第09讲 解直角三角形（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09讲 解直角三角形（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 题型强化 题型一．解直角三角形 1．（2023秋•奉贤区期末）在中，，，，那么的长是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•普陀区月考）如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么　　． 3．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长． 题型二、解直角三角形的相关计算 4．（2024九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么 ． 5．（2023·上海浦东新·一模）在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： (1)的长； (2)的余切值． 题型三、解非直角三角形 7．（上海浦东新·一模）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　) A． 千米 B．千米 C．千米 D．千米 8．（21-22九年级·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 9．（2021·上海虹口·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 分层练习 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（　　） A． B．3 C． D．12 2．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 4．如图，若点的坐标为，则等于（    ）     A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 6．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 二、填空题 7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 8．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 9．边长为6的等边三角形的重心到顶点的距离是 ． 10．在中，，若，则 ． 11．在中，，，，则边的长为 ． 12．如图，在△中，，,.则边的长为 . 13．如图，在中，，，，则的长为 ． 14．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 15．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为 ． 16．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 17．如图，在 中，，且，将 沿翻折，若点恰好落在边上，则的长为 ． 18．如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 三、解答题 19．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC 的平分线交边 AC于点 D，延长 BD 至点 E，且BD=2DE，连接 AE. （1）求线段 CD 的长;（2）求△ADE 的面积. 21．如图，已知中，，，． （1）求边AC的长； （2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值． 22．如图，在中．．是边上一点，且． (1)求的值； (2)求的面积． 23．为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 24．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 25．如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 26．已知在中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值； (2)如图2，如果，点在内，设，求与的函数关系式，并写出定义域： (3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值． 27．数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的静态美和动态美，掌握运动中的不变量和应变量，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 一般情形下，我们常说旋转与翻折是伴随的． (1)其实翻折可以近似看作是旋转的一种，请简要描述理由： _______________________________________________________________________． (2)如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化．当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： 图②中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想从特殊到一般，也是数学几何思考的重要方法： 图③中，，则 ； 当时， ． (3)在的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④)．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，求：的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 解直角三角形（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 题型强化 题型一．解直角三角形 1．（2023秋•奉贤区期末）在中，，，，那么的长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，画出图形，借助三角函数即可解决问题． 【解答】解：由题知， 在中， ， 又因为， 所以． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 2．（2023秋•普陀区月考）如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么　　． 【分析】先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则． 【解答】解：是边的中点，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，关键是勾股定理的应用． 3．（2023秋•闵行区期中）如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长． 【分析】根据三角形中线的定义，等腰三角形性质以及锐角三角函数可得，设，则，勾股定理可求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出即可． 【解答】解：是的斜边中线， ， ， ， ，在中， 由于， 可设，则， 由勾股定理得：， ， 即， ，， ， ， 解得． 答：，． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提． 题型二、解直角三角形的相关计算 4．（2024九年级上·上海·专题练习）在中，，如果，，那么 ． 【答案】2 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：2． 5．（2023·上海浦东新·一模）在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】首先利用勾股定理求得的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断． 【详解】解：在直角中，． 则，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5．（21-22九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： (1)的长； (2)的余切值． 【答案】(1)7； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，勾股定理的应用； （1）先求解，再求解，即可； （2）作，垂足为．求解，，可得，在中，利用余切的定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 在中，，， ∴，则， ， ． （2）解：作，垂足为． 是边上的中线，， ， ， ， ， 即在中，． 题型三、解非直角三角形 7．（上海浦东新·一模）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为(　　) A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【知识点】解非直角三角形 【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答. 【详解】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键. 8．（21-22九年级·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 【答案】 【知识点】折叠问题、解非直角三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用菱形的性质求线段长 【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值． 【详解】解：如图：作于，作于，连接， 四边形是菱形， ， 是中点 ， ，且 ，， 折叠， ，， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， 点是中点， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键． 9．（2021·上海虹口·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解非直角三角形 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 分层练习 一、单选题 1．在中，，，，则的长为（　　） A． B．3 C． D．12 【答案】A 【分析】根据的正切计算的长． 【详解】解：中，，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出草图，先在中利用正弦对边：斜边求出，然后在中，利用余弦邻边：斜边列式求解即可得到的长． 【详解】解：如图，在中，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，需要熟记正弦与余弦的定义，作出图形更形象直观，有助于问题的解决． 3．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 4．如图，若点的坐标为，则等于（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标为，得，，由的正弦值是的对边与斜边的比值即可解答． 【详解】解：如图：      点的坐标为， ，， 由勾股定理，得， ． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键． 5．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 6．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 二、填空题 7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 【答案】60°或120°/120°或60° 【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论． 【详解】解：当∠A是锐角时， 如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝60°． 当∠A是钝角时， 如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝， ∴∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线． 8．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 9．边长为6的等边三角形的重心到顶点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念、等边三角形的性质、解直角三角形等知识点，掌握三角形的重心的概念、等边三角形的性质成为解题的关键． 根据三角形的重心的概念、等边三角形的性质可得、，然后解直角三角形求得的长即可． 【详解】解：如图，为等边三角形，点O是重心， ∴，， ∵， ∴, ∴． 故答案为：． 10．在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，根据题意可设，，利用勾股定理表示出，进而求出结果． 【详解】解：如图， 中，， ， 设，， ， ， 故答案为：． 11．在中，，，，则边的长为 ． 【答案】或 【分析】根据解直角三角形的方法，在中，，则得到，由，，确定，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， 在中，，，， ， 分两种情况讨论： ①，令，如图所示： 在中，，，，则， 在中，，，，则， ； ②，令，如图所示：    在中，，，，则， 在中，，，，则， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题，根据题意，将非直角三角形转化为直角三角形，分类讨论求解是解决问题的关键． 12．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 13．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 14．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 15．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案． 【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离， 此时， 在中，， ， ， 当时，点开始离开点向点方向运动， 当时，点停止运动， 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点Q移动的路径长为， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 17．如图，在 中，，且，将 沿翻折，若点恰好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、余切等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：将 沿翻折，若点恰好落在边上的点F处，与相交于O点，根据折叠的性质得到，再根据等角的余角相等得，而，则，所以，同理可得，于是有，所以，再分别在和中，利用余切的定义计算出,最后根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 如图：将 沿翻折，若点恰好落在边上的点F处，与相交于O点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：,， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：； ∵， ∴，即，解得：； ∴. 故答案为. 18．如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出和的长． 连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后结合图形及向量，即可得出结果． 【详解】解：连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形和菱形大小相同， ∴， ∴， ∴，   ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵与方向相反， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值． 【答案】6， 【详解】分析：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可． 详解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D， ∵sinB＝， ∴cosB＝， 在Rt△ABD中，BD＝AB•cosB＝5×＝3， ∵AB=AF AD⊥CB， ∴BF=2BD=6， ∵EF⊥CB AD⊥CB， ∴EF∥AD， ∴， ∵AE：EC=3：5DF=BD=3， ∴CF=5， ∴CD=8， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝5×＝4， 在Rt△ACD中，AC＝＝4， ∴sinC＝． 点睛：此题考查解直角三角形问题，关键是根据解直角三角形的计算解答． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC 的平分线交边 AC于点 D，延长 BD 至点 E，且BD=2DE，连接 AE. （1）求线段 CD 的长;（2）求△ADE 的面积. 【答案】 (1);（2）. 【详解】分析：（1）过点D作DH⊥AB，根据角平分线的性质得到DH=DC根据正弦的定义列出方程，解方程即可； （2）根据三角形的面积公式计算． 详解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H．∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DH=DC=x，则AD=3﹣x．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5． ∵，即CD=；     （2）． ∵BD=2DE，∴．      点睛：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 21．如图，已知中，，，． （1）求边AC的长； （2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，根据角所对的直角边等于斜边的一半得到AH=3，根据，求出CH,根据勾股定理即可求出边AC的长. （2）由翻折得：，AE=BE，，根据，即可求出, AH=3,根据勾股定理即可求出，即可求出的值． 【详解】（1）过A作AH⊥BC，垂足为H ∵AB=6，，AH⊥BC ∴AH=3   ∵ ∴CH=2 ∴ （2）连接AE,如图所示： 由翻折得：，AE=BE， ∵   ∴   ∴ ∴，AH=3 ∴ ∴ 【点睛】考查解三角形，勾股定理等，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键. 22．如图，在中．．是边上一点，且． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形是解题关键 （1）作于E，利用等腰三角形的性质得，然后利用余弦的定义求解； （2）作于F，先在中利用正切的定义得到，设，则，利用勾股定理求出的长，得到，于是得到，然后利用，解出x的值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，作于E， ， ， 在中， ； （2）如图，作于F， 在中，， 设，则， 在中，， ， 而， ， ，即， ， ， ． 23．为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键． 24．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 25．如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作，，根据等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，得到，，由三角形面积公式，得到，代入正弦函数即可求解， （2）作，，当时，，根据角平分线性质定理，设，根据面积公式，代入解得：，根据锐角三角函数，即可求解， （3）由，得到，结合，得到，，当时，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，在中，根据锐角三角函数及够谷歌定理得到，，，即可求解，当时，由，，得到，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，由，可设设，在中，根据勾股定理得到，即，由，解得：，由，得到，代入即可求解， 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论，找到相似三角形． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， （2）解：作，， ∵， 当时，，可设， ，即：，解得：， ∴， （3）解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 作， ∴， 在中，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 作， ， ∵， ∴设，则， 在中，，即：，解得：， ∴， ∵，即：，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 26．已知在中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值； (2)如图2，如果，点在内，设，求与的函数关系式，并写出定义域： (3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出，由勾股定理求出，由平行线分线段成比例定理得出，求出，则可得出答案； （2）由平行四边形的性质与解直角三角形求得，，过点E作于H，解直角三角形求得，，，即可由求解；然后当点恰好在上时，解直角三角形求出x的长，则可得定义域； （3）设，则，设矩形的对角线与相交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由梯形的中位线定理得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 又， ， ， ， 在中， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ， 点在上， ， ， ， ， 在中，； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 当点恰好在上时， ， ， ∵，则， ， 在中，， 又，则， ， ， ， ， 当点在内时，； （3）解：设，则， ， 设矩形的对角线与相交于点，连接， 平行四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点作于点， 又， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，函数关系式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 27．数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的静态美和动态美，掌握运动中的不变量和应变量，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 一般情形下，我们常说旋转与翻折是伴随的． (1)其实翻折可以近似看作是旋转的一种，请简要描述理由： _______________________________________________________________________． (2)如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化．当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： 图②中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想从特殊到一般，也是数学几何思考的重要方法： 图③中，，则 ； 当时， ． (3)在的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④)．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，求：的长． 【答案】(1)旋转是图形绕定点旋转，翻折可以认为图形绕定直线旋转 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的全等性，及其特点，结合翻折特点和性质，描述即可． （2） 根据三角形中位线定理，得到,根据四边形是矩形，结合，得到四边形是正方形，结合点E、F、G分别为边、、的中点，得到，证明即可得证． 根据中位线定理，得，证明，列出比例式即可解答； 根据中位线定理，得，证明，列出比例式即可解答． （3）过点M作于点H ，根据折叠的性质，得， 结合平分，得到，继而得到， 利用勾股定理和，列式解答即可． 【详解】（1）解：旋转是图形绕定点旋转，翻折可以认为图形绕定直线旋转， 故答案为：旋转是图形绕定点旋转，翻折可以认为图形绕定直线旋转． （2）∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形，， ∵点E、F、G分别为边、、的中点， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵点E、F、G分别为边、、的中点，H为的中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 连接， ∵点E、F、G分别为边、、的中点，H为的中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）过点M作于点H ，根据折叠的性质，得 ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，三角形中位线定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$