第09讲 二次根式（10个知识点+10种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第09讲 二次根式（10个知识点+10种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•寻乌县期末）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•昌江区期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 　　．（只填序号） 3．（2023春•安达市校级期中）当取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2024春•江岸区期末）二次根式有意义的条件是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•宁江区期末）若二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 6．（2024春•武威期中）若，为实数，且，，求的值． 题型三．二次根式的性质与化简 7．（2024春•望花区期末）若，则与1的关系是　　 A． B． C． D． 8．（2024•景德镇三模）当时，代数式的值是　　． 9．（2024春•湘桥区期末）已知，如图所示，实数、、在数轴上的位置．化简：． 题型四．最简二次根式 10．（2024春•西安区校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•承德县期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：　　． 12．（2021•中原区开学）（1）把下列二次根式化为最简二次根式： ①； ②． （2）解方程： 题型五．二次根式的乘除法 13．（2023秋•桂东县期末）若则　　 A． B． C． D．为一切实数 14．（2024•三明模拟）化简：　　． 15．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知成立． （1）填空：的取值范围是 　　． （2）化简：． 题型六．分母有理化 16．（2023秋•长沙期末）把进行化简，得到的最简结果是 　　．（结果保留根号） 17．（2024春•岷县校级月考）下列各式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•岳阳楼区校级期末）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． （1）下列式子是“求真式”的有 　　（只填序号）； ① ② ③ （2）若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； （3）若，，且为整数，当为“至善式”时，求的值． 题型七．同类二次根式 19．（2024春•南昌期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 20．（2024•广西模拟）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则　　． 21．（2023秋•咸阳期末）已知最简二次根式与可以合并，是的立方根，求的平方根． 题型八．二次根式的加减法 22．（2024春•铁岭县期末）下列计算正确的是　　 A．2 B． C． D． 23．（2024•山西模拟）计算　　． 24．（2023秋•台江区期末）计算： （1）； （2）． 题型九．二次根式的混合运算 25．（2024春•交口县期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•信阳期末）求值：　　． 27．（2024春•西安区校级期末）计算： （1）； （2）． 题型一十．二次根式的化简求值 28．（2024春•樊城区期末）若，则的近似值是　　 A． B．0.707 C．1.414 D．2.828 29．（2024•岳麓区校级三模）已知的整数部分为，小数部分为，则　　． 30．（2023秋•永定区期末）已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 分层练习 一、单选题 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．设实数，则x的整数部分为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在根式，，， 中，最简二次根式的个数（    ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 7．下列计算：①；②；③；④． 其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 9．如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 10．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小： ．（用、或连接） 12．如果，那么的值是 ． 13．若最简二次根式、是同类二次根式，则 ． 14．已知x，y为正整数，，求 ． 15．计算： ． 16．若，则 ． 17．若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 三、解答题 19．计算：． 20．求的值． 21．已知二次根式． （1）如果该二次根式，求的值； （2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积． 22．计算： (1) (2) (3) (4) 23．计算下列各式： (1)． (2)． (3)． (4)． 24．计算： (1)； (2)． 25．学校要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为米，对角线的长为米． (1)求该长方形土地的面积； (2)如果绿化该长方形土地每平米的造价为元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元（结果精确到元）？ 26．化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二次根式（10个知识点+10种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 题型强化 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•寻乌县期末）下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论． 【解答】解：、中，所以是二次根式，本选项符合题意； 、当时不是二次根式，本选项不符合题意； 、的根指数是3，本选项不符合题意； 、当时不是二次根式，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的定义．确定被开方数恒为非负数是解决本题的关键． 2．（2023秋•昌江区期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 　②④　．（只填序号） 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：①，故不是二次根式； ②，故是二次根式； ③的根指数是3，故不是二次根式， ④，故是二次根式； 所以一定是二次根式的是②④． 故答案为：②④． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如的式子叫二次根式． 3．（2023春•安达市校级期中）当取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值． 【分析】根据，即可求得的值，以及所求式子的最小值． 【解答】解：， 当时，有最小值，是0． 则的最小值是1． 【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数． 题型二．二次根式有意义的条件 4．（2024春•江岸区期末）二次根式有意义的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：根据二次根式有意义，得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 5．（2024春•宁江区期末）若二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：二次根式有意义， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 6．（2024春•武威期中）若，为实数，且，，求的值． 【分析】利用负数没有平方根确定的值，从而确定，的值，代入求值即可． 【解答】解：由题意得，，，， 解得，， ，， ， 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，的值为或． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握负数没有平方根，是本题的解题关键． 题型三．二次根式的性质与化简 7．（2024春•望花区期末）若，则与1的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 8．（2024•景德镇三模）当时，代数式的值是　1　． 【分析】首先由，即可将原式化简，然后由，去绝对值符号，继而求得答案． 【解答】解：， ， 故答案为：1． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简以及绝对值的性质．此题难度适中，注意确定各项的符号是解此题的关键． 9．（2024春•湘桥区期末）已知，如图所示，实数、、在数轴上的位置．化简：． 【分析】先根据数轴判断，，的正负数，再根据绝对值的意义化简求解． 【解答】解：根据数轴可得：， ，，， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键． 题型四．最简二次根式 10．（2024春•西安区校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 11．（2023秋•承德县期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：　5（答案不唯一）　． 【分析】根据最简二次根式的概念解答即可． 【解答】解：当时，原式，是最简二次根式， 故答案为：5（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 12．（2021•中原区开学）（1）把下列二次根式化为最简二次根式： ①； ②． （2）解方程： 【分析】（1）依据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．将二次根式化为最简二次根式即可． （2）如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根．依据平方根的定义进行计算，即可得到的值． 【解答】解：（1）①； ②． （2）， ， ， 即或， 解得或． 【点评】本题主要考查了最简二次根式以及平方根的定义，关键是掌握最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 题型五．二次根式的乘除法 13．（2023秋•桂东县期末）若则　　 A． B． C． D．为一切实数 【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法：； 14．（2024•三明模拟）化简：　4　． 【分析】根据二次根式的乘法，化简即可得解． 【解答】解：． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次根式的乘法：，注意结果要化为最简形式． 15．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知成立． （1）填空：的取值范围是 　　． （2）化简：． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到，解不等式组即可； （2）把二次根式的分子和分母因式分解，然后根据的取值范围计算即可． 【解答】解：（1）由题可得：， 解得：， 故答案为：； （2） ． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 题型六．分母有理化 16．（2023秋•长沙期末）把进行化简，得到的最简结果是 　　．（结果保留根号） 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 17．（2024春•岷县校级月考）下列各式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：，不是最简二次根式，不合题意； ，是最简二次根式，符合题意； ，不是最简二次根式，不合题意； ，不是最简二次根式，不合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 18．（2023秋•岳阳楼区校级期末）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． （1）下列式子是“求真式”的有 　①③　（只填序号）； ① ② ③ （2）若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； （3）若，，且为整数，当为“至善式”时，求的值． 【分析】（1）先比较、的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较、的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的的值即可． 【解答】解：（1）， ， 为“求真式”，故①符合题意， ， 为“勤业式”，故②不符合题意， ， 即， 为“求真式”，故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）为“勤业式”，理由如下： ，， ， 为“勤业式”； （3），，且为整数， ， 为“至善式”， 的值为整数，即为整数， 为整数， 或或或， 解得或（舍去）或或， 的值为0或1或． 【点评】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 题型七．同类二次根式 19．（2024春•南昌期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【解答】解：、，与不是最简二次根式，故错误； 、，与被开方数相同，故与是同类二次根式，故正确； 、，故与不是同类二次根式，故错误； 、，故与不是同类二次根式，故错误； 故选：． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 20．（2024•广西模拟）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则　3　． 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【解答】解：， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：3． 【点评】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 21．（2023秋•咸阳期末）已知最简二次根式与可以合并，是的立方根，求的平方根． 【分析】根据同类二次根式得出，求出，根据立方根定义求出，求出，最后根据平方根的定义求出平方根即可． 【解答】解：最简二次根式与可以合并， ， ， 是的立方根， ， ， 的平方根是． 【点评】本题考查了同类二次根式，平方根，立方根和最简二次根式的定义等知识点，能求出、的值是解此题的关键． 题型八．二次根式的加减法 22．（2024春•铁岭县期末）下列计算正确的是　　 A．2 B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法法则和二次根式的性质判断即可． 【解答】解：、，故本选项符合题意； 、和不能合并，不等于，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、不等于，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的加法法则和二次根式的性质，注意二次根式的加法就是合并同类二次根式． 23．（2024•山西模拟）计算　　． 【分析】首先把和化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 24．（2023秋•台江区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 题型九．二次根式的混合运算 25．（2024春•交口县期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故不符合题意； 、与不能合并，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26．（2024春•信阳期末）求值：　　． 【分析】先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与幂的乘方是解决问题的关键． 27．（2024春•西安区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型一十．二次根式的化简求值 28．（2024春•樊城区期末）若，则的近似值是　　 A． B．0.707 C．1.414 D．2.828 【分析】首先把化成最简二次根式，再把代入计算即可． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，关键是把式子要化成最简二次根式． 29．（2024•岳麓区校级三模）已知的整数部分为，小数部分为，则　7　． 【分析】由于，则可得到，，代入所求得式中得到，然后利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：根据题意得，， 原式． 故答案为7． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算． 30．（2023秋•永定区期末）已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【分析】（1）代入即可求出和的值； （2）将原式变形为，代入数值进行计算即可； （3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）， ，； （2）由（1）得：，， ； （3）， ，即， ， ， 的小数部分是， ， ，的整数部分是， ， ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的定义及绝对值的化简逐项计算可得. 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查方根的定义及绝对值的性质，掌握定义和数学符号的意义是解答此题的关键. 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法计算，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 4．设实数，则x的整数部分为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，判定出无理数在某两个连续整数之间是解题的关键． 估算出，即可得出的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， 故选：B． 5．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 6．在根式，，， 中，最简二次根式的个数（    ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．最简二次根式是指被开方数是整数或整式且被开方数中不含能开方的因数或因式，据此对照题中的式子进行判断即可． 【详解】解：不是最简二次根式； 是最简二次根式； ==，不是最简二次根式； =，不是最简二次根式； ∴只有1个不是最简二次根式． 故选：A． 7．下列计算：①；②；③；④． 其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算．根据二次根式乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，原计算错误； ④，正确． 故选：C 8．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 9．如图，的顶点A，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，勾股定理，二次根式的乘除，利用面积法求三角形的高是解题的关键．先用割补法求出的面积，再根据勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】设边上的高为h， ， ， ， 解得， 即边长的高为． 故选：C． 10．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键. 二、填空题 11．比较大小： ．（用、或连接） 【答案】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 12．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 13．若最简二次根式、是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得，， 故答案为：． 14．已知x，y为正整数，，求 ． 【答案】8 【分析】将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解．本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又，为正整数， 则或 从而， 故答案为：8． 15．计算： ． 【答案】/ 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用乘法分配律展开，再进行乘法即可． 【详解】解： 故答案为： 16．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解: ， ． 故答案为：． 17．若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同类二次根式，根据同类二根式的定义得到，解方程组后，代入求值即可． 【详解】解∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得， ∴ 故答案为： 三、解答题 19．计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先计算乘法，再计算除法，即可求解． 【详解】解：． 20．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的加减运算，掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件，得出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ． 21．已知二次根式． （1）如果该二次根式，求的值； （2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积． 【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5． 【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可； （2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案． 【详解】解：（1）∵ ∴a+2=32 解得a=7 （2）化简，得 ∵为最简二次根式，且与能够合并 ∴ 解得a=8 ∴两个二次根式的积为. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 22．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可 （3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 23．计算下列各式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法运算； （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）先计算二次根式的乘方，再化简二次根式，最后合并即可； （4）直接计算二次根式的乘方运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先计算零指数幂、绝对值、有理数的乘方、二次根式的化简，然后再计算加减法即可 本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂、绝对值、有理数的乘方，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 25．学校要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为米，对角线的长为米． (1)求该长方形土地的面积； (2)如果绿化该长方形土地每平米的造价为元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元（结果精确到元）？ 【答案】(1)该长方形土地的面积为； (2)绿化该长方形土地所需资金为元． 【分析】此题考查了二次根式计算和勾股定理的应用， （1）利用勾股定理求出长方形土地的宽，根据长方形面积公式计算即可； （2）利用面积乘以每平米的造价，即可求出绿化该长方形土地所需资金． 【详解】（1）解：长方形土地的宽为， ∴该长方形土地的面积为； 答：该长方形土地的面积为； （2）（元） 答：绿化该长方形土地所需资金为元． 26．化简与计算． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的化简和二次根式的加减运算，如果被开方数中的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替移到根号外面；如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再将因式开方后移到根号外面，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面．（1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先利用平方差公式进行分解，再根据二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的性质进行化简即可； （4）先根据完全平方公式对分母进行变形，再根据二次根式的性质进行化简即可； （5）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可； （6）利用二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$