位：kg） 枸杞子、地黄、丹参 丹参、地黄、甘草 （1）请根据表中数据计算地黄和丹参在这剂中药中的质量一共是多少千克（用表中的字母表示）； （2）若，，求地黄和丹参的质量之和。 题型八 整式加减中的新定义运算 例8 规定新运算，试计算的值。 练8 规定新运算，试计算的值。 综合提升练 1.数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2.小文在计算某多项式减去时，误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（ ） A. B. C. D. 3.若单项式与单项式的差为单项式，则 。 4.若多项式是关于，的三次多项式，则 . 5.若，，则 . 6.已知式子是关于的二次多项式，且多项式二次项系数为，数轴上A，B两点所对应的数分别是，（如图所示），则 ， 。 7.下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务。 第一步 第二步 第三步 任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步的依据是 . ②以上化简步骤中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 . 任务2：请写出该整式正确的化简结果，并求出当，时该整式的值. 8.如图所示的计算程序。 根据计算程序回答下列问题： （1）填写表内空格： 输入 3 2 -2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是 ； （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性。 9.数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”。甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话：请根据图中的对话解答下列问题： （1）判断甲、乙、丙三位同学的多项式是不是“友好多项式”，并说明理由。 （2）丁的多项式是什么？ 微专题 代数式求值的常见类型 类型一 直接代入型 练习1 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 类型二 整体代入型 练习2 阅读材料：“如果代数式的值为-4，那么代数式的值是多少？” 我们可以这样来解：原式， 当时，原式。 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，则 。 类型三 算式关联型 练习3 已知当，时，代数式的值等于21，则当，时，代数式的值为 。 类型四 程序型求值 练习4 如图是一个数值转换机，若输入的值为2，则输出的结果应为（ ） A.2 B.0 C.1 D.-1 类型五 变形型求值 例1 已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）. 练习5 若，，则 . 类型六 化简型求值 例2 已知，，，且表示有理数，，的点在数轴上的位置如图，求的值. 练习6 求代数式的值，其中，. 学科网（北京）股份有限公司 $$