专题4.4 等比数列的概念【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.4 等比数列的概念【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等比数列的基本量的求解】 2 【题型2 等比中项】 2 【题型3 等比数列的通项公式】 3 【题型4 等比数列性质的应用】 4 【题型5 等比数列的单调性】 4 【题型6 求等比数列中的最大（小）项】 5 【题型7 等比数列的判定与证明】 5 【题型8 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 6 【知识点1 等比数列的概念与通项公式】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【题型1 等比数列的基本量的求解】 【例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-1】（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知等比数列满足，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-2】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）若等比数列满足，则其公比为（    ） A． B． C． D． 【题型2 等比中项】 【例2】（23-24高二下·北京大兴·期末）若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁辽阳·期中）在各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（23-24高二下·福建福州·期中）已知等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（2024·全国·一模）等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024高三下·全国·专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【知识点2 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{}为递增数列； (2)当或时，等比数列{}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 3．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【题型4 等比数列性质的应用】 【例4】（24-25高三上·山东德州·开学考试）在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【变式4-2】（2024·四川甘孜·一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）在等比数列中，，若，，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【题型5 等比数列的单调性】 【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【变式5-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，公比为，已知，则是数列单调递减的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式5-3】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 求等比数列中的最大（小）项】 【例6】（2024·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【变式6-1】（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（2024·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【变式6-3】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【题型7 等比数列的判定与证明】 【例7】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求． 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得对任意的正整数，总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型8 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 【例8】（23-24高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 . 【变式8-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 【变式8-2】（2024·江西上饶·一模）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为 . 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 等比数列的概念【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等比数列的基本量的求解】 2 【题型2 等比中项】 3 【题型3 等比数列的通项公式】 4 【题型4 等比数列性质的应用】 6 【题型5 等比数列的单调性】 7 【题型6 求等比数列中的最大（小）项】 9 【题型7 等比数列的判定与证明】 11 【题型8 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 14 【知识点1 等比数列的概念与通项公式】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【题型1 等比数列的基本量的求解】 【例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】设出公比，利用等比数列通项公式基本量计算列出方程，求出答案 【解答过程】设公比为，则， 解得或. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知等比数列满足，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据给定条件，列出关于的方程组，再求解即得. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由，得， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【解答过程】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）若等比数列满足，则其公比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等比数列满足，得到，两式相比得，再求得验证即可. 【解答过程】因为， 所以等比数列的公比， 又， 所以， 所以， 即等比数列的公比为. 故选：C. 【题型2 等比中项】 【例2】（23-24高二下·北京大兴·期末）若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等比中项的性质计算可得. 【解答过程】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【解题思路】直接由等比中项的性质计算即可. 【解答过程】与的等比中项为，，则． 故选：C． 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁辽阳·期中）在各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用等比数列性质得到，进而得到. 【解答过程】由得，即， 因为等比数列各项均为正数，所以， 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二下·福建福州·期中）已知等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等比中项的性质，结合等比数列通项公式可得解. 【解答过程】由已知数列为等比数列，则，， 则， 则， 所以， 故选：B. 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（2024·全国·一模）等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意等比数列的性质可得公比，且由可得，从而可求解. 【解答过程】由题意知数列为等比数列，设公比为，由，得，解得， 因为，即，即，所以，又因为，所以， 所以，故B正确. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先确定公比，再利用通项公式求解. 【解答过程】因为，，则， 所以为等比数列，公比， 所以. 故选：D. 【变式3-2】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可. 【解答过程】设的公比为q， 则依题意有， 解方程得或（舍去），所以 . 故选：C. 【变式3-3】（2024高三下·全国·专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用间的关系，做差求，得到间的关系式，判断是等比数列，进而求出的通项公式即可. 【解答过程】因为①， 则当时，②， ①②得：， 整理得：， 又，解得. 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则. 故选：A. 【知识点2 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{}为递增数列； (2)当或时，等比数列{}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 3．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【题型4 等比数列性质的应用】 【例4】（24-25高三上·山东德州·开学考试）在各项均为正数的等比数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】依题意，由等比数列的性质可知，再利用对数的运算性质可得，求解即可. 【解答过程】因为数列为等比数列，且， 所以， 所以， 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【解题思路】利用等比数列的性质求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 【变式4-2】（2024·四川甘孜·一模）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比数列的性质求解. 【解答过程】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）在等比数列中，，若，，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【解题思路】根据下标和性质求出，设公比为，即可求出，最后根据通项公式计算可得. 【解答过程】因为，，又， 所以，设公比为，则，所以， 则. 故选：B. 【题型5 等比数列的单调性】 【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 【变式5-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【解答过程】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，公比为，已知，则是数列单调递减的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据等比数列的性质，即可求解，进而可求解. 【解答过程】对，令，则， 由于，，所以，故， 因为，所以，即, 即，则数列单调递减，故正向可以推出； 若数列单调递减，，则，则， 则，即，即，则反向能推出； 故是数列单调递减的充要条件， 故选：C. 【变式5-3】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】取两种特殊情况说明，分和两次情况讨论，将转化为，分和两种情况与假设对比，据此即可求解. 【解答过程】取两种特殊情况说明充分性， 当时显然成立； 当时，理由如下： 因为是等比数列，设公比为，则， 当时，，即， 若，则， 注意到，当时，，与假设矛盾，舍去， 故，此时，则为递减数列； 若，则或， 注意到，当时，，与假设矛盾，舍去， 故，此时，则为递减数列； 综上：存在，使时，为递减数列，即充分性成立； 当为递减数列时，，即成立，即必要性成立. 故选：C． 【题型6 求等比数列中的最大（小）项】 【例6】（2024·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【解题思路】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【解答过程】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式6-1】（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可. 【解答过程】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC. 【变式6-2】（2024·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， 6 ． 【解题思路】 利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【解答过程】 在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6. 【变式6-3】（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 6或7 . 【解题思路】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【解答过程】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或. 【题型7 等比数列的判定与证明】 【例7】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【解题思路】（1）将递推公式由来表示，进而利用等比数列的定义即可判断； （2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解. 【解答过程】（1）证明：由得，易知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以. 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 【解题思路】（1）运用递推公式求出; （2）运用等比数列定义证明即可. 【解答过程】（1）由 可得；；； （2）证明：由题可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列. 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求． 【解题思路】（1）由题意，可得，，又由，利用定义法即可证明数列是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）同理可得，由，即可利用定义法证明数列是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式，再结合即可求解． 【解答过程】（1）由已知，， ∴， ∴， 显然与，矛盾， ∴， ∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列． （2）∵， ∴， ∴， 显然与，矛盾， ∴， ∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，①， 又∵由第（1）问，，②， ∴②①得． 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得对任意的正整数，总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）由已知可得，可得是首项为、公比为－1的等比数列，可求通项公式； （2）假设成立，由（1）可得 ，化简可得存在正整数，当，时，对任意的正整数，总成立. 【解答过程】（1）由，得， 所以， 又， 故，由递推公式可得, 所以， 所以是首项为、公比为－1的等比数列. 故，即； （2）由（1）可得，所以 ， 假设成立， 则 ， 化简得. 可知当为正偶数，即时，（*）式对任意的正整数总成立. 因此，存在正整数，当，时，对任意的正整数，总成立. 【题型8 正项等比数列的对数成等差数列的应用】 【例8】（23-24高三上·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则 . 【解题思路】由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解. 【解答过程】因为等比数列满足，所以， 又，解得，故，，所以. 故答案为：. 【变式8-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 1011 . 【解题思路】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论. 【解答过程】数列、满足.其中是等差数列，， 为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列， ， . 故答案为：1011. 【变式8-2】（2024·江西上饶·一模）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为 . 【解题思路】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解. 【解答过程】设等比数列的公比为，则（常数）， 所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列， 因为， 同理可得，因此，. 故答案为：. 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为 . 【解题思路】由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和. 【解答过程】由题意，，由等比数列的性质可得，解得， ∴，解得， ，则，则数列为等差数列， ，故， ， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$